2014年普通高等學校招生統一考試（江蘇卷）數學試題參考公式:圓柱的側面積公式:S圓柱=cl,其中c是圓柱底面的周長，l為母線長.圓柱的體積公式:V圓柱=Sh,其中S是圓柱的底面積，h為高.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1．已知集合，，則．【答案】2．已知復數(i為虛數單位)，則z的實部為．【答案】213．右圖是一個算法流程圖，則輸出的n的值是．【答案】54．從這4個數中一次隨機地取2個數，則所取2個數的乘積為6的概率是．【答案】5．已知函數與，它們的圖象有一個橫坐標為的交點，則的值是．【答案】6．設抽測的樹木的底部周長均在區間上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有株樹木的底部周長小于100cm．【答案】247．在各項均為正數的等比數列中，若，，則的值是．【答案】48．設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為，體積分別為，若它們的側面積相等，且，則的值是．【答案】9．在平面直角坐標系xOy中，直線被圓截得的弦長為．【答案】10．已知函數，若對任意，都有成立，則實數m的取值范圍是．【答案】11．在平面直角坐標系xOy中，若曲線(為常數)過點，且該曲線在點P處的切線與直線平行，則的值是．【答案】12．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知，，，則的值是．【答案】2213．已知是定義在R上且周期為3的函數，當時，．若函數在區間上有10個零點(互不相同)，則實數a的取值范圍是．【答案】14．若的內角滿足，則的最小值是．【答案】解法二:(1)如圖，延長OA,CB交于點F.因為tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.因為OA=60,OC=170，所以OF=OCtan∠FCO=.CF=,從而.因為OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，又因為AB⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB==，從而BC=CF－BF=150.因此新橋BC的長是150m.(2)設保護區的邊界圓M與BC的切點為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設MD=rm，OM=dm(0≤d≤60).因為OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，故由(1)知，sin∠CFO=所以.因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80m,所以即解得故當d=10時,最大，即圓面積最大.所以當OM=10m時，圓形保護區的面積最大.19．(本小題滿分16分)已知函數其中e是自然對數的底數．（1）證明：是上的偶函數；（2）若關于x的不等式在上恒成立，求實數m的取值范圍；（3）已知正數a滿足：存在，使得成立．試比較與的大小，并證明你的結論．【答案】本小題主要考查初等函數的基本性質、導數的應用等基礎知識，考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題的能力.滿分16分.（1），，∴是上的偶函數（2）由題意，，即∵，∴，即對恒成立令，則對任意恒成立∵，當且僅當時等號成立∴（3），當時，∴在上單調增令，∵，∴，即在上單調減∵存在，使得，∴，即∵設，則當時，，單調增；當時，，單調減因此至多有兩個零點，而∴當時，，；當時，，；當時，，．20．(本小題滿分16分)設數列的前n項和為．若對任意的正整數n，總存在正整數m，使得，則稱是“H數列”．（1）若數列的前n項和，證明：是“H數列”；（2）設是等差數列，其首項，公差．若是“H數列”，求d的值；（3）證明：對任意的等差數列，總存在兩個“H數列”和，使得成立．【答案】本小題主要考查數列的概念、等差數列等基礎知識，考查探究能力及推理論證能力,滿分16分.（1）當時，當時，∴時，，當時，∴是“H數列”（2）對，使，即取得，∵，∴，又，∴，∴（3）設的公差為d令，對，，對，則，且為等差數列的前n項和，令，則當時；當時；當時，由于n與奇偶性不同，即非負偶數，因此對，都可找到，使成立，即為“H數列”．的前ｎ項和，令，則∵對，是非負偶數，∴即對，都可找到，使得成立，即為“H數列”因此命題得證.數學Ⅱ(附加題)21.【選做題】本題包括A,B,C,D四小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區域內作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.【選修4-1:幾何證明選講】(本小題滿分10分)如圖，AB是圓O的直徑，C、D是圓O上位于AB異側的兩點證明:∠OCB=∠D.本小題主要考查圓的基本性質，考查推理論證能力.滿分10分.證明：因為B,C是圓O上的兩點，所以OB=OC.故∠OCB=∠B.又因為C,D是圓O上位于AB異側的兩點，故∠B，∠D為同弧所對的兩個圓周角，所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.B.【選修4-2:矩陣與變換】(本小題滿分10分)已知矩陣，，向量，為實數，若，求的值．【答案】本小題主要考查矩陣的乘法等基礎知識，考查運算求解能力.滿分10分.，，由得解得C.【選修4-4:坐標系與參數方程】(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為(t為參數)，直線l與拋物線交于兩點，求線段AB的長．【答案】本小題主要考查直線的參數方程、拋物線的標準方程等基礎知識，考查運算求解能力.滿分10分.直線l：代入拋物線方程并整理得∴交點，，故D.【選修4-5:不等式選講】(本小題滿分10分)已知x>0,y>0,證明：(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.本小題主要考查算術一幾何平均不等式.考查推理論證能力.滿分10分.證明：因為x>0,y>0,所以1+x+y2≥，1+x2+y≥，所以(1+x+y2)(1+x2+y)≥=9xy.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22．(本小題滿分10分)盒中共有9個球，其中有4個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同．（1）從盒中一次隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率P；（2）從盒中一次隨機取出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數分別記為，隨機變量X表示中的最大數，求X的概率分布和數學期望．22.【必做題】本小題主要考查排列與組合、離散型隨機變量的均值等基礎知識，考查運算求解能力.滿分10分.（1）一次取2個球共有種可能情況，2個球顏色相同共有種可能情況∴取出的2個球顏色相同的概率（2）X的所有可能取值為，則∴X的概率分布列為X234P故X的數學期望23．(本小題滿分10分)已知函數，記為的導數，．（1）求的值；（2）證明：對任意的，等式成立．23.【必做題】本題主要考查簡單的復合函數的導數，考查探究能力及運用數學歸納法的推理論證能力.滿分10分.(1)解：