1、數學深度教學的課堂要素摘 要 為扎實理解的教學(Teaching fbr Robust Understanding,簡稱TRU)項目基于培養學生深刻理解數學思維 的目的，將高效課堂的基本屬性總結為數學內容、認知需求、公平獲得、身份認同感，以及形成性評價等 五個維度。TRU的課堂評價和改進工具有助于一線教師改善課堂教學。關鍵詞TRU數學課堂深度教學、引言深度教學是培養學生數學核心素養的重要途 徑，重視引導學生更清晰、深入、全面、合理的思 考1o數學課堂是師生互動最多的情境，如何在其 中滲透深度教學的理念是需要關注的重要問題。 關于數學課堂教學的理論成果汗牛充棟，但高深理 論難以融入實際教學仍是常

2、見難題。數學課堂教 學的形式化、模板化導致了“為深度而深度”、“表面 上熱鬧，實際沒有收獲”的現狀。因此需進一步審 視數學深度教學需要什么樣的課堂、怎樣以友好方 式讓一線教師將深度教學理念滲透在數學課堂中。培養學生數學核心素養的目標是使學生慣 用數學思維來思考,有深度的數學課堂教學應更 注重“如何做”“為什么”，而非簡單機械的“是什 么”。深度教學的理念與美國學者Alan Schoenfeld 發起的為扎實理解的數學教學(Teaching for Robust Understanding in Mathematics，簡稱 TRU-Math )研究 不謀而合2。該項目探究了數學教學應重點關注什

3、 么，怎樣的課堂環境能幫學生成為淵博靈活的思考 者和學習者，教師如何創造更有效的課堂環境等方 面的問題4，從數學教學的目標(Why )，有效課堂的 要素(What)，教師或教育研究者如何使用(How)等 三個維度提供了有效數學課堂教學的框架。盡管有學者已介紹了 TRU的框架以及評分標 準3，Schoenfeld本人于2018年也在第三屆華人數 學教育大會(上海)中做了相關報告,但該框架依舊 被我國的一線教師冷落。TRU在數學課堂教學理 念和實踐等層面都體現了深度教學的目標，有助于 改善數學課堂教學，因此本文將介紹TRU的目標、 框架和工具，以期提供有價值的參考。二、TRU的目標數學深度教學能夠

4、使所有學生在數學課堂上有機會掌握豐 富的數學知識、能夠靈活地數學地思考，是TRU項 目的研究目標。TRU框架認為學生學習數學并不 是對知識或步驟的記憶、重復和演練，因此，數學課 堂教學不能滿足于灌輸給學生一系列數學知識或 步驟的表面功夫，而應達到使學生理解各個概念或 主題背后的聯系、數學學科的基本思想之深度。這 體現了深度教學的宗旨一讓學生在課堂中體驗 像數學家一樣思考的過程。深度教學首先需要教師對數學知識的深刻理 解。教師關于“學生應該怎樣理解數學”的觀點，很 大程度反映在課堂教學的目標和實施過程中向。因 此，教師在授課前就應深入思考數學中各個主題之 間的互相聯系和基本思想，除此之外，還需要

5、對學 生的學習心理有較好的把握。在此前提下，TRU研 究提出深度課堂教學的五個維度，包括數學內容、 認知需求、公平獲得、歸屬感和身份認同感，以及形 成性評價6。TRU遵循培養學生用數學思考的原 則,刻畫了數學深度課堂教學。從綜合的角度來看, 如果課堂教學能夠按照這五個維度去設計或實施, 那么學生在這樣有深度的學習環境下，將成為有學 識、靈活和機智的思考者和學習者。從分析的角度 來看，每個單獨的維度都是教師專業發展中應關注 的焦點，在教師教育過程中，應專注于系統地改進 每個維度。那么,怎樣闡釋這些維度的含義？如何 將其應用于教學？以下將就這兩個問題具體分析。三、TRU框架有效課堂的要素在數學課堂

6、中進行什么樣的活動才能發展學 生的數學能力？ TRU認為優秀的深度課堂教學在 以下五方面為學生提供了好的學習環境，即數學內 容，認知需求，公平獲得,歸屬感和身份認同感，以 及形成性評價。需要明確的是，TRU框架并不規定 深度課堂中應該發生什么，因為教學無定法。TRU 的五個維度僅提供有效課堂的參考和方向。數學內容賦予學生數學思維是TRU的主要目標，學生 在課堂上應體驗到連貫的、將有意義的解題過程 和步驟符號化了的數學，而不是一系列被用來背 誦的彼此孤立的事實、步驟和概念。例如,直角坐 標系下直線的方程可表示為y=kx+b； Ax+By=C； x/a+y/b=1，y-yo / x-x0=m這幾種

7、線性關系的不同形 式，分別表示已知直線的任意兩個信息就可以決定 其位置，互相之間能自由轉換。數學教學中需用聯 系的觀點看待以突出知識的連貫性。這反映了深 度教學從“知識點”走向“知識結構”的基本理念叫知識問題是深度課堂教學中的關鍵，“知其所 以然”的課程內容是必要前提。將數學知識作為需 要死記硬背的步驟來教學，會導致學生的知識停留 在淺層，思維固化等后果面。TRU提倡使數學知識 深入而重點突出、具有連貫性和準確性，幫助學生 理解數學實質。認知需求教師在幫助學生處理任務時不能削弱重要的 數學內容，深度的數學課堂需滿足學生的認知需 求。為此需找到平衡點，教師既能讓學生明白自己 遇到了什么問題，又留

8、下獨立思考的空間。深度教 學的實現需經歷問題解決、知識運用、開拓創新的 過程,如果教師將數學知識“填鴨”似地教給學生, 則不能使學生深刻理解數學或形成良好的數學思 維習慣。公平獲得該維度聚焦于數學課堂活動是否能使學生都 參與有意義的實踐。學生所獲數學成就的高低與 他們的學習機會有關回。學習機會差異的一個主要 來源是教師講授知識的不同方式，即課堂教學的不 同深度。在數學課堂中誰有機會真正參與到數學 活動？所有學生都常有機會討論數學觀點嗎？每 個學生都有鍛煉或者展示自己的機會嗎？每個學 生都能用現有的知識理解遇到的問題嗎6 ？好的 教師會選擇并設計一些任務的切入點，鼓勵所有學 生參與到挑戰性的數學

9、活動中四。身份認同感TRU框架的第四方面涉及學生的數學氣質和 自我認同(Mathematical Dispositions and Identities ), 包括態度、信心、毅力、對數學的認識等。許多學生 持有錯誤或消極的信念，如數學是被記憶而不是理 解的，自己不擅長數學等11o深度教學關注學生的 情感體驗，使學生在數學上認同自己,成為積極的 數學思維者。數學自我認同包括兩個方面，第一是自主性 (agency),即個體做數學的意愿，源于認識到自己 面對挑戰時取得的進展和對自己所得結論的信心。 第二是權威性(ownership ),指的是個體對自己推導 的數學學科思想的自信。在賦予學生身份認同

10、感 的課堂中，教師能發現每個學生的優勢并借此幫助 學生參與到學習共同體中去。形成性評價形成性評價引發學生的思考和回應，重視出現 的誤解,并要求教師有目的地設計任務以評估學生 的理解程度，再利用這些信息塑造課堂活動1213O 教師在評估學生理解程度的同時也得到了改良教 學方式的機會，其后續問題、任務以及“下一步如何 做”都是為了更深層次的課堂教學目標。此過程中 教師關注學生的理解，因材施教式地教學，就可形 成“更清晰、更關注重點和更有效的”深度教學課堂 了。實施形成性評價時，學生會被要求在反思中表 達自己的想法和收獲，這將使學生理解更透徹并將 新舊知識相聯系。TRU框架全面概括了深度數學課堂應具

11、備的 屬性，五個維度彼此緊密聯系成一個整體,共同作 用于挖掘教師數學教學的深度，以及學生思考能力 的清晰、深入、全面、合理，如圖1。圖1 TRU五個維度之間的關系數學內容的選擇決定了是否滿足學生的認知 需求,形成性評價是否具有好的切入點。公平獲得 保證每個學生的數學身份認同感，認知需求以及恰 當的形成性評價確保了參與的意義。四、TRU在數學深度教學中的應用TRU在教學設計、課堂教學評價、教學研究等 實踐環節中均有其價值。理論上如果課堂教學能 按TRU的五個維度設計實施，學生將有可能成為淵 博睿智的思考者和學習者。但如果這些教育理論 不能以一線數學教師能夠接受的方式呈現，其價值 就無法體現。因此

12、以一線教師能夠實際操作的語 言和方式應用TRU的理論具有重要意義。1.作為改善教學設計的工具課堂教學隨時代發展變化，沒有絕對正確的課 堂教學方式。TRU框架從備課和反思圍繞教學設 計提出相應的問題。首先在備課階段，教師需要依 情況選擇教學內容，TRU提供了一系列問題，以幫 助教師審視對學生認知需求的滿足程度，如：為學 生獲得重要思維提供了哪些機會？如何回應學生 的努力并保證學生能發展自己的思維和理解？其 次在反思階段，反思上一階段的完成度并繼續調 整。TRU從各維度設計了有助于教師專業發展的 工具，下表是身份認同感維度的工具。表1 TRU為教師改善教學設計提供的工具身份認同感核心:可以提供哪些

13、機會讓學生認為自己或者別人是數學思維好的思考者和 學習者？如何能提供更多？計劃有哪些機會可以讓學生形成及闡述 自己的想法，回應別人的想法？如 何創造更多的機會？反思如何看到學生解釋自己的想法及回應 別人的想法？在具體的案例中，這些 想法的闡述和交流是怎樣的？需考慮的問題誰提出了可討論的想法？學生有機會提出和分享哪種類型的想法（技巧，聯系，學過的知識等）？ 是誰評價或回應了他人的想法？學生解釋想法的深度如何2.作為聽課評課的工具課堂觀察是教師提高專業素養的重要途徑，相 關反饋有助于教師認識自身得失，實現深度教學目 標。課堂觀察的反饋可來自不同角度，TRU針對不 同維度設計了課堂觀察表。以下為形成

14、性評價的 課堂觀察表（表2 ）：表2形成性評價的課堂觀察表形成性評價課堂活動在多大程度上吸引學生的思考互動，通過引導優質開端或化 解誤解來回應這種思維。高質量的教學“滿足學生的參與感”并提供深層 次理解的機會，期間既有教師角色的參與也有學生之間的互動。學生：闡釋自己的想法，即使有點初 步將錯誤看作學習新知識的機會 反思自己和同學的作業 將同學的觀點當作學習資源 為同學提供具體和精準的反饋 利用反饋修改作業教師：營造寬松的氣氛讓學生敢于表達 使用可以引出多種策略的材料，讓 學生解釋他們的推理，從而獲得學 生閃現出的想法靈活調整教學內容和步驟，為學生 提供重新參與和修改的機會作為日常課堂中一部分，

15、為學生提 供及時準確的反饋,促使學生深層 次學習為學生的反思提供機會其他觀察的焦點：為所有學生闡述理解提供了哪些機會？對建立已揭示的思想有哪些機會？ 教師或學生如何抓住這些機會？哪些方面可以進一步提高？目標:持續靈活地提供一些技巧和活動，讓學生能表達他們新出現的理解， 并通過重新思考誤解及建立有效的觀點加強學生的學習。從上表可見，形成性評價的課堂觀察師生的課 堂表現并提供建議。TRU的五個維度彼此聯系，觀 察者可以將其他相關維度的評價列在表中。綜上，TRU描述了有效課堂的屬性，提供了研 究課堂教學的框架和工具。教師借此計劃和反思 教學，在教學評價中尋求反饋，將促使數學課堂向 深度教學發展，學生

16、在這樣的課堂中能夠實現更為 清晰、深入、全面、合理的思考。五、結語TRU研究在追求培養學生數學思維習慣的宗 旨下，致力于探究優質的深度教學課堂所具備的基 本屬性。在多元文化的背景下，數學課堂具有多樣 性，TRU在現有研究的基礎上，以培養學生數學地 思維為出發點，體現了數學深度教學的目標。TRU 將數學深度課堂的基本要素歸結于五個維度，并在 某種程度證明了這個框架的完備性。這一思路類 似于數學研究中的理性精神，將原本模糊復雜的系 統，以結構的角度更清晰地刻畫出來，使得深度課 堂教學不再是令一線教師無法厘清的概念。盡管TRU項目是在西方文化的背景下針對西 方課堂進行的，但該研究得出的評價工具，是一線 教師在改進深度課堂教學中能夠理解且容易達到的。歷史總是告誡著今人：文化的交融互鑒推動著 人類的進步,創造出無限的機遇與希望；拒絕融合