1、蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)方法(總61頁)-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1CAL-本頁僅作為文檔封面，使用請直接刪除第八章蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)方法在金融計(jì)算中蒙特卡洛模擬是一種重要的工具：可以用來評估 投資組合管理規(guī)則、為期權(quán)定價(jià)、模擬套期保值交易策略、估計(jì)風(fēng) 險(xiǎn)價(jià)值。蒙特卡洛方法主要的優(yōu)勢在于對大多數(shù)情況都適用、易于 使用、靈活。它把隨機(jī)波動性和奇異期權(quán)的很多復(fù)雜特性都考慮進(jìn) 去了，更傾向于使用處理高維問題，而網(wǎng)格和PDF分析框架卻不適用。蒙特卡洛模擬潛在的劣勢在于它的計(jì)算量大。多次的重復(fù)需要完善我們所關(guān)注的置信區(qū)間的估計(jì)。利用方差縮減技術(shù)和低差異序 列可以部分的解決這

2、個(gè)問題。本章的目的是解釋這些技術(shù)在一些例 子上的應(yīng)用，包括一些路徑依賴型期權(quán)。這章是第四章的延伸，在 第四章里我們討論了蒙特卡洛積分。需要強(qiáng)調(diào)的是蒙特卡洛方法是 概念上的一個(gè)數(shù)字積分工具，即使我們適用更多的“模擬”或“抽 樣”。在使用低差異序列而不是偽隨機(jī)生成時(shí)這需要牢記。如果可能，我們可以把模擬的結(jié)果和分析公式進(jìn)行比較。很明 顯我們這樣做的目標(biāo)是一個(gè)純粹的教學(xué)。如果你要計(jì)算一個(gè)矩形房 間的面積，你只需要用房間的長度乘以房間的寬度即可，而不必要 計(jì)算有多少次一塊標(biāo)準(zhǔn)磚與這個(gè)表面相匹配。盡管如此，你還是應(yīng) 該學(xué)會在一些簡單案例中首先適用模擬的方法，在這些簡單的例子 中我們可以檢驗(yàn)答案的一致性；更

3、進(jìn)一步，我們也要看為達(dá)到方差 減小的目的分析公式可用于的模擬期權(quán)可能更有力的控制變量。蒙特卡洛應(yīng)用的出發(fā)點(diǎn)是生成樣本路徑，這個(gè)生成的樣本路徑給 予一個(gè)描述價(jià)格（或利率）動態(tài)的隨機(jī)微分方程。在節(jié)我們解釋幾 何布朗運(yùn)動的路徑生成；在一個(gè)具體例子中模擬兩個(gè)對沖策略，我 們也會討論布朗橋，它是適時(shí)推進(jìn)模擬樣本的一個(gè)替代方案。在節(jié) 將討論交換期權(quán)，它被用作為一個(gè)如何將這種方法推廣到多維過程 的一個(gè)簡單實(shí)例。在節(jié)我們考慮一個(gè)弱路徑依賴型期權(quán)的例子，這 是個(gè)下跌敲出看跌期權(quán)；我們加入了有條件的蒙特卡洛和為減小方 差抽樣的重要性。在節(jié)將討論到強(qiáng)路徑依賴型期權(quán)，同時(shí)我們證明 了運(yùn)用控制變量和低差異序列為算術(shù)平均

4、亞式期權(quán)定價(jià)。我們以概 述由蒙特卡洛抽樣產(chǎn)生的估計(jì)期權(quán)敏感性的基本問題來結(jié)束本章； 在節(jié)我們考慮一個(gè)普通的看漲期權(quán)A的簡單案例。在第節(jié)將討論到隨機(jī)模擬期權(quán)定價(jià)的另一個(gè)應(yīng)用，它應(yīng)用于美式期 權(quán)；而一個(gè)簡單的模擬方法在早期的應(yīng)用中不可實(shí)行，并且這個(gè)問 題在隨機(jī)動態(tài)優(yōu)化的框架里被強(qiáng)制轉(zhuǎn)換。路徑生成蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)方法的應(yīng)用的出發(fā)點(diǎn)是對樣本基本因素路徑的 產(chǎn)生。對于一般的期權(quán)就像在第四章里面一樣不需要產(chǎn)生路徑：只 需要關(guān)注標(biāo)的資產(chǎn)到期日的價(jià)格。但是如果路徑依賴型期權(quán)，我們 就需要整條路徑或者至少需要在給定時(shí)刻的一系列價(jià)值。如果服從 幾何布朗運(yùn)動，情況的處理就非常簡單。事實(shí)上，必須認(rèn)識到在路徑生成中有兩

5、個(gè)誤差源：樣本誤差、離散誤差。樣本錯(cuò)誤時(shí)因?yàn)槊商乜宸椒ǖ碾S機(jī)性，這個(gè)問題可以通過減小方差的辦法得到緩解。為了理解什么是離散錯(cuò)誤，我們考慮一個(gè)典型的離散連續(xù)時(shí)間模型，例如：伊藤隨機(jī)微分方程:dSt =a(SgJ)dt + b(SxJ)dWt根據(jù)最簡單的離散的方法歐拉公式，得到以下離散時(shí)間模型：6St = St+尿 一 St = a(St、t)6t + 6(St,&是離散時(shí)間步，且£ "(0,1)這種方法在概念上與有限差分類 似，并且在確定性微分方程上的應(yīng)用會產(chǎn)生一個(gè)截尾誤差，在離散 步長很小的時(shí)候這個(gè)誤差可以忽略不計(jì)【1】。當(dāng)我們討論隨機(jī)過程 收斂性時(shí)是一個(gè)非常重要

6、的概念，但是我們可以猜想我們能夠通過 從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取隨機(jī)變量£來模擬一個(gè)與連續(xù)時(shí)間方程的解 密切相關(guān)的離散時(shí)間隨機(jī)過程。隨著樣本路徑和復(fù)制次數(shù)的增加， 我們也就能夠減小樣本誤差。雖然可以更正式地證明上述理由，但我們應(yīng)該認(rèn)識到離散誤差至 可能改變特征解的概率分布例如，幾何布朗運(yùn)動模型：dSt = fiStdt + aStdWt (&1)歐拉公式Stst = (1 + a St y/6t e.這是非常容易掌握和執(zhí)行的，但是每個(gè)s嚴(yán)S(3)值的邊緣分布比起 對數(shù)正態(tài)分布更普通。事實(shí)上，取很小的St就可以減小誤差，但 是很費(fèi)時(shí)。在一個(gè)特定的案例中，我們可以通過伊藤引理的一個(gè)簡

7、單應(yīng)用來同時(shí)消除隨機(jī)誤差，但對大多數(shù)情況而言這種方法不可 取。對于復(fù)雜的隨機(jī)微分方程，我們必須生成整條樣本路徑。.1模擬幾何布朗運(yùn)動d log Sr =dt + a dWt.利用伊藤引理，我們可以把（）轉(zhuǎn)換為下面這種形式:(8.2)我們還記得，利用對數(shù)正態(tài)分布性質(zhì)【2】，令u =卩 一（t2/2,有當(dāng)完全合并時(shí)（）非常有用，得到:Elog(S(t)/5(0)|=ytVarlog(S(t)/5(0)=dr2tE5(t)/5(0)(&3)VarS(i)/5(0)=少（嚴(yán)_ i）(8.4)為了模擬在時(shí)間段（0, T）上的資產(chǎn)價(jià)格的路徑，我們必須用一個(gè) 間步長概把時(shí)間離散化。從最后一個(gè)等式以及

8、標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程 （見節(jié)），得到St+亂=St exp（” <5/ +。屈e） ,（8.5）而 N（05l）是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。以等式（）為基礎(chǔ)，很 容易生成資產(chǎn)價(jià)格的樣本路徑。在圖中給出了生成服從幾何布朗運(yùn)動的資產(chǎn)價(jià)格的樣本路徑的 令。函數(shù)AssetPaths產(chǎn)生一個(gè)樣本路徑矩陣，在這個(gè)矩陣?yán)铮M 的資產(chǎn)價(jià)格按行存儲且每一列類似于一個(gè)時(shí)間瞬間。第一列包含了 對所有路徑來說相同的值和初始價(jià)格。我們必須給這個(gè)函數(shù)賦值， 始價(jià)格SO,漂移率mu,波動性sigma,時(shí)間范圍T,時(shí)間步長的數(shù)量 NSteps,模擬次數(shù)NRepl.值得注意的是該函數(shù)把參數(shù)"作為已知的 然后計(jì)算參

9、數(shù)-例如，生成并且繪制三條為期一年的樣本路徑，初始價(jià)格$50,均值 為，標(biāo)準(zhǔn)差(以一年為基礎(chǔ))，假定時(shí)間步長為一天【3】>> randnCstate1,0);>> pathsAssetPaths(50,0.1,0.3,1,365,3);>> plot(1:length(paths),paths(1,:)>> hold on» plot(1:length(paths),paths(2,:)>> hold on>> plot(1:length(paths),paths(3,:)繪制的結(jié)果如圖所示。如果用另一種狀態(tài)為r

10、andn標(biāo)準(zhǔn)型生成隨機(jī) 數(shù)，將會得到不同的結(jié)果。functionSPaths=AssetPaths (SO, mu, sigma, T, NSteps, NRepl)SPaths = zeros (NRepl, 1+NSteps);SPaths (:, 1) = SO;dt = T/NSteps;nudt = *sigma'2)*dt;sidt 二 sigma*sqrt(dt);for i=l:NReplfor j=l:NStepsSPaths (i, j+1)二SPaths (i, j) *exp (nudt +sidt*randn);endend用蒙特卡洛模擬生成資產(chǎn)價(jià)格路徑的MA

11、TLAB命令圖用蒙特卡洛模擬生成的樣本路徑functionSPaths=AssetPathsV (SO, mu, sigma, T, NSteps, NRepl)dt = T/NSteps;nudt = *sigma'2)*dt;sidt 二 sigma*sqrt(dt);Increments = nudt + sidt*randn(NRepl, NSteps);LogPaths = cumsum(log(SO)*ones(NRepl, 1), Increments , 2);SPaths = exp (LogPaths);Spaths (:, 1) = SO;圖生成資產(chǎn)價(jià)格路徑的矢量

12、命令圖中的命令是基于兩個(gè)循環(huán)嵌套。有時(shí)在MATLAB中使用矢量命令會 更有效。為了使用矢量命令，可以便于把等式()重寫為log - log St = u8t + ay/6t e.為了對行進(jìn)行加總(默認(rèn)的是對列進(jìn)行加總)，我們可以生成資產(chǎn) 價(jià)格對數(shù)的差分然后把可選參數(shù)設(shè)置為2利用cumsum函數(shù)。函數(shù)AssetPathsV的結(jié)果如圖所示。值得注意的是在最后一行我們把初始價(jià)格寫在第一列。原因如下:» format long>> exp(log(50)ans =49.99999999999999最好避免這個(gè)誤差(在這里看是微不足道，但以后會發(fā)現(xiàn)并不是這 樣的。)我們可以比較這兩

13、組實(shí)現(xiàn)的速度:>> tic, paths=AssetPaths(50,0.1,0.3,1,100,1000);, toeElapsed time is 0.029226 seconds.>> tic, paths*AssetPathsV(50,01,0.3,1,100,1000);> toe Elapsed time is 0.034177 seconds.在這種情況下我們不能看出矢量命令的優(yōu)勢。我們應(yīng)該注意到 處理tic和toe的返回時(shí)間是受后臺操作系統(tǒng)的許多變量控制的， 但是在寫這本書的第一版時(shí)，矢量命令是有明顯的優(yōu)勢的。并且， 事實(shí)上，在很多情況下這種優(yōu)勢也

14、是存在的。問題是硬件和軟件 (在在這種情況下，MATLAB的解釋程序已經(jīng)有了改進(jìn)，這個(gè)是可以 論證的)的改進(jìn)可能使得一些程序不再適用。有時(shí)一個(gè)完全的矢量 命令需要很多的矩陣，這不適合計(jì)算機(jī)的主存儲器。在這種情況 下，利用虛擬內(nèi)存磁盤空間可能會使得運(yùn)行減緩。所以我們必須知道所有可能的問題，但是最終是由這個(gè)問題的有效率的實(shí)證檢驗(yàn)所 決定的。模擬套期保值策略利用函數(shù)生成樣本路徑，我們可以首先為普通的歐式看漲期權(quán) 比較套期保值策略。從第二章我們了解到期權(quán)價(jià)格基本上是一個(gè) delta套期保值策略并且對看漲期權(quán)來說連續(xù)時(shí)間的套期保值策略 需要持有標(biāo)的資產(chǎn)的大量。一個(gè)簡單的策略就是止損策略【4】。這種方法是

15、說當(dāng)期權(quán)價(jià)格在執(zhí)行價(jià)格以上時(shí)我們需要一個(gè)軋 平頭寸（即買入股票），并且當(dāng)期權(quán)價(jià)格在執(zhí)行價(jià)格以下時(shí)我們需 要一個(gè)裸型頭寸（即賣出股票）。在實(shí)際操作中，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià) 格高于執(zhí)行價(jià)格K時(shí)就買入股票，反之當(dāng)股票價(jià)格低于執(zhí)行價(jià)格K 時(shí)就賣出股票。這個(gè)方法很直觀但是它用在連續(xù)時(shí)間分析中并不是 那么容易的【5】。盡管如此，我們可以評判這種方法在離散時(shí)間中 使用蒙特卡洛模擬時(shí)的作用。在離散時(shí)間中存在一個(gè)執(zhí)行的問題就 是在執(zhí)行價(jià)格我們并不能真正的買賣股票：當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)價(jià)格高于臨 界值時(shí)我們買入得價(jià)格大大高于K,然而我們賣出股票的價(jià)格卻是 比臨界值稍微低一點(diǎn)點(diǎn)。所以即使不考慮同樣會影響delta套期保 值的交易費(fèi)

16、用，在使用止損策略時(shí)同樣存在一個(gè)潛在的問題。在圖中給出了用來估計(jì)止損策略的平均成本的一個(gè)MATLAB程序。該 函數(shù)包括了可能由函數(shù)AssetPaths生成的樣本路徑矩陣。值得注意 的是在這種情況下，在模擬中必須使用的是真正意識上的漂移率mu 而不是像期權(quán)價(jià)格那樣。為了檢驗(yàn)這些命令，需要注意這里的步數(shù)(時(shí)間間隔)等于路徑矩陣的列數(shù)減一。如果我們要購買標(biāo)的股 票，就需要把借入的資金考慮在內(nèi)。但是一旦假定存在確定且連續(xù) 的利率，就不需要把借入的資金考慮在內(nèi)，因?yàn)槲覀兡軌蚝苋菀椎?記錄交易中的現(xiàn)金流量并且把它們折現(xiàn)到t=0時(shí)刻，就已經(jīng)預(yù)先把 DiscountFactors這些折現(xiàn)因素考慮在內(nèi)了。使用一

17、個(gè)狀態(tài)變量 Covered去判斷執(zhí)行價(jià)格上漲或下跌。既然在購買股票股票時(shí)現(xiàn)金 流對購買者來說是負(fù)的，而在出售股票時(shí)則是正的，那么期權(quán)“價(jià) 格”就通過平均現(xiàn)金流的變動趨勢來評價(jià)。同樣需要注意在到期日 的狀況：如果到期日期權(quán)的價(jià)格高于執(zhí)行價(jià)格，那么期權(quán)持有者就 會行權(quán)，我們也會得到的是本應(yīng)該包含在現(xiàn)金流中的執(zhí)行價(jià)格function P = StopLoss (SO, K, mu, sigma, r, T, Paths)NRepl, NSteps = size(Paths);NSteps = NSteps - 1; % tme number of stepsCost = zeros(NRepl, 1

18、);dt = T/NSteps;DiscountFactors = exp(r*(0:1:NSteps)*dt);for k=l:NReplCashFlows = zeros(NSteps+1,1);if (Paths (k, 1) >= K)Covered = 1;CashFlows (1) = -Paths (k, 1);elseCovered = 0;endfor t=2:NSteps+lif (Covered = 1) & (Paths (k, t) < K)% SellCovered = 0;CashFlows (t) = Paths (k, t);elseif

19、(Covered = 0) & (Paths (k, t) > K)% BuyCovered = 1;CashFlows (t) = -Paths (k, t);endendif Paths(k, NSteps + 1) >= K% Option is exercisedCashFlows(NSteps + 1)=.CashFlows(NSteps + 1) + K;endCost(k) = 一dot(DiscountFactors, CashFlows);endP = mean(Cost);圖估計(jì)止損策略的平均成本的MATLAB程序既然我們知道有時(shí)候用矢量命令更方便，那么

20、在圖中我們也用矢 它本質(zhì)上是節(jié)點(diǎn)路徑的轉(zhuǎn)換復(fù)制，在節(jié)點(diǎn)處價(jià)格處于臨界狀態(tài)，上 漲或者下跌。價(jià)格上升的次數(shù)我們用UpTimes來記錄，上升時(shí)現(xiàn)金 流對持有者是不利得；同理用DownTimes來記錄下跌的次數(shù)。量命令表示出來了。這里主要的不同之處是使用了變:1=11OldPrice,function P = StopLossV(SO, K, mu, sigma, r, T, Paths)NRepl, NSteps = size(Paths);NSteps = NSteps - 1;Cost = zeros (NRepl, 1);CashFlows = zeros(NRepl, NSteps+1);

21、dt = T/NSteps;DiscountFactors = exp(r*(0:1:NSteps)*dt);OldPrice = zeros(NRepl, 1), Paths(:, 1：NSteps);UpTimes = find(OldPrice < K & Paths >= K);DownTimes = find(OldPrice >= K & Paths < K);CashFlows(UpTimes) = -Paths(UpTimes);CashFlows(DownTimes) = Paths(DownTimes);ExPaths = f ind

22、(Paths(:, NSteps+1) >= K);CashFlows(ExPaths, NSteps+1)=CashFlows(ExPaths, NSteps+1) + K;Cost = -CashFlows*DiscountFactorsf ;P = mean(Cost);圖止損套期保值策略的矢量命令現(xiàn)在我們可以檢驗(yàn)這兩個(gè)程序是否是一致的，以及矢量是否存在優(yōu)勢。» SO = 50;» K » 50;>> mu M 0.1;» sigma » 0.4;» r « 0.05;» T 5/12;&#

23、187; NRepl “00000;» NSteps - 10;>> randn(9state1>0);» Paths=AssetPaths(SO fmu,sigma,T,NSteps,NRepl);» tic, StopLoss(SO,K,mu,sigma,r,TtPaths)» toeans -5.5780Elapsed time is 3.100619 seconds» tic, StopLossV(SO>K,mu,sigma,r,T,Paths) f toeans 5.5780Elapsed time is 0.

24、735455 seconds.不同于資產(chǎn)路徑的生成在這里我們可以從矢量命令中看出優(yōu) 勢。使用矢量程序生成資產(chǎn)路徑我們也可以在這里發(fā)現(xiàn)為什么正確 分配初始資產(chǎn)價(jià)格很可能很重要，正如我們在圖最后一行命令中所 做的那樣。在這種情況下期權(quán)的價(jià)格正好符合這個(gè)價(jià)格，那么我們 總是會購買初始股票；但是如果初始股票價(jià)格使我們則不夠買股 票，并且一個(gè)在這個(gè)過程中一個(gè)明顯的但被忽略的誤差已經(jīng)產(chǎn)生了 很嚴(yán)重的后果。function P = DeltaHedging(SO, K, mu, sigma, r, T, Paths)NRepl, NSteps = size(Paths);NSteps = NSteps -

25、1;Cost = zeros(NRepl, 1);CashFlows = zeros(1, NSteps+1);dt = T/NSteps;Di scountFactors = exp(r*(0:1:NSteps)*dt);for i=l:NReplPath = Paths(i,：);Position 二 0;Deltas = blsdelta(Path(l:NSteps), K, r, T- (0:NSteps- l)*dt, sigma);for j=l:NSteps;CashFlows(j) = (Position - Deltas(j)*Path(j);Position 二 Delta

26、s(j);end辻 Path(NSteps+1) > KCashFlows(NSteps+1) = K - (1-Position)*Path(NSteps+1);elseCashFlows (NSteps+1)=Position*Path(NSteps+1);endCost (i) = CashF 1 ows*DiscountFactors'endP = mean (Cost);圖 估計(jì)delta套期保值策略現(xiàn)在我們應(yīng)該比較止損策略的成本、delta套期保值策略的成本以及理論的期權(quán)價(jià)格。估計(jì)delta套期保值策略的平均成本的程序已經(jīng)在圖中給出了。這個(gè)程序跟止損策略有點(diǎn)類似，但它

27、不是向量。在樣本路徑每一個(gè)點(diǎn)上為了獲得期權(quán)厶而調(diào)用函數(shù)blsdelta時(shí)使用的向量是我們所處理過的唯一的向量。注意必須用趨于到期 日的當(dāng)前資產(chǎn)價(jià)格和當(dāng)前時(shí)間來計(jì)算厶；我們使用金融工具 blsdelta函數(shù)。給賦一個(gè)新的值就會更新股票的當(dāng)前 Position,也會產(chǎn)生沒有被考慮在內(nèi)的現(xiàn)金流。圖給出了比較兩個(gè)套期保值策略作用的腳本。運(yùn)行這個(gè)腳本, 我們可以得到以下的結(jié)果：» HedgingScripttrue price - 4.732837cost of stop/loss (S) 22 4,826756cost of delta-hedging = 4.736975cost of s

28、top/loss (S) = 4.828571cost of delta-hedging = 4.735174%SO= 50;K = 52;mu =;sigma =;r =；T = 5/12;NRepl =10000;NSteps = 10;C = blsprice (SO, K, r, T, sigma);fprintf(1, ' %s %fn，, ' true price = ', C);%randn C state', 0);Paths=AssetPaths (SO, mu, sigma, T, NSteps, NRepl);SL = StopLossV

29、(SO, K, mu, sigma, r, T, Paths);fprintf(1, 'cost of stop/loss (S) = %fn', SL);DC = DeltaHedging(SO, K, mu, sigma, r, T, Paths);fprintf(1, 'cost of delta-hedging = %fn，, DC);% NSteps = 100;randn (* st ate , 0);Paths=AssetPaths (SO, mu, sigma, T, NSteps, NRepl);SL = StopLossV (SO, K, mu, s

30、igma, r, T, Paths);fprintf(1, 'cost of stop/loss (S) = %fn', SL);DC = DeltaHedging(SO, K, mu, sigma, r, T, Paths); fprintf(1, 'cost of delta-hedging = %fn，, DC);圖比較套期保值策略的腳本在第一組運(yùn)行中我們使用十個(gè)套期保值步驟，在第二組中使用100個(gè)套期保值步驟。我們發(fā)現(xiàn)止損策略不像delta套期保值成本 那樣收斂于真實(shí)的期權(quán)價(jià)格。事實(shí)上，需要在不同的設(shè)置下進(jìn)行這 種比較，并且也應(yīng)該包括該套期保值成本的可變性。布朗

31、橋在前面幾節(jié)中，我們依據(jù)收益與時(shí)間密切相關(guān)的自然過程生成 了一個(gè)資產(chǎn)路徑。事實(shí)上，Wiener過程傾向于一些能夠用不同的方 法生成樣本路徑的特殊性質(zhì)。假如有一個(gè)左邊和右邊的終點(diǎn)分別為 和許的時(shí)間間隔且存在一個(gè)中間瞬時(shí)時(shí)間廠使得k < s < tr.o 在生成的標(biāo)準(zhǔn)路徑中，我們能夠很自然地生成Wiener過程：“(切,0(弘以及最終的”6)。利用所謂的布朗橋，我們可以在條 件砂叭仍及妬=W&)處生成“。可以看出在這兩個(gè)值的條件 下叭S)是一個(gè)正常變量，其期望值為(tr 一 S)Wl +(S - tl)Wrtr 一 tl方差為(tr s)(s 切tr tl這是由多元正態(tài)分布的條

32、件分布的一些性質(zhì)所決定的。以上這些公 式【6】都是很直觀的，我們就不必要再去證明了。“的條件期 望值是通過他和3線性插值求出的；方差在兩個(gè)端點(diǎn)和®附近 較小，在整個(gè)時(shí)間間隔中間確實(shí)最大值。利用布朗橋，我們可以通過二分法生成樣本路徑。假定"(0) = 0, 抽取樣本W(wǎng)(T.再次抽取樣本"(772)。假定爐(0)和叭7/2),抽樣 ”“)；假定妙(刃2)和”(巧，抽樣用(37/4),等等。實(shí)際上，我 們可以用非均勻時(shí)間步驟生成我們想要的任何序列樣本路徑。有人 也許會問為什么如此復(fù)雜的結(jié)構(gòu)卻這么有用。至少有以下兩點(diǎn)原 因：它可以通過分層使得方差減小。在多維中運(yùn)用分層很困

33、難，但 是我們可以對資產(chǎn)價(jià)格終值進(jìn)行分層，并且可以利用其中點(diǎn)對其進(jìn) 行分層。然后利用布朗橋生成中間值。在低差異序列結(jié)合中布朗橋構(gòu)造也很有用。在節(jié)中我們發(fā)現(xiàn)簡 單低差異序列在高緯定義域內(nèi)運(yùn)用很困難，因?yàn)椴荒芡耆恍?維度。利用布朗橋，我們可以通過以樣本點(diǎn)作為基點(diǎn)用高效率序列 去描述Wiener過程路徑；然后我們用其他序列甚至是蒙特卡洛抽樣 來填補(bǔ)路徑。在圖中給出了用布朗橋的方法生成標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程路徑的一個(gè) MATLAB程，但是只有在二等分的時(shí)間間隔0, T（例如，時(shí)間間隔 的數(shù)量是2的幕）這種特殊例子中才適用；在更多通常的設(shè)置中可 能適用。在這種情況之下，我們可以把上面的公式簡化為樣本

34、1“（s）；如果令，則有妙（初=駕竺+扌応z,其中，Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在這個(gè)程序中假定時(shí)間間隔T的長度 和把程序分隔開來次間隔的NSteps數(shù)量，并且這個(gè)程序運(yùn)行出一個(gè) 包含一條樣本路徑的向量。假定時(shí)間間隔次數(shù)為8 （必須是2的 幕）。那么我們就必須執(zhí)行3次二等分。給定初始條件"（S）=。，必須先抽取樣本可（如，即是跳過一 個(gè)長度為T的時(shí)間間隔，在這個(gè)程序中即為TJumpo因?yàn)槲覀冚斎?了 9個(gè)要素矢量值（從index 1開始，包括"&）,為了輸入新的 值，我們必須跳過矢量中的八個(gè)值。跳過的值的數(shù)量是記為然后我們開始第一個(gè)循環(huán)。在第一階段，只能抽取樣本“（切， 給

35、定W（5）和W&）。給定狀態(tài)left = 1和right = IJump + 1 ,我們必 須生成一個(gè)新的值并且在狀態(tài)° = IJuffiP/2 *中保存起來，i = IJump/2 +。在本例中即為4+1=5o在這里我們只生成了一個(gè) 值，并且把兩個(gè)跳躍都除以2。在第二次迭代中，我們必須抽取樣本*血），給定“（如和他仏），抽 取樣本"（"），給定啟和“（切。將會執(zhí)行兩次嵌套循環(huán)，且指數(shù) left, right和i都會增加4。在第三次和最后一次迭代中生成了剩余四個(gè)值。我們要求讀者通過這個(gè)程序逐步利用調(diào)試器來驗(yàn)證以上我們所 說的模式。在圖我們也給出了驗(yàn)證所生成

36、的隨機(jī)過程的邊緣分布式正確的的腳本。期望值應(yīng)該為0,標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該為時(shí)間的平方根：>> CheckBridgem a0.00250.00150.002800030sdev a0.50040.70770.86460.9964ans =0.50000.70710.86601.0000我們發(fā)現(xiàn)出去樣本誤差，這個(gè)結(jié)果看起來是正確的。給定一個(gè) 生成標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程的方法，很容易就可以模擬出幾何布朗運(yùn)動。 在圖中給出了這個(gè)程序，并且使用了一種類似于矢量方法中的 AssetPathsV.值得注意的一點(diǎn)是使用函數(shù)diff在對數(shù)資產(chǎn)價(jià)格中 生成矢量Increments.事實(shí)上在標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡洛中我們用連

37、續(xù)遞增生 成基本W(wǎng)iener過程；利用布朗橋結(jié)構(gòu)在不同的瞬時(shí)時(shí)間我們很直接 的得出了這個(gè)過程的不同值，且必須使用函數(shù)d辻f去取得相對差 異。在一些情況之下，diff與cumsum起相反的作用，從以下這個(gè) 例 子 中 我 們 可 以 看 出 來：» diff(1 5 7 10 20)ans =42310%randnC state", 0);NRepl = 100000;T = 1;NSteps = 4;WSamples = zeros(NRepl, 1+NSteps);for i=l:NReplWSamples(i, :) = WienerBridge(T, NSteps);

38、endm = mean (WSamples (:, 2 ： (1+NSteps)sdev = sqrt(var(WSamples(:, 2:(1+NSteps) sqrt(l:NSteps). *T/NSteps)圖 檢驗(yàn)利用布朗橋?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)Wiener ii程生成的路徑function SPaths = GBMHaItonBridge(SO, mu, sigma, T, NSteps, NRepl)if round(log2(NSteps) log2(NSteps)fprintf C ERROR in GBMBridge： NSteps must be a power of 2n );Tetur

39、nenddt = T/NSteps;nudt 二 *sigma"2)*dt;SPaths = zeros(NRepl, NSteps+1);W = W i enerHaltonBri dge(T, NSteps, NRepl);Increments = nudt + sigma*diff(W);LogPath = cumsum(log(SO) , Increments);SPaths = exp(LogPath);Spa ths (:, 1) = SO;圖利用布朗橋?yàn)閹缀尾祭蔬\(yùn)動抽樣為交換期權(quán)定價(jià)本節(jié)的目的是為了表明蒙特卡洛模擬在多維期權(quán)中也很適 用。我們將會使用一個(gè)簡單的例子來比較

40、估計(jì)值和為了達(dá)到這個(gè)目 的的精確值。我們給一個(gè)由兩個(gè)資產(chǎn)組成的歐式交換期權(quán)定價(jià)，根 據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性原則，這個(gè)兩個(gè)資產(chǎn)的價(jià)格可以用一個(gè)二維幾何布朗運(yùn) 動來建模：dU(t)+dV(t) = rV(t) dt + cryV(i) dWy(tfunction p = Exchange (VO, UO, sigmaV, sigmaU, rho, T, r) sigmahat = sqrt(sigmaU'2 + sigmaV'2 -2*rho* s i gmaU* s i gmaV);dl = (log(V0/U0) +*T*sigmahat"2)/(sigmahat*sqrt(T)

41、;d2 = dl - sigmahat*sqrt(T);p = V0*normcdf(dl) - U0*normcdf(d2);圖分析交換期權(quán)定價(jià)的命令其中這兩個(gè)Wiener過程有瞬時(shí)相關(guān)P。該期權(quán)在到期日T的 收益為我們可以發(fā)現(xiàn)該期權(quán)是差價(jià)期權(quán)的一個(gè)特殊 例子，差價(jià)期權(quán)的收益取決于兩個(gè)資產(chǎn)價(jià)格之差（在節(jié)中我們討論 過一個(gè)美式差價(jià)期權(quán)。）之所以稱為“交換”是因?yàn)樵诘狡谌湛梢?用一個(gè)資產(chǎn)跟另一個(gè)資產(chǎn)互換。例如，如果持有資產(chǎn)U和一個(gè)交換 期權(quán)，在到期日的收益將是Ut + max（Vr 一 JTr, 0） = max（Vr,閃）.對該期權(quán)而言，有一個(gè)由Black-Scholes公式直接演化而來的分析

42、 定價(jià)公式：di =丿元+處_ 2pcrvau%N(d,_UoN(d2) ln(%/S) + &2772 ay/T dx dVT我們給出這樣的公式是因?yàn)檫@個(gè)收益有一個(gè)同質(zhì)形式，在考慮了兩 個(gè)價(jià)格【7】比V/U后這個(gè)同質(zhì)形式可以簡化相應(yīng)的偏微分方程。在 圖中給出了計(jì)算這個(gè)公式的MATLAB命令。在使用蒙特卡洛中我們唯一需要考慮的一點(diǎn)是如何為兩個(gè)相關(guān) 的Wiener過程生成樣本路徑。在節(jié)中我們對多維正態(tài)分布使用過同 樣的方法。我們應(yīng)該為相關(guān)關(guān)系為卩且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)變 量的相應(yīng)協(xié)方差矩陣找到Cholesky因子：p 1 function p, ci=ExchangeMC (VO, U

43、O, sigmaV, sigmaU, rho, T, r, NRepl)epsl = randn(l, NRepl);eps2 = rho*epsl + sqrt(l-rho'2)*randn(1, NRepl);VT = V0*exp(r - *sigmaV*2)*T + sigmaV*sqrt(T)*epsl);UT = U0*exp(r - sigmaU'2)*T + sigmaU*sqrt(T)*eps2);DiscPayoff = exp(-r*T)*max(VT-UT, 0); p, s, ci二 normfit (DiscPayoff);圖用蒙特卡洛模擬為交換期權(quán)

44、泄價(jià)的命令這個(gè)可以由簡單乘法E = LL，得到驗(yàn)證，其中1 0p V1 p2因此，為了模擬二維相關(guān)Wiener過程，我們必須生成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布的兩個(gè)獨(dú)立變量Z1和并且用5= Z162 = pZ +- 護(hù) Z2來實(shí)現(xiàn)路徑的生成。在本例中，我們只需要生成在到期日兩個(gè)資產(chǎn)價(jià)格的聯(lián)合樣本。在圖中給出了最終的MATLAB命令。同樣可以檢驗(yàn)我們的結(jié)果：» VO = 50;» UO = 60;» sigmaV = 0.3;>> sigznaU = 0.4;>> rho = 0.7;» T = 5/12;» r » 0.0

45、5;» Exchange (VO ,110,8 igmaV, sigmaU, rho,T,r)ans =0.8633» NRepl » 200000;» randn(1 state* t 0)>> p,ci = ExchangeMCCVOO,sigmaV,sigmaU,rho,T,r,NRepl) P =0.8552ci =0 84440.8660%function P, CI, NCrossed=DOPutMC (SO, K, r, T, sigma, Sb, NSteps, NRepl)% Generate asset pathsCall

46、, Put = blsprice (SO, K, r, T, sigma);Payoff = zeros(NRepl, 1);NCrossed = 0;for i=l:NReplPath=AssetPathsl (SO, r, sigma, T, NSteps, 1); crossed = any(Path <= Sb);if crossed = 0Payoff(i) = max(0, K - Path(NSteps+1);elsePayoff(i) = 0;NCrossed = NCrossed + 1;endendP, aux, CI = normfit( exp(-r*T) * P

47、ayoff);圖離散障礙期權(quán)的基本形式的蒙特卡洛模擬為下跌敲岀看跌期權(quán)定價(jià)在本節(jié)中，我們將討論一個(gè)弱路徑依賴型期權(quán)的例子，即下跌礙。在節(jié)中我們發(fā)現(xiàn)了連續(xù)監(jiān)控的分析公式是如何被調(diào)整去反映離 散監(jiān)控的；我們將使用函數(shù)DOPut去檢驗(yàn)蒙特卡洛模擬的結(jié)果。有 一點(diǎn)非常重要那就是在實(shí)際中的障礙期權(quán)可能對隨機(jī)波動很敏感； 在為障礙期權(quán)定價(jià)時(shí)可以同時(shí)使用蒙特卡洛模擬和隨機(jī)波動模型。基木形式蒙特卡洛在圖中給出了基本形式蒙特卡洛模擬的執(zhí)行命令。參數(shù)NSteps 用來表明障礙水平&應(yīng)該檢驗(yàn)多少次股票價(jià)格。當(dāng)觸及障礙期權(quán)時(shí) 收益設(shè)置為0。注意在期權(quán)有效期中即使障礙是交叉的我們?nèi)匀灰?模擬整條路徑；部分路徑確

48、實(shí)是沒有用的，但是這樣做是為了可以 用AssetPaths和任何矢量因素來簡化命令。函數(shù)DOPutMC也表明了 路徑的NCrossed數(shù)量，在這條路徑中障礙處于交叉狀態(tài)。現(xiàn)在為距到期日還有兩個(gè)月的期權(quán)定價(jià)，假定每個(gè)月包含30天且每 天都會檢驗(yàn)障礙。障礙$ 為$40:» DOPut(50,50,0.1,2/12,0.4,40*exp(-0.5826*0.4*sqrt(1/12/30) ans -1.3629» randn( eed1,0)» P,CI,NCrossed=D0PutMC(50,50,0.1,2/12,0.4,40,60,50000)P =1.3600C

49、I =1.33931.3808NCrossed »7392條件蒙特卡洛從節(jié)中我們知道對立抽樣在這個(gè)例子中也許并不十分有效，因?yàn)槭找媾c相關(guān)的到期資產(chǎn)價(jià)格是非單調(diào)的。如同整條資產(chǎn)價(jià)格路徑 一樣這里的問題就變得越來越復(fù)雜。也可以用控制變量；類似普通 看跌期權(quán)控制變量的一個(gè)替代是可以通過B-S公式計(jì)算出來的，而 這個(gè)價(jià)格能夠由Black-Scholes公式計(jì)算出來。不管怎樣，兩個(gè)期 權(quán)之間的相關(guān)關(guān)系如何是值得探討的。因此，我們嘗試一種不同的 方法，即在節(jié)中已經(jīng)解釋過的條件方差減小方法。為了這個(gè)目的, 我們將會發(fā)現(xiàn)計(jì)算下跌敲入看跌期權(quán)的價(jià)格凡i是很方便的。為這 個(gè)敲入期權(quán)定價(jià)其實(shí)是等同于為相應(yīng)

50、的敲出期權(quán)定價(jià)，因?yàn)槲覀冎俣ㄎ覀儼堰@個(gè)期權(quán)有效期用長度為況的時(shí)間間隔加以離散化（在 本例中即為一天），使得丁 =必乩并且考慮在天數(shù) uM上的資產(chǎn)價(jià)格路徑：S = SS2,Sm 以此路徑為基礎(chǔ)，我們估計(jì)期權(quán)價(jià)格，如下心二 e"Ep(S)(K-Sm)+,現(xiàn)在令尸為障礙第一次觸及時(shí)的時(shí)間的階數(shù)，按照慣例，如果在期 權(quán)有效期內(nèi)障礙不交叉則令二M + 1。在時(shí)刻/毗期權(quán)生 效，并且從這以后這個(gè)期權(quán)就跟普通的看跌期權(quán)一樣。所以在障礙 交叉【8】時(shí)的交叉時(shí)刻廣二廣毗和價(jià)格*尸條件下，我們可以 使用Black-Scholes公式來估計(jì)收益的期望值。因此，如果障礙在 到期日前交叉，有E Z(S)(K

51、 - SQ+ |一廣)坊(Sj,K, T -廣)，其中Bp(Sj=K,T -廣)是執(zhí)行價(jià)格為K,初始標(biāo)的價(jià)格為 以及存續(xù)期為T的普通看跌期權(quán)的Black-Scholes價(jià)格；指數(shù)項(xiàng)把折現(xiàn)考慮在內(nèi)，從到期日折現(xiàn)到交叉時(shí)刻。給定一個(gè)模擬路 徑S,則使用以下作為估計(jì)式：/(S)e-rrBp(Sr,7<,r-t*).不同于對立抽樣，條件蒙特卡洛運(yùn)用這個(gè)問題的特定的知識；我們 知道得越多，那么數(shù)值積分就會越少。在圖給出了執(zhí)行方差減小技 術(shù)的命令DOPutMCCondo值得注意的一點(diǎn)是，為了有效性，最好是 在用向量參數(shù)時(shí)只用一次函數(shù)blsprice,而不是每次復(fù)制的時(shí)候都 用一次。所以把股票價(jià)格記為

52、StockVals和把下跌敲入看跌期權(quán)已 經(jīng)被激活的時(shí)刻記為Timeso如果障礙沒有交叉，則估計(jì)式就為0。同樣也要注意blsprice里的向量有NCrossed的元素，然而包含估計(jì)值的向量Payoff的大小卻是NReplo» D0Put(50,52,O.1,2/12,0.4,30*exp(-0.5826*0.4*sqrt(1/12/30) ans =3.8645>> randn('seed，.0)» P,CI,NCrossed = DDPutMC(50,52,0.1,2/12,0.4,30,60,200000)P =3.8751CI =3.85453.8

53、957NCrossed =249>> randn(,seed,0)» P,CI,NCrossed « DOPutMCCond(50,52,0.1,2/12,0.4,30,60,200000)P -3.8651CI «3.86173.8684NCrossed «249%function Pdo, CI, NCrossed= DOPutMCCond (SO, K, r, T, sigma, Sb, NSteps, NRepl)dt = T/NSteps;Call, Put = blsprice (SO, K, r, T, sigma);% Gen

54、erate asset paths and payoffs for the down and in optionNCrossed = 0;Payoff = zeros(NRepl, 1);Times = zeros(NRepl, 1);StockVals = zeros(NRepl, 1);for i=l:NReplPath=AssetPathsl (SO, r, sigma, T, NSteps, 1);t crossed = min (find ( Path <= Sb );if not(isempty(tcrossed)NCrossed = NCrossed + 1;Times (

55、NCrossed) = (tcrossedT) * dt;StockVals(NCrossed) = Path(tcrossed);endendif (NCrossed > 0)Caux, Paux=blsprice(StockVals(1:NCrossed), K, r,.T-Times (1:NCrossed), sigma);Payoff(1:NCrossed) = exp(-r*Times(1:NCrossed) *Paux;endPdo, aux, CI = normfit(Put 一 Payoff);圖離散障礙期權(quán)的條件蒙特卡洛模擬 3重要性抽樣最后一個(gè)運(yùn)行表明條件方差減小技

56、術(shù)也許的確有效，但是還是 不能太高興。首先，一次運(yùn)行必不能代表一切。更糟的是，在運(yùn)行 了很多次復(fù)制(200, 000)后，只有在249次復(fù)制中障礙才交叉。 這就意味著大部分的復(fù)制是白費(fèi)功夫的【9】。換句話說，利用這個(gè) 期權(quán)的數(shù)據(jù)，障礙交叉是不容易出現(xiàn)的。這就是一個(gè)重要抽樣可以 彌補(bǔ)的典型例子(參見節(jié))。如果改變資產(chǎn)價(jià)格的漂移那么障礙交叉就會變得更有可能 【10】。我們需要倒退一步去考慮一下為生成資產(chǎn)價(jià)格路徑S我們67所做的事情。對每一個(gè)時(shí)間步驟，生成一個(gè)正態(tài)變JfU值為方差為仇,所有的變量都是相互獨(dú)立的，并且生成的資產(chǎn)價(jià)格設(shè)置為logSj -logi =Zj令Z為正態(tài)變量的向量，并且令f (Z

57、)為它的聯(lián)合密度。如果我們釆用修正期望值可以預(yù)測障礙交叉的次數(shù)將會更多。令g (Z)為正態(tài)變量的聯(lián)合密度生成了這個(gè)修正期望值。然后我們必須找出一個(gè)修正項(xiàng)，似然 比，從而得出正確的重要抽樣估計(jì)式。結(jié)合重要抽樣和剛剛描述的 條件期望，有(如果障礙在到期日之前交叉):丁 (Z)/(S)(K-Sm)+ . F(zj/(如，今譏 g(z“ ，分)°¥?+二驢”(s)(k_sq+ j，Sj.加券川(S)(Kf)F,Sj 加鬻嚴(yán)烏(SjW).在上面這些表達(dá)式中我們應(yīng)該注意Z和Z之間的區(qū)別；在給定的條 件信息下，第一組樣本事實(shí)上都是真的數(shù)字組合并且可以從期望中 提了出來。在執(zhí)行過程中，我們必須生成期望值為少-6)的正態(tài)變量以及用似然比乘以從樣本角度看來是隨機(jī)變量【11】的條件估 計(jì)。現(xiàn)在一個(gè)唯一公開的問題就是如何計(jì)算似然比。在附錄B中我 們考慮了期望值為"協(xié)方差為另:的多元正態(tài)聯(lián)合分布:在本例中，因?yàn)橄嗷オ?dú)立的隨機(jī)變量,協(xié)方差矩陣式元素為 廳'兀的多元矩陣，并且期望值構(gòu)成了密度函數(shù)f同時(shí)A_b構(gòu)成6tf（zi,Zj" g（z八，）i >1一E （以 _ “尸 _（以一 “ + b）2k=l=exp （一 茹毎 &