1、巧用均值不等式及其條件求最值(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院張逸潔 )均值不等式是高中階段初等數(shù)學(xué)中最重要的基本不等式之一， 在許多問題的解決中往往能發(fā)揮出它的獨特功能， 對于它及它各種變式的掌握和熟練運用也是求解很多與不等式有關(guān)的最值問題的重要方法。 本文將歸納介紹均值不等式在最值問題中的一些巧妙運用， 希望能夠開拓學(xué)生的思維，對高中生不等式的學(xué)習(xí)有所幫助。一、均值不等式1 a、 bR, a2b22ab, （當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時取“ =”）。推論： a、 bR , a b2ab ，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時取“ =”）。、a ba2b2。對a、bR積向和轉(zhuǎn)化：2變形，對 abR 積向平方和轉(zhuǎn)化：2

2、a b ( a b) 2 。2注：這里有“最值定理” ： 若 xyR , xys, xyp,則 x+y 2 xyxy( xy )2運用此定理求最值時必須具備“一正，二定，三相等”這2三個條件。3 a、 b、 cR , a3b3c33abc ，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時取“ =”）推論： a、 b、 cR , abc3 3 abc ，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時取“ =”）4變形：對 a、b、 c R , abc( ab c )33方法小結(jié)： 在運用均值不等式求正數(shù)和的最小值時，湊積為定值； 求正數(shù)積的最大值時，湊和為定值。二、巧用均值不等式求解最值問題在求解函數(shù)最值問題的過程中，我們通常運用不等式，

3、 函數(shù)單調(diào)性， 數(shù)形結(jié)合等方法分析解答。 本文著重介紹均值不等式在求解此類問題中的妙用，旨在幫助讀者系統(tǒng)歸納，拓展思維，靈活解題。1 連用例 1：已知 ab0,求 a3ba2b216 的最小值。abb2解： a3b a2b21616a216a2a216a26416ab b2ab b2b(a b)（b a b 2a2）2b=a-ba2 2當(dāng)且僅當(dāng)64即時取得最小值 16.a2b2a2分析：有時利用均值不等式求最值時只用一次并不能解決問題，通常需要連用來巧求最值。不等式的連用分為連續(xù)正用、連續(xù)逆用和正逆交替連用，前兩種連用法比較直觀，一般題型也較易； 第三種交替連用法的使用比較廣泛，較常見的題型為

4、不等式兩邊均為分式相加且分子為定常數(shù)。、 、cR ,求證:111222自求 1：已知a babca bb cc a.2平方（也作“升冪處理” ）例 2：當(dāng) x(0, 時, 求ysin xcos2 x 的最值。2解：(0, Q x2y0,當(dāng) x時, ymin 02又 y2sin2 x cos4x1 2sin 2 x cos2 x cos2 x21 ( 2sin 2x cos2 x cos2 x) 31 (2)34232327y2 3,當(dāng)且僅當(dāng) x arctan2 時等號成立。92綜上， y2 3 , ymax9min 0.分析：在從最值函數(shù)直接入手湊整和取等無法同時滿足的情況下， 我們往往考慮在

5、最值函數(shù)兩邊平方后再予以配湊。自求 2：設(shè) a、 bR 且 a b1,求2a12b 1 的最大值。3變換例 3：實數(shù) a,b 滿足 (a 4)2(b3)22，求 a+b 的最大值與最小值。43解： 2( a 4) 2(b 3)2(a b 7) 2,14 a b 7144343147ab147 ，當(dāng)且僅當(dāng)3（ a-4） =4(b-3) 時式等號成立。a414a4144747(ab)max147綜合條件得及時 ,b314b314(ab)min1473737分析：在例 3 的解題過程中， 核心是對“若 m, nR, a, bR, 則 a2b2(a b)2( 當(dāng)mnm n且僅當(dāng) an=bm時等號成立

6、) ”。這一變換不等式的運用，將兩個孤立的變量聯(lián)系起來，從而求得最值。 此題出現(xiàn)的變換式較均值不等式本身變形較多，一般不易想到， 這也就要求讀者在平時的閱讀、解題中多嘗試、多積累，必要的也要加以記憶， 才能在萬變的題海中以敏銳的嗅覺找出解題良策。自求 3：設(shè) a、 b、 cR , 試證 abc 的最小值為 abc。（提示：bca恰當(dāng)利用變式“若a、 b>0，則 a22ab(當(dāng)且僅當(dāng) a1 b時等號成立 ) ”）b24拆項和添項例 4a: 求函數(shù)yx26 (xR)x25的最小值。yx2514x251x251解 :x2555x254 x25 214525 65555551x2515x25 成

7、立，即 x=0 時等號成立。當(dāng)且僅當(dāng)4x25555565ymin5例 4b：已知 x,y 為正數(shù)且 4x+y=30 ，求 11的最小值。xy解：由條件： 11 (4xy)30111 (4xy)( 11 )5124xy3xy30xy3030yx10當(dāng)且僅當(dāng) 4xy 即x5 時等號成立,此時 11 取得最小值 3yxy10xy10.分析：在例5 的求解過程中，直接利用yx26x251x25x252 x2 5 g12當(dāng)且僅當(dāng)x251即 x24 時等號成立，是不可能實x25x25現(xiàn)的， 也就是說等號不能成立。由本題出發(fā)， 我們觀察到在運用均值式出現(xiàn)等號不成立的情況下， 拆項法可以快速解決此類問題，使不

8、等式中的等號得以成立并取得相應(yīng)的最值；對于添項法，這里我們著重介紹的是“ 1”的巧妙添加，運用三角函數(shù)中構(gòu)造出的“ 1”或條件中給出的常數(shù)，將其乘在不等式的一側(cè)，有時將有出其不意的效果。自求 4a：求函數(shù)f (x)exe xx3 x( x R) 的最小值。ee4b：已知 x0, y 0且 191, 求 x+y 的最小值。xy5換元例 5：設(shè) a,b,c 為三角形三邊，求證：abc3b caacb abc證明：設(shè) a=x+y,b=y+z,c=z+x, 其中 x,y,z>0abcxyyzzxb c a a c b a b c2z2x2 y則1xzyzyx)2()()(yzxzyx1xzyz2

9、yx32(2x2yx)zzy當(dāng)且僅當(dāng) x=y=z ，即 a=b=c 時等號成立。原等式成立。分析：換元法通常運用于結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜、量與量之間關(guān)系不太直觀的求值或證明問題中，通過恰當(dāng)引入新的變量來代換原命題中的部分因式，通過代換達到減元的目的，從而簡化結(jié)構(gòu)，便于求解。自求 5：已知 a、b R,且 a2b21,求證 : a22abb22.（提示：可嘗試三角代換。）6引參例6：設(shè)0x, a、 bR , 求函數(shù) yab的最小值 .2sin xcos x0,有(abcos x) a b a cot x b tan xsin x)(sin x解：引入?yún)?shù)cosxa b2 ab( a b)2于是ab( ab

10、 )2( ab )2( ab )2sin xcos xsin xcosx12 sin( x)12當(dāng)且僅當(dāng)acot xb tan x(1)同時成立時取等號。sin xcos x12(2)由（ 1）： tan2xa(3)b由（ 2）： sin 2 x2 cos2 x2sin x cosx12 ,即 2 sin 2 xcos2 x2sin xcox0( sin xcos x) 20tan x1(4)ab(ab 3 b )23a( 3 a23 b2 ) 2sin xcos x213ba2b32323即當(dāng) tan x3時函數(shù)取得最小值y min (a)2ab分 析 ： 本 題 借 助 求 “ yab,a

11、、bR ,0 x”最小值添加sin2 xcos2x2“ sin2 x cos2 x ” 項 再 利 用 均 值不 等 式 解 的 思想 遇 到 瓶 頸 ，即 根 據(jù) 前 一 思 想添 加 “sinx+cosx ”項時，(ab).(sin xcosx) aba cot xb tan xab2ab ( a b ) 2,sin xcos xb ) 222于是ab(a(ab ) (ab). 倘若能取到最小值sin xcosxsin xcos x2 sin(x)24( ab)2tan2 xa,必有b 即 ab, 但 題 中 并 未 給 定 這 一 條 件 。 因 此 我 們 考 慮 在2x4sinx+c

12、osx 這一項引入?yún)?shù)，這樣就避免了 a=b,只要設(shè)定適當(dāng)?shù)闹担钚≈稻陀卸饬恕Ｗ?求 6 ： 設(shè) 三 角 形 三 邊 長 分 別 為 a 、 b 、 c且 周 長 為 p 。 求 證 ：p apbpc3 p（提示：對不等式左邊每一項添加參數(shù)再利用均值不等式）以上是從均值不等式本身出發(fā)歸類總結(jié)的一些巧解最值的方法，希望對讀者有所幫助和啟發(fā)，下面將對利用不等式條件求最值做一些引入。（在這里我們對于下述命題的正確性證明不予探討，僅將其作為一個正確的命題加以運用。 ） 三、延伸：巧用均值不等式的 成立條件 求解最值問題均值不等式a+b2 ab (a、 b0) 指出：若兩正數(shù)和為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)

13、兩數(shù)相等時，成積取最大值。換言之，若兩正數(shù)和為定值，當(dāng)兩數(shù)之差為零時，兩數(shù)之積最大。由此得到，若把一個正整數(shù)折分成兩個正整數(shù)之和，那么這兩個整數(shù)之差越小（大數(shù)減小數(shù)），它們的乘積就越大。 如 x、 y, xyc, xyd (xy), xyc2d . cdc2d 2,24易見 d 越小 xy 值越大。 當(dāng) d=0 時 xy 取最大值， 此即為均值不等式揭示的結(jié)論；若 c 不能分解為兩個相等的正整數(shù)之和，當(dāng)d=1 時 xy 取最大值。上述結(jié)論即是說當(dāng)把一個正整數(shù)分解為相等或相鄰的兩個整數(shù)之和，它們的乘積最大。 循此思路， 若把一個正整數(shù)分解成若干個（個數(shù)不限）正整數(shù)之和，我們猜想：當(dāng)這些被拆分的正

14、整數(shù)越接近時它們的乘積越大，當(dāng)它們相等時乘積最大。例 7：試求和為2008 的正整數(shù)之積的最大值。解 ： 2008總 可 拆 成 有 限 個 正 整 數(shù) 之 和 ， 命 為 x1 , x2 ,， xn 即2008x1x2xn 。乘積 M= x1x2xn又 2008 拆分成有限整數(shù)之和的種類為有限個，故乘積 M 的值也為有限個， 因而其中必有最大值。再由算術(shù)基本定理：任意一個大于1的正整數(shù)都可以分解為一些素數(shù)的乘積形式，即t2r 1r 25r 3 prn（ Pr，r3是素數(shù)，1， r2n 是非負整數(shù)）根據(jù)上述分析，欲使M 值最大，x , x,，x 應(yīng)盡量接近，故x1, x,，x 需12n2n在集

15、合 2 ， 3 中取值，即 M2 r 3s 且 2r3s2008 。又 因 為3 不 能 整 除 2008 ， 故 x, x,，x 不 全 為3；雖然 2|2008，但若12nx1x2xn2 則 s0，此時根據(jù)2223 3但2332 可看出， 同樣的數(shù)表示為2 之和與 3 之和時，拆分為2 的乘積要小于拆分為3 的乘積，因此我們應(yīng)盡量多的分解為 3 之和而不是分解為12,nr3。2 之和故 x, x，x 不全為 2，此時Q 20081(mod3)4，r2， s200846683分析：此題可推廣至一般情形；將自然數(shù)N 折分成若干個自然數(shù)之和，則其乘積最大值M是：當(dāng) n 3k時 , m 3k ;當(dāng) n 3k 1時, m 2 2 3k 1; （此題情形）當(dāng) n3k2時， m2 3k .例 8：用長度分別為 1、2、3、4、5 的 5 根細棒圍成一個三角形 （允許連接