1、5.5.1 二元函數的極值與最值5.5 偏導數的應用1. 二元函數的極值 定義5.5.1 設函數z=f(x, y)在點 的某鄰域內有定義, 如果對該鄰域內一切異于 的點(x, y), 恒有不等式成立，則稱函數z=f(x, y)在點 處取得極大值(或極小值) ，并稱點 為函數f(x, y)的極大值點(或極小值點). 函數f(x, y)的極大值與極小值統稱為極值, 函數f(x, y)的極大值點與極小值點統稱為極值點.1 定理5.5.1（極值存在的必要條件) 如果函數f(x, y)在點 處有極值，且在該點處偏導數存在，則偏導數必為零，即 把使得 同時為零的點稱為二元函數z=f(x, y)的駐點或穩定

2、點。2定理5.5.2(極值存在的充分條件) 設函數z=f(x, y)在點 的某鄰域內連續并有連續的一階及二階偏導數，且 則 (1) 當 且A0時， 函數z=f(x, y)在點 處取得極小值；當 且A0時，函數在點 處取得極大值。 (2) 當 時， 函數在點 處不取得極值。 (3) 當 時， 函數在點 處是否取得極值，不能確定，需另法判別。35.5.2 二元函數的最值 對于定義在有界閉區域D上的二元連續函數, 只要求出函數在區域D內的全部極值點, 并算出其函數值; 求出函數在區域邊界上的最大值與最小值, 再將函數的極值與函數在區域D的邊界上的最值相比小較, 其中最大(小)的就是函數在閉區域D上的

3、最大(小)值. 在求解實際問題的最值時, 如果從問題的實際意義知道z=f(x, y)在區域D內一定取得最值, 且只有一個駐點, 則該駐點就是所求函數的最值點. 例5.5.2(最小用料問題) 要用鐵皮做一個體積為5立方米有蓋長方體水箱，怎樣選取長、寬和高的尺寸，才能使用料最省？ 4 例5.5.3(最大利潤問題) 某工廠生產甲, 乙兩種產品, 其出售價格分別為10萬元與9萬元, 若生產x單位的甲產品與生產y單位的乙產品所需要的總費用為求甲, 乙兩種產品的產量各為多少時, 才能獲得最大利潤?最大利潤是多少?55.5.3 條件極值 在前面討論的求二元函數f(x, y)的極值問題中, 兩個自變量x與y在

4、其定義域內可以任意取值, 不受其他條件限制, 這種極值問題稱為無條件極值. 但實際問題往往要求自變量x與y還要滿足一定的附加條件g(x, y)=0, 稱g(x, y)=0為約束條件或約束方程, 這類附有約束條件的極值問題稱為條件極值. 在求解等式約束條件下的條件極值問題時, 如果能從約束條件g(x, y)=0中解出y或x, 將它代入函數f(x, y)中去, 條件極值就可以轉化為無條件極值來求解. 如例5.5.2. 但是, 從約束條件方程中解出某些變量有時運算比較麻煩, 有時無法得到明顯的解析表達式, 從而條件極值無法轉化為無條件極值. 此時, 可利用下面介紹的拉格朗日乘數法. 它的基本思想是,

5、 設法將條件極值問題轉化為無條件極值問題.6 求解在約束條件h(x, y)=k下，函數z=f(x, y) 的極值問題，是屬于條件極值問題，可用拉格朗日乘數法解。其步驟如下： (1) 先將約束條件h(x, y)=k改寫為k-h(x, y)=0，設g(x, y)= k-h(x, y) 。構造此問題的拉格朗日函數其中, 為待定常數, 稱為拉格朗日乘數. 將原條件極值問題轉化為三元函數 的無條件極值問題.(2) 由無條件極值問題的極值存在的必要條件, 有聯立方程組, 從中消去 或解出 后, 求出可能的極值點(x, y).7(2) 由無條件極值問題的極值存在的必要條件, 有聯立方程組, 從中消去 或解出 后, 求出可能的極值點(x, y). (3) 由問題的實際意義來判定求出的點(x, y)是否為極值點.特別地, 當某個實際問題確有極值, 而求出的又只有一個可能的極值點, 那么這一點就是要找的極值點(最值點), 不需另加判定. 類似地，求三元函數G=f(x, y, z)在約束條件g(x, y, z)=0,h(x, y, z)=0(約束條件一般應少于未知量的個數)下的極值。8 例5.5.4 用拉格朗日乘數法解例5.5.2中的體積一定的長方體水箱表面積的