湖北省荊州市沙市中學20222023學年高三下學期2月月考數學（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若復數$z=3+4i$，則$z^2=$（）A.$7+24i$B.$724i$C.$7+24i$D.$724i$2.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=2$，$f(1)=6$，則$f(0)=$（）A.2B.3C.4D.53.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，則公差$d=$（）A.1B.2C.3D.44.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(x,6)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，則$x=$（）A.4B.3C.3D.45.若函數$y=\ln(x^21)$的定義域為$D$，則$D=$（）A.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(1,1)$C.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$D.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若$\sin\theta=\frac{3}{5}$，則$\cos(2\theta)=$_______。2.已知函數$y=f(x)$的圖像關于直線$x=2$對稱，若$f(3)=4$，則$f(1)=$_______。3.在等比數列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，公比$q=3$，則$b_4+b_5=$_______。4.若函數$y=g(x)$滿足$g(x)+g(2x)=2x$，則$g(1)=$_______。5.若$\triangleABC$的三邊長分別為$3$，$4$，$5$，則$\sinA=$_______。三、解答題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知函數$f(x)=x^22x+1$，求$f(x)$的最小值及對應的$x$值。2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，求$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角。四、證明題（共1小題，滿分10分）證明：在$\triangleABC$中，若$AB=AC$，則$\angleB=\angleC$。五、應用題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.某工廠生產一種產品，每件產品的成本為$200$元，售價為$250$元。若每月生產$x$件產品，則每月的總成本為$C=200x$元，總收入為$R=250x$元。求每月的利潤$P$關于$x$的函數關系式，并確定$x$的取值范圍。2.已知某城市的總人口為$1000000$人，每年的出生率為$1.5\%$，死亡率為$0.8\%$，遷入率為$0.7\%$，遷出率為$0.5\%$。求該城市$5$年后的總人口數。六、計算題（共3小題，每小題8分，滿分24分）1.計算極限lim(x→2)(x^24)/(x2)。2.計算定積分∫(1toe)ln(x)dx。3.計算二重積分?(x^2+y^2)dxdy，其中D是由圓x^2+y^2=4所圍成的區域。七、簡答題（共3小題，每小題6分，滿分18分）1.簡述導數的物理意義。2.簡述空間直角坐標系中球面的方程。3.簡述事件A與事件B相互獨立的含義。八、推理題（共2小題，每小題8分，滿分16分）1.已知函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)f(b)<0。證明：存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。2.已知數列an滿足a1=1，an=2an1+1（n≥2）。證明：an=2^n1。九、探究題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.探究函數y=x^33x在區間[2,2]上的圖像特征。2.探究等差數列an中，若a1>0，公差d<0，則數列an的項數n滿足的條件。十、作圖題（共1小題，滿分10分）作出函數y=sin(x)+cos(2x)在區間[0,2π]上的圖像。十一、編程題（共1小題，滿分10分）編寫一個Python程序，計算并輸出1000以內的所有完數（完數是一個正整數，它等于除了它本身以外的所有正因數之和）。十二、案例分析題（共1小題，滿分10分）某公司生產兩種產品A和B，產品A的利潤為20元/件，產品B的利潤為30元/件。公司每月的總成本為10000元，且每月至少要生產100件產品。求公司每月的最大利潤及對應的產品A和B的生產數量。十三、實驗設計題（共1小題，滿分10分）設計一個實驗，驗證牛頓第二定律（F=ma）。十四、文獻綜述題（共1小題，滿分10分）十五、綜合應用題（共1小題，滿分10分）某城市的交通流量數據如下：工作日平均每天有10000輛車通過某路口，周末平均每天有8000輛車通過。假設每天的車輛通過數服從正態分布，且工作日與周末的車輛通過數相互獨立。求下周（7天）通過該路口的車輛總數不少于63000輛的概率。一、選擇題1.A2.C3.B4.D5.B二、填空題1.32.13.04.25.1三、解答題1.解：由題意得，an3n，所以an+13(n+1)。又因為an+1an3n+13n3，所以an+1an3。即數列an是等差數列，公差為3。所以an=a1+(n1)d=3n。當n=20時，an=3×20=60。所以數列的前20項和S20=na1+n(n1)d/2=20×3+20×19×3/2=1110。2.解：由題意得，f(x)=ax^2+bx+c。因為f(1)=2，f(1)=6，所以a+b+c=2，ab+c=6。解得a=1，b=3，c=0。所以f(x)=x^2+3x。當x=0時，f(0)=0。四、證明題證明：在triangleABC中，若AB=AC，則angleB=angleC。證明如下：延長AB到D，使BD=AB。因為AB=AC，所以AD=BC。又因為angleABD=angleACB（對頂角相等），所以triangleABD和triangleACB有兩邊分別相等且夾角相等，所以triangleABD和triangleACB全等（SAS）。所以angleB=angleC（全等三角形的對應角相等）。五、應用題1.解：每月的利潤P=RC=250x200x=50x。因為x為生產的產品件數，所以x的取值范圍為正整數。2.解：5年后總人口數為1000000×(1+0.0150.008+0.0070.005)^5=1040000人。六、計算題1.解：lim(x>2)(x^24)/(x2)=lim(x>2)(x+2)=4。2.解：(1toe)ln(x)dx=(xln(x)x)|1toe=(eln(e)e)(1ln(1)1)=e1。3.解：二重積分(x^2+y^2)dxdy，其中D是由圓x^2+y^2=4所圍成的區域。化為極坐標，x=rcosθ，y=rsinθ，dxdy=rdrdθ。積分區域D變為0≤r≤2，0≤θ≤2π。所以積分變為(0to2π)(0to2)r^3drdθ=(πr^4/4)|0to2π=(π×2^4/4)=4π。七、簡答題1.解：導數的物理意義是表示函數在某一點的變化率，即該點切線的斜率。2.解：空間直角坐標系中球面的方程為x^2+y^2+z^2=r^2，其中r為球面的半徑。3.解：事件A與事件B相互獨立表示事件A的發生與否對事件B的發生與否沒有影響，即P(AB)=P(A)P(B)。八、推理題1.解：由零點存在定理可知，存在c(a,b)，使得f(c)=0。2.解：由數學歸納法可知，an=2n1。九、探究題1.解：函數y=sin(x)cos(2x)在區間[0,2]上的圖像特征為：周期為π，最大值為1，最小值為1，圖像關于x=π/2對稱。2.解：等差數列an中，若a1>0，公差d<0，則數列an的項數n滿足的條件為n≤a1/d。十、作圖題解：作出函數y=sin(x)cos(2x)在區間[0,2]上的圖像。十一、編程題解：Python程序如下：foriinrange(1,1001):sum=0forjinrange(1,i):ifi%j==0:sum+=jifsum==i:print(i)十二、案例分析題解：設產品A的生產數量為x，產品B的生產數量為y。則maximizez=20x+30y,