1、模擬試題一、填空題(每空 3分，共45 分)1、 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85, 那么 P(A| B) = _P( A U B) = 12、設(shè)事件A與B獨(dú)立，A與B都不發(fā)生的概率為 -,A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與 B發(fā)生且A不發(fā)生的概9率相等，那么 A發(fā)生的概率為： ；3、一間宿舍內(nèi)住有 6個(gè)同學(xué)，求他們之中恰好有 4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率：;沒有任何人的生日在同一個(gè)月份的概率 ；4、隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為:八 xAe ,毋(x)= P( B)P(,C假設(shè)P(A- B- C),那么64P(A)，3 設(shè)一批產(chǎn)品有12件，其中2件次品，10件

2、正品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取3件，假設(shè)用X表示取出的3件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，貝U X的分布律為 。4. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為F (x) = A B arctan(x),x R那么(A,B) =, X的密度函數(shù) (xH。5 設(shè)隨機(jī)變量 X U -2,2，那么隨機(jī)變量 Y =丄乂 1的密度函數(shù)：:Y(y)=26 .設(shè)X,Y的分布律分別為X -101Y 01P 1/41/21/4P 1/21/2且PX Y = 0H 0，貝y (X,Y)的聯(lián)合分布律為 。和PX Y =1 =17 設(shè)(X,Y)N(0,25;0,36;0.4)，那么 cov(X,Y)二，D(3X -丄丫 1)=。28 設(shè)(X1,X

3、2,X3,X4是總體N(0,4的樣本，那么當(dāng)a=, b=時(shí)，統(tǒng)計(jì)量2 2n時(shí)，；:?2 =：宀(Xi -X)2是參數(shù)匚2的yX =a(X1 -2X2)(3X3-4X4)服從自由度為2的2分布。9 設(shè)(XX2,|l(,Xn)是總體N(a,；2)的樣本，那么當(dāng)常數(shù)k二無偏估計(jì)量。10 設(shè)由來自總體 X 2)容量為9的樣本,得樣本均值x =5，那么參數(shù)a的置信度為的置信區(qū)間為二、計(jì)算題(27分)1 (15分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為1(x y),(x,y)二 8b,0 遼 x2,0 乞 y2其它(1)求X與Y的邊緣密度函數(shù):X (x), Y (y)；判斷X與Y是否獨(dú)立？為什么?(3)

4、求Z = X Y的密度函數(shù)Z(z)。2 (12分)設(shè)總體X的密度函數(shù)為e4x_r其中二0是未知參數(shù),(X1,X2l(,Xn)為總體X的樣本，求(1 )參數(shù)-的矩估計(jì)量 ；(2)日的極大似然估計(jì)量 理。三、應(yīng)用題與證明題(28分)1 (12分)甲，乙兩箱中有同種產(chǎn)品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中僅有 3件正品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，(1)求從乙箱中任取一件產(chǎn)品為次品的概率；(2 )從乙箱中取出的一件產(chǎn)品為次品，求從甲箱中取出放入乙箱的3件產(chǎn)品中恰有2件次品的概率。2 .(8分)設(shè)某一次考試考生的成績服從正態(tài)分布， 從中隨機(jī)抽取了 36位考生的成績，算得平均成績X = 66.5

5、 分，標(biāo)準(zhǔn)差s =15分，問在顯著性水平下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分，并給出檢驗(yàn)過程。3. (8 分)設(shè) 0：P(A)：1，證明：A與 B 相互獨(dú)立二 P(B| A)二 P(B| A)。附表：U0.95 T.65, U.96, t.95 (35)=匸6896, t.95 (36)=匸6883,t.975 (35) =2.0301 ,t.975 (36) =2.0281,模擬試題三一、填空題(每題 3分，共42分)1 設(shè) P(A) =0.3, P(A_. B)=0.8,假設(shè) A與 B 互斥，那么 P(B)二;A與B 獨(dú)立，貝U P(B) =; 假設(shè) A B，貝U P(AB)

6、二。2 在電路中電壓超過額定值的概率為p1，在電壓超過額定值的情況下，儀器燒壞的概率為p2，那么由于電壓超過額定值使儀器燒壞的概率為 ;廣 34x0 X 13 .設(shè)隨機(jī)變量X的密度為護(hù)(X)，那么使P X& = p x a成立的常數(shù)0其它a 二；P0.5 : X ：1.5=；XXT/6/91/1821/3aP那么G丿應(yīng)滿足的條件是0蘭a蘭1, 0蘭B蘭1尹+P4 如果(X,Y)的聯(lián)合分布律為= 1/3假設(shè)X與Y獨(dú)立,;=, E(X 3Y-1)=5設(shè) X B(n, p)，且 EX =2.4, DX =1.44,那么 n =, p =。2X _36設(shè)X N(a,；)，那么Y服從的分布為。27測量鋁

7、的比重16次，得X -2.705, s =0.029 ,設(shè)測量結(jié)果服從正態(tài)分布 N(af2)，參數(shù)a2未知,那么鋁的比重a的置信度為95%的置信區(qū)間為、(12分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度為:0,(1) 求常數(shù)C ；(2) 求分布函數(shù)F(x)；(3)求 Y =2X 1 的密度- Y(y)三、(15分)設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為sr 0,0,0 ： x ： 1, 0 ： y x其它(1)求常數(shù)c ；(2)求X與Y的邊緣密度X(x), Y(y)；(3)問X與Y是否獨(dú)立？為什么?(4)求 Z =X Y 的密度 Z(z) ；(5)求 D(2X -3Y)。四、(11分)設(shè)總體X的密度為

8、0 ： ： x : 1 其它其中二-1是未知參數(shù)，(X1,|l(,Xn)是來自總體X的一個(gè)樣本，求(1 ) 參數(shù)二的矩估計(jì)量呀；(2)參數(shù)日的極大似然估計(jì)量 閔；五、(10分)某工廠的車床、鉆床、磨床和刨床的臺數(shù)之比為9:321 ，它們在一定時(shí)間內(nèi)需要修理的概率之N(a,；2)，得到的10個(gè)測定值給出比為1:2:3:1 ，當(dāng)有一臺機(jī)床需要修理時(shí)，求這臺機(jī)床是車床的概率。六、(10分)測定某種溶液中的水份，設(shè)水份含量的總體服從正態(tài)分布x =0.452, 4=，試問可否認(rèn)為水份含量的方差二2 =0.04 ?( - -)附表：(103.94,當(dāng).025(10) =3.247,驚。5(9) =3.32

9、5,吋。5(9) =2.7,2 2 2 2厶.975(10) =20.483,厶.975(9) =19.023,心(lO) = 18.307,厶少=16.919,模擬試題四、填空題(每題 3分，共42 分)1、設(shè)A、B為隨機(jī)事件，P(B)=0.8 , ，那么A與B中至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為;當(dāng)A與B獨(dú)立時(shí)，那么P(B (A_. B)二2、據(jù)以往資料說明，一個(gè)三口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P孩子得病=，P母親得病孩子得病，P父親得病 母親及孩子得病，那么一個(gè)三口之家患這種傳染病的概率為設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為3kP(ka_(0,1,2,.)，那么a =P(X 蘭 1) =。0,x

10、 蘭-34、假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為F(x) =A + Barcsin?3cxE3I3，1, x 3那么常數(shù)A二，B =，密度函數(shù):(x)二/.x2 -2xd1 5、連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為f(x)=8 亠，那么E(4X1)=V8nEX2 =。 P X -1 : 2 二6、設(shè) XU1,3 , Y P(2)，且 X 與Y 獨(dú)立，那么 D(X-Y-3)=7、設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，同服從參數(shù)為分布( 7)的指數(shù)分布,令U =2X Y,V =2X -Y的相關(guān)系數(shù)。那么 COV (U ,V) =_, 訂,V =(注：:()=0.8143:(0.50.6915 )、計(jì)算題(34分)1、

11、( 18分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)為x(X, y)。,y,o乞X乞1,0乞y乞1其他1求邊緣密度函數(shù) ：Xx, Yy；2判斷X與Y的獨(dú)立性；3計(jì)算 covX,Y;3求Z二maxX,Y的密度函數(shù) Z z1,假設(shè)X+Y為偶數(shù)2、 16分設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，且同分布于 B1,p0 ： p :：: 1。令10,假設(shè)X+Y為奇數(shù) 1 求Z的分布律；2求X，Z的聯(lián)合分布律；3 問p取何值時(shí)X與Z獨(dú)立？為什么？三、應(yīng)用題24分1、 12分假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率是。假設(shè)一周5個(gè)工作日內(nèi)無故障那么可獲 10萬元；假設(shè)僅有1天故障那么仍可獲利 5萬元；假設(shè)僅有兩天發(fā)生故障可獲利

12、0萬元；假設(shè)有3天或3天以上出現(xiàn)故障將虧損2萬元。求一周內(nèi)的期望利潤。2、 12分將A、B、C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出為其它一字母的 概率都為。今將字母 AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入 AAAA，BBBB，CCCC的 概率分別為，。輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。答案模擬試題一四、填空題每空 3分，共45 分1、， _2、2/3cA； 112126C；6!121 x-e ,x 蘭021 xOd4、 1/2,F(x)= -+-, 0cxE2, P-0.5cXc1= E川；2 44 21,xa2II5、

13、 p = 1/3_, Z=max(X,Y)的分布律：Z 012P 8/27 16/27 3/27;6、D(2X-3Y)= 43.92_,_COV(2X-3Y, X)= 3.96 ;8、d的矩估計(jì)量為:2X 。9.216, 10.784五、計(jì)算題(35分)91、解 1)P| 2X 一1| ：2 =P0.5 ： X ：1.5二161 _( x( , y ) X ( - y), 、(y)二 2,.y0,其它0,E(2X -1) =2EX2、解:-bo1)：x(x)二(x,y)dy -oO-xx0x2=2其它 0,0 ： x ： 2其它Sy)23f1dx1=嚴(yán)(x, y)dx =仏41|y卜：2(2-

14、|y|),=也其它 0,|y 卜：2顯然,(x,y)= x(x)Y(y)，所以X與Y不獨(dú)立。其它又因?yàn)镋Y=0 EXY=0所以，COV(X,Y)=0，因此X與Y不相關(guān)。 3 )Z(z)；(x,z-x)dxf .2 1f 1 z! !.z dx, 0 z ： 4,0 z ： 424=28p,其它O其它3、解 17i J.nxIn L(Xi，X2，|l|,XnC)- -nln rd In Ld Jn nx=0解出：? = X2 ) ；E? = EX 二 EX-孑是二的無偏估計(jì)量。六、應(yīng)用題20分1解：設(shè)事件A1, A2, A3, A4分別表示交通工具“火車、輪船、汽車和飛機(jī)，其概率分別等于 3/1

15、0 , 1/5 ,1/10和2/5，事件B表示“遲到，概率 PB| AJ, i =123,4 分別等于 1/4，1/3，1/2，0231204那么 PB) =P(AJP(B | A)二i呂P(A1 |B)二P(AJP(B| AJP(B)23，P(A2 | B)二P(A)P(B| 傀)P(B)23P(A3|B)二P(A3)P(BA)P(B)23P(A | B)二P(AJP(B|A4)P(B)=0由概率判斷他乘火車的可能性最大。2. 解：H: a 遼0.5 (%。), H1: 拒絕域?yàn)椋?-At.95(4)s計(jì)算 X x 0 5 lt5 =2.2857 以54,s所以，拒絕H。，說明有害物質(zhì)含量超

16、過了規(guī)定。附表：答案模擬試題二一、填空題45分，每空3分11. PB =0.4, PAB=0.42. PA= 43.X 012P 6/11 9/22 1/224-(A,)，15.:Y(y)= 2y o, 2廠0, 2PX Y =1 =347. cov(X,Y)=12,D(3X -1Y 1) =19822010010.(4.412, 5.588)、計(jì)算題(27分)仁(1)x (x) = “ 40,1-(x 1),x 0, 2x，0, 2恤)鳥(宀,0,y 0,2y 0,2(2)不獨(dú)立(3)28Z,1z (z)z(4-z),80,其它bo2. (1)計(jì)算 EX 二 xedx -1e根據(jù)矩估計(jì)思想，

17、x二EX - v V解出：纟二X T;(2 )似然函數(shù)LX川，人J)xiE=其它0,xi其它i0,顯然，用取對數(shù)、求導(dǎo)、解方程的步驟無法得到 -的極大似然估計(jì)。用分析的方法。因?yàn)槎?X，所以 e屯，即 L(Xi,|(,XnC)乞 L(Xi,|,Xn,x(i)所以，當(dāng) 閔=x(1)= min(XjHXn)時(shí)，使得似然函數(shù)達(dá)最大。極大似然估計(jì)為亂。三、1 解：(1)設(shè)A表示“第一次從甲箱中任取3件，其中恰有i件次品，(i=0,l,2,3 )設(shè)B表示“第二次從乙箱任取一件為次品的事件；nc3c；c3c；c3c32c2c3c31P(B)l P(A)P(B|A) = Cl 0+簾活+* 呂+呂呂=；i

18、4C6C6C6C6C6C6C64(2) P(A，| B)=0.6 P(B)2. 解：H0:a=70 (%o),比：a =70拒絕域?yàn)椋?| J70 | J36 A t.975 (35)s根據(jù)條件X =, s=15，計(jì)算并比擬X 70V3 = 1.4 t0.975 s所以，接受H，可以認(rèn)為平均成績?yōu)?70分。3. (8 分)證明：因?yàn)?P(B| A) =P(B|A)二 P(AB)P(A) = P(AB)P(A)二 P(AB)1 -P(A) =P(B) -P(AB)P(A)二 P(AB) =P(B)P(A)二 A與B相互獨(dú)立答案(模擬試題三)-、填空題(每題 3分，共42分)1 . _0.5; 2

19、/7; _0.5。2. _ p1 p2 _；P0.5 : X ：1.5 =_15/16_;4 . _0 _ ： _1,0 _ ： _1廠 -1/3， 二=_2/9，飛=_1/9, _17/3a -35. n= _6, p = 。6. N ( )。2 47.(2.6895, 2.7205)_dx = C = 1x-oO(3)Ox蘭0=fxJedt=1-e= x0.0P2X +1 1,y 蘭1，y蘭1(2) F(x)二 (t)dtY的分布函數(shù)FYy=三、解:(3)(4)(5) Y(y) = 2e0,)1 =： (x，y)dxdy 二 0 0cdydx 折,2 xX=X與Y不獨(dú)立;2dy 二 2x,

20、0 ： x ： 1(x,y)dy=07.：(x,y)dx =10,-oOX YzX,z-xdx 二EXf2x2dx=2,03EX其它1y2dy=2(1-y),0 ： 1zz/22dy 二乙其它1/22dy=2 z, 1zc20,02*EY102y(1-y)dy13DXEXY = .0.02xydydx = 4,其它EY2 二 12y2(1 -y)dx 工1p6DY 十(3)7cov(X,Y)二 EXY - EX EY =丄 143 3136D(2X -3Y) =4DX 9DY -2cov(2X,3Y)18四、解：(1)EX 訂oxW+1)x弧令 EX 二 X ,即n 1_xnn(2) L(8)

21、=n (x,)=(8+1)n(叮 xjO Ocxc1,i=12,n；：ln L(旳cQi 4i 4nIn L( j) = n ln( v 1) 八 In xi ,i3解得二1-1- n Tn Xji 49五、解：設(shè) A=某機(jī)床為車床, P(AJ ：151A2 =某機(jī)床為鉆床, P(A2)=5A3 =某機(jī)床為磨床, P(A3)；151A4 =某機(jī)床為刨床, P(A4)=15B =需要修理,1 2P(B|A) =7，P(B| A2H7，3P(B|A3)= 7，1P(B|A4-4那么 P(B) V P(AJP(B I A)=i 221O5P(A|B)二P(A)P(B|A)P(B)2222六、解：Ho：二=O.O4, H二-拒絕域?yàn)椋?0_1) 2/2(n-1)或嚴(yán)12(n-1)計(jì)算得(n -嚴(yán)9-10.037 “.2738，查表得 玄025(9) =2.7 0.2738 咗樣本值落入拒絕域內(nèi)，因此拒絕H0。附表：瞪05(10) =3.94,瞪.025(10) =3.247,瞪.。5(9) =3.325,瞪。5(9) =2.7,蠶.975(10) =20.483,鬻.97