江西省宜春市上高二中2023-2024學年高二上學期期末數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若在區間上單調遞增，則實數a的最大值為（

）A． B． C． D．π2．加工某種產品需要5道工序，分別為A，B，C，D，E，其中工序A，B必須相鄰，工序C，D不能相鄰，那么有（

）種加工方法．A．24 B．32 C．48 D．643．某校安排5名同學去A，B，C，D四個愛國主義教育基地學習，每人去一個基地，每個基地至少安排一人，則甲同學被安排到A基地的排法總數為（

）A．24 B．36 C．60 D．2404．的展開式中，含的系數為（

）A．51 B．8 C．9 D．105．的展開式中的常數項為（

）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點在直線上,則此拋物線的標準方程是（

）A． B．C．或 D．或7．已知直線是圓在點處的切線，則直線的方程為（

）A． B． C． D．8．雙曲線與橢圓焦點相同且離心率是橢圓離心率的倍，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知直線，，則（

）A．直線m恒過點 B．若，則C．若m⊥n，則 D．當時，直線n不經過第三象限10．已知圓，則下列說法正確的是（

）A．圓的半徑為B．圓截軸所得的弦長為C．圓上的點到直線的最小距離為D．圓與圓相離11．已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線C交于M，N兩點，且，，則的取值可以為（

）A． B． C．2 D．312．已知雙曲線）的左，右兩個頂點分別是，左、右兩個焦點分別是，是雙曲線上異于的一點，給出下列結論，其中正確的是（

）A．存在點，使B．存在點，使得直線的斜率的絕對值之和C．使得應為等腰三角形的點有且僅有四個D．若，則三、填空題13．若，則x的可能的值是.14．已知是雙曲線的左、右焦點，雙曲線上一點P滿足，則△的面積是．15．雙曲線C：(，)的焦點為、，P在雙曲線右支上，且，為C的漸近線方程，若的面積為，則雙曲線C的焦距長為．16．設拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，過的中點作軸的垂線與拋物線在第一象限內交于點，若，則直線的方程為．四、解答題17．已知直線l過點A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直．(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點P，Q，且|PQ|＝8，求圓C的方程．18．（1）已知點在圓上運動，定點，點為線段的中點，求點的軌跡方程；（2）已知兩定點，動點滿足，求點的軌跡方程.19．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.20．已知拋物線，其中，過B的直線l交拋物線C于M，N兩點．(1)當直線l垂直于x軸，且為直角三角形，求實數m的值；(2)若四邊形是平行四邊形，當點P在直線l上時，求實數m，使得．21．已知拋物線的焦點為坐標原點，是拋物線C上異于O的兩點.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線的斜率之積為，求證：直線過定點，并求出定點坐標.22．已知橢圓方程E：的左焦點為F，直線（）與橢圓E相交于A，B，點A在第一象限，直線與橢圓E的另一點交點為C，且點C關于原點O的對稱點為D．(1)設直線，的斜率分別為，，證明：為常數；(2)求面積的最大值．參考答案：1．A2．A3．C4．A5．A6．C7．D8．C9．BD10．BC11．BC12．AD13．1或2或3.14．215．16．17．(1)3x+4y+5＝0(2)x2+y2＝17【分析】（1）由垂直關系得過直線l的斜率，由點斜式化簡即可求解l的一般式方程；（2）結合勾股定理建立弦心距（由點到直線距離公式求解），半弦長，圓半徑的基本關系，解出，即可求解圓C的方程．【詳解】（1）因為直線l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；（2）圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝17．18．（1）；（2）【分析】（1）設，根據題意得代入圓的方程解決即可；（2）設，得，，根據題意解決即可.【詳解】（1）由題知，點在圓上運動，定點，設，因為點為線段的中點，所以，即，因為點在圓上，即，所以，化簡得所以點的軌跡方程為；（2）由題知，兩定點，動點滿足，即，設，所以，因為，所以，化簡得，所以點的軌跡方程為；19．(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關系找到二面角的平面角，然后結合相關的幾何特征計算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標法如圖所示，以O為坐標原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標系，則，設,所以，設為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結，則．因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因為，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數化，適合于復雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認識，該法為本題的最優解.方法三：三面角公式是一個優美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.20．(1)(2)【分析】（1）根據向量垂直，即可利用坐標運算求解，（2）根據平行得斜率關系，進而聯立方程得韋達定理，結合向量垂直由坐標運算即可求解.【詳解】（1）由題意，代入中，解得，不妨取，則，為直角三角形,故只能是為直角，即，故或1，易知不合題意，舍去，故．（2）由題意四邊形為平行四邊形，則，設直線，聯立得，由題意，判別式，，要使，則，又，即，化簡，得，即，代入得故．故時，有．21．（1），（2）證明見解析，定點【解析】（1）利用拋扔線的焦點坐標，求出，然后求拋物線的方程；（2）通過直線的斜率是否存在，設出直線方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理以及斜率乘積關系，轉化求解即可【詳解】解：（1）因為拋物線的焦點坐標為，所以，得，所以拋物線的方程為，（2）①當直線的斜率不存在時，設，因為直線的斜率之積為，所以，化簡得，所以，此時直線的方程為，②當直線的斜率存在時，設其方程為，，由，得，則，因為的斜率之積為，所以，即，即可，解得（舍去），或，所以，即，所以，即，綜上所述，直線過軸上的一定點【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與拋物線的位置關系的應用，拋物線的方程的求法，解題的關鍵是將直線方程與拋物線方程聯立方程組可得，再利用根與系數的關系可得，再結合直線的斜率之積為，可得到的關系，從而可得答案，考查計算能力，屬于中檔題22．(1)證明見解析(2)3【分析】（1）設出，，則，表達出，，由點差法得到證明；（2）三角形面積等于三角形的面積2倍，設直線方程為，聯立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，求出，換元后，結合對勾函數性質求出最值，得到答案.【詳解】（1）由題意知，，若，此時直線的斜率不存在，不合要求，舍去，設，，，此時，則，，，又①，②，式子①－②得，所以；（2）由題意可知，三角形面積等于三角形的面積2倍，橢圓左焦點F為，可設直線方程為，聯立方程組，即，故，，所以三角形的面積為，令