1、第1講函數(shù)及其表示基礎(chǔ)知識(shí)整合161.函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射定義建立在兩個(gè)回非空數(shù) 集A到B的一種確定 的對(duì)應(yīng)關(guān)系八使對(duì)于 集合A中的的任意一 個(gè)數(shù)口在集合月中都有 理唯二確定的數(shù)M)和 它對(duì)應(yīng)建立在兩個(gè)則非空集 食A到B的一種確定 的對(duì)應(yīng)關(guān)系八使對(duì)于 集合A中的麴任意一 個(gè)元素-在集合B中 都有畫唯一1確定的兀 素y與之對(duì)應(yīng)記法 )=/(才)工GA2 .函數(shù)的三要素函數(shù)由定義域、口07對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域三個(gè)要素構(gòu)成，對(duì)函數(shù) y=f(x), xCA,其中(1)定義域：國(guó)8自變量x的取值構(gòu)成的集合；(2)值域：函數(shù)值的集合口絲什(x)| xC A.3 .函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：口 10解

2、析法、字列表法、平圖象法.4.分段函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上，因亞對(duì)應(yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).1 .函數(shù)問題允許多對(duì)一，但不允許一對(duì)多.與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).2 .判斷兩個(gè)函數(shù)相等的依據(jù)是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致.3 .分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并 集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).1.集合A= x|0<x<4, B= y|0WyW2,下列不表示從 A到B的函數(shù)的是（）B. f : xfy=gx 3A.,、1f: xfy= 2x2C. f: xy

3、= 3xD. f : xy=/x答案 C解析 依據(jù)函數(shù)的概念，集合A中任一元素在集合 B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，故選項(xiàng)C不符合.2 . (2019 懷柔月考)已知函數(shù) f(x)=5|x|, g(x) =ax2x(aC R).若 fg(1) =1,則 a =()A. 1 B . 2 C.3 D.1答案 A解析 因?yàn)?g(x) = ax2 x,所以 g(1) = a1.因?yàn)?f(x) =51x|,所以 f g(1) =f(a 1) = 51aT = 1,所以 | a1| =0,所以 a= 1.故選 A.3 .已知 f(x)= 2x，x>°'則 f 4 +f -4 的值

4、等于()fx+1, x<0,33A. - 2 B . 4 C . 2 D . - 4答案 B解析由題意得 f 鼻=2X ,=，. f - = f - - = f - =2X 1=.所以 f+f 33 33333 3334.4. (2018 江蘇高考)函數(shù)f(x)=Rlog 2x1的定義域?yàn)?.答案2 , +oo)解析 由log 2x1 no得xA2,所以函數(shù)的定義域?yàn)? ,+8).x , 一+ 1 , xW 0,5. (2019 南京模擬)已知函數(shù)f(x) = 2則不等式f(x) >- 1.2-x- 1, x>0,的解集是.答案x|4WxW2x2解析 當(dāng)xwo時(shí)，由題意得2+

5、1 1,解得4W xW0.當(dāng)x>0時(shí)，由題意得一(x1) >1,解得 0<xW2.綜上，f (x) > - 1 的解集為x| -4< x<2.6.已知函數(shù)y=f (x21)的定義域?yàn)?,小,則函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?.答案 1,2解析 :ynf (x21)的定義域?yàn)?3,憫, .xC 也，m,x21 C 1,2,，y=f(x)的定義域?yàn)?,2.核心考向突破考向一函數(shù)的定義域角度1求具體函數(shù)的定義域例 1 (1)函數(shù) f(x) = (x2)0+ yj3X2-的定義域是().1,_1A.+8B. 8, 3 3一,一 1 、C. (8, +oo)D. 2 U

6、(2 ,+8)答案 D計(jì) 2,1 11一，解析 要使函數(shù)f(x)有息義，只需 業(yè)0 所以x>3且xw2,所以函數(shù)f (x)、01的定義域是一1，2 U (2 , +8),故選 D.3/ x x + 2(2)(2019 廣東深圳模擬)函數(shù)y=Y ； j的定義域?yàn)?)A. ( -2,1) B . -2,1 C . (0,1) D , (0,1答案 C 2-x -x + 2>0,解析由題意得x>0,解得0Vx<1,故選C.In xw0,觸類旁通已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時(shí)只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式組，得出不等式組的解集即可

7、./2x+1即時(shí)訓(xùn)練1.(2019 廈門模擬)函數(shù)f(x) =2x2x 1的定義域是()一1A. x xw 21B. x x> 2一1 一C. x xw 2且xwi1D. x x> 2且xwi答案 D解析2x+1>0,由題意得c22x x 1 w 0,一 1 一 ，一解得x> 2且x W 1.故選D.12. (2019 鄭州調(diào)研)函數(shù)f(x) = ln x- + x 2的定義域?yàn)?)x 1A. (0, +oo)B. (1 , +oo)C. (0,1)D. (0,1) U (1 , +oo)答案 Bx >0解析 要使函數(shù)f (x)有意義，應(yīng)滿足x 1x>0,解

8、得 x>1,故函數(shù) f(x) = ln x-x +1 ，一x2的定義域?yàn)?1 , +8).故選B.角度2求抽象函數(shù)的定義域x例2 (1)(2019 福州模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一1,1),則函數(shù)g(x)=f 2 +f(x1)的定義域?yàn)?)A. ( -2,0)C. (0,2)答案 CB. (-2,2)一 1 CD. 2, 0.x .1<<1，解析由題意得 2-1<x- 1<1,-2<x<2,0<x<2,x -0<x<2,函數(shù) g(x)=f 2 +f(x1)的定義域?yàn)?0,2),故選 C.-f 口fx+1 7一 (2)若函

9、數(shù) y= f(x)的定義域是1,2019，則 函數(shù) g(x)=一的定義域是 x1答案 x|0 W xw2018,且 xw1解析 因?yàn)閥 = f (x)的定義域?yàn)?,2019,所以要使g(x)有意義，應(yīng)滿足1< x+1<2019, x 1 w0.所以0WxW2018,且xwl.因此g(x)的定義域?yàn)閤|0WxW2018,且xw 1.觸類旁通對(duì)于抽象函數(shù)定義域的求解(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍, b,則復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式a< g(x) & b 求出.2若已知函數(shù)f g x 的定義域?yàn)閍,b4Uf x的定義域?yàn)間 x 在xCa, b上的值域.即時(shí)訓(xùn)練

10、3.已知函數(shù) y=f(x+1)的定義域是2,3,則y=f (2x1)的定義域?yàn)?)5A. -3,7 B . 1,4 C , 5,5 D. 0,-答案 D解析 因?yàn)閥=f (x + 1)的定義域?yàn)?,3,所以一1Wx+1W4.由一1W2x 1W4,得550<x<2,即 y=f(2x1)的定義域?yàn)?0, 2.4. (2019 重慶模擬)已知函數(shù)f(x)=ln ( x x2),則函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)?1答案1，2解析 由題意知，一x-x2>0,1<x<0,即 f(x)的定義域?yàn)?一1,0). ，一1<2x+1<0,貝U 1<x< 2.角度

11、3已知定義域求參數(shù)范圍 一ax +1 例3 (1)(2019 銀川模擬)若函數(shù)y= , 2-的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范yax 4ax+ 2圍是()-1_c1_ c1A. 0, 2 B. 0, 2 C. 0, 2 D. 0, 2答案 D解析 要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,則ax24ax+2>0恒成立.當(dāng)a=0時(shí)，不等式為2>0,恒成立；當(dāng)awo時(shí)，要使不等式恒成立，則a>0,a>0,.2. 即 八 一A = 4a4 , a , 2<0, a 2a 1 <0,解得0<a<2.1 ，一由得0W a<2.故選D.(2)(2018 石家莊模擬)設(shè)函數(shù)f

12、(x) = ax22x+2,對(duì)于滿足1v xv 4的一切x值都有 f(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .1答案 2, +00解析2_由 f (x) >0,即 ax 2x + 2>0, x e (1,4)得a> x2 + x在xC (1,4)上恒成立.令 g(x) =- x2 + x= 21 一 111C 4, 1 ,所以 g(x)max= g(2)=-, x21 _ 一所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要 a >萬即可.觸類旁通已知函數(shù)定義域求參數(shù)的思想方法已知函數(shù)的定義域，逆向求解函數(shù)中參數(shù)的取值， 需運(yùn)用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的思 想方法.轉(zhuǎn)化

13、與化歸的思想方法是通過某種轉(zhuǎn)化過程，將一個(gè)難以解決的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，從而獲解.1 2即時(shí)訓(xùn)練 5.若函數(shù)y = 2x2 2x+4的定義域、值域都是2,2 b( b>1),則()A. b=2B. b>2C. bC (1,2)D. bC (2 , +oo)答案 A一 .1 212 解析 二.函數(shù)y= 2x -2x + 4 = 2(x-2) + 2,其圖象的對(duì)稱軸為直線x= 2, .,.在定義域2,2 b上，y為增函數(shù).當(dāng) x = 2 時(shí)，y = 2;當(dāng) x=2b 時(shí)，y=2b.12一 2故 2b= 2x(2 b) -2X2 b+4,即 b3b+ 2=0,得

14、 b1=2, b2= 1.又b>1,，b= 2.6.若函數(shù)f(x)= 業(yè)飛1的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為 .答案 1,02解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以2x+ a-1>0對(duì)xCR恒成立，則x2+2ax a>0恒成立.因此有 = (2a)2+4aw0,解得iw a<0.考向二求函數(shù)的解析式例 4 (1)已知 f(也+1) = x+24x,則 f(x) =.答案 x2-1(x>1)解析(換元法)令/x+1 = t ,則 x=(t1)2(t >1),代入原式得 f(t) =(t-1)2+2(t 1)=t21,所以 f (x) = x2- 1(x>

15、1).(2)已知 f(x)是一次函數(shù)，且滿足 3f (x+1) 2f (x1) =2x+17,則 f(x) =答案 2x+7解析 (待定系數(shù)法)設(shè)f (x) = ax+b(aw。)，貝U 3f(x+ 1) - 2f(x-1)=ax+5a + b,所以ax+ 5a+b= 2x+ 17對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,所以a= 2,5a+b=17,解得a= 2,b=7.所以 f(x) = 2x+7.(3)已知 f x + 1 =x2 +則 f (x)答案 x22(x>2 或 xw 2)解析(配湊法)fx+I+Lx x2_11 22x +2+x2 -2= x+x 2,所以 f(x) =x -2(x>2

16、或 xw 2).1(4)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0, +8),且f (x) =2f - x解析 (消去法)在f (x) = 2f - 出1中，將x換成二 則換成x,得f1= xx xx觸類旁通.21解得 f (x) =tJx + -.33函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法.2換元法：已知復(fù)合函數(shù) fg x 的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取 值范圍.3消去法：已知關(guān)于 f x 與f 1 或f x 的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu) x造出另外一個(gè)等式，兩等式組成方程組，通過解方程組求出f x .4配湊法：由已知條件 f g x =F x ，可將F x改寫成關(guān)于

17、g x的解析 式，然后以x替彳t g x ，便得f x的解析式.即時(shí)訓(xùn)練 7.已知 f(x)+3f(-x) = 2x+1,貝U f (x) =-1答案-x+4解析 由已知得 f( x) + 3f(x) = 2x + 1 , 解方程組f x +3f x =2x+1, 曰1f -x + 3fx =2x+1, 倚"x)x+4.8.已知f 2+1 =lg x,則f(x)的解析式為 x答案 f(x) = lg -2-(x>1) x 1 人2,，一解析令一+1=t,由于x>0, x， I2，2所以 t>1 且 x=1y,所以 f (t) =lg 二，即 f(x) = lg -2

18、r(x>1) .x 19.若f (x)為二次函數(shù)且f(0) = 3,f (x+2) f (x) = 4x+2,則f( x)的解析式為 答案 f(x) = x2x+3解析 設(shè) f (x) = ax2+bx+c( aw0),又 f(0) =c= 3.所以 f(x) = ax2+ bx+ 3,所以 f (x+ 2) -f (x) = a(x+ 2)2+ b(x+ 2) + 3 ( ax2+ bx+ 3) = 4ax+ 4a+ 2b= 4x+ 2.所以4a= 4,4a+2b = 2,所以a= 1,b=- 1,所以所求函數(shù)的解析式為f (x) =x2 x+3.考向三分段函數(shù)tJx, 0<x&

19、lt;1, 例5 (1)(2017 山東高考)設(shè)£。)="2 x- 1 , x>1.若 f (a) = f (a+1),則 f1=()aA. 2 B.4 C.6 D.8答案 C解析 若 0<a<1,由 f(a) = f(a+1)得 g=2(a+1 1),.,.a=;,f 1 =f(4) =2X(4- 1) =6.4 a若 a>1,由 f(a) =f(a+1)得 2(a 1)=2(a+11),無解.綜上，f 1 =6.故選C. a(2)(2018 浙江高考)已知入CR,函數(shù)f(x) =x 4, x> 入,若函數(shù)f(x)恰2當(dāng)入=2時(shí)，不等式f (

20、x)<0的解集是x 4x+ 3, x<入.有2個(gè)零點(diǎn)，則入的取值范圍是.答案 (1,4)(1,3 U(4, +oo)解析 若 入=2,則當(dāng)x>2時(shí)，令x-4 <0,得2Wx<4;當(dāng)x<2時(shí)，令x24x+ 3<0, 得1<x<2.綜上可知1<x<4,所以不等式f(x)<0的解集為(1 , 4).令x 4 = 0,解得x=4; 令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象(圖略) 可知1入W3或入>4.觸類旁通分段函數(shù)問題的求解策略(1)分段函數(shù)的求值問題，應(yīng)首先確定自變量的值屬

21、于哪個(gè)區(qū)間，然后選定相應(yīng)的解析 式代入求解.2分段函數(shù)與方程、不等式的交匯問題，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進(jìn)行 分類討論，最后應(yīng)注意檢驗(yàn)所求參數(shù)值范圍是否適合相應(yīng)的分段區(qū)間.1, 一矛1, x>0,即時(shí)訓(xùn)練10.(2019 山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=若1 一 x<0,xf (a)>a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .答案(8, 1)解析 當(dāng)a>0時(shí)，f(a)=1a1>a,解得a<-2,矛盾；當(dāng)a<0時(shí)，f(a)=1>a,解得2aa<1.所以a的取值范圍為(一00, 1). 2x + 2x+ 2, x<0,11.設(shè)函數(shù) f(x)

22、 =2>0若 f f(a) =2,則 a =.答案 ,2解析 若 a>0,則 f(a) = a2<0, ff(a) = a4 2a2+2 = 2,得 a =啦.若 a<0,則 f(a) =a2 + 2a+2 = (a+1)2+1>0, ff(a) =- (a2+2a+2)2= 2,此方程無 解.(2019 貴州模擬)若函數(shù)f(x)滿足：在定義域 D內(nèi)存在實(shí)數(shù)X0,使得f(X0+1) =f (X0)+ f(1)成立，則稱函數(shù)f(x)為“1的飽和函數(shù)”.給出下列三個(gè)函數(shù)： f(x)=1; f(x) = 2X; f(x) =lg ( X2+2). x其中是“1的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號(hào)為 ()A.B .C .D .答案 B11,解析對(duì)于，右存在頭數(shù)X0,滿足f(X0+ 1) =f(X0) +f(1),則；T7=j+1,所以X。1 X0x0 + x0+1 = 0(X0W0