1、1本次課主要內容線性偏微分方程的基本解(一)、穩態場方程的基本解(二)、熱傳導方程的基本解(三)、波動方程的基本解2其中L是關于x1,x2,.,xn的二階線性偏微分算子 不含時二階線性偏微分方程：f =0時，稱方程為齊次方程，否則，方程為非齊次方程。(一)、穩態場方程的基本解3(1)、定義：方程的解U稱為方程 的基本解或格林函數.基本解物理意義 基本解反映點源作用情況，所以，基本解又稱為點源函數。 方程中f(M)表示場源強度。4(2)、性質定理1：若U是方程 的基本解，且u是 的解，則u+U是方程 的基本解。且方程所有基本解均有形式：u+U。證明：因為：5所以，u+U是基本解。又由線性偏微分方

2、程解的結構定理得定理的后一結論。定理2：若f(M)是連續函數，U(M)滿足方程：則如下卷積是方程 的解.6證明：首先：其次：兩點說明：1)、該定理表明：欲求方程： 的7特解，只要求出其基本解即可。2)、物理解釋：方程： 的解可以理解為由靜電場源f(M)激發的電勢.定理表明：求連續分布場，可以通過求點源的場來實現。泊松方程的基本解(1)、三維泊松方程的基本解設三維泊松方程的形式為：于是基本解為方程： 的解 .8拉氏方程的球坐標形式為：為求出基本解，考慮： 的球對稱解.若方程具有球對稱，當r不為零時有：得解為：若取則求出9通過驗證得：于是求得三維泊松方程的基本解為：例1、寫出三維泊松方程特解表達式

3、由基本解和定理2得三維泊松方程特解表達式為：解：三維泊松方程為：10例2 討論粒子散射滿足的定態薛定諤方程定解問題：其中：u(x,y,z)表示波函數；v(x,y,z)表示作用勢；k表示入射平面波矢量； 表示入射波振幅。11表達式 描述沿 z方向運動的入射粒子的平面波 :解：基本解滿足的方程為：由傅立葉變換和留數定理可以求出基本解為：描述粒子被散射后從散射中心向外發散的球面出射波的表達式為： 12由定理2得：由無窮遠條件：13(2)、平面泊松方程的基本解設平面泊松方程的形式為：于是基本解為方程： 的解 .所以：14拉氏方程的柱坐標形式為：為求出基本解，考慮： 的柱面對稱解.若方程具有柱對稱(或園

4、對稱)，當r不為零時有：得解為：若取則求出15通過驗證得：于是求得二維泊松方程的基本解為：泊松方程基本解的物理意義：三維泊松方程基本解相當于置于原點處電量為0的正點電荷在空間M處產生的電勢。平面泊松方程的基本解相當于過坐標原點的電荷密度為0的無限長導線在M處產生的電勢。(二)、熱傳導方程的基本解(1)、熱傳導方程柯西問題的基本解16(a) 定義：稱的基本解(或格林函數)。的解為熱傳導方程柯西問題(b) 求基本解(格林函數)17設一維熱傳導方程柯西問題為：采用傅立葉變換求基本解。則其基本解滿足：18(c) 基本解與定解問題的解之間的關系定理3：無界區域上波動方程定解問題的解為：19(a) 定義：

5、稱的基本解(格林函數)。的解為有界熱傳導方程問題(2)、有界區域上熱傳導方程的基本解20設一維熱傳導方程邊值問題為：下面采用分離變量法求基本解。則其基本解滿足：(b) 求基本解21首先，由齊次化原理得：令 則：(1) 分離變量：22得到兩個常微分方程：(2) 固有值問題為：固有值為：固有函數為：23(3) 另一個常微分方程的解為：(4) 一般解為：(5) 由初始條件和齊次化原理得：24所以，求得基本解為：(c) 基本解與定解問題的解之間的關系定理4：有界區域上熱傳導方程定解問題的解為：25(a) 定義：稱的基本解(格林函數)。的解為無界區域波動方程(三)、波動方程的基本解(1)、無界區域上波動方程的基本解(以一維為例)26(b)、由齊次化原理和達朗貝爾公式得基本解為：(c) 基本解與定解問題的解之間的關系定理5：無界區域上波動方程定解問題的解為：27(2)、有界區域上波動方程的基本解以一維為例討論該問題。(a) 定義：稱的解為有界波動方程問題的基本解(格林函數)。28(b)、基本解為：(c)