1、第3章 變動與隨機係數模型3.1 緒論3.2 分組迴歸3.3 變動係數3.4 隨機係數模型3.5 線性模型的假設第3章 變動與隨機係數模型3.6 斜率結果分析3.7 隨機係數模型分析結果3.8 替代模型：共變數分析3.9 參數的數目3.1 緒論Compare “varying coefficient modelwith “random coefficient (RC) model”變動截距2. 變動斜率3. 變動截距與斜率3.2 分組迴歸傳統上，對於分組資料的分析， 多利用不同形式的迴歸分析來處理，包括 了ANCOVA。基本的線性方程式如下： i: 個體 j: 組別 ), 0(2Nij3.3

2、變動係數以四所學校為例ANCOVA3.3 變動係數3.3 變動係數最符合實際情況3.3 變動係數兩階段分析的第二步方程式 （總體層次如下：3.3 變動係數兩階段分析個體層次：觀測值個數可能不同(e.g. 學校內學生人數)總體層次：觀測值個數相同(e.g. 學校數)缺點：必須針對不同脈絡分別進行分析 3.4 隨機係數模型 不分別針對個別脈絡進行分析各脈絡下的斜率、截距、或二者可能存在差異一條實線，加上兩條虛線(代表分散性)3.4 隨機係數模型 3.4 隨機係數模型 斜率的變動與個體解釋變數X的數值有關3.4 隨機係數模型 虛線的趨勢合併了截距與斜率的變異數，以及截距與斜率的共變數3.4 隨機係數

3、模型代表各校存在變動的隨機模型的 公式，係從我們熟知的迴歸公式推演得 到，如公式3.3加底線者仍表示為隨機 變數）：i: 個體 j: 組別 稍早的模式3.4 隨機係數模型總體層次的方程式，透過一個固定 參數加上誤差，來描述出隨機斜率與隨機 截距的特性，如下所示：平均截距(固定)平均斜率(固定)隨機效應3.4 隨機係數模型公式3.5列出帶有一個隨機截距與 隨機斜率的RC模型的變異數成分： 3.4 隨機係數模型重組後得出：FIXEDRANDOM3.4 隨機係數模型極端極端介於兩極端之間RC是唯一隨機效應之線性模式ijijijxbay?a?=aa?=aja?=aja?=ajb?=bb?=bb?=bj

4、b?=b or bj3.5 線性模型的假設 在固定模型部分，截距可以為相等 （公式3.8a或不相等公式3.8b）： 如整體迴歸”如ANCOVA”3.5 線性模型的假設 隨機與變動係數模型允許斜率為變 動的數值，如公式3.9b與圖3.2及3.5所 示。 如ANCOVA”如RC”, “slopes-as-outcome”3.6 斜率結果分析slopes-as-outcome主要不同在斜率截距差異較小3.6 斜率結果分析3.6 斜率結果分析公式3.10a與3.10b列出兩個不同的 總體層次模型，公式3.10a為截距部分 ，公式3.10b為斜率部分。 3.6 斜率結果分析總體迴歸的結果如下： 私立私立

5、 59.10 59.10 公立公立 59.10-15.95=43.15 59.10-15.95=43.15私立私立 1.11 1.11 公立公立 1.11+0.94=2.05 1.11+0.94=2.05整體效應整體效應 OVERALL EFFECTOVERALL EFFECT跨層級交互作用跨層級交互作用 CROSS-LEVEL CROSS-LEVEL INTERACTION EFFECTINTERACTION EFFECT3.6 斜率結果分析斜率結果取向模式的缺點誤差項結構的設定並不適當，導致參數估計的顯著性存有疑義第一階段的迴歸係數並沒有相同的效力，但第二階段的分析中每一係數的權重是相同的

6、 3.7 隨機係數模型分析結果分析的結果如下，係數下方的括弧 內數值為標準誤：若與固定迴歸模型的結果相比：顯著不顯著3.7 隨機係數模型分析結果總體方程式考慮了迴歸係數的隨機變異見表3.3），前面所列出的單一方程式，可以改寫成兩個分離的方程式：3.7 隨機係數模型分析結果z2.042.083.7.1 增加一個總體層次解釋變數對於公式3.4b的斜率方程式則不變：3.7.1 增加一個總體層次解釋變數加以重組後，得出：FIXEDRANDOM3.7.1 增加一個總體層次解釋變數固定部分的分析結果如下：3.7.1 增加一個總體層次解釋變數60.8919.79-27.9142.891768.21Goodness of fit (適配度適配度)D1-D2=1768.21-1749.48=18.732(1)(D)3.7.1 增加一個總體層次解釋變數FIXEDRANDOM3.7.1 增加一個總體層次解釋變數固定部分的分析結果如下：與斜率結果模式比較參數都很接近參數都很接近但總體層次變數與但總體層次變數與交互作用向的交互作用向的標準誤估計不同標準誤估計不同3.7.1 增加一個總體層次解釋變數40.2021.58-28.9542.781749.48Goodness of fit (適配度適配度)D1-D2=1749.48-1749.44=0.04