Chap.5彈性力學問題的建立

Establishmentofelasticityproblems§5.1彈性力學基本方程前面通過幾何、物理、靜力等分析建立了彈性力學必須滿足的關系，即共15個：3個平衡微分方程，6個幾何方程，6個物理方程一、平衡微分方程Navier方程（外力內力關系）二、幾何方程，又稱Guachy方程(應變位移關系)三、物理方程又稱廣義Hooke定律(應力應變關系)或四、基本未知量(15個)u,v,w6個應力分量6個應變分量3個位移分量§5.2邊界條件彈性力學解除了必須滿足基本方程外，還必須滿足邊界條件，包括應力邊界條件、位移邊界條件和混合邊界條件1.應力邊界條件或靜力邊界條件或面力邊界條件或應力與面力關系若物表面力X,Y,Z為已知，則邊界條件應為如果已知物體表面的位移

，則邊界條件應為2.位移邊界條件u=u,v=v,w=w3.邊界條件的意義

(1)實際中，不同問題邊界條件不同，這往往是解題中的主要困難

(2)解題時，首先須搞清全部邊界條件，建立邊界條件表達式

(3)以上邊界條件表達式，有助于建立具體問題的邊界條件除此以外還有混合邊界條件e.g.5-1薄板懸臂梁。已知h,l,q試建立該問題的邊界條件。lxyqOyzh1解：z向表面不受力，則簡化為為平面應力狀態1.應力邊界條件

(1)x=0;X=Y=0;l=-1,m=0;即

(2)y=-h/2;X=Y=0;m=-1,l=0;即

(3)y=h/2;X=0,Y=-qx/l;m=1,l=0;即

(4)x=l;力未知，位移可知;則有即2.位移邊界條件

x=l;u=0,v=0三、彈性力學問題的解法應力解法：以應力函數作為基本未知量求解彈性力學問題的方法。即用位移表示基本方程，解方程得應力分量，由物理方程得到應變分量，再由幾何方程的積分求位移分量，不過這時應變分量必須滿足一組補充方程，即變形協調方程

具體求解彈性力學問題時，不需要同時求解15個基本未知量，而是做必要的簡化。由幾何方程和本構方程知，15個未知量間不是相互獨立的。基于此，為簡化求解的難度，選取部分未知量作為基本未知量。位移解法：以位移函數作為基本未知量求解彈性力學問題的方法。即用位移表示基本方程，解方程得位移分量，由幾何方程可得應變分量，再由物理方程可得應力分量。反之混合解法：以部分位移分量和部分應力分量為基本未知量求解問題的方法。以下主要研究前兩種基本方法(一般應用可參考教材§5.4

)。不論哪種方法建立的微分方程直接積分求解都是相當困難的，而是用試算性的逆解法和半逆解法(后詳)XXXXXXYYYYYYZZZZZZ§5.4彈性力學問題的解法一、應力解法以應力分量函數為基本未知函數求解的方法將物理方程代入變形協調方程，并用平衡微分方程整理可得(Beltrami-Michell)相容方程應力分量表達的(變形協調方程)解該方程并滿足邊界條件可得應力分量；然后由物理方程求得應變分量，再由幾何方程求得位移分量。但要滿足單值條件。因為基本方程只滿足協調方程，而不一定滿足幾何方程常體力情況下1.應力解法的基本方程++++++基本方程空間軸對稱問題的Laplace算苻為自然滿足平衡微分方程2.應力法解軸對稱問題與上同樣思路可得應力表達的3個基本方程，不計體力并引入應力函數φ(r,z)表達應力分量其中

雙調和方程只要解得應力函數，并滿足邊界條件，就可解得一切未知量，顯然簡化了許多其中

二、位移解法將(1)代入平衡微分方程整理后即可得到以位移函數為基本未知函數求解的方法先將幾何方程代入物理方程，可以得到由位移分量表達的應力分量，即（1）1.位移解法的基本方程XYZ是Laplace運算符號即以位移表示的平衡微分方程，稱為拉梅（Lamé）方程可以表示為張量形式或表達為矢量形式為拉普拉斯算符矢量（2）基本方程空間軸對稱問題的Laplace算苻為將上式代入平衡微分方程整理后即可得到KrZrrZKrrrrrrrrrr3.位移法解軸對稱問題與上同樣思路可得位移表達的未知分量和基本方程應變分量應力分量若引用位移函數ψ(r,z)表達并不計體力得位移函數表達的各量與基本方程位移分量為應力分量為基本方程為其中

應當指出，僅在體積應變在彈性內為常數時才存在位移勢函數，所以不一定都能成功。實際上位移法可解得問題不多Chap.5小結

sum1.基本方程15個(平衡3個；幾何6個；物理6