1、第 三 章矩陣初等變換與線性方程組第1頁第1頁 第一節 矩陣初等變換第2頁第2頁 本章先討論矩陣初等變換，建立矩陣秩概念,并提出求秩有效辦法再利用矩陣秩反過來研究齊次線性方程組有非零解充足必要條件和非齊次線性方程組有解充足必要條件，并簡介用初等變換解線性方程組辦法初等變換秩 初等 方陣關鍵概念主要工具求解線性方程組第3頁第3頁引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組過程第4頁第4頁 2 3 2 2 + 53(i) 互換方程順序 (ii) 以數k (0)乘某個方程 一個方程加上另一個方程 k 倍均可逆2同 解同解變換階梯形 0 = 0自由未知量第5頁第5頁小結：1上述解

2、方程組辦法稱為消元法 2始終把方程組看作一個整體變形，用到如 下三種變換（1）互換方程順序；（2）以不等于數乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程k倍（與互相替換）（以替換）（以替換）3上述三種變換都是可逆也就是說第6頁第6頁由于三種變換都是可逆，因此變換前方程組與變換后方程組是同解故這三種變換是同解變換 由于在上述變換過程中，僅僅只對方程組系數和常數進行運算，未知量并未參與運算因此對方程組變換完全能夠轉換為對方程組系數矩陣 (方程組（1）增廣矩陣B ）變換即：第7頁第7頁若記 2 3 22 2 + 53(行)梯形陣jiiijk抽象到了矩陣！第8頁第8頁定義下面三種變換稱為矩陣初等行變換:二

3、、矩陣初等變換1、初等行變換和初等變換第9頁第9頁定義 矩陣初等列變換與初等行變換統稱為初等變換 初等變換逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同 同理可定義矩陣初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)逆變換逆變換逆變換利用初等變換能夠將任一矩陣化為梯形陣唯一 ? 不 ! 作用第10頁第10頁等價關系性質：含有上述三條性質關系稱為等價比如，兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價2、矩陣等價第11頁第11頁用矩陣初等行變換 解方程組（1）：第12頁第12頁第13頁第13頁那么等價最后形狀是什么呢？第14頁第14頁特點：（1）、可劃出一條階梯線，線下方全為零；（2）、每個臺階 只 有一行，臺階

4、數即是非零行行數，階梯線豎線后面第一個元素為非零元，即非零行第一個非零元3、矩陣行階梯形、行最簡形、原則形第15頁第15頁注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一擬定，行階梯形矩陣行數也是由方程組唯一擬定 行最簡形矩陣再通過初等列變換，可化成原則形.1 5其它元素都為零列，且這些非零元所在零行第一個非零元為即非還稱為行最簡形矩陣，行階梯形矩陣B第16頁第16頁特點： 所有與矩陣 等價矩陣構成一個集合，稱為一個等價類，原則形 是這個等價類中最簡樸矩陣. 任一個矩陣都有原則形唯一！第17頁第17頁比如，第18頁第18頁三、小結1.初等行(列)變換初等變換逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同3.矩陣等價含有

5、性質2.初等變換結論 矩陣 A 與 B 等價 A與 B 有相同原則形第19頁第19頁 第二節 初等矩陣第20頁第20頁 等價三類行梯形陣 非零行 數 r 行最簡形相應方程組？原則型 可逆唯一解同解方程組r 唯一自由未知量nr 個多出方程 經行變換均可化為梯形陣最簡形？與解無關復習初等變換第21頁第21頁定義 由單位矩陣 通過一次初等變換得到方陣稱為初等矩陣.三種初等變換相應著三種初等方陣. 矩陣初等變換是矩陣一個基本運算，應用廣泛.一、初等矩陣概念第22頁第22頁這個初等矩陣有什么作用呢？我們看一個實際例子。第23頁第23頁單位陣互換1、2兩行設看有什么改變？第24頁第24頁作用！作用！第25

6、頁第25頁第26頁第26頁第27頁第27頁第28頁第28頁第29頁第29頁 定理1 設 是一個 矩陣，對 施行一次初等行變換，相稱于在 左邊乘以相應 階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相稱于在 右邊乘以相應 階初等矩陣.二、初等矩陣應用初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣可知初等逆矩陣也是初等矩陣！即：第30頁第30頁第31頁第31頁 定理2 設A為可逆方陣，則存在有限個初等方陣證即第32頁第32頁利用初等變換求逆陣辦法：第33頁第33頁 解例第34頁第34頁第35頁第35頁能夠驗證?例2 求矩陣原則形并用初等矩陣表示初等變換。A 可逆第36頁第36頁逆陣應用求解矩陣方程即 將 A 變成 E

7、 初等變換就是將 B 變為 X 初等變換第37頁第37頁三、小結1. 單位矩陣 初等矩陣.一次初等變換2. 利用初等變換求逆陣環節是:逆陣求法用伴隨陣求用定義求用初等變換求第38頁第38頁第三節 矩陣秩第39頁第39頁一、矩陣秩概念(矩陣秩)第40頁第40頁秩是矩陣一個主要數字特性顯然: R (O)=0; r . r .只要A不是零陣, 就有 R(A)0. 并且:第41頁第41頁例1解例 2解第42頁第42頁例3解計算A3階子式，第43頁第43頁另解顯然，非零行行數為2，此辦法簡樸！第44頁第44頁問題：通過行變換矩陣秩變嗎？證二、矩陣秩求法我們只要看三種行初等變換下矩陣秩變嗎？., 梯形等行

8、變換把他變為行階總可通過有限次初由于對于任何矩陣nmA()(). ,1 BRARBA=則若定理第45頁第45頁第46頁第46頁第47頁第47頁 經一次初等行變換矩陣秩不變，即可知經有限次初等行變換矩陣秩仍不變證畢第48頁第48頁初等變換求矩陣秩辦法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行行數就是矩陣秩.例4解第49頁第49頁由階梯形矩陣有三個非零行可知第50頁第50頁例5解分析：第51頁第51頁第52頁第52頁第53頁第53頁解例6設第54頁第54頁定義3 若方陣A秩與其階數相等，滿秩非奇異 降秩奇異 A為滿秩陣 A原則形為同階單位陣 .即滿秩陣行列式？ 則稱A為滿秩矩陣

9、； 不然稱 A 為降秩矩陣.三、滿秩矩陣關于秩一些性質總結，同窗們請看書本P70。.第55頁第55頁三、小結(2)初等變換法1. 矩陣秩概念2. 求矩陣秩辦法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行行數就是矩陣秩).(即尋找矩陣中非零子式最高階數);第56頁第56頁第四節 線性方程組解第57頁第57頁一、線性方程組有解鑒定條件問題：證必要性.(),nDnAnAR階非零子式中應有一個則在設=(),依據克拉默定理個方程只有零解所相應nDn從而第58頁第58頁這與原方程組有非零解相矛盾，().nAR即充足性.(),nrAR=設.個自由未知量從而知其有rn-任取一個自

10、由未知量為，其余自由未知量為，即可得方程組一個非零解 .第59頁第59頁證必要性,有解設方程組bAx=()(),BRAR設則B行階梯形矩陣中最后一個非零行相應矛盾方程，這與方程組有解相矛盾.()().BRAR=因此第60頁第60頁并令 個自由未知量全取0，rn-即可得方程組一個解充足性.()(),BRAR=設()()(),nrrBRAR=設證畢其余 個作為自由未知量, 把這 行第一個非零元所相應未知量作為非自由未知量,第61頁第61頁小結有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有無窮多解.bAx=齊次線性方程組：系數矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；第62頁第62頁例1 求解齊次線性方程組解二、線性方程組解法第63頁第63頁即得與原方程組同解方程組第64頁第64頁由此即得第65頁第65頁例 求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進行初等變換，故方程組無解第66頁第66頁例 求解非齊次方程組通解解 對增廣矩陣B進行初等變換第67頁第67頁故方程組有解，且有因此方程組通解為第68頁第68頁例 解證對增廣矩陣B