第一章函數與不等式專題講座一、知識梳理函數中的基礎知識1、函數的概念、定義域、值域、解析式、圖像；2、函數的性質：奇偶性、單調性、周期性、最值；3、反函數的概念；4、冪函數、指數函數和對數函數；5、三角函數和反三角函數；不等式中的基礎知識1、不等式的基本性質；2、基本不等式。二、基本解題方法梳理1、“基本性質”法：即利用“常用函數”的基本性質解決有關函數問題的方法。適用情境：與“常用函數”直接或間接相關的問題這里所說“常用函數”是指：常數函數y=c；一次函數y=ax+b(a≠0)；二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)；；冪函數y=xa；指數函數y=ax(a＞0,a≠1)；對數函數y=logax(a＞0,a≠1)；三角函數y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx；反三角函數y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx；*注：必須十分熟悉“常用函數”在給定區間上的圖像和性質.常見題型與解法（1）已知函數是“常用函數”，那么直接可以利用“常用函數”的性質來解；如：若函數的函數值恒為正，求實數a的取值范圍.可直接利用二次函數的性質解決這個問題.（2）已知函數不是“常用函數”，通過換元法將變量代換，使其轉換為“常用函數”的問題，再用“常用函數”的性質來解.如：若函數的最小值為8，求實數a的值.只要令，問題即可轉化為二次函數的性質問題了.（3）已知函數不是“常用函數”，通過公式變形轉換為“常用函數”，再用“常用函數”的性質來解.如：求函數的最小正周期.利用三角比公式可將問題轉化為某個三角函數的最小正周期問題了.2、定義法：即利用函數、反函數和函數的單調性、奇偶性、周期性的定義來解決有關問題的方法.適用情境：當遇到一些不能化為“常用函數”的問題時，特別是討論一些較復雜的函數或抽象函數性質的問題，我們常常直接運用函數和反函數的定義、函數的有關性質（單調性、奇偶性、周期性）的定義來解.常見題型與解法（1）要證明某一函數的單調性、奇偶性、周期性，或證明某一函數是另一函數的反函數等；（2）已知某一函數的單調性、或奇偶性、或周期性等，要得出一些新的結論或解決一些新的問題.3、圖像法：即利用函數的圖像來解決有關問題的方法.適用情境：當有些函數從解析式角度進行分析有困難時，可以畫出函數圖像，通過觀察圖像尋求解決問題的思路或直觀的解決問題，其本質是數形結合.常見題型與解法（1）通過函數的圖像討論函數的定義域、值域、最值；（2）通過函數的圖像的對稱性討論函數的奇偶性；（3）通過函數的圖像從左至右的上升或下降討論函數的單調性；（4）通過函數的圖像關于對稱的圖形討論函數與它的反函數；（5）通過函數的圖像與軸的交點的橫坐標，討論方程的解；（6）通過和的圖像交點的橫坐標，討論方程的解.解題的實質是轉化，而實現轉化是否順利取決于學生對基礎知識與基本方法的掌握程度.因此，學生對基礎知識與基本方法的掌握程度是提高學生分析問題與解決問題能力的前提或條件.三、典型例題講解試題1[2004（5）]設奇函數的定義域為[-5,5].若當[0,5]時,的圖象如右圖，則不等式<0的解是．[思路分析]本題要利用函數的奇偶性先畫出函數在區間[-5,5]上的圖像,然后根據圖像找到使得函數值小于0的自變量x的取值范圍．[試題解析]解：由于函數為奇函數，圖像關于原點對稱，可知函數在[－5，0]上的圖像，由圖像可得不等式的解是(－2,0)∪(2,5].試題2[2004（19）]記函數的定義域為A，,（<1）的定義域為B．求A；若,求實數的求值范圍．[思路分析]根據冪函數和對數函數的定義域可解出集合A與B，再利用條件，可找出的不等關系，通過解不等式得出結果．[試題解析]（1），得，所以或，即.（2）由，得，，因為，所以，得,因為，所以或，即或，而，故當時，.試題3[2004（18）]某單位用木料制作如圖所示的框架，框架下部是邊長分別為x，y（單位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形.要求框架圍成的總面積為8m2，問x、y分別為多少（精確到0.001m[思路分析]建立數學模型的關鍵是將框架用料的長度用x與y表示出來，再利用條件“框架圍成的總面積為8m2”[試題解析]由題意得得.于是,框架用料長度為當,即時等號成立.此時.故當x為2.343m,y為2.828m時，用料最試題4[2006（12）]三個同學對問題“關于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實數的取值范圍”提出各自的解題思路．甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”．丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數，作出函數圖像”．參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是．[思路分析]三位同學雖然都對此問題作進行了轉化，但是甲同學的轉化是不等價的，丙同學的轉化難以實施，所以只有選擇乙同學的轉化方法可化繁為簡．準確做出判斷，然后根據分式函數和絕對值、二次函數知識求解．[試題解析]由＋25＋|－5|≥，而，等號當且僅當時成立；且，等號當且僅當時成立，可知兩個函數在x=5時同時取到最小值；所以，，等號當且僅當時成立；故．試題5[2004理（20）]已知二次函數的圖像以原點為頂點且過點(1,1)，反比例函數的圖像與直線的兩個交點間距離為8，．(1)求函數的表達式；(2)證明:當時，關于x的方程有三個實數解．[思路分析]根據題意先要確定二次函數和反比例函數的解析式，然后可利用兩個不同形式函數的圖像的相交情況對實數解進行分析討論，也可以用解方程得辦法把高次方程轉化為我們熟悉的二次方程對實數解進行個數的討論．[試題解析](1)由已知二次函數的圖像以原點為頂點，設，由，得，∴．設(k>0)，它的圖像與直線的交點分別為A(,)、B(－,－)，由=8,得k=8，∴．故．（2）【證法一】，得，即．在同一坐標系內作出和的大致圖像,其中的圖像是以坐標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線,與的圖像是以(0,)為頂點,開口向下的拋物線．因此，與的圖像在第三象限有一個交點，即有一個負數解．又∵,當>3時，，∴當>3時，在第一象限的圖像上存在一點(2,)在圖像的上方．∴與的圖像在第一象限有兩個交點,即有兩個正數解．因此，方程有三個實數解.【證法二】由，得，即，得方程的一個解．方程可化為，由，△，得，，∵，，∴，且.若，即，則,，得或，這與矛盾,∴．故原方程有三個實數解．試題6[2005（16）]設定義域為R的函數，則關于的方程有7個不同實數解的充要條件是（）A．且B．且C．且D．且．[思路分析]此題入手可分兩步：首先從方程的角度進行轉化，將方程轉化為函數，再進行數形結合，畫出函數y=f(x)的圖像；然后尋找函數與方程的解即函數兩圖像之間的交點個數．[試題解析]：設有7個不同實數解的充要條件是方程有兩個根，一個等于0，一個大于0.此時據韋達定理可知且．選C試題7已知函數＝＋有如下性質：如果常數＞0，那么該函數在0，上是減函數，在，＋∞上是增函數．（1）如果函數＝＋（＞0）的值域為6，＋∞，求的值；（2）研究函數＝＋（常數＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；（3）對函數＝＋和＝＋（常數＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數＝＋（是正整數）在區間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．本題從的性質出發，即可順利解決第一個問題；用單調函數以及函數的奇偶性來研究第二個問題；由第一和第二個問題的解決抽象出一般規律加以推廣，從而解決第三個問題．（1）函數(x>0)的最小值是2，則2，∴b=log29.(2)設.當時，，函數在[，+∞)上是增函數；當時，，函數在(0，]上是減函數．又是偶函數，于是，該函數在(－∞，－]上是減函數，在[－，0]上是增函數；(3)可以把函數推廣為(常數a>0),其中n是正整數．當n是奇數時,函數在(0，]上是減函數,在[，+∞)上是增函數，在(－∞，－]上是增函數,在[－，0)上是減函數；當n是偶數時,函數y=在(0，]上是減函數，在[，+∞)上是增函數，在(－∞，－]上是減函數,在[－，0)上是增函數；+=因此在[,1]上是減函數,在[1,2]上是增函數．所以，當或時，取得最大值()n+()n；當時取得最小值．四、綜合練習一、填空題1、方程的解是．2、函數的定義域是．3、已知函數是定義在上的偶函數.當時，，則當時，.4、若函數＝（a＞0，且≠1）的反函數的圖像過點（2，－1），則＝．5、函數的反函數．6、方程的解是_______.7、若函數f(x)=a在[0,+∞)上為增函數,則實數a、b的取值范圍是.8、函數的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則的取值范圍是__________9、若曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是_________.二、選擇題10、在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N四點中，函數的圖象與其反函數的圖象的公共點只可能是點（） A．P． B．Q. C．M. D．N.11、若函數，則該函數在上是（）A．單調遞減無最小值B．單調遞減有最小值C．單調遞增無最大值D．單調遞增有最大值.12、設是定義在正整數集上的函數，且滿足：“當成立時，總可推出成立”．那么，下列命題總成立的是（）A．若成立，則當時，均有成立B．若成立，則當時，均有成立C．若成立，則當時，均有成立D．若成立，則當時，均有成立.三、解答題13、已知函數，（為正常數），且函數與的圖像在軸上的截距相等.（1）求的值；（2）求函數的單調遞增區間；14、已知函數，求函數的定義域，并討論它的奇偶性和單調性.15．現有一批貨物從上海洋山深港運往青島，已知該船的最大航行速度為35海里/小時，上海至青島的航行距離約為500海里，每小時的運輸成本由燃料費用和其余費用組成.輪船每小時使用的燃料費用與輪船速度的平方成正比（比例系數為0.6），其余費用為每小時960元.（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度x（海里/小時）的函數；（2）為了使全程運輸成本最小，輪船應以多大速度行駛？16、已知函數，常數．（1）當時，解不等式；（2）討論函數的奇偶性，并說明理由．17、已知函數有如下性質：如果常數，那么該函數在上是減函數，在上是增函數.（1）如果函數在上是減函數，在上是增函數，求的值.（2）設常數，求函數的最大值和最小值；18、對定義域分別是、的函數、，規定：函數．（1）若函數，，寫出函數的解析式；（2）求問題（1）中函數的值域.五、綜合練習參考答案一、填空題1、；2、；3、;4、解：由互為反函數關系知，過點，代入得：5、；6、5；7、a>0且b≤08、解：從圖像可以看出直線有且僅有兩個不同的交點時,9、解：作出函數的圖像，如右圖所示：所以，.二、選擇題10、D；11、A；12、D.三、解答題13、解：(1)由題意，，又，所以;(2)當時，，它在上單調遞增；當時，，它在上單調遞增。14、解：x須滿足所以函數的定義域為（－1，0）∪（0，1）.因為函數的定義域關于原點對稱，且對定義域內的任意x，有，所以是奇函數.研究在（0，1）內的單調性，任取x1、x2∈（0，1），且設x1<x2，則得>0，即在（0，1）內單調遞減，15、解（1）（2）35海時/小時速度行駛。16、解：（1），