學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精第4課時直線與平面垂直的性質學習目標1。掌握空間中線面垂直的性質定理.2.能夠運用線面垂直的性質定理證明一些簡單的問題.3。掌握線面垂直的判定與性質的綜合應用．知識點直線與平面垂直的性質定理思考在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿．一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直，這些電線桿之間的位置關系是什么?答案平行．梳理文字語言如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言1．若l⊥α，則過l有無數個平面與α垂直．(√)2．兩垂直平面的二面角的平面角大小為90°。(√)類型一線面垂直的性質定理及應用例1如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證:MN∥AD1。證明因為ADD1A1為正方形,所以AD1⊥A1D。又因為CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1。因為A1D∩CD＝D,所以AD1⊥平面A1DC。又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.引申探究若本例的條件不變，求證：M是AB的中點．證明連結ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，∴ON綊eq\f（1,2）CD綊eq\f(1，2）AB，∴ON∥AM。又∵MN∥OA，∴四邊形AMNO為平行四邊形，∴ON＝AM.∵ON＝eq\f(1,2）AB，∴AM＝eq\f（1,2)AB,∴M是AB的中點．反思與感悟證明線線平行的常用方法(1）利用線線平行定義：證明兩條直線共面且無公共點．（2）利用三線平行公理:證明兩條直線同時平行于第三條直線．(3）利用線面平行的性質定理:把證明線線平行轉化為證明線面平行．（4）利用線面垂直的性質定理：把證明線線平行轉化為證明線面垂直．跟蹤訓練1如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E，F分別在A1D，AC上，且EF⊥A1D,EF⊥AC。求證:EF∥BD1。證明連結AB1,B1C，BD,B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC。又AC⊥BD,BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C，B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C。∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.類型二線面垂直的綜合應用eq\x（命題角度1線面垂直中的探索性問題)例2如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點,F為棱BC的中點．（1）求證:AE⊥DA1；（2）在線段AA1上求一點G，使得直線AE⊥平面DFG。（1）證明連結AD1，BC1,由正方體的性質可知,DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1。又AE?平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.（2）解所求G點即為A1點,證明如下：由（1)可知AE⊥DA1，取CD的中點H,連結AH,EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可證DF⊥平面AHE,∵AE?平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.反思與感悟探索性問題主要有兩種類型:一是結論型:從承認結論入手，探索出命題成立的條件．二是存在型:先假定“存在”，若經推理無矛盾,則“存在"成立;若推出矛盾,則結論為“不存在”．跟蹤訓練2如圖所示，在長方體ABCD—A1B1C1D1中,AB＝1，BC＝2,CC1＝5，M是棱CC1上一點,是否存在這樣的點M，使得BM⊥平面A1B1M?若存在，求出C1M的長；若不存在，請說明理由．解假設存在點M使得BM⊥平面A1B1M，并設C1M＝x,則有Rt△B1C1M∽Rt△BMB1.∴eq\f（C1M,B1M）＝eq\f(B1M，BB1），∴4＋x2＝5x，∴x＝4或x＝1.當C1M＝1或4時，使得BM⊥平面A1B1M.eq\x（命題角度2線線、線面垂直的相互轉化)例3如圖所示，已知矩形ABCD,SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于點E，EF⊥SC于點F.(1）求證：SC⊥AF;(2）若平面AEF交SD于點G，求證：AG⊥SD。證明（1)∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD,∴SA⊥BC。∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.又AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB,又∵AE?平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，SB∩BC＝B,∴AE⊥平面SBC,又∵SC?平面SBC，∴AE⊥SC。又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.又AF?平面AEF，∴SC⊥AF。（2）∵SA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SA⊥CD。又四邊形ABCD為矩形，∴CD⊥AD。又SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.又AG?平面SAD，∴CD⊥AG.由（1）可知，SC⊥平面AEF，∵AG?平面AEF，∴AG⊥SC,又SC∩CD＝C,∴AG⊥平面SCD，又SD?平面SCD，∴AG⊥SD.反思與感悟(1)證明線線垂直常常轉化為線面垂直問題,即證明其中一條直線垂直于另一條直線所在平面即可．（2)證明的轉化途徑是線線垂直→線面垂直→線線垂直．跟蹤訓練3如圖所示,平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC,E為垂足．（1）求證：PA⊥平面ABC；(2）當E為△PBC的垂心時,求證：△ABC是直角三角形．證明（1)在平面ABC內任取一點D，作DF⊥AC于點F，作DG⊥AB于點G.∵平面PAC⊥平面ABC,且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA。同理可證DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC。（2)連結BE并延長交PC于點H。∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE⊥平面PBC，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，BH,AE?平面ABE,∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.由（1)知PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB。∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC。∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．1．從圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上）,過該點作另一個底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是________．答案平行2．線段a和b在正方體ABCD—A1B1C1D1的兩個不同平面內,使a∥b成立的條件是________．（填序號）①a和b垂直于正方體的同一個面；②a和b在正方體兩個相對的面內，且共面;③a和b平行于同一條棱；④a和b在正方體的兩個面內，且與正方體的同一條棱垂直．答案①②③解析由直線與平面垂直的性質知，①能使a∥b成立;由正方體的性質知，②能使a∥b成立；由公理4知，③能使a∥b成立;④中條件不能保證a∥b，a與b有可能相交或異面．3。如圖所示,已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α,垂足為A，EB⊥β，垂足為B,直線a?β，a⊥AB,則直線a與直線l的位置關系是________．答案平行解析∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l,即l?α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a?平面β，∴EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l。4。如圖所示，P為△ABC所在平面外一點,PA⊥平面ABC,∠ABC＝90°，AE⊥PB于點E，AF⊥PC于點F。求證：EF⊥PC。證明∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又∵AE?平面PAB,∴AE⊥BC.又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC,∴AE⊥PC.又AF⊥PC,∴PC⊥平面AEF,又EF?平面AEF，∴EF⊥PC。1．空間線面垂直與線線垂直經常相互轉化．判定定理是將一條直線與平面內的兩條相交的直線的垂直關系轉化為直線與平面的垂直關系；同樣直線與平面的垂直的定義也揭示了這兩類垂直關系的轉化．2．垂直關系與平行關系也可以相互轉化．（1)線面平行的性質定理a⊥α，b⊥α?a∥b；（2)a⊥α，a∥b?b⊥α;(需要利用線面垂直的定義證明）（3)a⊥α，b∥α?a⊥b；(需要證明）(4）a⊥α，a⊥b，b?α?b∥α.（需要證明）一、填空題1．△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC,m⊥AC，l，m為兩條不重合的直線，則直線l,m的位置關系是________．答案平行解析∵直線l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，∴l⊥平面α,同理直線m⊥平面α。由線面垂直的性質定理可得l∥m。2。如圖,PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為矩形，下列結論中不正確的是_____．(填序號）①PB⊥BC；②PD⊥CD；③PO⊥BD;④PA⊥BD。答案③解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC,又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴PB⊥BC，故①正確；同理得PD⊥CD,故②正確；由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD,故④正確；而只有當AD＝AB時，PO⊥BD才成立．故③不正確．3．線段AB在平面α的同側，A、B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為________．答案4解析∵AC⊥α，BD⊥α,∴AC∥BD。連結CD，設AB的中點為E，CD的中點為F.則EF為梯形ABDC的中位線,∴EF⊥α，則EF＝eq\f(1，2)×（3＋5)＝4。即AB的中點到α的距離為4。4．圓O的半徑為4，PO垂直圓O所在的平面,且PO＝3,那么點P到圓上各點的距離是________．答案5解析設A為圓上任意一點，連結OA,PA.∵PO垂直于圓O所在的平面,OA?圓O所在的平面，OA＝4,PO＝3,∴在△POA中,PO⊥OA，∴PA＝eq\r(PO2＋OA2）＝eq\r(42＋32)＝5.5．對兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α,使得________．(填序號)①a?α，b?α；②a?α，b∥α;③a⊥α,b⊥α；④a?α，b⊥α。答案②解析對于①，當a與b是異面直線時，①錯誤；對于②，若a，b不相交，則a與b平行或異面,都存在α，使a?α，b∥α，②正確；對于③,a⊥α，b⊥α,一定有a∥b,故③錯誤；對于④，a?α,b⊥α,一定有a⊥b，④錯誤．6．若a，b表示直線(不重合),α表示平面，有下列說法：①a⊥α,b∥α?a⊥b；②a⊥α,a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α；④a⊥α，b⊥α?a∥b。其中正確的是________．(填序號)答案①④解析a⊥α，b∥α，由線面垂直的性質得a⊥b，∴①正確;由a⊥α,a⊥b，可得b∥α或b?α,∴②不正確；由a∥α，a⊥b，得b?α或b⊥α或b∥α,∴③不正確；④顯然成立．7。如圖，AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上的動點（點C不與A,B重合）,過動點C的直線VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點,則下列結論中正確的是________．(填寫正確結論的序號)①直線DE∥平面ABC； ②直線DE⊥平面VBC；③DE⊥VB； ④DE⊥AB.答案①②③解析∵D，E分別是VA,VC的中點，∴DE∥AC，又DE?平面ABC，AC?平面ABC，∴直線DE∥平面ABC，∴①正確；∵VC⊥平面ABC,∴VC⊥AC，又AC⊥BC，VC∩BC＝C，∴AC⊥平面VBC，又DE∥AC，∴DE⊥平面VBC，∴②正確；∵VB?平面VBC，∴DE⊥VB，∴③正確．④DE⊥AB,顯然不正確．8．設a，b是異面直線，下列命題：①過不在a,b上的一點P一定可作一條直線和a，b都相交；②過不在a，b上的一點P一定可作一個平面和a，b都垂直；③過a一定可作一個平面與b垂直;④過a一定可作一個平面與b平行．其中正確的是________．(填序號）答案④解析①不正確，若點P和直線a確定平面α，當b∥α時,滿足條件的直線不存在．②不正確，若a,b都垂直于同一個平面，則a∥b.③不正確，只有a，b垂直時才能作出滿足條件的平面．9。如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E,F分別是AB1，BC1的中點,則下列結論中，不正確的是________．（填序號）①EF⊥BB1；②EF∥平面ACC1A1;③EF⊥BD;④EF⊥平面BCC1B1。答案④解析由正方體的性質,得EF∥平面A1B1C1D1，BB1⊥平面A1B1C1D1，∴EF⊥BB1,故①正確；由正方體的性質，得EF∥AC，又EF?平面ACC1A1，AC?平面ACC1A1,∴EF∥平面ACC1A1,故②正確；由正方體的性質，得AC⊥BD，又EF∥AC，∴EF⊥BD,故③正確;由正方體的性質，得AC與平面BCC1B1不垂直，又EF∥AC，∴EF與平面BCC1B1不垂直，故④不對．10。如圖所示,設三角形ABC的三個頂點在平面α的同側，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′,CC′⊥α于C′，G，G′分別是△ABC和△A′B′C′的重心，則GG′與α的關系是________．答案垂直解析取AB的中點M，A′B′的中點M′，則MM′∥BB′，連結CM，C′M′，可知G，G′分別為CM，C′M′的靠近中點M，M′的三等分點，∴GG′∥MM′，∴GG′∥BB′.∵BB′⊥α，∴GG′⊥α。11。如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC⊥BC,BC＝CC1.設AB1的中點為D,B1C∩BC1＝E.則BC1與AB1的關系是______．答案垂直解析因為棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1。又因為AC⊥BC,CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因為BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C。因為AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C,所以BC1⊥平面B1AC.又因為AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1。二、解答題12.如圖，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于點E,D為FG的中點，AF＝AG，EF＝EG。求證：BC∥FG.證明∵AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A,∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC。又∵AE⊥BC，AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ADE，在△AFG中,D是FG的中點，由AF＝AG，得AD⊥FG，在△EFG中，D是FG的中點,由EF＝EG，得ED⊥FG，∴FG⊥平面ADE。又BC⊥平面ADE,∴BC∥FG.13。如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．試確定點F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解假設D1E⊥平面AB1F.∵AF?平面AB1F，∴D1E⊥AF。∵D1D⊥平面ABCD,AF?平面ABCD，∴D1D⊥AF.∵D1D∩D1E＝D1，∴AF⊥平面D1DE.∵DE?平面D1DE，∴AF⊥DE.∴∠FAD＋∠ADE＝90°。∵∠CDE＋∠ADE＝90°，∴∠FAD＝∠CDE，∴Rt△FAD≌Rt△EDC，∴FD＝EC.∵E是BC的中點，∴F是CD的中點．即當點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F。三、探究與拓展14．如圖所示，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點，E,F分別是點A在PB,PC上的射影，給出下列結論:①