1、數列求和中常見放縮方法和技巧一、放縮法常見公式：（1)（2）（3）（4）（二項式定理）（5），（常見不等式）常見不等式：1、均值不等式；2、三角不等式；3、糖水不等式；4、柯西不等式；5、絕對值不等式；若欲證不等式含有與自然數n有關的n項和，可采用數列中裂項求和等方法來解題。例4. 已知nN*，求。證明：因為，則，證畢。例5. 已知且，求證：對所有正整數n都成立。證明：因為，所以，又，所以，綜合知結論成立。例6、求證：證明：此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。例6. 已知函數，證明：對于

2、且都有。證明：由題意知：，又因為且，所以只須證，又因為 ，所以。例3. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數，所以，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+ca，則為真分數，則，同理，故.綜合得。4、證明：證明：5、求證：證明：6、若，求證：證明：一、運用放大、縮小分母或分子的辦法來達到放縮的目的分式的放縮對于分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可還可利用真分數的分子和分母加上同一個正數，則分數值變大；假分數的分子和分母加上同一個正數，則分數值變小來進行放縮1、若a，b，c，d是正數求證：2、求證：3

3、、求證：4、證明：【練習】求證：5、求證：二、放縮法常見技巧式：（數列求和中常見放縮方法和技巧-放縮后能求和如放縮后是等比或可裂項求和）1、添加或舍棄一些正項（或負項）例1、已知求證：證明： 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就舍去了，從而是使和式得到化簡.例2、函數f（x）=，求證：f（1）+f（2）+f（n）>n+.證明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）>.此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式

4、右邊特征, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和. 若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。例3、已知an=n ，求證：3證明：=1 =1 () =1123本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標.三. 單調函數放縮根據題目特征，通過構造特殊的單調函數，利用其單調性質進行放縮求解。例10. 已知a，bR，求證。證明：構造函數，首先判斷其單調性，設，因為，所以，所以在上是增函數，取，顯然滿足，所以，即。證

5、畢。二、函數放縮例8.求證：.解析:先構造函數有,從而cause所以例10.求證:解析:提示:函數構造形式: 當然本題的證明還可以運用積分放縮如圖,取函數,首先:,從而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,從而有取有,所以有,所以綜上有例13.證明: 解析:構造函數,求導,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以例3（武漢市模擬）定義數列如下：證明：（1）對于恒有成立。 （2）當，有成立。 （3）。分析：（1）用數學歸納法易證。 （2）由得： 以上各式兩邊分別相乘得： ，又 （3）要證不等式，可先設法求和：，再進行適當的放縮。又原不等式得證。本題的關鍵是根據題設條件裂項

6、求和。數列不等式證明中的一些放縮技巧1. 放縮為裂項求和例1.設數列的前n項的和.(1) 求首項與通項；(2)設，證明：.解：（1）；(2)所以，.2.放縮為等比求和例2.已知數列滿足(1) 求數列的通項公式；(2) 證明：解：（1）;(2)先證不等式的右邊：.再證不等式的左邊：（先將通項放縮，從某一項開始放縮后，和式轉化為等比數列求和）.例3.設數列滿足(1) 當時，求并由此猜想出的一個通項公式；(2) 當時，證明對所有的，有（）； （）證明：（）由 (),下面考慮對1+進行縮小=.(無窮遞縮等比數列，其部分項和)3.奇偶相鄰問題捆綁求和放縮例4.已知數列的前n項和滿足(1)寫出數列的前3項；(2)求數列的通項公式；(3)證明：對任意的整數m>4,有.解：(2);(3) 由（2）不等式左邊=分母-1與1交錯出現，容易想到將式中兩項兩項地合并起來一起進行放縮，嘗試知：(4) ，因此，可將保留，再將后面的項兩兩組合后放縮，即可求和.這里需要對m進行分類討論：當且n為奇數時，=，于是(1)當m>4且m為偶數時(2)當m>4且m為奇數時由（1）知：.總之，數列和不等式的證明，關鍵