數學建模部分定義概念第一章實踐、數學與數學模型一、相關概念（特定對象特定目的特有內在規律）原型：客觀存在的各種研究對象。既包括有形的對象，也包括無形的、思維中的對象，還包括各種系統和過程等模型：為了某個特定的目的，將原型的某一部分信息簡縮，提煉而構造的整個原型或其部分或其某一層面的替代物。原型與模型的關系：原型是模型的前提與基礎，模型是原型的提煉與升華。原型有各個方面和各個層次的特征，而模型只要求反映與某些目的有關的那些方面和層次。二、什么是數學模型（MathematicalModel對于現實世界中的一個特定對象，為了一個特定的目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。廣義上講，數學模型是指凡是以相應的客觀原型作為背景，加以一級抽象或多級抽象的數學概念、數學式子、數學理論等都叫數學模型。狹義上講，數學模型是指那些反映特定問題或特定事物的數學符號系統。（我們所指的數學模型是指狹義上的數學模型）數學模型不是原型的復制品，而是為了一定的目的，對原型所作的一種抽象模擬。它用數學算式、數學符號、程序、圖表等刻畫客觀事物的本質屬性與內在關系，是對現實世界的抽象、簡化而有本質的描述，它源于現實又高于現實三、什么是數學建模數學建模是指應用數學的方法解決某一實際問題的全過程。包括：（1）對實際問題的較詳細的了解、分析和判斷;（2）為解決問題所需相關數學方法的選擇;（3）針對實際問題的數學描述,建立數學模型;（4）對數學模型的求解和必要的計算;（5）數學結果在實際問題中的驗證;（6）將合理的數學結果應用于實際問題之中,從而解決問題。四數學建模流程圖（參見教材上冊P14）實際問題抽象、簡化、假設，確定變量和參數根據某種“定律”或“規律”建立變量和參數間的一個明確的數學關系，即在此簡化階段上構造數學模型解析地或近似地求解該數學模型用實際問題的實測數據等來解釋、驗證該數學模型（若不通過，返回第2步）投入使用，從而可產生經濟、社會效益完美的圖畫---黃金分割黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為1:0.618或1.618:1，即長段為全段的0.618。所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比。計算黃金分割最簡單的方法:計算斐波那契數列1,1,2,3,5,8,13,21,... 從第二位起相鄰兩數之比，1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,... 的近似值。1.2八步建模法問題提出量的分析模型假設模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應用數學建模采用的方法（詳見教材P11）機理分析法:在對研究對象內部機理分析的基礎上,利用建模假設所給出的建模信息或前提條件及相關領域知識、相應的數學工具來構造模型。系統識別建模法:對系統內部機理不清楚的情況下,利用建模假設或實際對系統的測試數據所給的系統的輸入輸出信息及數據,用純粹的數學方法確定模型形式，借助于概率論和數理統計來辨識參數構造模型。仿真建模法:利用各種仿真方法建立數學模型。相似類比建模法:借助于相似原理和事物之間的類比關系進行建模的方法，是根據不同研究對象之間的某些相似性（數學相似、物理相似和其他相似）借用移植領域的數學模型老構造數學模型的方法1.3數學模型的分類（參見教材上冊P15）1、按建模的數學方法劃分：初等模型、數學規劃模型、微分方程模型、差分方程模型、概率統計模型、圖論模型、模糊模型和灰色模型等；2、按建模中變量特點劃分：確定性模型與隨機性模型、靜態模型與動態模型、線性模型與非線性模型、離散模型與連續模型；3、按應用領域劃分：人口模型、交通模型、環境模型、規劃模型、生態模型、資源模型等；4、按建模的目的劃分：描述模型、預測模型、優化模型、決策模型、控制模型等；5、按對問題的了解程度劃分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等；分類5的具體解釋：(1)白箱模型(WhiteBox)對系統相當了解，利用系統的機理方程建立起來的數學模型，通常采用機理建模。(2)黑箱(BlackBox)模型對系統并不了解，利用實驗得到的輸入輸出數據來構建系統的等價模型，通常采用統計建模。(3)灰箱(GrayBox)模型介于白箱模型和黑箱模型之間的模型。1.4數學模型特點與建模能力培養一、數學模型的特點1、逼真性和可行性：模型越逼真就越復雜,應用起來費用越高,常與取得的效益不成正比。所以需要對逼真性與可行性進行折衷。2、漸進性：數學模型通常不會是一次就成功的,往往需要反復修正,逐漸完善。3、強健性：對于已建好的數學模型,當觀測數據有微小的改變或者模型結構及參數發生微小變化時,模型求解的結果也隨之發生微小的變化。4、可轉移(移植)性：數學模型是現實對象抽象化產物，它可能與其它領域其它事物有共性。常常好多領域不同事物卻共有幾乎相同數學模型。5、非預制性：大千世界變化莫測,千姿百態,不能要求把所有的模型做成預制品供我們使用。建鏌時遇到的問題往往事先沒有答案,因此必須創新,產生新方法、新概念。6、條理性：從建模角度出發,人們對現實對象分析應該全面、深入,更具有條理性。即使建模失敗，對解決研究實際問題也是有利的7、技藝性:建模與其說使一門技術,不如說是一種技藝很強的技巧藝術。期間經驗、想象力、洞察力、判斷力以及直覺靈感起的作用往往比數學知識更大。人的知識是有限的,想象力是無限的。8、局限性:由于建模時往往會把現實對象簡化、近似、假設,因此當模型應用到實際時就必須考慮被忽略的簡化因素。于是結論往往是相對的、近似的。另外，由于人類認識能力受科學技術以及數學本身發展水平的限制，至今還有不少實際問題沒有建立出有價值的實用的數學模型，如中醫診斷等。二、數學建模能力的培養（教材上冊P16）（1）數學知識的積累；（2）學好數學模型課，多看、多學數學建模案例；（3）留心各樣事物，培養觀察能力和用數學解決問題的思想；（4）需要豐富的想象力與敏銳、深刻的洞察力；（5）興趣是學習的動力，努力培養建模興趣；（6）與計算機的緊密關聯，學會使用相關軟件；7）虛心學習，注重團隊意識和團結協作；（8）學會類比，做到“由此及彼和由彼及此”，培養發散思維能力;（9）培養自學能力，能快速獲取新知識，并能學以致用；（10）學會從雜亂無章的各種信息中快速挑選收集有用信息，利用圖書館、網絡查找相關資料。第二章初等數學模型2.1比例分析法建模比例是一個總體中各個部分的數量占總體數量的比重，用于反映總體的構成或者結構。數學上表示兩個比值相等的式子叫做比例。在一個比例中，兩個外項的積等于兩個內項的積，叫做比例的基本性質。求比例的未知項的過程，叫做解比例。兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中相對應的兩個數的比值（商）一定，兩種量就叫做正比例的量，他們的關系叫做正比例的關系。如果兩種量中，相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，他們的關系叫做反比例關系比例在日常生活中的重要應用】比例是最基本、最初等的數學概念之一，日常生活中的許多實際問題所指向的對象都蘊含著比例關系，運用比例關系可以建立數學模型，對實際問題進行描述與求解。例如：若兩個物體的特征長度之比為1:入，則其表面積的比例為1:X2,其體積的比例是1：X3。這反映了一些實際對象中包含的變量之間滿足的內在規律。（詳見教材上冊P18）本節研究商品包裝成本的確定問題”的數學建模問題。2.6圖論方法在數學模型中的運用一、圖論的起源圖論是組合數學的一個分支，起源于1736圖論是組合數學的一個分支，起源于1736年歐拉的第一篇關于圖論的論文,這篇論文解決了著名的哥尼斯堡七橋問題，從而使歐拉成為圖論的創始人。在圖中，用點代表各個事物,用邊代表各個事物之間的二元關系。因此圖是研究集合上二元關系的工具,圖論給含有二元關系的系統提供了數學模,有力推動了圖論的發展,使得圖論型,有力推動了圖論的發展,使得圖論二、相關的圖論知識定義(圖)圖是一個有序二元組G={V(G),E(G)},其中V(G)={Vi}為頂點集,E(G)={ej為邊集,V=V(G)中的元素Vi稱為頂點,E=E(G)中的元素ek叫做邊。頂點總數記為|V(G)|,邊的總數記為|E(G)| 。若|丫(6)|臼， 則稱G為n階圖若|V(G)|與|E(G)|均為有限數，，則稱G為有限圖定義(有向圖)稱G={V(G),E(G)?如為一個有向圖，其中抨是頂點集合，Y(G)的元素稱為頂點，E{G)是邊的集合，E(G)的元素稱為邊V(G)nE(G)A*f0G:E(G)T￥(GWV(G)稱為關聯函數，當站何二仲時，稱邊凸頂點“環相關聯，又稱頂點舁與謝鄰皿是￡的犀八思的頭，此時稱G為有向圖(Digraph),即有向圖G中的每條邊都是有方向的。、相關的圖論知識在有向圖中，一條有向邊是由兩個頂點組成的有序對，有序對通常用尖括號表示。有向邊也稱為弧(Arc),邊的始點稱為弧尾(Tail),終點稱為弧頭(Head)。例如＜4寸〉表示一條有向邊，Vi是邊的始點例如＜4寸〉表示一條有向邊，Vi是邊的始點(起點)，Vj是邊的終點。因此＜4寸〉和＜《必〉是兩條不同的有向邊。例1.有向圖示例(見右圖)給定有向圖G={V,E}，其中頂點集為V={a,b,c,d},邊集為E={ei,e2,e3, e5,%e?}定義(無向圖)若G的每條邊頭尾不分，即 Ge=uv=vu,稱g為無向圖圖的每條邊都是有沒有方向的，則稱G為無向圖(Undigraph)。無向圖中的條稱為無向邊，均是頂點的無序對，無序對通常用圓括號表示。例：如果(Vi,vj表示一條無向邊，則(?,%)=(%,Vi)。例2.無向圖示例(見右圖)給定無向圖G={V,E},其中頂點集為：V={%V2,V3,V4,邊集為:E={ei5e2,63,e4,e5,e6,e?}或者E={(M，V).(VjV2),(V2?V3)，(V3,V2),(Vq八"勺理J,(Vq..)}定義4(環)若Vi=Vj,則e「(Vi,引稱為環 或回路例如：下圖1中，a例如：下圖1中，a=a,ei=〈a,a〉是環；下圖2中，vi=vi,ei=(vI,vI)是環。圖1有向圖圖2無向圖圖G的頂點數n和邊數e的關系:⑴若G是無向圖，則0WeWn(*1)/2。稱恰有n(n-i)/2條邊的無向圖稱為無向完全圖(UndirectedCompleteGraph)。(2)若6是有向圖，則0W韋(n-1)。稱恰有n(n-1)條邊的有向圖稱為有向完全圖(DirectedCompleteGraph)。COCt)?二、最短軌道問題給定連接若干個城市的鐵路網,尋找從指定的某城市到其余城市的最短路。解決該問題的數學模型如下設w:E(G)TR,w(e)叫做圖G中的邊e的權。對任意的A€V(G),尋找軌道P(A0,A),使得w(P(A0,A))=min{w(A)},A€①淇中①是從A。到軌道的集合,w（A）是軌道A上各邊權之和求解該最短路問題的迪克斯設d(A)表示A到Ao的距離。(1)令d(Ao)=0,d(A)=+g,Ao工A;So={A。},i=0 ;(2)對每個ASi,用min{d(A),d(A i)+w(AiA)}代替d(A),若Ai+i是使d(A)取最小值的 中的頂點(是Si的補集)，令Si+i=SiU{Vi+1};（3）若i=a-1，停止；若iva-1,則由i+1代替i,轉⑵。第四章三如何將原問題轉化為對偶問題原問題對偶問題1目標函數求maxS目標函數求minZ2目標函數中的系數Ci約束條件中的右端項ci3約束條件中的右端常數項 bj目標函數中的系數bj4約束條件的系數矩陣A約束條件的系數矩陣AT5約束條件有m個對偶變量有m個6決策變量有n個約束條件有n個7約束條件為">"（"黑,=）對偶變量"<"'（"耳，無限制）8決策變量"歲（"<’,無限制）約束條件為"歲（"<","="）對稱形式的對偶線性規劃問題的矩陣表示原問題maXS=CXs.t.AX<b—?對偶

問題minZ=Ybst.」YA>C原問題原問題對偶問題maxZCXmaxZCXiC2X2^4CnXnaiXi-ai2X2q4amXn乞biminW二biYi bhy? bmYmanyi+a2iy2卜八+amiym蘭a2ixi+a22X2十s.t.?+a2nxA—b2ai2yi*a22y2十八+aym2mamiXi+am2X2+^+amnXn蘭bmXi-0i*2,,nain%+a2n心十…+amn『yi-0i72,,m或者maxZminW二yb.-c-0.-c-0exS.t.JAx<b其中=(G，C2x-0)X=(Xn i,Xn)，Y=(%，丫2,…,YET'anai2…ama2ia22…a2n,b=iamiaam2amnJ例：寫出下列LR訶題的對偶問題非對稱形式的對偶線性規劃的對偶原則例：寫出下列LR訶題的對偶問題非對稱形式的對偶線性規劃的對偶原則maxS=2%+4x2-3x3minZ=10%-5y2+8%一%+4x2-3x3=一5sij3x1+2x2-5x3>8(1)如果在原規劃問題中，第k個約束條件為等式，則在其對偶問題中第k個對偶變量無非負限制；反之，如果原規劃問題的第 k個決策變量無非負限制，則其對偶問題的第k個約束條件應該為等式。(2)如果原規劃問題是求最大值，且第 k個約束條件為“’形式，則在其對偶問題中，第k個對偶變量yk<0;如果原規劃問題是求最大值，且第 k個決策變量xk<0,則其對偶問題中，第k個約束條件為“〈形式(3)如果原規劃問題是求最小值，且第 k個約束條件為“〈形式，則在其對偶問題中，第k個對偶變量yk<0;如果原規劃問題是求最小值，且第 k個決策變量xk<0,則其對偶問題中，第k個約束條件為形式。4.8動態規劃模型動態規劃是求解決策過程的一種最優化的數學方法。 20世紀50年代初，美國數學家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程的優化問題時，提出了著名的最佳原理 把多階段決策求解問題轉化為逐個求解一系列單階段決策問題 ,這種求解最優化問題的方法叫動態規劃方法動態規劃方法主要用于求解以時間劃分階段的動態決策過程的優化問題。但是對于某些與時間無關的靜態規劃問題，如果可以人為地引入時間因素，把它視為多階段決策過程的問題，則也可以用動態規劃方法方便地求解。二、動態規劃方法的基本原理---最佳原理最佳原理一個最優策略有這樣的特性，不論初始狀態和初始決策如何，相對于第一個決策所形成的狀態來說，余下的決策必定構成一個最優策略。即：每個最佳策略只能由最佳子策略組成三、動態規劃方法的重要性質---無后效性原所謂無后效性原則：指的是這樣一種性質：某階段的狀態一旦確定，則在這個階段以后過程的發展與演變不再受此前各狀態及決策的影響。即“未來與過去無關”。這個性質稱為無后效性，又稱為馬爾科夫性。具體地說：如果一個問題被劃分為若干個階段，那么階段k+1中的狀態只能通過階段k中的狀態經由狀態轉移方程得到，與其他狀態沒有關系，特別是與尚未發生的狀態沒有關系。四、動態規劃問題的研究內容1.最短路徑問題 2.資源分配問題3.投資決策問題 4.生產計劃與庫存問題5.排序問題 6.貨物裝載問題7.生產過程中的最優控制問題五、動態規劃模型的種按照決策過程的演變是確定的還是隨機的，動態規劃模型分為以下兩種類型：1、確定性動態規劃2、隨機性動態規劃按照決策變量的取值是連續的還是離散的，動態規劃模型分為以下兩種類型：1、連續性動態規劃2、離散性動態規劃六、動態規劃模型的基本概念多階段決策問題多階段決策問題，是指這樣的一類特殊的活動過程，它們可以按照時間和空間依次劃分為若干個相互聯系的階段，在每一個階段中，都需要做出一定的決策（備選方案），全部過程的決策集形成一個決策序列，這種考慮整個決策過程中各個階段決策的全體又稱為一個策略，這類問題就是多階段決策問題。動態規劃問題的基本概念（1）階段（2）狀態（3）決策（4）策略（5）狀態轉移方程（6）指標函數七、動態規劃的求解的兩種方法（1）逆序遞推法（2）順序遞推法第五章對策模型對策的分類：對策從不同的角度可分以下幾種類型（1）按局中人的數量多少：二人對策、多人對策。（2）按策略的數目：有限對策、無限對策。（3）按贏得函數的特點：零和對策、非零和對策。（4）按局中人是否結盟：結盟對策、不結盟對策。決策的分類1、確定型決策：當狀態只有一種時的