1、目 錄一、璀璨數學文化 1.僧分饅頭 2.曹沖稱象 3.韓信點兵 4.李白喝酒 二、數學與生活 1.商品銷售 2.1毫米的力量 3.體積相等 4.液體的濃度三、數學名題賞析 1.巧斷金鏈 2.抽屜原理 3.古算名題中的盈虧問題 4.神奇的一筆畫四、數學智力游戲 1.猜你所想 2.巧用天平 3.有趣的火柴棒游戲 4.走近數獨五、奇妙數學故事 1.烏鴉喝水的秘密 2.沖調奶粉有講究 3.巧分蘋果 4.0.618 僧分饅頭一、內容：假設法。二、目標：1通過古典算題的解析，理解并掌握假設思維的本質及一般步驟。2通過練習，進一步深化解題技巧，拓展學生思維。3激發學生對古典算題的興趣，促使學生積極主動探求

2、新知。三、課程解讀：假設法是一種重要的解決問題的策略，也是一種主要的數學思想方法。假設法先通過假設把兩種量轉化成一種量來思考，接著發現與已知信息之間的矛盾，繼而追尋矛盾產生的原因，從而解決實際問題。這樣一種思考問題的方法對我們今后的數學學習也有著很重要的遷移作用。四、流程：1.故事引入。王阿姨是學校食堂采購員，每天都要為幼兒園的小朋友準備好小點心，這是特殊的一天，王阿姨為中班組和大班組200人一共準備了220個饅頭，而他們的老師結合不同的教育主題為小朋友領取了不同數量的饅頭，中班組的小朋友每人吃兩個，而大班組的小朋友兩個人分一個，聰明的你，知道中班組和大班組分別有多少個小朋友嗎？2我來分饅頭。

3、我國明代珠算家程大位的名著算法統宗里有這樣一道著名算題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”如果譯成白話文，它的意思就是：有100個和尚分100只饅頭，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，試問大、小和尚各有幾人？解答：假設100人全是大和尚。應吃饅頭多少個？ 3×100=300(個)；這樣多吃了幾個呢？ 300100=200(個)；為什么多吃了200個呢？這是因為把小和尚當成大和尚。那么把小和尚當成大和尚時，每個小和尚多算了幾個饅頭？ 3=（個）每個小和尚多算了個饅頭，一共多算了200個，所以小和尚有：200÷75（人）大和尚有

4、：1007525（人）。答：小和尚有75人，大和尚有25人。3.分饅頭的學問。這類分配假設問題與雞兔同籠問題的差別不大，實質也需要去找分配對象的特點，利用假設思維先找到分配物假設總數與實際總數的差，再思考為什么會產生這個差？也就要求出接受分配的兩種事物每份所得的差，最后求出這兩種事物的數量分別是多少，從而解決問題。4.試試本領。（1）幼兒園大班和小班共有30個小朋友，現將230個蘋果分給他們，已知大班每個小朋友分10個，小班每個小朋友分5個，問：大班和小班各多少人？（2）學校買來大小課桌共100張，共用7400元，大課桌每張110元，小課桌每張70元，問：誰買得多？多幾張？（3）解放軍進行野營

5、訓練，晴天每天走35千米，雨天每天走25千米，11天共行走345千米，問：晴天比雨天一共多走了多少千米？曹沖稱象一、內容： 替換法。二、目標： 1在經歷解決實際問題的數學過程后，能用替換法解決問題。 2通過練習，進一步深化解題技巧，拓展學生思維。 3、進一步發展運用意識，提高解決問題的能力。三、課程解讀：替換法是一種重要的解決問題的策略，也是一種主要的數學思想方法。替換有兩種，一種是倍數關系，一種是和差關系。倍數關系，份數變化，總量不變。 和差關系，份數不變，總量變化。注意：解題時，先要找準是什么關系，什么變了，什么沒變。四、流程：1.故事引入。有一次，吳國孫權送給曹操一只大象，曹操十分高興。

6、大象運到許昌那天，曹操帶領文武百官和小兒子曹沖，一同去看。曹操的人都沒有見過大象。這大象又高又大，光說腿就有大殿的柱子那么粗，人走近去比一比，還夠不到它的肚子。曹操對大家說：“這只大象真是大，可是到底有多重呢？你們哪個有辦法稱它一稱？” 嘿！這么大個家伙，可怎么稱呢！大臣們都紛紛議論開了。一個說：“只有造一桿頂大的秤來稱。”而另一個說：“這可要造多大一桿秤呀！再說，大象是活的，也沒辦法稱呀！我看只有把它宰了，切成塊兒稱。”他的話剛說完，所有的人都哈哈大笑起來。有人說：“你這個辦法可不行啊，為了稱重量，就把大象活活地宰了，不可惜嗎？”大臣們想了許多辦法，一個個都行不通。可真叫人為難呀。這時，從人

7、群里走出一個小孩，對曹操說：“父親，我有個法兒，可以稱大象。”曹操一看，正是他最心愛的兒子曹沖，就笑著說：“你小小年紀，有什么法子？你倒說說，看有沒有道理。”曹沖趴在曹操耳邊，輕聲地講了起來。曹操一聽連連叫好，吩咐左右立刻準備稱象，然后對大臣們說：“走！咱們到河邊看稱象去！”眾大臣跟隨曹操來到河邊。河里停著一只大船，曹沖叫人把象牽到船上，等船身穩定了，在船舷上齊水面的地方，刻了一條道道。再叫人把象牽到岸上來，把大大小小的石頭，一塊一塊地往船上裝，船身就一點兒一點兒往下沉。等船身沉到剛才刻的那條道道和水面一樣齊了，曹沖就叫人停止裝石頭。大臣們睜大了眼睛，起先還摸不清是怎么回事，看到這里不由得連聲

8、稱贊：“好辦法！好辦法！”現 在誰都明白，只要把船里的石頭都稱一下，把重量加起來，就知道象有多重了。 2我會替換法。糧店有大米20袋，面粉50袋，共重2250千克，已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，那么一袋大米重多少千克？方法一：把大米替換成面粉。 20×240（袋）405090(袋)每袋面粉：2250÷9025（千克）每袋大米：25×250（千克）方法二: 把面粉替換成大米。50÷225（袋）202445(袋)2250÷4550（千克） 3.替換法的學問。例題就是利用“1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等”這個數量關系進行的替換活動，把較

9、復雜的問題轉化成簡單的問題。解決問題時，要清楚地知道可以從哪個數量關系引發替換的思考。這是十分重要的環節，解這題的關鍵就是把兩種事物通過替換變成一種，也就是說這兩種方法都是把兩個量轉化成同一種量來考慮。 4.試試本領。 （1）學校買來10個皮球和5個籃球，共500元。每個籃球的價格是皮球的3倍。每個皮球和每個籃球各多少元？每個的皮球價格比籃球便宜60元。每個皮球和每個籃球各多少元？（2）8塊達能餅干的鈣含量相當于1杯牛奶的鈣含量。小明早餐吃了12塊餅干，喝了1杯牛奶，鈣含量共計500毫克。你知道每塊餅干的鈣含量大約是多少毫克嗎？1杯牛奶呢？韓信點兵一、內容： 列舉法。二、目標： 1在經歷解決實

10、際問題的數學過程后，能用列舉法解決問題。 2體會有序思考在日常生活中的運用。 3進一步發展運用意識，提高解決問題的能力。三、課程解讀：列舉法是一種重要的解決問題的策略，也是一種主要的數學思想方法。列舉法是一種借助對一具體事物的特定對象（如特點、優缺點等）從邏輯上進行分析并將其本質內容全面地一一地羅列出來的手段，再針對列出的項目一一提出改進的方法。列舉法基本上有三種：屬性列舉法、希望點列舉法、優點列舉法和缺點列舉法。這樣一種思考問題的方法對我們今后的數學學習也有著很重要的遷移作用。四、流程： 1.故事引入。王大叔家的羊圈被可惡的狼狗給弄壞了，于是王大叔決定重新圍一個羊圈，他準備用18根都是1米長

11、的柵欄圍一個長方形的羊圈。聰明的你，知道羊圈的長和寬分別是多少嗎？ 2我來點兵。我國漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數，第一次按13報數，第二次按15報數，第三次按17報數，每次報數后都要求最后一個人報告他報的數是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。這種問題在孫子算經中也有記載：“今有物不知其數：三三數之余二，五五數之余三，七七數之余二，問物幾何?” 它的意思就是，有一些物品，如果3個3個的數，最后剩2個；如果5個5個的數，最后剩3個；如果7個7個的數，最后剩2個；求這些物品一共有多少？ 解答：孫子算經中這個問題的算法是： 70×221×315

12、15;2233 23310510523 所以這些物品最少有23個。 根據上面的算法，韓信點兵時，必須先知道部隊的大約人數，否則他也是無法準確算出人數的。你知道這是怎么回事嗎？ 這是因為，被5、7整除，而被3除余1的最小正整數是70；被3、7整除，而被5除余1的最小正整數是21；被3、5整除，而被7除余1的最小正整數是15；所以，這三個數的和15×221×370×2，必然具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質。以上解法的道理在于：被3、5整除，而被7除余1的最小正整數是15；被3、7整除，而被5除余1的最小正整數是21；被5、7整除，而被3除余1的最小正整數是

13、70。因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整數是 15×230；被3、7整除，而被5除余3的最小正整數是 21×363；被5、7整除，而被3除余2的最小正整數是 70×2140。于是和數15×221×370×2，必具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性質。但所得結果233（3063140233）不一定是滿足上述性質的最小正整數，故從它中減去3、5、7的最小公倍數105的若干倍，直至差小于105為止，即 23310510523。所以23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整數。3.點兵的學問。這類列舉應用題在解題時，為

14、了解題的方便，把問題分為不重復、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。用列舉法解應用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。4.試試本領。（1）用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都要是5的倍數。哪一種方法圍成的長方形面積最大？ （2）小明有10個1分硬幣，5個2分硬幣，2個5分硬幣。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？（3）在甲、乙兩個倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運出12袋，乙倉每次運出4袋。運出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數相等？李白喝酒一、

15、內容： 倒推法。二、目標：1通過古典算題的解析，理解并掌握倒推思維的本質及一般步驟。2通過練習，進一步深化解題技巧，拓展學生思維。3、激發學生對古典算題的興趣，促使學生積極主動探求新知。三、課程解讀：倒推法是一種重要的解決問題的策略，也是一種主要的數學思想方法。這種方法是從所敘述實際問題結果出發，利用已知條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題。這樣一種思考問題的方法對我們今后的數學學習也有著很重要的遷移作用。用倒推法解題時要注意：從結果出發，逐步向前一步一步推理。在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算。列式時注意運算順序，正確使用括號。 4、 流程：1.故事引入唐代大詩人李白經常

16、飲酒作詩.下面 這首李白買酒詩卻是一首極有趣的數學題: 李白街上走，提壺去買酒。 遇店加一倍，見花飲一斗。 三遇店和花，喝光壺中酒。 請君猜一猜，壺中原有酒。解答：第三次遇花時壺中有酒1斗，第三次遇店時有酒1÷2斗，第二次遇花時有酒1÷2+1斗，第二次遇店時有酒（1÷2+1）÷2斗，第一次遇花時有酒（1÷2+1）÷2+1斗，第一次遇店時有酒（1÷2+1）÷2+1÷2斗。即： （1÷2+1）÷2+1÷2=（斗）答：壺中原有酒斗。2.李白喝酒的學問。這類問題要點在于逆推還原，這種

17、思路也可以用示意圖或線段表示出來。3.示范引領一本文藝書，小明第一天看了全書的，第二天看了余下的 ，還剩下48頁，這本書共有多少頁？ 【思路導航】從“剩下48頁”入手倒著往前推，它占余下的1。第一天看后還剩下48÷120頁，這120頁占全書的1 ，這本書共有120÷180頁。即    48÷（1）÷（1）180（頁）  答：這本書共有180頁。 4.試試本領。（1）修一條路,第一天修了全場的五分之二又16米,第二天修了余下的四分之三,還剩41米,這條路全長多少米？（

18、2）李老師拿著一批書送給36位同學,每到一位同學家里,李老師就將所有的書的一半給他,每位同學也都還她一本,最后李老師還剩下2本書,那么李教師原來拿了多少本書？（3）菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運進200千克.第三天賣出現有白菜的一半又30千克，結果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？商品銷售一、內容：百分數應用題二、目標：1理解“成本”、“定價”、“賣價”、“利潤百分數”這幾個量的含義。2靈活解決關于利潤問題的百分數應用題。3感受數學與生活的緊密聯系，提高學習數學的興趣。三、課程解讀：利潤問題是一種常見的百分數應用題，它與我們的生活實際有著

19、緊密的聯系。商人做生意總是期望獲得較好的利潤，比如，商品的買入價（也叫成本價或是進貨價）是1000元，以1300元賣出，就獲得利潤300元。一般，利潤也可以用百分數來表示，即：利潤÷成本×100%，那么這個商品的利潤百分數就是300÷1000×100%=30%，利潤百分數為30%，通常就可以說成獲得30%的利潤。“薄利多銷”是商人常用的促銷手段，他們經常減價出售商品，通常我們把它稱為“打折出售”。一般，賣價=定價×折扣的百分數。解決好此類問題，于我們的生活有著很大的幫助。四、流程：1故事引入。為慶祝“三八”婦女節，商場舉行大型促銷活動。小紅和媽

20、媽來到商場，一看宣傳牌上寫著“購物滿100元送100元的券”，這下媽媽可高興了，這不就等于商品打了對折嗎？媽媽購物的興致一下子就激發起來了，她選了好多的商品，滿載而歸。到家后小紅幫媽媽仔細地算了算，咦？怎么不是打對折呢？沒有這么便宜啊！同學們，你知道這是為什么嗎？2我當銷售員。某服裝店出售甲、乙兩種服裝。甲種服裝每件售價為240元，售出一件可盈利20%；乙種服裝每件售價為270元，售出一件要虧損10%。這兩種服裝各售出一件，是盈利了還是虧損了？盈利或虧損多少元？解答：甲成本：240÷（120%）=200（元）甲盈利：200×20%=40（元）乙成本：270÷（11

21、0%）=300（元）乙虧損：300×10%=30（元）4030=10（元）答：這兩種服裝各售出一件，可盈利10元。3銷售學問。解決此類問題，要理解幾道公式：利潤百分數=（賣出價成本）÷成本×100%；賣出價=成本×（1利潤百分數）；成本=賣價÷（1利潤百分數）4試試本領。（1）一盤西紅柿炒蛋，成本核算如下：用料價格雞蛋150克/盤10元/千克西紅柿200克/盤8.5元/千克調料1.8元如果利潤是成本的60%，這盤菜售價多少元？（2）某種商品按定價賣出可得利潤360元，如果按定價的80%出售，那么虧損212元。該商品的成本是多少元？（3）一件商品

22、按20%的利潤定價，然后按八八折賣出，張老師買這件商品付了1584元。這件商品的成本是多少元？（4）某出版社批發銷售一批書，滿100本就按定價的六五折優惠。一家書店買了250本，并以定價的九折全部售完，共收書款1575元。這本書的定價是多少元？這家書店獲利多少元？（5）某服裝公司進了一批服裝，按40%的利潤定價，當售出這批服裝的90%以后，決定換季減價出售，剩下的全部按5折出售，全部出售以后可獲利百分之幾？1毫米的力量一、內容：圓柱與圓錐二、目標：1深入理解“底面積與橫截面積”、“高與長”、“側面積”、“表面積”、“體積”、“容積”這幾個量的含義及其計算方法。2進一步提高學生的空間觀念，使學生

23、能靈活解決關于圓柱與圓錐在實際生活中的運用問題。3感受數學與生活的緊密聯系，提高學生學習數學的興趣。三、課程解讀圓柱與圓錐的知識在實際生活中運用的極為廣泛。例如計算：做一個可樂瓶需要多少鐵皮？粉刷一個柱子需要多少油漆？沙堆的體積、自來水管的流量等等，都與圓柱的表面積、體積和圓錐的體積計算相關。尤其是課本中的一道習題：改變牙膏口直徑，計算一年要多用多少牙膏？就是營銷案例中的一個典范，被廣為宣傳。因此，解決好這類數學問題，對于我們的生活與工作有很大的幫助。四、流程1故事引入。有一家生產牙膏的公司，其產品優良，包裝精美，很受消費者喜愛，營業額連續十年遞增，每年的增長率都在10到20之間。可是到了第十

24、一年，企業業績停滯了下來，第十二年、第十三年也都是這祥。 公司經理急忙召開高層會議，商討對策。 在會上，公司總裁許諾：誰能想出解決的辦法，讓公司產品業績增長，重獎五十萬元。這時，有位年輕經理站了起來，遞給總裁一張紙條。總裁打開紙條，看完后馬上簽了一張五十萬元的支票給他。 那張紙條上只寫了一句話：將牙膏管開口擴大1毫米。 人們每天早晨習慣擠出同祥長度的牙膏，牙膏管開口擴大1毫米，每個人就多用了1毫米寬的牙膏，這樣，每天牙膏的捎費量將多出許多！于是公司立即開始更換包裝。接下來的一年，公司的營業額增加了32。其實這故事有損人利己之嫌。但對于公司而言，卻助它起死回生。你知道1毫米究竟有多厲害嗎？2我當

25、偵察兵案例一：牙膏廠將牙膏口直徑由原來的0.4厘米改為0.5厘米。如果每人每天使用牙膏的長度為2厘米左右，那每人每年比原來多使用多少立方厘米的牙膏？分析：先計算原來每人1年牙膏的使用量和改變后每人1年牙膏使用的量，再計算兩者的差即可。解答：原來一年的使用量：3.14×（0.4÷2）2×2×365=91.688（立方厘米）改變后一年的使用量：3.14×（0.5÷2）2×2×365=143.2625（立方厘米）相差：143.2625-91.688=51.5745（立方厘米）答：每人每年比原來多使用51.5745立方厘米

26、。案例二：某飲料包裝瓶是圓柱形，包裝紙上標注容量為250ml。琳琳想知道該商品有沒有存在虛假廣告，就用卷尺測量到瓶身的周長為15.7厘米，高12厘米。你能幫助琳琳查到真相嗎？分析：根據瓶身的周長可以求出飲料瓶的半徑，再求得底面積。運用“底面積×高=圓柱的體積”求出飲料瓶的體積。最后將包裝紙上標注容量與計算得到的體積進行比較，若大于體積為虛假廣告，小于體積可視作真廣告。解答：15.7÷3.14÷2=2.5（厘米）3.14×2.52×12=235.5（立方厘米）235.5<250答：這款飲料存在虛假廣告。3點睛：解決此類問題，要能靈活運用幾道

27、公式：圓柱的體積=底面積×高；底面周長÷圓周率=直徑；側面積÷高=底面周長；圓錐的體積=等底等高圓柱體積÷3等。4試試本領。（1）有一個滾筒刷，它的底面直徑是6厘米，長3分米，按每分鐘滾動100周計算，1小時刷過的墻面是多少平方米？（2）一張長為6.28米，寬為4米的長方形鐵皮，把它圍成一個圓桶。需要給它配一個底，這個底的面積大約是多大比較合適？這個鐵桶的容積是多少？（3）一個底面直徑為20厘米的圓柱形水桶里裝有水，水中放著一個底面直徑為18厘米，高為20厘米的鐵質圓錐，當圓錐取出后，桶內水面降低了多少？（4）冷飲廠有一只裝滿了冰激凌的圓桶。里面量得底面

28、周長為12.56分米、高為8分米。現將這些冰激凌注進底面直徑6厘米、高10厘米的圓錐形蛋筒盒里，一共可以注滿多少個冰激凌蛋筒？體積相等問題一、內容：圓柱體積的實際問題二、目標：1.利用體積公式，學會將物體等體積轉化，尋找解題方法。2.靈活解決關于體積相等問題的實際問題。3.感受數學與生活的緊密聯系，提高學習數學的興趣。三、課程解讀： 在解決體積類的實際問題中，“體積相等”常常是一個隱含的已知條件。呈現在學生面前的大致有三類：把一物體熔鑄成另一物體；在盛水的容器中浸沒物體；翻轉瓶子求瓶的容積或瓶內液體的體積。這類題目，體積相等常常是解答問題的突破口，因此，在解題時要充分利用這一條件，找出解題的途

29、徑。四、流程：1.故事引入猴王有一個長100厘米，寬95厘米，高30厘米的長方體鐵塊和一個棱長70厘米的正方體鐵塊，他準備請鐵匠師傅鍛鑄成橫截面周長為15.7厘米的圓柱形鐵棍，分發給100個小猴士兵。請問每個小猴士兵發到的圓柱形鐵棍的長是多少厘米？2厘米12厘米2.我是調酒師狐貍是個有名的調酒師，一天他在調酒的時候給圍觀的小動物們出了一道題：“我手上的酒瓶是圓柱形的（不包括瓶頸），瓶內酒的高度12厘米；我把瓶子倒過來時，酒瓶內空余部分高2厘米。酒有462毫升，你們知道這個酒瓶的容積嗎？” 解答：不管酒瓶正放還是倒放，酒瓶內的酒始終不變，都是462毫升。要求整個酒瓶的容積，關鍵是要求出把它倒放時

30、空余部分的容積，所以要先求出酒瓶的底面積。酒瓶的底面積：462÷12=38.5（平方厘米）空余部分容積：38.5×2=77（立方厘米）=77（毫升）整個酒瓶的容積：462+77=539（毫升）3.試試本領（1）把一個底面半徑10厘米，高9厘米的圓錐全部浸沒在半徑20厘米的圓柱形水槽中，水槽中的水面會升高多少厘米？（2）將一塊長12分米、寬8分米、高10分米的長方體鋼塊，鍛造成底面積12平方分米、高2分米的圓錐，一個可以鍛造多少個？（3）在一個圓柱形儲水桶里，把一段直徑10厘米的圓鋼全部放入水中，水面上升9厘米；把圓鋼豎著拉出水面8厘米長后，水面就下降4厘米。求圓鋼的體積。5

31、厘米20厘米（4）一個飲料瓶的容積是500毫升。當瓶子正放時，瓶內果汁高20厘米（如圖1）；當飲料瓶倒放時，瓶內空余部分高5厘米（如圖2）。求瓶內飲料的體積。 圖1 圖2液體的濃度問題一、內容百分數的實際問題二、目標1.理解濃度的含義。2.靈活解決關于液體濃度的實際問題。3.感受數學與生活的緊密聯系，提高學習數學的興趣。三、課程解讀 濃度問題是一種常見百分數應用題，它與我們的生活實際有著緊密的聯系。一瓶藥水中有多少藥，放多少水和多少藥才能配成某一濃度的藥水，這就是我們平時所說的濃度問題。在進行濃度問題的計算時都要用到百分數。解答此類題目，要注意一下三點：（1）首先要弄清什么是濃度，如糖水濃度是

32、指在糖水中，糖的重量占糖水總質量的百分之幾。所以，糖水濃度=糖的重量÷糖水的重量×100%，糖水重量×糖水濃度=糖的重量，糖水重量×（1-糖水濃度）=水的重量；（2）如果用方程解濃度問題，要注意尋找題目中數量間的相等關系；（3）濃度問題變化多，有些題目難度大，計算也比較復雜，要根據題目的條件和問題逐一分析，也可以分步解答。四、流程1.故事引入蕊蕊是個聰明能干的孩子，一天她打算悄悄的幫奶奶配藥水。她舀了100克的藥，放入900克的水中，濃度為10%的藥水配成了。正當她準備去給菜園噴灑時，奶奶走了進來，蕊蕊只好老老實實地交待了。奶奶一聽，說：“不行不行。10

33、%的藥水還嫌濃，要稀釋成8%才行。”“那怎么辦呀？”蕊蕊一聽急了。“沒關系，沒關系。奶奶安慰道，“我自有辦法！”同學們，你們知道怎樣才能將藥水的濃度變成8%嗎？2.我是小幫手爸爸泡了一杯濃度為20%的糖水200克，爸爸嫌甜，想把它稀釋成濃度為10%的糖水，該怎么辦？解答：濃度為20%，重量為200克的糖水中糖的重量為200×20%=40（克），只要在糖水中加入若干克的水，濃度就會變成10%了。這時糖水中的糖并沒有改變，仍然是40克。根據數量關系“現在糖的重量÷現在的濃度=現在糖水的重量”，可以求出現在糖水的重量，再減去原來糖水的重量就能得到加入水的重量了。列式：200

34、15;20%=40（克）40÷10%=400（克） 400-200=200（克）3.試試本領（1）配置一份濃度為15%的鹽水300克，需要鹽和水各多少克？（2）有18克鹽，至少加入多少克的水才能配成濃度不大于36%的鹽水？（3）濃度為10%的糖水100克，怎樣處理才能變成濃度為20%的糖水？（提示：可以加糖，也可以蒸發一部分水）。（4）12千克含糖10%的糖水，加入多少克含糖為15%的糖水，才能成為含糖12%的糖水？巧斷金鏈一、內容：二進制計數法二、目標：1.讓學生了解除了常用的“逢十進一，借一當十”的十進制計數法外還有“逢二進一，借一當二”的二進制計數法，并初步感知它們之間的聯系和

35、區別，體會計算機的專用語言二進制計數法的魅力。2. 通過巧斷金鏈的故事，體會二進制數具有運算簡單，邏輯嚴密，容易實現等特點，并會利用二進制計數法巧妙地解決相關實際問題。三、課程解讀：二進制是計算技術中廣泛采用的一種數制。二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數。它的基數為2，進位規則是“逢二進一”，借位規則是“借一當二”，由18世紀德國數理哲學大師萊布尼茲發現。當前的計算機系統使用的基本上是二進制系統，數據在計算機中主要是以補碼的形式存儲的。（計算機中的二進制則是一個非常微小的開關，用“開”來表示1，“關”來表示0）四、流程： 1.故事引入年輕的朱迪太太到外地旅游，她想在某旅館租用一個房間，租期

36、一周。旅館老板約翰此時正情緒不佳，下面是他們之間的對話。 約翰：“房費每天248 元，要付現錢。”朱迪：“很抱歉，先生，我沒帶現錢。但我有一根金鏈，共7 節，每節都在248 元以上。” 約翰：“好吧，把金鏈給我。” 朱迪：“現在不能給你，我得請金匠把金鏈斷開，每天給你一節，等到周末我有了現錢再把金鏈贖回。”約翰終于同意了。朱迪想，把金鏈斷開 6 次，變成 7 節當然可以支付，不過金匠是按切割和重新連接金鏈的次數來索價的，我能不能把一段段金鏈通過換進換出的方式來支付房費呢？這樣不就可以少斷幾次嗎？2.我斷金鏈可以把金鏈分成三段：第一段1節，第二段2節，第三段4節。可以用 7 個回形針連接成一串，

37、當成金鏈，動手做一做，試一試！第一天：付第一段；第二天：取回第一段，付第二段； 第三天：付第一、二兩段； 第四天：取回第一、二段，付第三段；在上述的數學趣題中，如果是用一根 15 節的金鏈支付 15 天的房費，那么如何來巧斷金鏈呢？3.斷鏈學問在 1、2、4、8 四個數中，每次取其中幾個數（每個數最多取一次），用它們的和就可以表示1 15 之間的所有整數（15=8×21）。如：3=1+2；10=2+8；13=1+4+8。而用1、2、4、8、16、32、64 就可以表示1 127 之間的所有整數（127 = 64×21）。如：想要表示出25、37、52 等數時，25

38、 =1+8+16；37=1+4+32；52=4+16+32；61=1+4+8+16+32； 92=4+8+16+64；116=4+16+32+64；用數的這樣表示方法，我們解決了許多有趣的問題。在做自然數的加、減法時，我們都知道“逢十進一，借一當十”。這是因為我們學習的數是用十進制記數法來表示的。如：365=300+60+5=3×100+6×10+5=3×10²+6×10+5； 5678=5×10³+6×10²+7×10+8 ；實際上本次活動中用到的數的表示方法，就是數的二進制記數法。如：7=4

39、+2+1=1×2²+1×2+1×1這樣十進制中的數7，就可以用二進制數(111)2表示了，可以記：7=(111)2。在二進制數的加、減法中，“逢二進一，借一當二”也就非常必然了。正因為二進制數表示法中只用到1 和0 兩個數字，它也可以用“開”與“關”、“是”與“非”來表示，所以二進制數具有工作可靠，運算簡單，邏輯嚴密，容易實現等特點。18 世紀初萊布尼茨發明的二進制數，在當今信息時代得到了廣泛的應用。二進制數成為了計算機的專用語言。在計算機科學和大量應用數學領域中，二進制記數法是必不可少的。4.試試本領（1）巧配砝碼。 用天平稱1 63 克重的物品，至少

40、要配備幾種砝碼 (砝碼只能放在天平的一端)，它們各是多少克？如果要稱21 克重的物品，那么需要上面哪幾種砝碼？ 如果要稱45千克重的物品呢？（2）巧裝蘋果。 現有一筆出售蘋果的生意，已知客人可能需要的蘋果數量肯定是 1 個到 1000 個之間，但不知道具體數字。客人要求裝蘋果的箱子不超過10 只 （每只箱子都最多可以裝 1000 個蘋果），箱子一旦裝成就無法再拆開重裝。問：怎么裝才能一定滿足客人的需要？ 抽屜原理一、 內容抽屜原理二、目標1經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。2通過操作發展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。3通過“抽屜原理

41、”的靈活應用感受數學的魅力。三、課程解讀桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，我們會發現至少會有一個抽屜里面至少放兩個蘋果。這一現象就是我們所說的“抽屜原理”。 抽屜原理的一般含義為：“如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就可以代表一個元素，假如有n+1或多于n+1個元素放到n個集合中去，其中必定至少有一個集合里有兩個元素。” 抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理。它是組合數學中一個重要的原理。四、流程1.創設情境，猜想驗證師： 有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。 

42、;想一想，這是為什么？2.釋疑首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.把每人的3枚棋作為一組當作一個蘋果，因此共有5個蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應的抽屜.由于有5個蘋果，比抽屜個數多，所以根據抽屜原理，至少有兩個蘋果在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。3.解題技巧在實際問題中，“抽屜”和“物體”的表述是不明確的，解題的關鍵就是確定問題中哪個概念對應的是“抽屜”，哪個概念對應的是“物體”，精心制造“抽屜”是解決此類問題的核心。  運用抽屜原理解題時，要從最不利的情況出發，分

43、析問題，這就是最不利原則。根據最不利原則要保證完成某一個任務，必須考慮最不利的條件，只有用最不利條件下能實現的做法，才可以使這個任務必能完成。因此，解題時要全面分析題中條件，找出最不利的因素，再選用萬無一失的方法。4.做題關鍵如何找抽屜和蘋果 想象抽屜原理的場景，即把2個蘋果放進相同的一個抽屜里。那么具體到題中重點體會是把“誰誰誰”放進相同的什么東西里。相同的這個東西就是抽屜，“誰”和“誰”就是蘋果。5.常見題型 A、考察存在性  例1：雷鋒小組由13人，張老師說：“你們這個小組至少有2個人在同一個月過生日。”你知道為什么張老師這么說嗎？ 解析

44、：結論是“至少有2個人在同一個月過生日”。即把2個人放進同一個月里。那么“月”就是抽屜，人就是蘋果。 答：將月份看做抽屜，一年共有12個月，將人看做蘋果，共有13人。將每人根據生日對應的月份放進相應的“抽屜”中。根據抽屜原理，至少有2個蘋果在同一個抽屜中，即至少有2個人在同一個月過生日。                    B.求抽屜數（最多） 例2： 把10只小兔

45、放進至多幾個籠子里，才能保證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔？解析：將籠子看做抽屜，小兔看做蘋果，根據抽屜原理，要保證至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果，必須要抽屜數小于蘋果數。即保證至少有一個籠里有兩只或兩只以上的小兔， 必須要籠子數小于兔子數。籠子數10，最多有9個籠子。  C、求蘋果總數（最少） 例3：幼兒園買來很多玩具小汽車、小火車、小飛機，每個小朋友任意選擇兩件不同的，那么至少要有幾個小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的？  解析：把小朋友取玩具的取法看做抽屜，共有3種（小汽車和小火車，小汽車和小飛機，小飛機和小火車

46、），把小朋友看做蘋果。根據抽屜原理，要保證至少有兩個蘋果放在同一個抽屜里，必須要蘋果數大于抽屜數。即要保證有兩人選的玩具是相同的， 必須要人數大于取法數。人數3，最少有4人。   6.試試本領 （1）在一只口袋中有紅色、黃色、藍色球若干個，小聰明和其他六個小朋友在一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出2個球，那么不管怎樣挑選，總有兩個小朋友取出的兩個球的顏色完全一樣。你能說明為什么嗎？（2） 用紅、藍兩種顏色將一個2×5方格圖中的小方格隨意涂色，每個小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？ （3）

47、60;新年晚會上，老師讓每位同學從一個裝有許多玻璃球的口袋中摸兩個球，這些球給人的手感相同，只有紅、黃、白、藍、綠五色之分（摸時，看不到顏色），結果發現總有兩個人取的球相同，由此可知，參加取球的至少有多少人？古算名題中的盈虧問題一、內容盈虧問題二、教學目標1結合具體的生活情境，使學生了解盈虧問題并能正確的解答盈虧問題。2理解盈虧問題并得出解決盈虧問題的公式。3了解中國數學的悠久歷史，激發學生學習數學的興趣。 三、課程解讀把一定數量的物品平均分給若干對象，每個對象少分，則物品有余；如果每個對象多分，則物品不足。所以分物時經常出現盈（有余）、虧（不足）、盡（恰好分完）的情況，所以古人把這類問題稱為

48、盈不足問題。盈虧問題情況多樣，解法巧妙，倍受古人重視，在許多古代算書上留下了不少好題。四、流程 1.故事引入。 今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數，物價各幾何？ 題意：有一群人湊錢買一件物品。如果每人出8枚錢幣，就比物價多出3個錢幣。如果每人出7枚錢幣，就比物價少4個錢幣。求人數和錢數各是多少？2.我算人數和錢數。這是屬于“一盈一虧”類的問題。當第一次每人出8枚錢幣時多3枚，但第二次每人出7枚錢幣時不但沒得多，還要少4枚，即共少了437枚。這是由于第二次比第一次每人少出了871枚錢幣。相差7枚，就說明有7÷17人。這樣物價也就可以算出來了。解法一：人數：（43）

49、47;（87）7（人） 物價：8×7353（枚）或7×7453（枚） 解法二：設人數為X人，則錢數為8X3或7X+4。根據題意，二次出錢，物價不變，可得 8X37X+4 8X7X7 X7 那么錢數為：8X3=8×73=53（枚）答：人數為7人，物價53枚。 3.解題學問。 “一盈一虧”類的問題，如果運用算術方法來解，解題公式是：（盈數虧數）÷兩次分數數量差分物對象的個數 事實上，古代數學家發現，在計算人數（即分物對象的個數）時，還有一個簡單易記、瑯瑯上口的口訣：“有余加不足，大減小來除”。這種算法的絕妙之處在于它幾乎可以不動腦筋，只要把幾個數按口訣對號入

50、座，馬上可以得出答案。4.試試本領。（1）今有人共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問人數、羊價各幾何？（2）牧童分杏各競爭，不知人數不知杏。三人五個多十枚，四人八枚兩個剩。神奇的一筆畫一、內容 神奇的一筆畫二、目標1認識一筆畫圖形的特點，掌握一筆畫的有關規律，并能運用這一規律解決有關的實際問題。2讓學生知道“一筆畫”問題的解決方法 3以此來激發學生學習數學的興趣，培養學生的創新意識和創新精神三、課程解讀 數學題類型名，最著名的是七橋問題（歐拉解答）。一筆畫的概念是討論某圖形是否可以一筆畫出。圖形中任何端點根據所連接線條數被分為奇點、偶點。只有所有點為偶點的圖形和只有兩個奇點的圖形一定

51、可以一筆畫。只有偶點的圖形不限出發點，兩個奇點必然從其中一點出發到另一點結束。在任何圖形中，奇點都是成對出現的，沒有奇數個奇點的圖形。 1.凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。 2.凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點則是終點。 3.其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)四、流程1故事引入： 18世紀在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結，如圖1所示。城中的居民經常沿河過橋散步，于是提出了一個問題

52、：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。這就是七橋問題，一個著名的圖論問題。 圖1 這個問題看起來似乎不難，但人們始終沒有能找到答案，最后問題提到了大數學家歐拉那里。歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D4個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖2所示。 圖2 于是“七橋問題”就等價于圖3中所畫圖形的一筆畫問題了。歐拉注意到，每個點如果有進去的邊就必須有出來的邊，從而每個點連接的邊數必須有偶數個才能完成一筆畫。圖3的每個點都連接著奇數條邊，因此不可能一筆畫出，這就說明不

53、存在一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次的走法。歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓撲學的研究提供了一個初等的例子。 2.我來一筆畫。 一筆畫，就是能夠一筆畫成的圖形。這里的“一筆”是要求下筆后筆不離紙面，而且每條線只能畫一次。 例1：圖中有三個圖形，請聰明的你試一試，能不能一筆畫成？ A D ADCD F E BCAB BC 解：第一圖可以一筆畫成。例如，從點E出發，依次畫E-B-C-F-E-A-D-F。這樣，這個圖就一筆畫成了。當然，畫法不止這一種。小朋友，你可以試一試。圖二經過多次嘗試不能一筆畫成。圖三也可以一筆畫成。例如，從點A出發，依次畫A-B-C-B-C-D-A-D

54、-A。3.一筆畫的學問。一個圖形，具體有什么特點才能一筆畫成呢？下面我們就來介紹一下。圖形中的某個點，如果由它引出的線的條數是奇數，那么我們稱這個點為奇點。如果由它引出的線的條數為偶數，那么我們稱這個點為偶點。有了以上的兩個名詞，我們就可以借用他們很快地判斷出什么樣的圖形可以一筆畫成：（1）如果一個連在一起的圖中，奇點個數為0或2，那么這個圖形可以一筆畫成。 當奇點的個數為0時，可以從任何一點開始一筆畫成這個圖，最后回到始點；當奇點個數為2時，可以從任一奇點開始，一筆畫成這個圖，最后到另一個奇點結束。 （2）如果一個圖中的奇點個數不是0或2，那么這個圖形不能一筆畫成。 4.試試本領。 （1）試

55、著畫下面的圖形，你能一筆畫出嗎？（2）你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個圖形嗎？試試看。（不走重復線路） （3）下圖是國際奧林匹克運動會的會標，能一筆畫嗎？如果能，請你把它畫出來。猜你所想一、內容：風箏數二、目標：1.利用風箏數猜對方心想的一位數、兩位數、三位數2.培養對數學的興趣，開拓思路，激發數學創造力和想象力。三、課程解讀：9、89、889、8889叫風箏數列。用風箏數列，可以猜出一位數、二位數、三位數、四位數四、流程： 1.猜一位數：要對方把心想的數乘9，把積的末尾數告訴你，你再把這個末尾數也乘以9，得到對方心想的數。 如對方心想的數是4,4×9=36。 你就用6×

56、9=54，得對方心想的數是4。這是因為9×9=81。 2.猜兩位數：要對方把心想的兩位數乘89，把積的末尾兩位數告訴你，你再將這個數乘9，積的末尾兩數就是對方心想的數了。如對方心想的數是47,47×89=4183。對方告訴你83，你將83乘9得83×9=747，對方心想的兩位數是47。這是因為89×9=801。 3.猜三位數：要對方把心想的三位數乘889，把積的末尾三位數告訴你，你再把這個數乘9，積的末尾三位數就是對方心想的數了，這是因為889×9=8001。 4.猜四位數：是要對方乘8889，把積的末尾四位數告訴你，你再把積的末尾四位數乘9，得到的積的末尾四位數就是對方心想的數。那么，任意整數、小數都可以用此法猜出答案。 5.試試本領：請同學們用6,67,667,6667,66667這一風箏數列，猜一位數、二位數、三位數、四位數巧用天平一、目標： 1.通過學生活動，鞏固學生對等式性質及相關知識理解，提高對知識的綜合運用能力，發展學生邏輯思維能力、動手操作能力及語言表達能力。 2.在活動中培養學生優化意識、創新意識及樂于與他人合作的意識。 3.通過活動，增強學生