第08講等差、等比數列

【考點1】數列的概念及其喪示方法

等差、等比數列【考點2】等差數列及其前n項和

【考點3】等比數列及其前n項和

【考點梳理】

一、數列的概念及簡單表示法

1.數列的定義

按照二軌序排列起來的一列數叫做數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項.

2.數列的分類

分類標準類型滿足條件

有窮數列項數有限

項數

無窮數列項數無限

遞增數列13/i

項與項遞減數列a〃+1其中

間的大常數列4+1=品

小關系從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小

擺動數列

于它的前一項的數列

3.數列的表示法

數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

4.數列的通項公式

(1)通項公式：如果數列｛a,,｝的第n項a“與&之間的關系可以用一個式子4=1,(〃)來表示，那么這個公式叫

做這個數列的通項公式.

(2)遞推公式：如果已知數列｛a,,｝的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項為與它的前一

項(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.

等差數列及其前A項和1.等差數列的概念

(1)如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列.

數學語言表達式：ae-a產小nGN,,d為常數).

(2)如果三個數x,A,y組成等差數列，那么/叫做x和y的等差中項，且/=中.

2.等差數列的通項公式與前0項和公式

(1)若等差數列｛a,)的首項是公差是4則其通項公式為a,,=a+"l)d

〃(〃一1)dn(a1+a〃)

(2)前〃項和公式:Sn=na、-2=2

3.等差數列的性質

(1)通項公式的推廣：a”=a.+(〃一川)d(n,.

(2)若｛&｝為等差數列，且k+l=m+n(k,1,m,/?GN.),則ada【=a0+a..

⑶若｛&｝是等差數列，公差為d,貝Da.,a+“a*,…(4，服N)是公差為血的等差數列.

⑷若S為等差數列出｝的前〃項和，則數列S?SL樂，…也是等差數列.

(5)若$為等差數列｛a｝的前n項和，則數列也為等差數列.

三、等比數列及其前A項和

1.等比數列的概念

(1)如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個非零常數,那么這個數列叫做等比數

列.

數學語言表達式：—=5(^2,g為非零常數).

3n—1

(2)如果三個數必G,y組成等比數列，則G叫做*和y的等比中項，其中G=土應.

2.等比數列的通項公式及前〃項和公式

(1)若等比數列｛a｝的首項為外,公比是q,則其通項公式為a“=a、cF':

，e>

通項公式的推廣：an=asnq~.

(2)等比數列的前"項和公式：當g=l時，團；當gWl時，$=曳產9-=色產.

3.等比數列的性質

已知｛a｝是等比數列，S,是數列｛a,J的前n項和.

(1)若A+/=/+〃(4,1,m,nWN),則有a*?&=且二芻.(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即

a。.

a什“，&+%,…仍是等比數列,公比為《

(3)當g#—1,或g=-1且”為奇數時，S?Sz-S?,￡.一￡”…仍成等比數歹U,其公比為￡

9【解題方法和技巧】

1.等差數列的判斷方法

(1)定義法：對于"22的任意自然數，驗證外一服一為同一常數；

(2)等差中項法：驗證2%_1=4“+”"-2(史3,"CN*)都成立；

(3)通項公式法：驗證a?—pn+q；

(4)前n項和公式法：驗證S,,=An2+Bn.

注后兩種方法只能用來判斷是否為等差數列，而不能用來證明等差數列.

2.等比數列的判斷方法有：

(1)定義法：若竽=虱4為非零常數)或于"=40為非零常數且叱2且“GN+),則｛斯｝是等比數列.

OnUn—1

(2)中項公式法:在數列｛斯｝中，且al+i=an-aft+2(nGN*),則數列｛斯｝是等比數列.

(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成a〃=cq〃(c,夕均是不為0的常數，則｛〃〃｝是等比數列.

注：前兩種方法也可用來證明一個數列為等比數列.

3.等差數列的常用性質

(1)通項公式的推廣：an=atn+(n—myKn,機￡N*).

(2)若｛〃〃｝為等差數列，且m+〃=p+q,

貝ij4切+小=如+劭(，及,p,q￡N)

(3)若｛a”｝是等差數列,公差為d,則以,ak+m,四+2〃”…(左，是公差為空4的等差數列.

(4)數列5陰，S2m-Smf§3〃?一S2"］，…也是等差數列.

(5)S2n-l=(2〃-1)。〃.

(6)若"為偶數，貝US蜴-5科=:；

若〃為奇數,則SG-S以=a中(中間項).

4.等比數列的常用性質

nm

(1)通項公式的推廣：an=am-a~,(n,/??eN+).

(2)若｛斯｝為等比數列,且4+/=加+黨，/,my；?GN,.),則ak：a」=維?⑶若｛小｝,｛仇｝(項數相同)是等比數

列，則｛〃〃｝(理0),｛m,｛點｝,｛Qn,bn｝,｛卻仍是等比數列.

(4)公比不為一1的等比數列｛”“｝的前〃項和為S“則S“S2“一S”S3,,一S2”仍成等比數列，其公比為更

5.等差數列的前〃項和公式

若已知首項s和末項斯，則S,尸心】尸),或等差數列｛〃“｝的首項是⑶，公差是d,則其前〃項和公式為

6.等比數列的前〃項和公式

等比數列｛斯｝的公比為(7(#0),其前n項和為S”,

當夕=1時，Sn=na\\

上.葉c—皿上團_"二馴

T"1時，S'L1-q~\—q-

【考點剖析】

【考點1］數列的概念及其表示方法

一、單選題

1.(2020?上海高三專題練習)已知數列｛4｝的前〃項和為S“，則"4<%+］(〃eN*)”是

CC

n〃+1'7

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

2.(2020?上海高三專題練習)已知數列｛4｝,｛"｝滿足q=4=1,對任何正整數n均有

an+i=an+bn+]a：+b；,bn+l=an+bn-加+b；，設G=3"（丁+；）,則數列｛g｝的前2020項之和為

【考點2］等差數列及其前n項和

一、解答題1.已知數列｛《,｝前〃項積為北，且見+4=1(〃eN*).

⑴求證：數列［匕｝為等差數列；

(2)設5“=邛+(2+…+(：，求證：5?>a?+l-l.

2.己知數列｛%｝的前〃項和為S,，若生=4,義二=

（1）求證：數列｛q｝是等差數列；

（2）從下面兩個條件中選一個，求數列也｝的前n項的和T.

①d=?Tl|；

②4=%,1%“一出“%,+|.

3.已知數列｛。“｝滿足4=2,前〃項的和S“，且凡“+”“=3x2".

⑴寫出生,%，并求出數列｛4｝的通項公式；⑵在①d=log2（。/,向+可；②d=log2（，+4）這兩個條件中

任選一個補充在下面橫線中，并加以解答.若數列他｝滿足,求實數A使得數列出｝是等差數列.

（注：如果求解了兩個問題，則按照第一個問題解答給分）

4.記S,為等差數列｛%｝的前〃項和，已知4+%=1°，鼠=0.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）求S“,并求S”的最大值.

5.（2020?上海高三專題練習）數列｛%｝滿足q=1,S“+1=4。“+3,求。2019—2。2。18的值和

【考點3】等比數列及其前n項和

一、單選題

1.（2020.上海高三專題練習）設數列｛。”｝,下列判斷一定正確的是（）A.若對任意正整數〃，都有

%=4"成立，則｛《,｝為等比數列

B.若對任意正整數〃，都有凡M=。“”"+2成立，則｛4｝為等比數列

C.若對任意正整數”，〃，都有a=2'""成立，則｛q｝為等比數列

D.若對任意正整數"，都有-------=-——一成立，則｛4｝為等比數列

anean+3an+\'。〃+2

2.已知數列｛4｝為等比數列，其前"項和為5“，且S"=5"-"，則。=（）

A.-5B.5C.1D.-1

二、解答題

3.已知正項數列｛4｝的前〃項和為S“，S2=12,且―《/“（m/eN）

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵若b?=nan,求數列他｝的前n項和T?.

5-5

4.已知數列｛〃,,｝的前"項和為S“,4=1,%=2,%=7,且滿足：產二工=3,其中“eN"且”>1.

3”+1-，一1

⑴求%+1+%.

（2）求數列｛（—1）"〃〃｝的前〃項和Tn.

5.設S,為數列｛q｝的前〃項和，己知。“>0,4+2%=45“+3（〃€^）.若數列出｝滿足a=2,3=4,

死?=人也+2?N）（l）求數列｛q｝和也｝的通項公式；

⑵設%=S"，求數列｛4｝的前2〃項的和也.

b”,（〃=2k,kwN）

■【真題模擬題專練】

一、單選題

222

1.（2022?上海黃浦?二模）記方程①：x+a,x+\=0,方程②：x+a2x+2=0,方程③：x+a3x+4=0,

其中％,電，%是正實數.當％,%,生成等比數列時，下列選項中，能推出方程③有兩個不相等的實根

的是（）.

A.方程①有實根，且②有實根

B.方程①有實根，且②無實根

C.方程①無實根，且②有實根

D.方程①無實根，且②無實根

2.（2017?上海?高考真題）已知〃、6、c為實常數，數列｛%｝的通項%=刖2+加+以”wN*,則“存在7wN*,

使得為岫八々如小為如*成等差數列”的一個必要條件是（）

A.a>QB.b<0C.c=0D.a-2b+c=0

3.（2022?上海?模擬預測）已知數列｛q｝,｛〃｝,｛5｝,以下兩個命題：①若｛4+"｝,｛%+%｝,｛%+￡｝都是遞

增數列,則｛叫，也｝,｛%｝都是遞增數列；②若｛q+"｝,也+%｝,｛4+C,｝都是等差數列，則｛%｝，也,｝，｛%｝都

是等差數列，下列判斷正確的是（）A.①②都是真命題B.①②都是假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

4.（2022.上海交大附中模擬預測）設等差數列如%，…，卬。，首項《=-2.設實系數一元二次方程

4/+彳+4=0的兩根為不當.若存在唯一的%=1,2,…,10）,使得|西一百<6,則公差d的取值可能

為（）

A.-B.-C.-D.-

4444

5.（2022?上海崇明?二模）已知無窮等比數列｛4｝中4=2,它的前“項和為S”，則下列命題正確

的是（）

A.數列｛S“｝是遞增數列B.數列｛S,J是遞減數列

C.數列｛SJ存在最小項D.數列區,｝存在最大項

6.（2022?上海徐匯?二模）設數列｛4,｝,若存在常數r,對任意小的正數L總存在正整數〃°,當時，

\a?-t\<s,則數列｛4“｝為收斂數列.下列關于收斂數列說法正確的是（）

A.若等比數列｛叫是收斂數列，則公比”（0,1）

B.等差數列不可能是收斂數列

C.設公差不為0的等差數列｛q｝的前〃項和為s”（s“*o）,則數列?一定是收斂數列

D.設數列｛%｝的前〃項和為S“，滿足q=l,=??+!,則數列｛4｝是收斂數列

7.（2022.上海青浦.二模）設各項均為正整數的無窮等差數列｛%｝,滿足"璘=2022,且存在正整數人,使

4、“338、4成等比數列，則公差d的所有可能取值的個蓼為（）

A.1B.4C.5D.無窮多

2

8.（2021.上海市大同中學三模）已知數列｛叫滿足4生工。，若/2=4用+學，貝『'數列｛叫為無窮數歹U”

是“數列｛q,｝單調''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、填空題

9.（2022?上海市光明中學模擬預測）已知公差為或4工0）的等差數列｛叫，其中裙=%生,則

4一生+%-?4

10.（2013?上海?高考真題（理））設非零常數d是等差數列王,々,鼻，…，心的公差，隨機變量g等可能地取

值冷在后,…,小，則方差。（4）=

11.（2022.上海.模擬預測）等差數列｛5｝中，4=圭，4=%%=，（〃?*"），則數列｛q｝的公差為

12.（2022?上海虹口?二模）已知等比數列｛q｝的前"項和為5“，公比夕>1,且4+1為q與生的等差中項，

邑=14.若數列圾｝滿足2=log?4,其前”項和為7.，則?；=.

13.（2022?上海靜安?二模）數列｛七｝滿足4=2,?2=-1-,若對于大于2的正整數"，an=—^—,則

1-41-%

?102=.

14.（2022?上海閔行?二模）已知無窮等比數列｛%｝的各項均為正整數，且=2022,〃eN*,則滿

an+\~a\an

足條件的不同數列｛??｝的個數為:

15.（2022?上海徐匯?三模）已知一簇雙曲線E“：x2_y2=（lj（〃eM,〃42022）,設雙曲線線的左、右

焦點分別為々、"，P"是雙曲線耳,右支上一動點，然耳“心的內切圓G“與x軸切于點4（a“0）,則

4++…+〃2022=?

16.（2022?上海市七寶中學模擬預測）定義在R上的函數f（x）滿足/（x+l）=展工西+g，〃1）=1，

已知4,=產（〃）-/（"），則數列｛，｝的前40項和_____,

17.（2022.上海浦東新.二模）若各項均為正數的有窮數列｛%｝滿足用**+1,（n>3,l<i<n-i,

zeN",rteN"）,%+必+%_|---ny“=2022,則滿足不等式％+M的正整數M的最大值為.

三、解答題

18.（2022?上海?位育中學模擬預測）設&｝、同是兩個數列，M（1,2）,4.（2,q）凡仁裳）為直角坐標

平面上的點.對〃eN*,M、4、紇三點共線.

（1）求數列｛q｝的通項公式；

⑵若數列出｝滿足：log?%=,其中｛%｝是第三項為8,公比為4的等比數列.求證：點

「十。2十…十

列4（1,4）、￡（2也）、…、勺（〃,女）在同一條直線上;

（3）記數列｛%｝、｛〃｝的前加項和分別為4和5“，對任意自然數〃，是否總存在與"相關的自然數機，使得

4,8,"="'?若存在，求出機與"的關系，若不存在，請說明理由.

19.（2022?上海?高考真題）已知數列｛%｝,1=1，的前〃項和為5,,.

（D若｛4｝為等比數列,$2=3,求理，；

（2）若｛““｝為等差數列，公差為d,對任意〃eN"均滿足Sz.2”,求d的取值范圍.

20.（2022?上海黃浦?模擬預測）有以下真命題：已知等差數列｛q｝,公差為d,設冬，,，…，旬,是數列｛q｝

中的任意〃?個項，若…=2+二（0VrweN,p、〃[eN*）①，則有

mmv/

a+a+…+a“-

n------n-----------^=a+r—d@.

mm

（1）當帆=2,r=0時，試寫出與上述命題中的①，②兩式相對應的等式；（2）若｛%｝為等差數列，

“2+04+X+"16+。32+。64+°128+°256=24,且43=6,求｛4｝的通項公式.

（3）試將上述真命題推廣到各項為正實數的等比數列中，寫出相應的真命題，并加以證明.

21.（2022.上海長寧.二模）甲、乙兩人同時分別入職A8兩家公司，兩家公司的基礎工資標準分別為：A

公司第一年月基礎工資數為3700元，以后每年月基礎工資比上一年月基礎工資增加300元；B公司第一年

月基礎工資數為4000元，以后每年月基礎工資都是上一年的月基礎工資的1.05倍.

（1）分別求甲、乙兩人工作滿10年的基礎工資收入總量（精確到1元）

（2）設甲、乙兩人入職第〃年的月基礎工資分別為知、仇,元，記[=”“-〃，討論數列｛%｝的單調性，指出哪

年起到哪年止相同年份甲的月基礎工資高于乙的月基礎工資，并說明理由.

22.（2022?上海閔行?二模）已知｛4｝是公差為d的等差數列，前〃項和為的平均值為4,

的平均值為12.

2

⑴求證：Sn=n?

（2）是否存在實數r,使得巴必一＜1對任意恒成立，若存在，求出，的取值范圍，若不存在，請說明

理由.

23.（2022.上海青浦.二模）治理垃圾是改善環境的重要舉措.A地在未進行垃圾分類前每年需要焚燒垃圾

量為200萬噸，當地政府從2020年開始推進垃圾分類工作，通過對分類垃圾進行環保處理等一系列措施，

預計從2020年開始的連續5年，每年需要焚燒垃圾量比上一年減少20萬噸，從第6年開始，每年需要焚

燒垃圾量為上一年的75%(記2020年為第1年).

(1)寫出A地每年需要焚燒垃圾量與治理年數〃的表達式；

⑵設4為從2020年開始"年內需要焚燒垃圾量的年半咫值，證明數列｛4｝為遞減數列.

24.(2022?上海靜安?二模)若數列｛凡｝同時滿足下列兩個條件，則稱數列｛凡｝具有“性質

①婦產向(”eN*)；②存在實數A,使得對任意〃eN*,有24成立.

⑴設an=一4〃+5也=sin詈，試判斷｛q｝,電｝是否具有“性質A”；

7

(2)設遞增的等比數列｛%｝的前〃項和為S“，若。2=-1,53=-5,證明：數列｛，｝具有“性質A”，并求出A的

取值范圍；(3)設數列｛4｝的通項公式公=2%+0若數列｛4,｝具有“性質A”，其滿足條

件的A的最大值4=10,求f的值.

25.(2022?上海崇明?二模)已知集合的啊xwZ｝(Z是整數集，〃?是大于3的正整數).若

含有加項的數列滿足：任意的都有“CM,且當iwj時有。尸令,當，〈加時有|%「引=2或

|?,>-?,|=3,則稱該數列為P數列.

⑴寫出所有滿足機=5且4=1的戶數列；

(2)若數列｛勺｝為P數列，證明：伍“｝不可能是等差數列；

(3)已知含有100項的戶數列｛“"｝滿足……’《00(左=1,2,3,…,20)是公差為d(d>0)等差數列，求d所

有可能的值

26.(2022?上海金山?二模)對于集合A=…讓2且〃eN*,定義A+A=｛x+y|xeA,yeA且

x*y｝.集合A中的元素個數記為|A|,當|4+川=若4時，稱集合4具有性質「.

⑴判斷集合A=｛1,2,3｝,4=｛1,2,4,5｝是否具有性質并說明理由;

(2)設集合J3=｛l,3,，,q｝(p，4€N,且3<p<q)具有性質「，若5+B中的所有元素能構成等差數列，求P、4的

值；

(3)若集合A具有性質f,且A+A中的所有元素能構成等差數列，問：集合A中的元素個數是否存在最大值?

若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.

27.(2013?上海?高考真題(理))給定常數c>0,定義函數/(x)=2|x+c+4Hx+c|,數列…滿

足”“*i=/(”“)，

(1)若q=-c-2,求生及%;

(2)求證：對任意”6%",〃“+|-凡2<?,;

(3)是否存在為,使得…4,…成等差數列？若存在，求出所有這樣的4,若不存在，說明理由.

28.(2022?上海虹口?二模)對于項數為機的數列｛%｝,若滿足：144<%<一<勺，且對任意14三/4m,

嗎與目中至少有一個是｛a?｝中的項，則稱｛a,,｝具有性質P.

(1)分別判斷數列1,3,9和數列2,4,8是否具有性質P,并說明理由；

(2)如果數列q,a2,a3,應具有性質P,求證：《=1,a4=a2-a3.

(3)如果數列｛4｝具有性質產，且項數為大于等于5的奇數.判斷｛4｝是否為等比數列？并說明理由.

第08講等差、等比數列

【考點1】數列的概念及其表示方法

等差、等比數列【考點2】等差數列及其前n項和

【考點3】等比數列及其前n項和

【考點梳理】

二、數列的概念及簡單表示法

1.數列的定義

按照一定次序排列起來的一列數叫做數列,數列中的每一個數叫做這個數列的項.

2.數列的分類

分類標準類型滿足條件

有窮數列項數有限

項數

無窮數列項數無限

遞增數列a〃+1

項與項遞減數列a.其中

間的大常數列3n+1=3n

小關系從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小

擺動數列

于它的前一項的數列

3.數列的表示法

數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

4.數列的通項公式

(1)通項公式：如果數列｛4｝的第〃項4與&之間的關系可以用一個式子a.=f(〃)來表示，那么這個公式叫

做這個數列的通項公式.

(2)遞推公式：如果已知數列｛a｝的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項&與它的前一

項a-(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.

等差數列及其前A項和L等差數列的概念

(1)如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列.

數學語言表達式：ae-a產小nGN,,d為常數).

(2)如果三個數x,A,y組成等差數列，那么/叫做x和y的等差中項，且/=中.

2.等差數列的通項公式與前0項和公式

(1)若等差數列｛a,)的首項是公差是4則其通項公式為a,,=a+"l)d

〃(〃一1)dn(a1+a〃)

(2)前〃項和公式:Sn=na、-2=2

3.等差數列的性質

(1)通項公式的推廣：a”=a.+(〃一川)d(n,.

(2)若｛&｝為等差數列，且k+l=m+n(k,1,m,/?GN.),則ada【=a0+a..

⑶若｛&｝是等差數列，公差為d,貝Da.,a+“a*,…(4，服N)是公差為血的等差數列.

⑷若S為等差數列出｝的前〃項和，則數列S?SL樂，…也是等差數列.

(5)若$為等差數列｛a｝的前n項和，則數列也為等差數列.

三、等比數列及其前A項和

1.等比數列的概念

(1)如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個非零常數,那么這個數列叫做等比數

列.

數學語言表達式：—=5(^2,g為非零常數).

3n—1

(2)如果三個數必G,y組成等比數列，則G叫做*和y的等比中項，其中G=土應.

2.等比數列的通項公式及前〃項和公式

(1)若等比數列｛a｝的首項為外,公比是q,則其通項公式為a“=a、cF':

，e>

通項公式的推廣：an=asnq~.

(2)等比數列的前"項和公式：當g=l時，團；當gWl時，$=曳產9-=色產.

3.等比數列的性質

已知｛a｝是等比數列，S,是數列｛a,J的前n項和.

(1)若A+/=/+〃(4,1,m,nWN),則有a*?&=且二芻.(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即

a。.

a什“，&+%,…仍是等比數列,公比為《

(3)當g#—1,或g=-1且”為奇數時，S?Sz-S?,￡.一￡”…仍成等比數歹U,其公比為￡

9【解題方法和技巧】

1.等差數列的判斷方法

(1)定義法：對于"22的任意自然數，驗證外一服一為同一常數；

(2)等差中項法：驗證2%_1=4“+”"-2(史3,"CN*)都成立；

(3)通項公式法：驗證a?—pn+q；

(4)前n項和公式法：驗證S,,=An2+Bn.

注后兩種方法只能用來判斷是否為等差數列，而不能用來證明等差數列.

2.等比數列的判斷方法有：

(1)定義法：若竽=虱4為非零常數)或于"=40為非零常數且叱2且“GN+),則｛斯｝是等比數列.

OnUn—1

(2)中項公式法:在數列｛斯｝中，且al+i=an-aft+2(nGN*),則數列｛斯｝是等比數列.

(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成a〃=cq〃(c,夕均是不為0的常數，則｛〃〃｝是等比數列.

注：前兩種方法也可用來證明一個數列為等比數列.

3.等差數列的常用性質

(1)通項公式的推廣：an=atn+(n—myKn,機￡N*).

(2)若｛〃〃｝為等差數列，且m+〃=p+q,

貝ij4切+小=如+劭(，及,p,q￡N)

(3)若｛a”｝是等差數列,公差為d,則以,ak+m,四+2〃”…(左，是公差為空4的等差數列.

(4)數列5陰，S2m-Smf§3〃?一S2"］，…也是等差數列.

(5)S2n-l=(2〃-1)。〃.

(6)若"為偶數，貝US蜴-5科=:；

若〃為奇數,則SG-S以=a中(中間項).

4.等比數列的常用性質

nm

(1)通項公式的推廣：an=am-a~,(n,/??eN+).

(2)若｛斯｝為等比數列,且4+/=加+黨，/,my；?GN,.),則ak：a」=維?⑶若｛小｝,｛仇｝(項數相同)是等比數

列，則｛〃〃｝(理0),｛m,｛點｝,｛Qn,bn｝,｛卻仍是等比數列.

(4)公比不為一1的等比數列｛”“｝的前〃項和為S“則S“S2“一S”S3,,一S2”仍成等比數列，其公比為

5.等差數列的前〃項和公式

若已知首項s和末項斯，則S,尸心】尸),或等差數列｛〃“｝的首項是⑶，公差是d,則其前〃項和公式為

―“+%工

6.等比數列的前〃項和公式

等比數列｛斯｝的公比為(7(#0),其前n項和為S”,

當夕=1時，Sn=na\\

上.葉c—皿上團_"二馴

T"1時，S'L1-q~\—q-

【考點剖析】

【考點1］數列的概念及其表示方法

一、單選題

1.(2020?上海高三專題練習)已知數列｛4｝的前〃項和為S“，則"4eN*)”是

CC

—<34"61”的()

n〃+1'7

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先證明充分性，由條件可得卬+4+…+4<也.+1，通過變形得到建<上皿，再由

nn+1

條件SL<3±L,列舉特殊數列，說明是否成立.

nn+1

【詳解】充分性：若可<a"+i，則有4+4+…+%<〃/+i，即S,,得<〃5.+1，

于是有&<￡±L(〃CN.)成立，故充分性成立.

n幾十1'7

必要性：若｝<》(〃eN*)成立，取數列｛4｝為0,1,1,1,…，但推不出見<a,,+i(〃eN*),故必要性不

成立.故選:A

【點睛】本題考查判斷充分不必要條件，數列的遞推公式和前〃項和公式的綜合應用，重點考查轉化與化歸

的思想，邏輯推理能力，屬于中檔題型.二、填空題

2.(2020?上海高三專題練習)已知數列｛4,｝,｛2｝滿足q=4=1,對任何正整數〃均有

3，，

??+1=an+4+擊；+f,bn+l=a?+b,-^+b；，設J,=(—+j-)，則數列｛g｝的前2020項之和為

【答案】32021-3

【分析】由已知兩個式子相乘或相加得到數列｛q+4｝和｛a,,%｝是等比數列，并寫出通項公式，并代入求

數列｛%｝的通項公式,并求52020.

【詳解】?=%+b?+業+匯，①，%=4+優一冊+瓦②.

兩式相加可得a,“1+bll+l=2(4+4)，

???數列｛4+〃｝是公比為2的等比數列，首項4+bt=2,an+bn=2",neN’,

兩式相乘可得an+ibn+l=(%+々)2-(d+,)=2ah,

，數列｛。出,｝是公比為2,首項。向=1的等比數列，.?.a/,,=2"L〃eN*,

c?=3"()=3""4=23,.孑=3,即數列｛cj是首項為6,公比為3的等比數列，

S,g=6(l_3,"")=32O2i_3?故答案為:3202'-3

20201-3

【點睛】本題考查數列的遞推公式求通項公式，考查轉化與計算能力，屬于中檔題型.

關鍵點點睛：本題的關鍵是對兩個已知等式的變形，相加變形和相乘變形，根據等比數列的定義求等比數

列的通項公式.

【考點2】等差數列及其前n項和

一、解答題

1.已知數列｛4｝前”項積為且4,+7；=1(〃WN*).

⑴求證：數列］匕］為等差數列；

⑵設5,=邛+以+--+7；2,求證：S,【分析】(1)由已知得7；.,=1-a?.,(n>2),

兩式相除整理得—丁L=l(〃22),從而可證得結論，

(2)由⑴可得/=信，則7；=白丁從而S.=￥+7；2+…+窗=/+"+…+/正，然后利用放

縮法可證得結論

(1)因為4,+4=1，所以(,=1-%=3，

所以a=1-和("22),

]—a

兩式相除，得~*522),

整理得，7^-—丁」一=1(〃22).

1-%

所以數列為以2為首項公差為1的等差數列.

11個

(2)因為4+71，所以q=5，匚廠2,

n

由(1)知,；----=2+〃-1,故為

n+\

12n1

所以雹=。?。2……4=-X—X…X---------=

23?77+1H4-1

所以s“=T+q+…+穹=111

iiii1111

」+-L+————-I-———...-1~———————

2x33x45+1)5+2)2334n+\〃+22n+2'

1?+1111

又因為。向

2〃+222〃+2'

所以S“>4+L；

2.已知數列｛4｝的前〃項和為S,,,若生=4,『4

(1)求證：數列｛%｝是等差數歹U;

(2)從下面兩個條件中選一個，求數列｛〃｝的前〃項的和T.

①包=|%-川；

②。二%-化廠外仍"一

【分析】(1)根據號之=〈風可得s,“1=(〃+i)佶相減可得用-1,再得到

n2y2J22

n/74-1

-a,l+2=下一一1,再次相減即可證明結論；

(2)若選①，則討論〃的取值范圍，分段求得結果;

若選②,將仇=，"2"-//2"+1化為"-%+1)，利用⑴的結果，結合等差數列的前"項和公

式求得答案.

(1)證明：因為鼠a=ga"，所以s“

n2\2；

則S向=(〃+1)]；%+1｝

n-1n

兩式相減得一^。的=5勺-1,

所以=■^A+IT，

以上兩式相減得a“+a“+2=2%+1,

所以數列㈤｝是等差數列.

q—/71

⑵，---=7%,中令〃=1得4=2,又出=4,

n2

所以等差數列｛5｝的公差d=4-4=2,

所以4=2+2(〃-1)=2〃，S〃=〃(〃+1),

若選①：

若"45,4=11—4,則北=(11-4)+(11-％)+—+(11-q)=1山一反

+=+10〃；

若〃26,Tn=(11—6Z])+(11—?2)4---b(l1-%)+(〃6----11)

2

=S/,-2S5+11(10-H)=M-10/2+50,

"ITf-^2+10n,72<5

所以7H〃-O”+5O,〃”

若選②：

Tn=a\a2~a2a3+a3a4~。4a5+…+%-口2〃一〃2仍〃+1=%(々I-%)+4(%一%)+…+%”(%-1一%+1)

=-4(〃2+々4+…+。2〃)=~4xX.二-4x4；4jX.=_8〃2一8〃.

3.已知數列｛4｝滿足4=2,前〃項的和S”，且磯+4=3x2”.

(I)寫出〃2,%，并求出數列｛4｝的通項公式;

(2)在①2=log2(aMz+/l)；②2=log2(S,+/l)這兩個條件中任選一個補充在下面橫線中，并加以解答.若

數列也｝滿足，求實數2使得數列｛b?｝是等差數列.

(注：如果求解了兩個問題，則按照第一個問題解答給分)

【答案】(1)“2=4,%=8,4=2”

(2)若選①，4=0；若選②，A=2.

【分析】(1)根據遞推關系可求得4，/，可猜想得到4,=2"；利用數學歸納法可證得=2"；

(2)若選條件①，由%+"-=2"可整理得到22"T.15；l=22"+2./l，由此可得小

若選條件②，由〃出+〃-=2a可整理得到5(2—2)2=(2-2>2"+2,由此可得義.

2

(1)由a“+i+。“=3x2"得：a2=3x2-67,=4；a3=3x2-4=8；

猜想可得：。"=2"；

當〃=1時，4=2滿足q=2”；

假設當〃=左時，%=2★成立，

+,

則當〃=%+1時，ak+l=3x2"—4=3x2'—2"=2*-(3-1)=2*成立，

綜上所述：當”eN*時，4=2”.

(2)

若選條件①，b?=log,(2"-2"+l+司=log,(22n+,+A),

若｛bn｝為等差數列，則%+%=2bn,

2n+32,2n+l

即log,(2+A)+log2(2'-'+A)=21og2(2+A),

(22n+3+/l).(22n-1+A)=(22,,+'+2)2,整理得：(2?"+3+22"-')A=22,,+2-2,

即2"i.]52=22"+2-幾，.?.15/1=8/1,解得：A=0,

，，+l

則存在實數2=0,使得也｝為等差數列；若選條件②，S,=2(；_；)=2"+-2,.■?^=log2(2-2+/l),

若低｝為等差數列，則%+如=2bn,

,,+2,,,,+l

.-.log2(2-2+A)+log2(2-2+/l)=2log,(2-2+2),

（2八-2+2）.（2n-2+2）=（2n+,-2+A）2,整理得：（2M+2+2"）（2-2）=2"+2（2-2）,

BP5（A-2）-2,'=（2-2）-2n+2,.-.5（2-2）=4（A-2）,解得:2=2,

則存在實數2=2,使得他｝為等差數列.

4.記S,為等差數列｛%｝的前〃項和，已知q+%=1。，$8=0.

（1）求｛%｝的通項公式；

⑵求S“，并求S”的最大值.

【答案】⑴4=9-2雙2電=-/+8",（5?）_=16

【分析】（1）利用等差數列通項和求和公式直接構造方程組求得q,d,由此可得知;

（2）利用等差數列求和公式可求得S,,,利用S”的二次函數性可求得最大值.

（1）設等差數列｛4｝的公差為d,

%+。3=24+2"=10缶=7

則c?8x7,n，解得：1?.q=7-2（，1）=9一2乩

\=8tz,+—^-d=0［d=-2

⑵由（1）得：§〃=〃（7+9-2〃）;“2+8九,

2

Q

則當〃=-三=4時，（S.）a=S4=76+32=16.

一2

5.（2020?上海高三專題練習）數列｛qj滿足弓=1,=44+3,求.19一2”2018的值和4?

【答案】*9一2%8=22叫a“=2"T（2〃-l）

|分析］利用。，與S”的關系，當〃22時，a1t=S,-5,T,整理變形可得k+1=4an-4a?_t,即

=2,可知數列｛4田一2。“｝為等比數列，由等比數列的通項公式計算得。用一2%=2"、令

a〃一〃一1

〃=2018,可求得。2019—2。2018；再對％—2%=2向變形得符*=1,可知數列［梟是等差數列,

再由等差數列的通項公式求解可得.

【詳解】當〃=1時，q=l,$2=4+42=46+3,解得：“2=6

當〃22時，由S"+|=4。“+3可知，Sn=4a?_,+3

-2a?-

兩式作差可得：。,用=4。“一4a即4+「2%=2（4一2《1）,即“=2

a?-Za?-i

又。2-24=4,所以數列｛。，用—2%｝是首項為4,公比為2的等比數列,

209

an+l-2an=4x2-=2'向，：.*-2*=2'

由--2a“=2號兩邊同除以2叫得翳喙=1

又什；所以數列,