四類人mems傳染病數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

1傳染病的數(shù)學(xué)模型研究傳染病是世界上最嚴(yán)重的問題之一。2003年春天,非典型肺炎(SARS)傳染病突然侵襲了大半個中國,由于人們對此種傳染病的傳播機(jī)理還不太清楚,因而一度引起了人們心理上的恐慌。現(xiàn)在,預(yù)防和控制SARS的研究顯得極其緊迫。目前,對傳染病的研究有4種方法:描述性研究,分析性研究,實驗性研究和理論性研究。在理論性研究中,數(shù)學(xué)模型起著極其重要的作用。它把傳染病的主要特征通過假設(shè)、參數(shù)、變量和它們之間的聯(lián)系清晰地揭示出來。數(shù)學(xué)模型的分析結(jié)果能提供許多強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ)和概念。用數(shù)學(xué)模型幫助發(fā)現(xiàn)傳染病的傳播機(jī)理,預(yù)測傳染病的流行趨勢已成為共識。利用非線性動力學(xué)的方法建立傳染病的數(shù)學(xué)模型,來研究傳染病是否會蔓延持續(xù)下去以及是否終將會被消滅具有重要的現(xiàn)實意義。因為這有助于人們對傳染病的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測,為人們預(yù)防和治療傳染病提供有益的信息和有效的措施。Kermack和Mckendrick的論文是傳染病數(shù)學(xué)模型的基石,他們首先利用非線性動力學(xué)的方法建立了傳染病的數(shù)學(xué)模型,即所謂的KM模型,之后,Cooke,Hethcote等做了大量的工作。陳蘭蓀、陳健詳細(xì)闡述了傳染病的建模思想和研究方法。筆者利用非線性動力學(xué)的方法建立了非典型肺炎(SARS)傳染病四類人的數(shù)學(xué)模型,并探索了預(yù)防和控制SARS的機(jī)理。然后,利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論建立了SARS的預(yù)測模型,以北京市的SARS數(shù)據(jù)為例進(jìn)行了預(yù)測和分析,預(yù)測結(jié)果顯示,該模型簡單易行,預(yù)測精度高。2st線性相轉(zhuǎn)移的相平面特征特性SARS傳染病四類人數(shù)學(xué)模型如下:把人口分為健康人S(t)、SARS病人I(t)、病愈免疫(包括死亡)的人R(t)及SARS疑似病人P(t)四類人。疾病傳播一般服從下列法則:法則1在所考慮的時期內(nèi),人口總數(shù)保持在固定水平N;法則2易受傳染者S(t)人數(shù)的變化率正比于傳染病患者I(t)與S(t)人數(shù)的乘積;法則3由I(t)向R(t)轉(zhuǎn)變的速率與I(t)成正比。由上述疾病傳播法則,不難得出SARS傳染病四類人的數(shù)學(xué)模型為{dS/dt=-λΙSdΙ/dt=λΙS-αΙdR/dt=αΙdΡ/dt=βΙ(1)方程組式(1)是四維的。且初始狀態(tài)為S(0)=S0>0,I(0)=I0>0,R(0)=R0>0,P(0)=P0=0。其中常數(shù)λ,α稱為傳染率和移除率,其值均大于零。β>0。令σ=αλ,1σ=αλ稱為相對移除率。為了討論問題的方便,假設(shè)總體N=1。定理1(閾值定理)設(shè)S(t),I(t),R(t),P(t)是初值問題式(1)的解。如果σS0<1,那么,當(dāng)t→+∞時,I(t)單調(diào)減少趨于零;如果σS0>1,那么,當(dāng)t→+∞時,I(t)先增加達(dá)到最大值1-1σ-1σln(σS0),此時S=1σ,而后單調(diào)減少趨于零。S(t)是一個單調(diào)減少函數(shù),并且其極限limt→+∞S(t)=S(+∞),是方程1-S+(lnε/ε0)/σ=0在(0,1/σ)內(nèi)的根。當(dāng)t→+∞時,R(t)→0,P(t)→0(見圖1)。由于人類對傳染病的認(rèn)識提高以及現(xiàn)代醫(yī)學(xué)水平的發(fā)展,對于許多傳染病可以做到提前預(yù)防,使人群對許多種傳染病具有免疫能力,例如打預(yù)防針、進(jìn)行免疫接種等。在不久的將來人類將找到SARS的免疫疫苗,因而在模型式(1)的基礎(chǔ)上考慮這些因素,經(jīng)過調(diào)整,得到如下的數(shù)學(xué)模型:{dS/dt=-λΙS-δSdΙ/dt=λΙS-αΙdR/dt=αΙdΡ/dt=βΙ(2)其中,δ>0。以下對模型式(2)進(jìn)行分析,在(S,I)相平面上考察軌線。首先由dS/dt=-λΙS-δS=-(λΙS+δS)<0,得到的S(t)是單調(diào)減少的,所以,對于所有t>0,有S(t)<S0,再由方程dI/dt=λIS-αI=λI(S-1/σ)可知,當(dāng)S0≤1/σ時,有dI/dt<0,對所有t>0成立,此時I(t)單調(diào)減少。當(dāng)S0>1/σ時由S(t)單調(diào)減少可得到唯一的t1,使S(t1)=1/σ,因此有0<t<t1時,dI/dt>0,此時I(t)增加,t>t1后dI/dt<0,此時I(t)單調(diào)減少,所以I(t1)是最大值。即在相平面上的軌線I(r)在r=1/σ時,I(1/σ)為最大值。顯然方程組式(2)的軌線方程為Ι(t)+ln|Ι(t)Ι(0)|=1-S+1σln(SS0)。由此得Ι(1σ)=1-1σ-1σln(σS0)-ln|Ι(1/σ)Ι0|<1-1σ-1σln(S0σ)。上式說明采取預(yù)防措施后,可以減少得病人數(shù),并且I(t)的最大值小于不采取預(yù)防措施時的最大值。令D={(S,I)0≤S≤1,0<I(t)≤1,S+I=1}是一個由S軸到I軸以及直線S+I=1所圍成的三角形區(qū)域。對于方程組式(2),其軌線為:S=0,Ι=Ι0e-αt,Ι=0,S=S0e-δt。O(0,0,0,0)點是式(2)在D上唯一的平衡點,并且點(0,0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的,這是因為特征根-δ及-α均小于零。對于直線S+I=1上的所有解均有d(S+Ι)/dt=-αΙ-δS<0。所以,在D內(nèi)出發(fā)的軌線不會越出區(qū)域D。令ˉD={(S,Ι)0≤S≤1,0<I(t)≤1,S+I=1}在ˉD上取Dulac函數(shù)B(S,I)=1I(t),由Dulac定理知在ˉD上不存在極限環(huán),所以由Dˉ上出發(fā)的軌線當(dāng)t→+∞時,必趨于平衡點(0,0,0,0)。綜上所述,得出如下定理:定理2對于初值問題式(2),區(qū)域Dˉ是平衡點O(0,0,0,0)的漸近穩(wěn)定區(qū)域(見圖1)。定理3(閾值定理)設(shè)S(t),I(t),R(t),P(t)是初值問題式(2)的解。如果σS0<1,那么,當(dāng)t→+∞時,I(t)單調(diào)減少趨于零;如果σS0>1,那么,當(dāng)t→+∞時,I(t)先增加到達(dá)最大值I(1σ),而后單調(diào)減少趨于零。S(t)同時單調(diào)減少趨于零。當(dāng)t→+∞時,R(t)→0,P(t)→0通過建立四類人的SARS傳染病數(shù)學(xué)模型并對其進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上,可得到如下結(jié)論:1)在不考慮自然出生和死亡的前提下,SARS傳染病發(fā)生時,如果易感染人的總數(shù)小于等于該病的相對移除率,SARS不可能發(fā)生流行,將很快被消滅。如果易感染人的總數(shù)大于該病的相對移除率,SARS可能發(fā)生流行,得病的人數(shù)將猛增,當(dāng)易感染人數(shù)下降到S=(1σ)時,得病人數(shù)I(t)達(dá)到最大值1-1σ-(1σ)ln(σS0),而后得病人數(shù)逐漸減少,最終趨向于零,即SARS被消滅。在整個過程中易感染人數(shù)單調(diào)減少,最終并不是所有的易感染人都會得病。因此,疾病不是因為缺少受傳染者而停止傳播,而是因為沒有了傳染者才停止傳播。2)在SARS傳染病流行之前,對易感染的人群進(jìn)行有效的預(yù)防可以使易感染的人數(shù)下降,從而達(dá)到防止SARS傳染病流行的目的。在SARS傳染病發(fā)生之后,立即對易感染的人群進(jìn)行隔離,同樣可以使易感染的人數(shù)下降,從而減少得病人數(shù)。此種情況下,如果在發(fā)病初期易感染的人數(shù)S0≤(1σ),那么SARS會很快被消滅。如果在發(fā)病初期易感染人數(shù)S0>(1σ),那么得病人數(shù)先增加,當(dāng)其達(dá)到最大值I(1σ)后,得病人數(shù)逐漸減少而后SARS被消滅。此種情況下的最大值I(1σ)小于不預(yù)防時的最大值1-1σ-(1σ)ln(σS0)。3因果關(guān)系模型與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)目前,用于預(yù)測的定量化方法盡管很多,但基本上可歸納為時間關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系和因果關(guān)系模型等三類。時間關(guān)系模型的特點為被預(yù)測對象是時間變量的函數(shù),它包括兩種:一是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的時間序列分析模型,二是用時間函數(shù)(如多項式,正余弦等)表示的趨勢外推模型。結(jié)構(gòu)關(guān)系模型的特點是在一定時間內(nèi)被預(yù)測事件與其影響因素之間保持著某種固定的結(jié)構(gòu)函數(shù)關(guān)系(如回歸模型、聯(lián)立方程模型、動態(tài)模型等)。因果關(guān)系模型的特點是用因果關(guān)系表達(dá)被預(yù)測事件與其影響因素之間的相互作用。一般來說,應(yīng)用時間關(guān)系模型和結(jié)構(gòu)關(guān)系模型時,要求被預(yù)測對象必須滿足預(yù)測模型的前提條件,否則預(yù)測結(jié)果不可靠;而因果關(guān)系模型實際上是因和果之間的映射關(guān)系,幾乎可以表達(dá)所有非線性關(guān)系(如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)),因而比以上二類函數(shù)的適用范圍廣。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN,artificialneuralnetwork)理論是在綜合了眾多學(xué)科理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,其發(fā)展在預(yù)測方面為各領(lǐng)域的應(yīng)用帶來了廣闊前景,特別是地質(zhì)、天文、機(jī)械等理工科領(lǐng)域。近年來,人們才逐漸將ANN技術(shù)用于生物、醫(yī)學(xué)、藥學(xué)、化學(xué)等學(xué)科,但主要是應(yīng)用ANN進(jìn)行分類或進(jìn)行靜態(tài)分析,例如用蛋白質(zhì)一級結(jié)構(gòu)預(yù)測二級結(jié)構(gòu)、藥物篩選、惡性腫瘤的生存分析、疾病的診斷及預(yù)后分析等。筆者擬用誤差反向傳播(BP,back-propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對北京市SARS的發(fā)病率進(jìn)行分析,建立SARS發(fā)病率的ANN預(yù)測模型,旨在探討ANN預(yù)測模型在疾病發(fā)病率或死亡率預(yù)測上的應(yīng)用前景。3.1標(biāo)準(zhǔn)誤差反向傳播BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用最廣泛的一種。它的功能函數(shù)為S型函數(shù),神經(jīng)元連接形式為前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),學(xué)習(xí)方式為有監(jiān)督學(xué)習(xí)。如圖2和圖3所示,整個學(xué)習(xí)過程的具體步驟為:Step1初始化網(wǎng)絡(luò)及學(xué)習(xí)參數(shù),如設(shè)置網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)矩陣、參數(shù)α等;Step2提供訓(xùn)練模式、訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)、直到滿足學(xué)習(xí)要求;Step3前向傳播過程:對給定訓(xùn)練模式輸入,計算網(wǎng)絡(luò)的輸出模式,并與期望模式比較,如有誤差,則執(zhí)行Step4,否則返回Step2;Step4向后傳播過程:計算同一層單元的誤差ejk;修正權(quán)值和閾值,返回Step2,直至全部m個學(xué)習(xí)模式對訓(xùn)練完畢。各個連接權(quán)的調(diào)整量是分別與各個學(xué)習(xí)模式對的誤差函數(shù)Ek成比例變化的,該方法稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差反向傳播算法(又稱平均誤差),網(wǎng)絡(luò)的全局誤差為E=∑k=1mEk=∑k=1m∑t=1q(ytk-ct)2/2(3)BP學(xué)習(xí)算法實質(zhì)上是最小均方(LMS)算法的推廣,是一種非線性梯度優(yōu)化算法,因此不可避免地存在局部極小值問題。學(xué)習(xí)算法的收斂速度很慢,通常需要上千次迭代或更多。為此,采用了動態(tài)學(xué)習(xí)比率BP算法。在BP算法中,連接權(quán)值的改變規(guī)則為:Δγt=α?dtkt=1,2,?,q(4)Δθj=β?ejkj=1,2,?,p(5)其中,α,β為定義的權(quán)值步長,即學(xué)習(xí)比率,以下均用η表示。若η選擇的很小,網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速度不但很慢,而且很容易使網(wǎng)絡(luò)陷入局部最小點;而η選擇的太大,又容易使網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)振蕩,使誤差E始終不能達(dá)到極小點。因此,對BP網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法做以下改進(jìn):賦予η相對較大的初始值,使網(wǎng)絡(luò)在學(xué)習(xí)初期誤差較大,以較大的步長逼近極值點,同時又容易跳開局部極小點。隨著網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí),根據(jù)學(xué)習(xí)誤差的變化改變學(xué)習(xí)因子η,設(shè)n為學(xué)習(xí)次數(shù),有n={(1-0.05)ηEn+1≤En(1+0.05)ηEn+1>En(6)BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)和建立步驟見圖2和圖3。3.2bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模已知時間序列{Xii=1,2,…,t-1},若用過去的N(N≥1)個時刻的數(shù)值預(yù)測未來M(M≥1)個時刻的數(shù)值時,可將訓(xùn)練數(shù)據(jù)分為K段,長度為N+M的有一定重疊的數(shù)據(jù)段,每一段的前N個數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)的輸入,后M個數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)的輸出(見表1)。然后應(yīng)用前述的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練學(xué)習(xí),尋找一個RN到RM的函數(shù)關(guān)系。該網(wǎng)絡(luò)的輸入層有N(N≥1)個節(jié)點,輸出層有M(M≥1)個節(jié)點。其預(yù)測值的一般形式為:Xt=f1(X)Xt-1+f2(X)Xt-2+?+fp(X)Xt-p+εt(7)其中p為預(yù)測網(wǎng)絡(luò)的輸入節(jié)點數(shù)。fi(X)=fi(Xt-1,Xt-2,…,Xt-p,εt),(i=1,2,…,p)是一個以預(yù)測網(wǎng)絡(luò)各輸入變量為自變量的非線性函數(shù)。預(yù)測誤差為σ2=∑(X^t-Xt)2(8)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程就是使σ2達(dá)到全局最小的過程,也是預(yù)測模型的建立過程。從統(tǒng)計學(xué)觀點看,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的最終結(jié)果是求出非線性函數(shù)fi(X),而fi(X)是用網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點的連接權(quán)閾值表示的。而用傳統(tǒng)的時間序列AR(p)模型進(jìn)行預(yù)測,其預(yù)測值的一般形式為Xt=C1Xt-1+C2Xt-2+?+CpXt-p+εt(9)其中{εt}為白噪聲,Ci為常系數(shù)。3.3功能函數(shù)的確定利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來建立SARS發(fā)病率預(yù)測模型時需要確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)BP訓(xùn)練中的模型參數(shù)。模型參數(shù)包括模型層數(shù)、隱含層節(jié)點數(shù)和功能函數(shù)。模型層數(shù)的確定尚無統(tǒng)一方法。通過試驗對2個隱含層的ANN與1個隱含層的ANN進(jìn)行比較,前者易陷入局部極小,誤差在局部極小處振蕩,在同樣學(xué)習(xí)次數(shù)的訓(xùn)練中,二者所達(dá)到的誤差相近,因而選用3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。節(jié)點數(shù)包括輸入輸出層節(jié)點數(shù)和隱含層節(jié)點數(shù),輸入節(jié)點一般為輸入變量的個數(shù),輸出層節(jié)點為SARS每天發(fā)病數(shù)。隱含層節(jié)點數(shù)目的確定難度較大,若隱含層節(jié)點太少,網(wǎng)絡(luò)可能不能訓(xùn)練;若網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)太多,網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練可能無窮無盡,不易收斂。在選取隱含層節(jié)點數(shù)時,根據(jù)最小上界(LUB,leastupperbound)理論,經(jīng)大量試驗取隱含層節(jié)點數(shù)為6。功能函數(shù)的確定:BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的功能函數(shù)要求處處可微分且收斂。目前的研究多用Sigmoid函數(shù)f1(x)=1(1+e-x),極少使用雙曲正切函數(shù)f2(x)=(ex-e-x)(ex+e-x)作為網(wǎng)絡(luò)功能函數(shù)。3.4月16日至20日的防控效果預(yù)測結(jié)果見表2。從預(yù)測結(jié)果可以看出,所建立的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型較好地預(yù)測了SARS感染人數(shù),精度較高。事實上,在3月1日到4月18日間,由于北京市政府沒有采取措施,SARS在社會上傳播很快,北京市采取各種隔離和防疫措施后,疾病傳播速度呈減緩趨勢