1、3.2 3.2 立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法（二）（二）一、講授新課一、講授新課1 1、用空間向量解決立體幾何問題的、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲三步曲”。 （1）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題； （2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運算結果）把向量的運算結果“翻譯翻

2、譯”成相應的幾何意義。成相應的幾何意義。（化為（化為向量問題）向量問題）（進行向量運算）（進行向量運算）（回到圖形（回到圖形問題）問題）空間空間“距離距離”問題問題2.2.空間兩點之間的距離空間兩點之間的距離 根據兩向量數量積的性質和坐標運算，根據兩向量數量積的性質和坐標運算，利用公式利用公式 或或 ( (其其中中 ) ) ，可將兩點距離問題轉化為，可將兩點距離問題轉化為求向量模長問題。求向量模長問題。2aa222zyxa),(zyxa3 3、例題、例題 例例1：如圖如圖1：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾

3、角都是端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么，那么 (1)以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解：解：如圖如圖1，設，設 BADADAAAB， 11 6011DAABAA化為向量問題化為向量問題依據向量的加法法則，依據向量的加法法則，11AAADABAC 進行向量運算進行向量運算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到圖形問題回到圖形問題 這個晶體的對角線這個晶體的

4、對角線 的長是棱長的的長是棱長的 倍。倍。1AC6 （2 2）晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？（提示：求）晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？（提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結為求兩點間的距離）兩個平行平面的距離，通常歸結為求兩點間的距離）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距離面面距離回歸圖形回歸圖形點面距離點面距離向量的模向量的模. 11HACHAA于點于點平面平面點作點作過過 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求相相對對兩兩個個面面之之間間則則HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC.

5、160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離是所求的距離是。 36變式訓練變式訓練: : 如圖如圖2 2，空間四邊形，空間四邊形OABCOABC各邊以及各邊以及ACAC，BOBO的長都是的長都是1 1，點，點D D，E E分別是邊分別是邊OAOA，BCBC的中點，連結的中點，連結DEDE，計算，計算DEDE的長。的長。 OABCDE圖圖2 例例2 2：如圖如圖3 3，甲站在水庫底面上的點，甲站在水庫底面上的點A A處，乙站在水壩斜面上的點處，乙站在水壩斜面

6、上的點B B處。從處。從A A，B B到直線到直線 （庫底與水壩的交線）的距離（庫底與水壩的交線）的距離ACAC和和BDBD分別為分別為 和和 ,CD,CD的長為的長為 , AB, AB的長為的長為 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。 labcd解：解：如圖，如圖，. dABcCDbBDaAC ，化為向量問題化為向量問題根據向量的加法法則根據向量的加法法則DBCDACAB 進行向量運算進行向量運算222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBC

7、A 設向量設向量 與與 的夾角為的夾角為 ， 就是庫底與水壩所成的二面角。就是庫底與水壩所成的二面角。CADB 因此因此.cos22222dcbaab ABCD 圖圖3所以所以.2cos2222abdcba 回到圖形問題回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為庫底與水壩所成二面角的余弦值為.22222abdcba 變式訓練變式訓練:已知一個四棱柱的各棱長都等于已知一個四棱柱的各棱長都等于 ，并且以某一頂點為，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于端點的各棱間的夾角都等于 ，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個面夾角的余弦值嗎？面夾角的余弦值嗎？a A1B1C1D1

8、ABCD分析：分析：二面角二面角平面角平面角向量的夾角向量的夾角回歸圖形回歸圖形 解：解：如圖，在平面如圖，在平面 AB1 內過內過 A1 作作 A1EAB 于點于點 E，EF在平面在平面 AC 內作內作 CFAB 于于 F。 cos sin 1aBFAEaCFEA ，則則 CFEAFCEA cos coscos 11， |11CFEACFEA 221sin)()(aBFCBAEAA 2222222sincos)cos(cos)cos(coscosaaaaa cos1cos 可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。 nabCDABCDCD為為a,ba,b

9、的公垂線的公垂線則則|nABnCD A A，B B分別在直線分別在直線a,ba,b上上已知已知a,ba,b是異面直線，是異面直線，n n為為a a的法的法向量向量即即 間的距離可轉化為向量間的距離可轉化為向量 在在n上的射影長上的射影長21,llCD1111013.4,2,90 ,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例 已知：直三棱柱的側棱底面中為的中點。求與的距離。zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解：如圖建立坐標系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC則

10、的公垂線的方向向量為設).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,則y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在兩直線上各取點.332|1nACndBAEC的距離與EA1B1 n A P O 例例4 4：課后練習：課后練習： （1 1）如圖）如圖4 4，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B兩點，兩點，直線直線ACAC、BDBD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長。的長。 B圖圖4ACD （2 2）三棱柱）三棱柱ABC-ABC-A A1 1B B1 1C C1 1中，底面是邊長為中，底面是邊長為2 2的的正三角形，正三角形，A A1 1ABAB4545，A A1 1ACAC6060