1、2009年高考數(shù)學試題分類匯編立體幾何一、選擇題1.(2009年廣東卷文)給定下列四個命題： 若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行； 若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直； 垂直于同一直線的兩條直線相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直. 其中，為真命題的是 A和 B和 C和 D和 【答案】D【解析】錯, 正確, 錯, 正確.故選D2.（2009廣東卷理）給定下列四個命題：若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；若一個平面經(jīng)過另一個平面的

2、垂線，那么這兩個平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行； 若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直其中，為真命題的是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【解析】選D.3.（2009浙江卷理）在三棱柱中，各棱長相等，側(cè)掕垂直于底面，點是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是 ( )A B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：C 【解析】取BC的中點E，則面，因此與平面所成角即為，設，則，即有4.（2009浙江卷文）設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（ ）A若，則 B若，則 C若，則 D若，則 4C 【命題意圖】此題主要考查

3、立體幾何的線面、面面的位置關系，通過對平行和垂直的考查，充分調(diào)動了立體幾何中的基本元素關系【解析】對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5.（2009北京卷文）若正四棱柱的底面邊長為1，與底面ABCD成60角，則到底面ABCD的距離為 ( )AB1CD【答案】D.w【解析】.k本題主要考查正四棱柱的概念、直線與平面所成的角以及直線與平面的距離等概念. 屬于基礎知識、基本運算的考查. 依題意，如圖，故選D.6.（2009北京卷理）若正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60角，則到底面的距離為 （ ） A B1 C D【答案】D【解析】本題主要考查正四棱柱的

4、概念、直線與平面所成的角以及直線與平面的距離等概念. （第4題解答圖）屬于基礎知識、基本運算的考查. 依題意，如圖，故選D.7. (2009山東卷理)一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ).A. B. C. D. 【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,2 2 2 正(主)視圖 2 2 側(cè)(左)視圖 圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四棱錐的底面邊長為，高為，所以體積為所以該幾何體的體積為.答案:C【命題立意】:本題考查了立體幾何中的空間想象能力,由三視圖能夠想象得到空間的立體圖,并能準確地俯視圖 計算出.幾何體的體積.8. (2009山東卷理)已知，表示兩個不同的平

5、面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】:由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面內(nèi)的一條直線,則,反過來則不一定.所以“”是“”的必要不充分條件. 答案:B.【命題立意】:本題主要考查了立體幾何中垂直關系的判定和充分必要條件的概念.9. (2009山東卷文)已知，表示兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】:由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面內(nèi)的一條直線,則,反過來則不一定.所以“”是“”的必要

6、不充分條件 .答案:B.【命題立意】:本題主要考查了立體幾何中垂直關系的判定和充分必要條件的概念.10.（2009全國卷文） 已知正四棱柱中，=，為重點，則異面直線與所形成角的余弦值為（A） (B) (C) (D) 答案：C解析：本題考查異面直線夾角求法，方法一：利用平移，CDBA,因此求EBA中ABE即可，易知EB=,AE=1,AB=,故由余弦定理求cosABE=，或由向量法可求。11.（2009全國卷文）設OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45角的平面截球O的表面得到圓C。若圓C的面積等于，則球O的表面積等于 答案：8解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結(jié)合平面幾何知識進行運

7、算，由12.（2009全國卷理）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（ D ）（A） （B） （C） (D) 解：設的中點為D，連結(jié)D，AD，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選D 13.（2009全國卷理）已知二面角-l-為 ，動點P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（ C ）(A) (B)2 (C) (D)4 解:如圖分別作 ，連，又當且僅當，即重合時取最小值。故答案選C。 14.（2009江西卷文）如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯誤的為. . 截面 . . 異

8、面直線與所成的角為答案：C【解析】由，可得，故正確；由可得截面，故正確； 異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯誤的，故選.15.（2009江西卷理）如圖，正四面體的頂點，分別在兩兩垂直的三條射線，上，則在下列命題中，錯誤的為 A是正三棱錐B直線平面C直線與所成的角是D二面角為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：B【解析】將原圖補為正方體不難得出B為錯誤，故選B16.（2009四川卷文）如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是 A. B. C. 直線 D. 直線所成的角為45【答案】D【解析】AD與PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB平面

9、PAE，所以也不成立；BCAD平面PAD, 直線也不成立。在中，PAAD2AB，PDA45. D正確17.（2009四川卷文）如圖，在半徑為3的球面上有三點，=90，, 球心O到平面的距離是，則兩點的球面距離是 A. B. C. D.2【答案】B【解析】AC是小圓的直徑。所以過球心O作小圓的垂線，垂足O是AC的中點。 OC，AC3，BC3，即BCOBOC。 ，則兩點的球面距離18.（2009全國卷理）已知正四棱柱中，為中點，則異面直線與所成的角的余弦值為A. B. C. D. 解：令則,連 異面直線與所成的角即與所成的角。在中由余弦定理易得。故選C19.（2009遼寧卷理）正六棱錐PABCDE

10、F中，G為PB的中點，則三棱錐DGAC與三棱錐PGAC體積之比為（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2【解析】由于G是PB的中點,故PGAC的體積等于BGAC的體積 在底面正六邊形ABCDER中ABCDEFH BHABtan30AB 而BDAB 故DH2BH 于是VDGAC2VBGAC2VPGAC【答案】C20.（2009寧夏海南卷理） 如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是 （A）（B）（C）三棱錐的體積為定值（D）異面直線所成的角為定值解析：A正確，易證B顯然正確，；C正確，可用等積法求得；D錯誤。選D.21.（2009寧夏海南卷理

11、）一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：c）為（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24解析：選A.22.（2009湖北卷文）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=900,ACC1=600,BCC1=450,側(cè)棱CC1的長為1，則該三棱柱的高等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】過頂點A作底面ABC的垂線，由已知條件和立體幾何線面關系易求得高的長.23.（2009湖南卷文）平面六面體中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為【 C 】A3 B4 C5 D6 解:如圖，用列舉法知合要求的棱為：、，故選C.24.（2009遼寧卷文）如果把地球看成一個球體，

12、則地球上的北緯緯線長和赤道長的比值為（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25【解析】設地球半徑為R,則北緯緯線圓的半徑為Rcos60R 而圓周長之比等于半徑之比,故北緯緯線長和赤道長的比值為0.5.【答案】C25.（2009全國卷文）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為(A) (B) (C) (D) 【解析】本小題考查棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角，基礎題。（同理7）解：設的中點為D，連結(jié)D，AD，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選D 26.（2009四川卷文）如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正

13、確的是 A. B. C. 直線 D. 直線所成的角為45【答案】D【解析】AD與PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB平面PAE，所以也不成立；BCAD平面PAD, 直線也不成立。在中，PAAD2AB，PDA45. D正確27.（2009四川卷文）如圖，在半徑為3的球面上有三點，=90，, 球心O到平面的距離是，則兩點的球面距離是 A. B. C. D.2【答案】B【解析】AC是小圓的直徑。所以過球心O作小圓的垂線，垂足O是AC的中點。 OC，AC3，BC3，即BCOBOC。，則兩點的球面距離28.（2009陜西卷文）若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體

14、的體積為 (A) (B) (C) (D) 答案:B. 解析:由題意知 以正方體各個面的中心為頂點的凸多面體為正八面體（即兩個同底同高同棱長的正四棱錐），所有棱長均為1，其中每個正四棱錐的高均為，故正八面體的體積為, 故選B.29.（2009寧夏海南卷文） 如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是 （A） （B） （C）三棱錐的體積為定值 （D）【答案】D【解析】可證故A正確，由平面ABCD，可知，B也正確；連結(jié)BD交AC于O，則AO為三棱錐的高，三棱錐的體積為為定值，C正確；D錯誤。選D.30.（2009寧夏海南卷文）一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單

15、位：）為 （A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】棱錐的直觀圖如右，則有PO4，OD3，由勾股定理，得PD5，AB6，全面積為：66265644812，故選.A。31.(2009湖南卷理)正方體ABCD的棱上到異面直線AB，C的距離相等的點的個數(shù)為（C）A2 B3 C. 4 D. 5 【答案】：C【解析】解析如圖示，則BC中點，點，點，點分別到兩異面直線的距離相等。即滿足條件的點有四個，故選C項。32.（2009四川卷理）如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是. .平面 C. 直線平面.【考點定位】本小題考查空間里的線線、線面關系，基礎題。（同文6）解：由三垂線定理，因A

16、D與AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB與BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜線，故排除C，故選擇D。解析2：設低面正六邊形邊長為，則，由平面可知，且，所以在中有直線與平面所成的角為，故應選D。33.（2009四川卷理）如圖，在半徑為3的球面上有三點，球心到平面的距離是，則兩點的球面距離是A. B. C. D. 【考點定位】本小題考查球的截面圓性質(zhì)、球面距，基礎題。（同文9）解析：由知截面圓的半徑，故，所以兩點的球面距離為，故選擇B。解析2：過球心作平面的垂線交平面與，則在直線上，由于，所以，由為等腰直角三角形可得，所

17、以為等邊三角形，則兩點的球面距離是。34.（2009重慶卷理）已知二面角的大小為，為空間中任意一點，則過點且與平面和平面所成的角都是的直線的條數(shù)為（ ） A2B3C4D5 【答案】B【解析】是度數(shù)為的二面角的一個平面角，的平分線，當過P的直線與平行時，滿足條件，當過點p的直線與AD平行，也是滿足條件直線，與AD直線類似，過點的直線與 BE平行也是滿足條件得共有3條。35.（2009重慶卷文）在正四棱柱中，頂點到對角線和到平面的距離分別為和，則下列命題中正確的是（ ）A若側(cè)棱的長小于底面的變長，則的取值范圍為B若側(cè)棱的長小于底面的變長，則的取值范圍為C若側(cè)棱的長大于底面的變長，則的取值范圍為D若

18、側(cè)棱的長大于底面的變長，則的取值范圍為【答案】C解析設底面邊長為1，側(cè)棱長為，過作。在中，由三角形面積關系得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 設在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故為點到平面 的距離，在中，又由三角形面積關系得于是，于是當，所以，所以二、填空題1.（2009浙江卷理）若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是 答案：18【解析】該幾何體是由二個長方體組成，下面體積為，上面的長方體體積為，因此其幾何體的體積為182.（2009浙江卷理）如圖，在長方形中，為的中點，為線段（端點除外）上一動點現(xiàn)將沿折起，使平面平面在平面內(nèi)過點作，為垂足設，則的取值范圍

19、是 答案： 【解析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，隨著F點到C點時，因平面，即有，對于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.（2009浙江卷文）若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是 【命題意圖】此題主要是考查了幾何體的三視圖，通過三視圖的考查充分體現(xiàn)了幾何體直觀的考查要求，與表面積和體積結(jié)合的考查方法【解析】該幾何體是由二個長方體組成，下面體積為，上面的長方體體積為，因此其幾何體的體積為184.（2009江蘇卷）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個

20、正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為 . 【解析】 考查類比的方法。體積比為1：8 5.（2009江蘇卷）設和為不重合的兩個平面，給出下列命題： （1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）. 【解析】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關定理。真命題的序號是(1)(2)6.（2009全國卷理）直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 。 解:

21、在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為. 7.（2009安徽卷理）對于四面體ABCD，下列命題正確的是_（寫出所有正確命題的編號）。 相對棱AB與CD所在的直線異面；由頂點A作四面體的高，其垂足是BCD的三條高線的交點；若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在直線異面；分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點;最長棱必有某個端點，由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱。解析8.（2009安徽卷文）在空間直角坐標系中，已知點A（1，0，2），B(1，-3，1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐

22、標是_?！窘馕觥吭O由可得故【答案】(0,-1，0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9.（2009安徽卷文）對于四面體ABCD，下列命題正確的是_（寫出所有正確命題的編號）。11相對棱AB與CD所在的直線是異面直線；22由頂點A作四面體的高，其垂足是BCD的三條高線的交點；33若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合；44任何三個面的面積之和都大于第四個面的面積；55分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】由空間四面體棱,面關系可判斷正確,可舉例說明錯誤.【答案】10.（2009江西卷理）正三棱柱內(nèi)接于半徑

23、為的球，若兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為 答案：【解析】由條件可得，所以，到平面的距離為，所以所求體積等于11.（2009四川卷文）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè)棱的中點，則異面直線所成的角的大小是 。 【答案】90【解析】作BC的中點N，連接AN，則AN平面BCC1B1， 連接B1N，則B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，B1NBM，AB1BM.即異面直線所成的角的大小是9012.（2009全國卷理）設是球的半徑，是的中點，過且與成45角的平面截球的表面得到圓。若圓的面積等于，則球的表面積等于 .解：設球半徑為，圓的半徑為， 因為。由得.故球的表面積等于.13.（2009

24、遼寧卷理）設某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）。 則該幾何體的體積為 【解析】這是一個三棱錐,高為2,底面三角形一邊為4,這邊上的高為3, 體積等于2434【答案】414.（2009全國卷文）已知為球的半徑，過的中點且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為，則球的表面積等于_.【解析】本小題考查球的截面圓性質(zhì)、球的表面積，基礎題。解：設球半徑為，圓M的半徑為，則，即由題得，所以。15.（2009四川卷文）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè)棱的中點，則異面直線所成的角的大小是 。 【答案】90【解析】作BC的中點N，連接AN，則AN平面BCC1B1，連接B1N，則B1N是AB1在平

25、面BCC1B1的射影，B1NBM，AB1BM.即異面直線所成的角的大小是9016.（2009陜西卷文）如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，A、B是圓上兩點，若=，則A,B兩點間的球面距離為 .答案: ABO1O 解析:由,=2由勾股定理在中則有, 又= 則 所以在，則，那么 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由弧長公式得.17.(2009湖南卷理)在半徑為13的球面上有A , B, C 三點，AB=6，BC=8，CA=10，則 （1）球心到平面ABC的距離為 12 ；（2）過，B兩點的大圓面為平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為 3 【答案】：（1）12；（2）3【解析】（1）由的三邊大

26、小易知此三角形是直角三角形，所以過三點小圓的直徑即為10，也即半徑是5，設球心到小圓的距離是，則由，可得。（2）設過三點的截面圓的圓心是中點是點，球心是點，則連三角形，易知就是所求的二面角的一個平面角，所以，即正切值是3。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18.（2009天津卷理）如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則_【考點定位】本小題考查三視圖、三棱柱的體積，基礎題。解析：知此幾何體是三棱柱，其高為3，底面是底邊長為2，底邊上的高為的等腰三角形，所以有。19.（2009四川卷理）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè) 棱的中點，則異面直線所成的角的大小是 。 【考點定位】本小題

27、考查異面直線的夾角，基礎題。解析：不妨設棱長為2，選擇基向量，則，故填寫。法2：取BC中點N，連結(jié)，則面，是在面上的射影，由幾何知識知，由三垂線定理得，故填寫。20.（2009福建卷文）如右圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為。則該集合體的俯視圖可以是解析 解法1 由題意可知當俯視圖是A時，即每個視圖是變邊長為1的正方形，那么此幾何體是立方體，顯然體積是1，注意到題目體積是，知其是立方體的一半，可知選C. 解法2 當俯視圖是A時，正方體的體積是1；當俯視圖是B時，該幾何體是圓柱，底面積是，高為1，則體積是；當俯視是C時，該幾何是直三棱柱，故體積是，當俯視圖是D時，該幾何是

28、圓柱切割而成，其體積是.故選C.20.（2009年上海卷理）如圖，若正四棱柱的底面連長為2，高 為4，則異面直線與AD所成角的大小是_（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.【答案】 【解析】因為ADA1D1，異面直線BD1與AD所成角就是BD1與A1D1所在角，即A1D1B，由勾股定理，得A1B2，tanA1D1B，所以，A1D1B。21.（2009年上海卷理）已知三個球的半徑，滿足，則它們的表面積，滿足的等量關系是_. 【答案】【解析】，同理：，即R1，R2，R3，由得二、填空題1.(2009年廣東卷文)（本小題滿分13分）某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示,墩的上半部分是正四棱錐PEFGH,

29、下半部分是長方體ABCDEFGH.圖5、圖6分別是該標識墩的正(主)視圖和俯視圖.（1）請畫出該安全標識墩的側(cè)(左)視圖;（2）求該安全標識墩的體積（3）證明:直線BD平面PEG【解析】(1)側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.（）該安全標識墩的體積為：（）如圖,連結(jié)EG,HF及 BD，EG與HF相交于O,連結(jié)PO. 由正四棱錐的性質(zhì)可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2.（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）zyxE1G1如圖6，已知正方體的棱長為2，點是正方形的中心，點、分別是棱的中點設點分別是點，在平面內(nèi)的正投影（1）求以為頂點，以四

30、邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（2）證明：直線平面；（3）求異面直線所成角的正弦值.解：（1）依題作點、在平面內(nèi)的正投影、，則、分別為、的中點，連結(jié)、，則所求為四棱錐的體積，其底面面積為 ，又面，.（2）以為坐標原點，、所在直線分別作軸，軸，軸，得、，又，則，即，又，平面.（3），則，設異面直線所成角為，則.3.（2009浙江卷理）（本題滿分15分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點， （I）設是的中點，證明：平面； （II）證明：在內(nèi)存在一點，使平面，并求點到，的距離證明：（I）如圖，連結(jié)OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，

31、建立空間直角坐標系O，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面（II）設點M的坐標為，則，因為平面BOE，所以有，因此有，即點M的坐標為，在平面直角坐標系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點，使平面，由點M的坐標得點到，的距離為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.（2009浙江卷文）（本題滿分14分）如圖，平面，分別為的中點（I）證明：平面；（II）求與平面所成角的正弦值（）證明：連接， 在中，分別是的中點，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面

32、ACD（）在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以 所以平面ABE， 所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP， 所以直線AD與平面ABE所成角是 在中， ，所以5.（2009北京卷文）（本小題共14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.（）求證：平面； （）當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力（）四邊形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，

33、AC平面PDB，平面.（）設ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， O，E分別為DB、PB的中點， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.【解法2】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系， 設則，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）當且E為PB的中點時， 設ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.6.（2009北京卷理）（本小題共14分） 如圖，在三棱錐中，底面，點，分別在棱上，且

34、（）求證：平面；（）當為的中點時，求與平面所成的角的大?。唬ǎ┦欠翊嬖邳c使得二面角為直二面角？并說明理由.【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D為PB的中點，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點E.DAE是AD與平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP為等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，與平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC

35、，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一點E，使得AEPC，這時，故存在點E使得二面角是直二面角.【解法2】如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系， 設，由已知可得 . （），BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D為PB的中點，DE/BC，E為PC的中點，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點E.DAE是AD與平面PAC所成的角，.與平面所成的角的大小.（）同解法1.7.(2009山東卷理)（本小題滿分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面AB

36、CD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 連接A1D，C1F1，CF1，因為AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1/A1D，又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因為平面FCC，平面FCC，所以直線EE/平面FCC.（2）因

37、為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形,取CF的中點O,則OBCF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OPC1F,垂足為P,連接BP,則OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在BCF為正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值為.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 解法二:（1）因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形,

38、因為ABCD為等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中點M,連接DM,則DMAB,所以DMCD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標系,則D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,設平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE/平面FCC. （2）,設平面BFC1的法向量為,則所以,取,則, 所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為. 【命題立意】:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關系的判定和二面角的計算.考查空間想象能力和推理運算能力,以及

39、應用向量知識解答問題的能力.8.（2009全國卷文）（本小題滿分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1（）證明：AB=AC （）設二面角A-BD-C為60,求B1C與平面BCD所成的角的大小解析：本題考查線面垂直證明線面夾角的求法，第一問可取BC中點F，通過證明AF平面BCC1,再證AF為BC的垂直平分線，第二問先作出線面夾角，即證四邊形AFED是正方形可證平面DEF平面BDC，從而找到線面夾角求解。此題兩問也可建立空間直角坐標系利用向量法求解。解法一：（）取BC中點F，連接EF，則EF

40、，從而EFDA。ACBA1B1C1DE連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF/DE。又DE平面，故AF平面，從而AFBC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。（）作AGBD，垂足為G，連接CG。由三垂線定理知CGBD，故AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設知，AGC=600. 設AC=2，則AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四邊形ADEF為正方形。因為BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。連接AE、DF，設AEDF=H，則EHDF，EH平面BCD。連接CH，則ECH為與平面BCD

41、所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即與平面BCD所成的角為300.解法二：（）以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系Axyz。設B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）設平面BCD的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60知，=60

42、，故 ，求得 于是 ， ， 所以與平面所成的角為309.（2009江蘇卷）（本小題滿分14分） 如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點，點在上，。 求證：（1）EF平面ABC； （2）平面平面.【解析】 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關系，考查空間想象能力、推理論證能力。滿分14分。10.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面， ，點M在側(cè)棱上，=60（I）證明：M在側(cè)棱的中點（II）求二面角的大小。（I）解法一：作交于N，作交于E，連ME、NB，則面，,設，則,在中，。在中由解得，從而 M為側(cè)棱的中點M. 解法二:過作的

43、平行線.解法三:利用向量處理. 詳細可見09年高考參考答案. （II）分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。過作交于,作交于,作交于,則,面,面面,面即為所求二面角的補角.分析二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點作交于點，則點為AM的中點，取SA的中點G，連GF，易證，則即為所求二面角.分析三：利用空間向量求。在兩個半平面內(nèi)分別與交線AM垂直的兩個向量的夾角即可。另外：利用射影面積或利用等體積法求點到面的距離等等，這些方法也能奏效。總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山

44、的狀況。命題人在這里一定會照顧雙方的利益。11.（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大??；（II）求四棱錐EABCD與四棱錐FABCD公共部分的體積.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、相交平面所成二面角以及空間幾何體的體積計算等知識，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。本小題滿分13分。解：（I）（綜合法）連接AC、BD交于菱形的中心O，過O作OGAF，G為垂足。連接BG、DG。由B

45、DAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD為二面角BAFD 的平面角。由， ，得， 由，得（向量法）以A為坐標原點，、方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）設平面ABF的法向量，則由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。 由知，平面ABF與平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）連EB、EC、ED，設直線AF與直線CE相交于點H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD。過H作HP平面ABCD，P為垂足。因為EA平面ABCD，F(xiàn)C平面ABCD，所以平面ACFE平面ABC

46、D，從而由得。又因為 故四棱錐H-ABCD的體積13.（2009安徽卷文）（本小題滿分13分）如圖，ABCD的邊長為2的正方形，直線l與平面ABCD平行，g和F式l上的兩個不同點，且EA=ED，F(xiàn)B=FC， 和是平面ABCD內(nèi)的兩點，和都與平面ABCD垂直，（）證明：直線垂直且平分線段AD：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若EAD=EAB=60，EF=2，求多面體ABCDEF的體積。【思路】根據(jù)空間線面關系可證線線垂直，由分割法可求得多面體體積，體現(xiàn)的是一種部分與整體的基本思想?！窘馕觥?1)由于EA=ED且點E在線段AD的垂直平分線上,同理點F在線段BC的垂直平分線上.又ABCD是四方形線段BC的垂直平分線也就是線段AD的垂直平分線即點EF都居線段AD的垂直平分線上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以,直線