課題：6.2角（2）

【學習目標】：

1、認識方位角，掌握角的大小比較、角的和差及角平分線。

2、畫一個角等于己知角

3、能用角平分線知識求解

【重點難點】：用角平分線知識、角的和差知識解題。

【導學指導卜

一、自主學習

（-）方位角概念：運動方向與南北方向之間的夾角稱為方位角。

方法二：把一個角放在另一個角上，使它們的頂點0與G重合，其中0B與GH重合，畫

出另一邊0A,發現0A在/CGH內，于是/AOB_NCGH,這種方法稱重疊法。

（三）畫特殊角

一副三角尺上的角是一些常用的角，除了可以用它們直接畫出30°、45°、60°和

90°的角之外，還可以畫出多少個小于平角的角？―

（五）角平分線

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個—的角，這條射線叫做—

???OC是/A0B的代角平分線

???N=Z3

2

或者N—=2Z,=2Z

二、例題評析:

例1.NA0B是平角，ZA0C=80°,ZC0E=50°,0D平分NA0C,則ND0E是多少度？

CE

D

AOB

例2.如圖己知NAOC=1600,0D平分NAOC,NAOB是直角,

試求NBOD的度數.

例3.如圖,已知N8。C=2N4。B,。Q平分NA。C,NBOZ）=14。,求NA。B的度數

三、鞏固知識

［典型問題］

1.如圖，NA0C=50°,ZB0C=2ZA0C,O。平分NA0B,

⑴求NA0B；（2）求NC0D的度數.

2.如圖，已知OM平分乙40B,ON平分乙BOC,乙40B=90。，LBOC=30°.

求：（1）乙4OC的度數；（2）zM0N的度數.

四基訓練

1.如圖，點0在直線AB上，若NBOC=60。，則NAOC的大小是（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

2.如圖，AM為NBAC的平分線，下列等式錯誤的是（）

A.—ZBAC=ZBAMB.ZBAM=ZCAMC.ZBAM=2ZCAMD.2ZCAM=ZBAC

2

3.如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于O,則NAOC+NDOB=（）

4.北偏東30°與南偏東50°的兩條射線組成的角的度數為一

5.將一張長方形紙片折疊成如圖所示的形狀，則NABC的度數

拓展提升

10.如圖1,0為直線AB上一點，過點0作射線OC,ZAOC=30°,將一直角三角板（N

M=30°）的直角頂點放在點0處，一邊ON在射線OA上，另一邊0M與0C都在直線AB

的上方.

（1）將圖1中的三角板繞點0以每秒3。的速度沿順時針方向旋轉一周.如圖2,經過t

秒后，0M恰好平分NBOC.①求t的值；②此時ON是否平分NAOC?請說明理由；

（2）在（1）間的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線0C也繞。點以每秒6。的速度沿

順時針方向旋轉一周，如圖3,那么經過多長時間0C平分NM0N?請說明理由；

（3）在（2）間的基礎上，經過多長時間OC平分NMOB?請畫圖并說明理

圖1圖2圖3

答案:

一、自主學習

（一）方位角概念：運動方向與南北方向之間的夾角稱為方位角。

例1、如圖0A表示北偏東30。方向的一條射線,

（二）比較兩個角的大小:

方法一：量出NA0B=_30_度NCGH=_45—度/.ZA0B_<_ZCGH

方法二：把一個角放在另一個角上，使它們的頂點。與G重合，其中OB與GH重合，畫

出另一邊OA,發現OA在NCGH內，于是NA0B_<_NCGH,這種方法稱重疊法。

（三）畫特殊角

一副三角尺上的角是一些常用的角，除了可以用它們直接畫出30°、45。、60°和

90°的角之外，還可以畫出多少個小于平角的角？_7個—

說明：凡是15整數倍的角都可用一副三角尺上的角畫出

（五）角平分線

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個」的角，這條射線叫做_角平分

線一

AVOC是NAOB的的角平分線

/CAZAOC=ZBOC=-ZAOB

——2——

0或者/AOB=2NAOC=2NBOC

B

二、例題評析：

例1.NA0B是平角，ZA0C=80°,ZC0E=50°,0D平分NA0C,則ND0E是多少度？

AOB

解:VODWZAOC.,.Z30C=-ZA0C=40°AZD0E=ZD0C+ZC0E=90°A

例2.如圖已知NA00160°,OD平分NAOC,ZAOB是直角,

試求NBOD的度數.

解：?.?OD平分NAOC

...ZAOD=-NA0080°

2

AZB0D=ZA0B-ZA0D=90°-80°=10°

例3.如圖，已知NBOC=2N4O3,O。平分NAOC,N3O￡>=14。,求NA03的度數

解：:ZBOC=2AAOB^ZAOB=x，貝ijZBOC=2x,ZAOC=3x

又OD平分NAOC,.,?ZAOD=1.5x,

???ZBOD=ZAOD-ZAOB=0.5x=14°,AZAOB=x=2S°

三、鞏固知識

［典型問題］

1.如圖，ZAOC=50°,NB0O2NA0C,OQ平分/AOB,

(1)求NAOB；(2)求NCOD的度數.

解：(1)???4OC=2UOC,UOC=50。,

?，?乙BOC=2x500=100c,

???LAOB=LBOC+乙40c=100°+50°=150c,

(2)vOD平分UOB,???LAOD=-^AOB=-X150°=75°,

22

；?LCOD=LAOD-LAOC=75°-50°=25°.

2.如圖，己知OM平分乙408,ON平分乙BOC,UOB=90。,LBOC=30°.

求：⑴乙4OC的度數；(2)zM0N的度數.

解：(1)???"。。="05+”0。，又“03=90°,4。。=30。，???40C=12(T；

(2)???0M平分U0B,???Z-MOB=\LAOB.

?ZOB=90。，???zAfOB=45。，

???ON平分40C,???ziVOC=三乙BOC,

2

?"OC=30。，“V0B=15c,

7A10N=MOB+ZLNOB，：.UION=60°.

四基訓練

1.如圖，點。在直線AB上,若NBOC=60°,則NAOC的大小是（)

c

A.60°B.90°C.120°D.150°

2.如圖，AM為NBAC的平分線，下列等式錯誤的是（C）

A.—ZBAC=ZBAMB.ZBAM=ZCAMC.ZBAM=2ZCAMD.2ZCAM=ZBAC

2

3.如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于O,則NAOU/DOB-(D)

4.北偏東30°與南偏東5。。的兩條射線組成的角的度數為_100_°.

5.將一張長方形紙片折疊成如圖所示的形狀，則NABC的度數73。.

6.如圖，直線AB、CD相交于點0,ZDOE=ZBOE,OF平分NAOD,若NBOE=28。，則/

B

C

7.如圖，點0是直線FA上一點，OB,OD,OC,OE是射線，OE平分NAOC,0D平

分NBOC.

(1)若NAOE=15。，求NFOC的度數；(2)若NAOB=86。，求NDOE的度數.

解：(1)VZAOE=15°,0E平分NAOC,

Z.ZAOC=2X15o=30°,

???點0是直線FA上一點，

，NFOC=180°?30°=150°；

(2)TOE平分NAOC,0D平分NBOC,

Z.ZEOC=-ZAOC,ZDOC=—ZBOC,

22

:.ZDOE=—ZAOC+—ZBOC=—ZAOB=-X86°=43°.

2222

8.已知:N408=80。,/80。=30。,。。平分/408,根據題意,畫出圖形,解答下列問題:

(1)求NBOO的度數;(2)求NCO。的度數

解:(1)???0。平分N4。伐???/BOD

=-乙40。='乂80。=40。(如下左圖)；

22

(2)①當。。在NA08內部時,

ZCOD=ZBOD-ZBOC

=40。?30。=10。(如上中圖);

②當0C在NAOB外部時,

ZCOD=ZBOD+ZBOC

=40。+30。=70。(如上右圖)。

9.如圖(1),將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起,

(1)若NDCE=35°,ZACB=145°；若NACB=140°,則NDCE=40。；

(2)猜想NACB與NDCE的大小有何特殊關系，并說明理由;

(3)如圖(2),若是兩個同樣的直角三角尺60。銳角的頂點A重合在一起，則/DAB與N

CAE的大小又有何關系，請說明理由.

解：(1)VZECB=90°,ZDCE=35°AZDCB=90°-35°=55°

；ZACD=90°JZACB=ZACD+ZDCB=145°,

?IZACB=140°,ZACD=90°ZDCB=140°-90°=50°

丁ZECB=90°ZDCE=90°-50°=40°,

(2)猜想得NACB+NDCE=180°(或NACB與NDCE互補)

理由：?.?NECB=90°,ZACD=90°

工ZACB=ZACD+ZDCB=90°+ZDCB

ZDCE=ZECB-ZDCB=90°-ZDCB

,ZACB+ZDCE=180°.

(3)ZDAB+ZCAE=120°

理由如下：由于NDAB=NDAE+NCAE+NCAB

故ZDAB+ZCAE=ZDAE+ZCAE+ZCAB+ZCAE=ZDAC+ZBAE=120°.

拓展提升

10.如圖1,O為直線AB上一點，過點0作射線OC,ZAOC=30°,將一直角三角板(N

M=30°)的直角頂點放在點。處，一邊ON在射線0A上，另一邊0M與0C都在直線AB

的上方.

(1)將圖1中的三角板繞點0以每秒3。的速度沿順時針方向旋轉一周.如圖2,經過t

秒后，0M恰好平分NBOC.①求t的值；②此時ON是否平分NAOC?請說明理由；

(2)在(1)問的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線UC也繞。點以每秒6。的速度沿

順時針方向旋轉一周，如圖3,那么經過多長時間0C平分NMON?請說明理由；

(3)在(2)問的基礎上，經過多長時間0C平分NMOB?請畫圖