1、數學奧林匹克專題講座一、立體圖形 空間形體的想象能力是小學生的一種重要的數學能力，而立體圖形的學習對培養這種能力十分有效。我們雖然在課本上已經學習了一些簡單的立體圖形，如正方體、長方體、圓柱體、圓錐體，但有關立體圖形的概念還需要深化，空間想象能力還需要提高。將空間的位置關系轉化成平面的位置關系來處理，是解決立體圖形問題的一種常用思路。（一）立體圖形的表面積和體積計算例1：一個圓柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯內側的底面積是72cm2，在這個杯中放進棱長6cm的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊，這時水面高多少厘米？解：水的體積為72×2.5=180（cm3），放入鐵塊后可以

2、將水看做是底面積為72-6×6=32（cm2）的柱體，所以它的高為180÷32=5（cm）。例2：右圖表示一個正方體，它的棱長為4cm，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一個棱長為1cm的正方體，問：此圖的表面積是多少？分析：正方體有6個面，而每個面中間有一個正方形的孔，在計算時要減去小正方形的面積。各面又挖去一個小正方體，這時要考慮兩頭小正方體是否接通，這與表面積有關系。由于大正方體的棱長為4cm，而小正方體的棱長為1cm，所以沒有接通。每個小正方體孔共有5個面，在計算表面積時都要考慮。解：大正方體每個面的面積為4×4-1×1=15（cm2），6個

3、面的面積和為15×6=90（cm2）。小正方體的每個面的面積為1×1=1（cm2），5個面的面積和為1×5=5（cm2），6個小正方體孔的表面積之和為5×6=30（cm2），因此所求的表面積為9030=120（cm2）。想一想，當挖去的小正方體的棱長是2cm時，表面積是多少？請同學們把它計算出來。例3：正方體的每一條棱長是一個一位數，表面的每個正方形面積是一個兩位數，整個表面積是一個三位數。而且若將正方形面積的兩位數中兩個數碼調過來則恰好是三位數的十位與個位上的數碼。求這個正方體的體積。解：根據“正方體的每一條棱長是一個一位數，表面的每個正方形面積是一個

4、兩位數，整個表面積是一個三位數”的條件，可知正方體的棱長有5，6，7，8，9這五種可能性。根據“將正方形面積的兩位數中兩個數碼調過來恰好是三位數的十位上與個位上的數碼”，可知這個正方體的棱長是7(如下表)。因此這個正方體的體積是7×7×7=343。例4：一個長、寬和高分別為21cm，15cm和12cm的長方體，現從它的上面盡可能大地切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？解：根據長方體的長、寬和高分別為21cm，15cm和12cm的條件，可知第一次切下盡可能大的正方體的棱長是12

5、cm，其體積是12×12×12=1728（cm3）。這時剩余立體圖形的底面形狀如圖1，其高是12cm。這樣，第二次切下盡可能大的正方體的棱長是9cm，其體積是9×9×9=729（cm3）。這時剩余立體圖形可分割為兩部分：一部分的底面形狀如圖2，高是12cm；另一部分的底面形狀如圖3，高是3cm。這樣，第三次切下盡可能大的正方體的棱長是6cm，其體積是6×6×6=216（cm3）。因此，剩下的體積是21×15×12-（1728729216）=3780-2673=1107（cm3）。說明：如果手頭有一個泥塑的長方體和小

6、刀，那么做出這道題并不難。但實際上，我們并沒有依賴于具體的模型和工具，這就是想象力的作用。我們正是在原有感性經驗的基礎上，想象出切割后立體的形狀，并通過它們各個側面的形狀和大小表示出來。因此，對一個立體圖形，應該盡可能地想到它的原型。例5：下圖是一個長27cm，寬8cm，高8cm的長方體?，F將它分為4部分，然后將這4部分重新組拼，能重組為一個棱長為12cm的正方體。請問應該怎么分？解：重組成的正方體的棱長是12cm，而已知長方體的寬是8cm，所以要把寬增加4cm，為此可按下圖1中的粗線分開，分開后重組成圖2的形狀；圖2的高是8cm，也應增加4cm，為此可按圖2中的虛線分開，分開后重組成圖3的形

7、狀。圖3就是所組成的棱長為12cm的正方體。說明：這里有一個樸素的思想，就是設法把不足12cm的寬和高補成12cm的棱長，同時按照某種對稱的方式分割。在解關于立體圖形的問題時，需要有較豐富的想象力，要能把平面圖形在頭腦中“立”起來，另外還應有一定的作圖本領和看圖能力。例6：雨嘩嘩地不停地下著，如在雨地里放一個如右圖那樣的長方體的容器（單位：cm），雨水將它下滿要用1時。有下列（1）（5）不同的容器，雨水下滿各需多長時間？解：根據題意知雨均勻地下，即單位面積內的降雨量相同。所以雨水下滿某容器所需的時間與該容器的容積和接水面（敞開部分）的面積之比有關。因為在例圖所示容器中需1時接滿，所以：（二）立

8、體圖形的側面展開圖例7：右上圖是一個立體圖形的側面展開圖（單位：cm），求這個立體圖形的表面積和體積。解：這個立體圖形是一個圓柱的四分之一，圓柱底面半徑為10cm，高為8cm。它的表面積為例8：右上圖是一個正方體，四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請其展開圖中畫出四邊形APQC的四條邊。解：把空間圖形表面的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個頂點所在的位置這個關鍵，再進一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。（1）考慮到展開圖上有六個頂點沒有標出，可想象將展開圖折成立體形，并在頂點上標出對應的符號。（2）根據四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點所在的點和棱，以及四條

9、邊所在的平面：頂點：AA，CC，P在EF邊上，Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3）將上面確定的位置標在展開圖上，并在對應平面上連線。需要注意的是，立體圖上的A，C點在展開圖上有三個，B，D點在展開圖上有二個，所以在標點連線時必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如上圖。例9：如右圖所示，剪一塊硬紙片可以做成一個多面體的紙模型（沿虛線折，沿實線粘）。這個多面體的面數、頂點數和棱數的總和是多少？解：從展開圖可以看出，粘合后的多面體有12個正方形和8個三角形，共20個面。這個多面體上部的中間是一個正三角形，這個正三角形的三邊與三個正方形

10、相連，這樣上部共有9個頂點，下部也一樣。因此，多面體的頂點總數為 9×2=18（個）。在20個面的邊中，虛線有19條，實線有34條。因為每條虛線表示一條棱，兩條實線表示一條棱，所以多面體的總棱數為1934÷2=36（條）。綜上所述，多面體的面數、頂點數和棱數之和為20+183674。說明：數學家歐拉曾給出一個公式：VF-E2。公式中的V表示頂點數，E表示棱數，F表示面數。根據歐拉公式，知道上例多面體的面數和頂點數之后，棱數便可求得：E=VF-2=2018-2=36（條）。（三）立體圖形的截面與投影例10：用一個平面去截一個正方體，可以得到幾邊形？解：如圖，可得到三角形、四邊

11、形、五邊形和六邊形。例11：一個棱長為6cm的正方體，把它切開成49個小正方體。小正方體的大小不必都相同，而小正方體的棱長以厘米作單位必須是整數。問：可切出幾種不同尺寸的正方體？每種正方體的個數各是多少？解：13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216。如果能切出1個棱長為5cm的正方體，那么其余的只能是棱長為1cm的正體體，共切出小正方體1（63-53）÷1=92（個）。因為9249，所以不可能切出棱長為5cm的正方體。如果能切出1個棱長為4cm的正方體，那么其余的只能是棱長為1cm或2cm的正方體。設切出棱長為1cm的正方體有a個，切出棱長為2cm的正方

12、體有b個，則有設切出棱長為1cm的正方體有a個，棱長為2cm的正方體有b個，棱長為3cm的正方體有c個，則解之得a=36，b=9，c=4。所以可切出棱長為1cm、2cm和3cm的正方體各為36、9和4個。例12：現有一個棱長1cm的正方體，一個長寬1cm、高2cm的長方體，三個長寬1cm、高3cm的長方體。下列圖形是把這五個圖形合并成某一立體圖形時，從上面、前面、側面所看到的圖形。試利用下面三個圖形把合并成的立體圖形（如例）的樣子畫出來，并求出其表面積。解：立體圖形的形狀如右圖所示。從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2，共18cm2；從兩個側面看到的形狀面積都為7cm2，共14cm2；從前面

13、和后面看到的形狀面積都為6cm2，共12cm2；隱藏著的面積有2cm2。一共有181612246（cm2）。練習：1一個長方體水箱，從里面量得長40cm、寬30cm、深35cm，里面的水深10cm。放進一個棱長20cm的正方體鐵塊后，水面高多少厘米？2王師傅將木塊刨成橫截面如右圖（單位：cm）那樣的高40cm的一個棱柱。虛線把橫截面分成大小兩部分，較大的那部分的面積占整個底面的60。這個棱柱的體積是多少立方厘米？3在底面為邊長60cm的正方形的一個長方體的容器里，直立著一根高1m，底面為邊長15cm的正方形的四棱柱鐵棍。這時容器里的水半米深?，F在把鐵棍輕輕地向正上方提起24cm，露出水面的四棱

14、柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？4右邊各圖形中，有的是正方體的展開圖，寫出這些圖形的編號。5小玲有兩種不同形狀的紙板，一種是正方形，一種是長方形。正方形紙板的總數與長方形紙板的總數之比是12。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒（如下圖），正好將紙板用完。在小玲所做的紙盒中，豎式紙盒的總數與橫式紙盒的總數之比是多少？6請你在下面圖（2）中畫出3種和圖（1）不一樣的設計圖，使它們折起來后都成為右圖所示的長方形盒子（直線段與各棱交于棱的中點）。7在桌面上擺有一些大小一樣的正方體木塊，從正南方向看如下左圖，從正東方向看如下右圖，要擺出這樣的圖形至多用多少塊正方體木塊？至少需要多少塊正方體木塊？8有一個

15、正方體，它的6個面被分別涂上了不同的顏色，并且在每個面上至少貼有一張紙條。用不同的方法來擺放這個正方體，并從不同的角度拍下照片。（1）洗出照片后，把所拍攝的面的顏色種類不同的照片全部挑選出來，最多可以選出多少張照片？（2）觀察（1）中選出的照片，發現各張照片里的紙條數各不相同。問：整個正方體最少貼有多少張紙條？答案：1. （15cm）。解：若鐵塊完全浸入水中，則水面將提高此時水面的高小于20cm，與鐵塊完全浸入水中矛盾，所以鐵塊頂面仍然高于水面。此時水深與容器底面積的乘積應等于原有水量的體積與鐵塊浸入水中體積之和。設放進鐵塊后，水深為xcm，則40×30×x40×

16、30×10+20×20×x，解得x=15，即放進鐵塊后，水深15cm。2. （19200cm3）。解得x=16。這個棱柱的體積是（12+24）×16÷2÷60×4019200（cm3）。3. （25.6 cm）。解：容器里的水共有（60×60-15×15）×50168750（cm3）。當把鐵棍提起24cm時，鐵棍仍浸在水中的部分的長是（168750-60×60×24）÷（60×60-15×15）=24.4（cm），所以露出水面的浸濕部分長50-2

17、4.4=25.6（cm）。4.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11個。5. （12）。解：設一共做了x個豎式紙盒，y個橫式紙盒。注意到這兩種紙盒都是無蓋的，x個豎式紙盒共用x個正方形和4x個長方形紙板； y個橫式紙盒共用2y個正方形和3y個長方形紙板。根據題意，得2（x+2y）=4x+3y，化簡為2x=y，即 xy=12。6.如右圖所示：7.至少要6塊正方體木塊（右圖），至多需要20塊正方體木塊（右圖）。圖中的數字表示放在這一格上的正方體木塊的層數。8.（1）26張；（2）39張。解：（1）1個面的6種，2個面（即1個棱）的12種，3個面的 8種

18、，共6+12+8=26（張）。（2）因為26張照片上紙條數各不相同，所以紙條數至少也得有1+2+3+26=351（張）。但在這26張照片中，很多紙條是被重復計算的。每個面上的紙條在單獨面拍攝時出現1次，在2個面拍攝時出現4次，在3個面拍攝時出現4次，共被計數9次。所以實際紙條數至少為351÷939（張）。二、列方程解應用題 在小學數學中介紹了應用題的算術解法及常見的典型應用題。然而算術解法往往局限于從已知條件出發推出結論，不允許未知數參加計算，這樣，對于較復雜的應用題，使用算術方法常常比較困難。而用列方程的方法，未知數與已知數同樣都是運算的對象，通過找出“未知”與“已知”之間的相等關

19、系，即列出方程（或方程組），使問題得以解決。所以對于應用題，列方程的方法往往比算術解法易于思考，易于求解。列方程解應用題的一般步驟是：審題，設未知數，找出相等關系，列方程，解方程，檢驗作答。其中列方程是關鍵的一步，其實質是將同一個量或等量用兩種方式表達出來，而要建立這種相等關系必須對題目作細致分析，有些相等關系比較隱蔽，必要時要應用圖表或圖形進行直觀分析。（一）列簡易方程解應用題10x+1，從而有3（105+x）=10x+1，7x299999，x42857。答：這個六位數為142857。說明：這一解法的關鍵有兩點： 示出來，這里根據題目的特點，采用“整體”設元的方法很有特色。一是善于分析問題中

20、的已知數與未知數之間的數量關系；二是一般語言與數學的形式語言之間的相互關系轉化。因此，要提高列方程解應用題的能力，就應在這兩方面下功夫。例2：有一隊伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問：隊伍有多長？分析：這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊伍長。如果設通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-x）秒，于是不難列方程。解：設通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得2.6x-

21、1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。解得x500。推知隊伍長為（）×500=600（米）。答：隊伍長為600米。說明：在設未知數時，有兩種辦法：一種是設直接未知數，求什么、設什么；另一種設間接未知數，當直接設未知數不易列出方程時，就設與要求相關的間接未知數。對于較難的應用題，恰當選擇未知數，往往可以使列方程變得容易些。例3：鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進，行人速度為3.6千米/時，騎車人速度為10.8千米/時，這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，這列火車的車身總長是多少？分析：本題屬于追及問題，行人

22、的速度為3.6千米/時=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時=3米/秒。火車的車身長度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設火車的速度為x米/秒，那么火車的車身長度可表示為（x-1）×22或（x-3）×26，由此不難列出方程。解：設這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。解得x=14。所以火車的車身長為（14-1）×22=286（米）。答：這列火車的車身總長為286米。例4：如圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發，每分鐘走65米，乙從B出發，每分鐘走72米

23、。當乙第一次追上甲時在正方形的哪一條邊上？分析：這是環形追及問題，這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙追上甲所需要的時間，再回到“環行”追及問題，根據乙在這段時間內所走路程，推算出乙應在正方形哪一條邊上。解：設追上甲時乙走了x分。依題意，甲在乙前方3×90=270（米），故有72x65x+270。由于正方形邊長為90米，共四條邊，故由可推算出這時甲和乙應在正方形的DA邊上。答：當乙第一次追上甲時在正方形的DA邊上。例5：一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順水行駛，由乙至甲是逆水行駛。已知船在靜水中的速度為8千米/時，平時逆行與順行所用的時間比為21。某天恰逢暴雨，水流速度為

24、原來的2倍，這條船往返共用9時。問：甲、乙兩港相距多少千米？分析：這是流水中的行程問題：順水速度=靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度。解答本題的關鍵是要先求出水流速度。解：設甲、乙兩港相距x千米，原來水流速度為a千米/時。根據題意可知，逆水速度與順水速度的比為12，即（8-a）（8a）12，再根據暴雨天水流速度變為2a千米/時，則有解得x=20。答：兩港相距20千米。例6：某校組織150名師生到外地旅游，這些人5時才能出發，為了趕火車，6時55分必須到火車站。他們僅有一輛可乘50人的客車，車速為36千米/時，學校離火車站21千米，顯然全部路程都乘車，因需客車多次往返，故時間來不及

25、，只能乘車與步行同時進行。如果步行每小時能走4千米，那么應如何安排，才能使所有人都按時趕到火車站？趕到火車站，每人步行時間應該相同，乘車時間也相同。設每人步行x時，客車能否在115分鐘完成。解：把150人分3批，每批50人，步行速度為4千米/時，汽車速度解得x1.5（時），即每人步行90分，乘車25分。三批人5時同時出發，第一批人乘25分鐘車到達A點，下車步行；客車從A立即返回，在B點遇上步行的第二批人，乘25分鐘車，第二批人下車步行，客車再立即返回，又在C點遇到步行而來的第三批人，然后把他們直接送到火車站。如此安排第一、二批人按時到火車站是沒問題的，第三批人是否正巧可乘25分鐘車呢？必須計算

26、。次返回的時間是20分，同樣可計算客車第二次返回的時間也應是20分，所以當客車與第三批人相遇時，客車已用25×220×2=90（分），還有115-90=25（分），正好可把第三批人按時送到。因此可以按上述方法安排。說明：列方程，解出需步行90分、乘車25分后，可以安排了，但驗算不能省掉，因為這關系到第三批人是否可以按時到車站的問題。通過計算知第三批人正巧可乘車25分，按時到達。但如果人數增加，或者車速減慢，雖然方程可以類似地列出，卻不能保證人員都按時到達目的地。(二)引入參數列方程解應用題對于數量關系比較復雜或已知條件較少的應用題，列方程時，除了應設的未知數外，還需要增設一

27、些“設而不求”的參數，便于把用自然語言描述的數量關系翻譯成代數語言，以便溝通數量關系，為列方程創造條件。例7:某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分就有一輛從背后超過此人。如果人與汽車均為勻速運動，那么汽車站每隔幾分發一班車？分析：此題看起來似乎不易找到相等關系，注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相遇，是相遇問題，人與汽車4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離；每隔6分就有一輛車從背后超過此人是追及問題，車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離，再引進速度這一未知常量作參數，問題就解決了。解：設汽車站每隔x分發一班車，某人的速度是v1，汽車的速度為

28、v2，依題意式得由，得將代入，得 說明：此題引入v1，v2兩個未知量作參數，計算時這兩個參數被消去，即問題的答案與參數的選擇無關。例8:整片牧場上的草長得一樣密，一樣地快。已知70頭牛在24天里把草吃完，而30頭牛就得60天。如果要在96天內把牧場的草吃完，那么有多少頭牛？分析：本題中牧場原有草量是多少？每天能生長草量多少？每頭牛一天吃草量多少？若這三個量用參數a，b，c表示，再設所求牛的頭數為x，則可列出三個方程。若能消去a，b，c，便可解決問題。解：設整片牧場的原有草量為a，每天生長的草量為b，每頭牛一天吃草量為c，x頭牛在96天內能把牧場上的草吃完，則有-，得36b=120C。 -，得9

29、6xc=1800c36b。 將代入，得96xc1800c+120c。解得x=20。答：有20頭牛。例9:從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時每小時行駛20千米，下坡時每小時行駛35千米。車從甲地開往乙從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？，得解：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地下坡路，就是從乙地到甲地的上坡路。設從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，依題意得將y=210x代入式，得解得x140。答：甲、乙兩地間的公路有210千米，從甲地到乙地須行駛140千米的上坡路。(三)列不定方程解應用題有些應用題，用代數方程求解，有時會出現所設

30、未知數的個數多于所列方程的個數，這種情況下的方程稱為不定方程。這時方程的解有多個，即解不是唯一確定的。但注意到題目對解的要求，有時，只需要其中一些或個別解。例10:六（1）班舉行一次數學測驗，采用5級計分制（5分最高，4分次之，以此類推）。男生的平均成績為4分，女生的平均成績為3.25分，而全班的平均成績為3.6分。如果該班的人數多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測驗？解：設該班有x個男生和y個女生，于是有4x+3.25y=3.6（x+y），化簡后得8x=7y。從而全班共有學生在大于30小于50的自然數中，只有45可被15整除，所以推知x21，y=24。答：該班有21個男生

31、和24個女生。例11:小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次？解：設套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗（10-x-y）次。根據得61分可列方程9x+5y+2（10-x-y）=61，化簡后得7x=413y。顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無整數解；若y=2，7x=35，解得x=5。答：小明至多套中小雞5次。例12:某縫紉社有甲、乙、丙、丁4個小組，甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或

32、11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子。現在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子）。問：7天中這4個小組最多可縫制多少套衣服？分析：不能僅按生產上衣或褲子的數量來安排生產，應該考慮各組生產上衣、褲子的效率高低，在配套下安排生產。我們首先要說明安排做上衣效率高的多做上衣，做褲子效率高的多做褲子，才能使所做衣服套數最多。一般情況，設A組每天能縫制a1件上衣或b1條褲子，它們的比為在安排A組盡量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產。這的效率高，故這7天全安排這兩組生產單一產品。設甲組生產上衣x天，生產褲子（7-x）天，乙組生產上衣y天，生產褲子（7-y）天，則4個組分別共

33、生產上衣、褲子各為6×78x+9y（件）和11×710（7x）12（7-y）（條）。依題意，得428x9y7770-10x84-12y，令u428x9y，則顯然x越大，u越大。故當x=7時，u取最大值125，此時y的值為3。答：安排甲、丁組7天都生產上衣，丙組7天全做褲子，乙組3天做上衣，4天做褲子，這樣生產的套數最多，共計125套。說明：本題仍為兩個未知數，一個方程，不能有確定解。本題求套數最多，實質上是化為“一元函數”在一定范圍內的最值，注意說明取得最值的理由。練習:1甲用40秒可繞一環形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒與甲相遇一次。問：乙跑完一圈用多少秒？2小明在3

34、60米長的環形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，那么小明后一半路程跑多少秒？3如下圖，甲、乙兩人分別位于周長為400米的正方形水池相鄰的兩個頂點上，同時開始沿逆時針方向沿池邊行走。甲每分鐘走50米，乙每分鐘走44米，求甲、乙兩人出發后幾分鐘才能第一次走在正方形的同一條邊上（不含甲、乙兩人在正方形相鄰頂點的情形）。4農忙假，一組學生下鄉幫郊區農民收割水稻，他們被分配到甲、乙兩塊稻田去，甲稻田面積是乙稻田面積的2倍。前半小時，全隊在甲田；后半小時一半人在甲田，一半人在乙田。割了1時，割完了甲田的水稻，乙田還剩下一小塊未割，剩下的這一小塊需要一個人割1時才能割完。問：

35、這組學生有幾人？5若貨價降低8，而售出價不變，則利潤（按進貨價而定）可由目前的P增加到（P10），求P。6甲、乙二人做同一個數的帶余除法，甲將其除以8，乙將其除以9，甲所得的商數與乙所得的余數之和為13。試求甲所得的余數。7某公共汽車線路中間有10個站。車有快車及慢車兩種，快車的車速是慢車車速的1.2倍。慢車每站都停，快車則只?？恐虚g1個站。每站停留時間都是3分鐘。當某次慢車發出40分鐘后，快車從同一始發站開出，兩車恰好同時到達終點。問：快車從起點到終點共需用多少時間？8甲車以160千米/時的速度，乙車以20千米/時的速度，在長為210千米的環形公路上同時、同地、同向出發。每當甲車追上乙車1次

36、，甲車減問：在兩車的速度恰好相等的時刻，它們分別行駛了多少千米？答案：1.(24秒)。2.(44秒)。推知小明前40秒跑了5×40=200（米），后40秒跑了4×40=160（米）。因為小明后180米中有20米是以5米/秒的速度行進的，其余160米是以4米/秒的速度行進的，所以，小明后一半路程共用20÷5+160÷444（秒）。3.(34分)。提示：仿例4。4.(8人)。 解：設學生共x人，甲田面積為2a，乙田面積為a，則解出x=8。5. (15) 。解：設原進貨價為x，則下降8后的進價為0.92x，依題意有x（1+0.01P）0.92x1+0.01（P

37、+10），解得P15。6.(4)。 解：設甲所得的商和余數分別為x和y，乙所得的商為z，則乙所得的余數為13-x。依題意得8x+y=9z+（13-x），即9（x-z）=13-y，推知13-y是9的倍數。因為y是被8除的余數，所以只能在0至7之間，所以y=4。共需65+3=68（分）。7.（68分）。8.（940km，310km）。時刻，兩車速度相等，則應有所以n=3。設甲車第1次追上乙車用了t1時。因為甲比乙車多跑1圈，所以有設甲車從第1次追上乙車到第2次追上乙車用了t2時，仿上可知時。從而甲行駛了乙車行駛了三、應用問題選講我們知道，數學是一門基礎學科。我們在學校中學習數學的目的，一方面是為學

38、習其它學科和學習更深的數學知識打下一個基礎，更重要的是為了現在和將來運用所學的數學知識去解決一些日常生活、科學實驗、工農業生產以及經濟活動中所遇到的實際問題。運用數學知識解決實際問題的基本思路是：先將這個實際問題轉化為一個數學問題（我們稱之為建立數學模型），然后解答這個數學問題，從而解決這個實際問題。即：這里，建立數學模型是關鍵的一步。也就是說，要通過審題，將實際問題與自己學過的數學知識、數學方法聯系起來，將其歸結到某一類型的數學問題，然后解答這個數學問題。下面介紹一些典型的數學模型。（一）兩個量變化時，和一定的問題兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的和始終保持不變，那么它們的差與積之間

39、有什么關系呢？觀察左表，我們不難得出如下的規律：兩個變化著的量，如果在變化的過程中，和始終保持不變，那么它們的差越小，積就越大。若它們能夠相等，則當它們相等時，積最大。這個規律對于三個和三個以上的變量都是成立的。例1：農民叔叔阿根想用20塊長2米、寬1.2米的金屬網建一個靠墻的長方形雞窩。為了防止雞飛出，所建雞窩的高度不得低于2米，要使雞窩面積最大，長方形的長和寬分別應是多少？解：如上圖，設長方形的長和寬分別為x米和y米，則有x2y1.2×2024。長方形的面積為因為x和2y的和等于24是一個定值，故它們的乘積當它們相等時最大，此時長方形面積S也最大。于是有x=12，y6。例2：如果

40、將進貨單價為40元的商品按50元售出，那么每個的利潤是10元，但只能賣出500個。當這種商品每個漲價1元時，其銷售量就減少10個。為了賺得最多的利潤，售價應定為多少？解：設每個商品售價為（50+x）元，則銷量為（500-10X）個。總共可以獲利（50x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60為一定值，故當10+X=50X即X=20時，它們的積最大。此時，每個的銷售價為5020=70（元）。例3：若一個長方體的表面積為54厘米2，為了使長方體的體積最大，長方體的長、寬、高各應為多少厘米？解：設長、寬、高分

41、別為x，y，z厘米，體積為V厘米3。2（xyyz+zx）=54，xyyz+zx=27。因為V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx），故當 xy=yz=zx即 x=y=z=3時，V2有最大值，從而V也有最大值。例4：有一塊長24厘米的正方形厚紙片，在它的四個角各剪去一個小正方形，就可以做成一個無蓋的紙盒，現在要使做成的紙盒容積最大，剪去的小正方形的邊長應為幾厘米？解：如右圖，設剪去的小正方形的邊長為x厘米，則紙盒的容積為V=x（24-2x）（24-2x）=2×2x（12-x）（12-x）。因為2x+（12-x）+（12-x）=24是一個定值，故當2x=12-x12-x，即x=4時，

42、其乘積最大，從而紙盒的容積也最大。（二）兩個量變化時，積一定的問題兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的乘積始終保持不變，那么它們的差與和之間有什么關系呢？觀察下面的表：我們不難得出這樣的規律：兩個變化著的量，如果在變化的過程中，乘積始終保持不變，那么它們的差越小，和就越小。若它們能夠相等，則當它們相等時，和最小。例5：長方形的面積為 144 cm2，當它的長和寬分別為多少時，它的周長最短？解：設長方形的長和寬分別為 xcm和 ycm，則有xy144。故當x=y=12時，x+y有最小值，從而長方形周長2（xy）也有最小值。例6：用鐵絲扎一個空心的長方體，為了使長方體的體積恰好是216cm3

43、，長方體的長、寬、高各是多少厘米時，所用的鐵絲長度最短？解：設長方體的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則有xyz216。鐵絲長度的和為 4（x y z），故當 xy=z6時，所用鐵絲最短。例7：農場計劃挖一個面積為432 m2的長方形養魚池，魚池周圍兩側分別有3m和4m的堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長和寬應為多少？解：如圖所示，設水池的長和寬分別為xm和ym，則有xy432。占地總面積為 S=（x6）（y8）cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我們知道6y ×8X=48×432為一定值，故當6y=8X時，S最小，此時有6y=8X=1

44、44，故y=24，x=18。例8：某游泳館出售冬季學生游泳卡，每張240元，使用規定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有48名學生，老師打算組織學生集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車，無論乘坐多少名學生，每次的包車費均為40元。若要使每個同學游8次，每人最少交多少錢？解：設一共買了X張卡，一共去游泳y次，則共有Xy=48×8=384（人次），總用費為（240x40y）元。因為 240x ×40y=240×40×384是一定值，故當 240x=40y，即y=6x時，和最小。易求得x=8，y=48。此時總用費為240

45、15;840×48=3840（元），平均每人最少交 3840÷48=80（元）。（三）利用不等關系來解答的應用題例9：某公司在A，B兩地分別庫存有某機器16臺和12臺，現要運往甲、乙兩家客戶的所在地，其中甲方15臺，乙方13臺。已知從A地運一臺到甲方的運費為500元，到乙方的運費為400元，從B地運一臺到甲方的運費為300元，到乙方的運費為600元。已知運費由公司承擔，公司應設計怎樣的調運方案，才能使這些機器的總運費最省？解：設由A地運往甲方x臺，則A地運往乙方（16-x）臺，B地運往甲方（15-x）臺，B地運往乙方（x3）臺。于是總運價為：S=500x+400（16-x）

46、300（15-x）+600（x-3）400x+9100。顯然，x要滿足不等式3x15，于是當x=3時，總運價最省，為 400× 3 9100=10300（元）。調運方案為：由A地運往甲方3臺，A地運往乙方13臺，B地運往甲方12臺，B地運往乙方0臺。例10：某校決定出版“作文集”，費用是30冊以內為80元，超過30冊的每冊增加1.20元。當印刷多少冊以上時，每冊費用在1.50元以內？以內。解：顯然印刷的冊數應該大于30。設印刷了（30x）冊，于是總用費為（80+1.2x）元。故有80+1.2x1.5 ×（30+x），例11：現有三種合金：第一種含銅60，含錳40；第二種含錳

47、10，含鎳90；第三種含銅20，含錳50，含鎳30?，F各取適當數量的這三種合金，組成一塊含鎳45的新合金，重量為1千克。（1）求新合金中第二種合金的重量的范圍；（2）求新合金中含錳的重量的范圍。解：設第一種合金用量為x千克，第二種合金用量為y千克，第三種合金用量為z千克，依題意有（1）如果不取第一種合金，即x=0，那么新合金中第二種合金重量最小。解得y=0.25。如果不取第三種合金，即z=0，那么新合金中第二種合金重量最大。解得y0.5。新合金中第二種合金的重量范圍是0.25克到0.5克。（2）由可得z1.5-3y，x=2y0.5。故新合金中含錳的重量為S40x+10y+50z=40（2y-0

48、.5）10y50（1.5-3y）。因為0.25y0.5，所以0.25S0.4，即新合金中含錳的重量范圍是0.25克到0.4克。例12：某商店需要制作如下圖所示的工字形架100個，每個由三根長為2.3米、1.7米、1.3米的鋁合金材料組裝而成。市場上可購得該鋁合金材料的原料長為6.3米。問：至少要買回多少根原材料，才能滿足要求（不計損耗）？ 解：每根原材料的切割有下表的七種情況：顯然，三種方案損耗較小。方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根，可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根，共用原材料 4214291=86（根）。練習:1銷售某種西服，當每件售價為100元時可售出1000

49、件。如果定價每下降1，那么銷售量將提高0.5，又知道這批西服是每件80元成本購進的。問：應如何定價才能使獲利最大？2下圖是一個面積為4m2的窗戶，當ab的值是多少時，窗戶的框架所用的材料最??？3有一個長為 80cm、寬為40cm的木板，要以它為原材料做一個無蓋的木盒，應該如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是多少？4某廠要建造一個無蓋的露天水槽，其底為正方形，容量為64000m3。在建造時，槽底的造價是四壁的2倍，這個水槽的底面邊長和高的比例是多少時，造價最?。?A城有化肥 200噸，B城有化肥 300噸，現要將化肥運往C，D兩村。已知從A城運往C，D兩村的運價分別是每噸20元和25元，從

50、B城運往C，D兩村的運價分別是每噸15元和22元。某個體戶承包了這項運輸任務，請你幫他算一算，如何調運才能使運費最?。?有兩個學生參加4次數學測驗，他們的平均分數不同，但都是低于90分的整數。他們又參加了第5次測驗，這樣5次的平均分數都提高到了90分，求第5次測驗二人的得分（滿分為100分）。7某機械廠要把一批長7300毫米的鋼筋截成長290毫米、210毫米和150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子?，F在做100套鋼筋架子，至少要用去長為7300毫米的鋼筋多少根？8下表所示為X，Y，Z三種食品原料的維生素含量（單位：單位/千克）及成本：現在要將三種食物混合成100千克的混合物，要求混合物至少需含

51、44000單位的維生素A及48000單位的維生素B0如果所用的食物中x，Y，Z的重量依次為X千克、y千克、Z千克，那么請定出X，y，Z的值，使得成本為最少。答案：1.（91元）。解：設定價為每件（100-x）元，則銷售量為1000（1+0.5x）件。利潤為（100-x-80）×1000（1+0.5x）=500×（20-x）（2+x）。因為（20-x）+（2+x）=22為一定值，故當20-x=2+x即x=9時利潤最高。此時每件定價為100-9=91（元）。2.（23）。解：窗戶的框架長為 3a+2b，而 ab=4是一個定值，從而3a×2b=6ab=24也是一個定值，

52、故當3a=2b即ab=23時窗戶框架所用材料最省。3.（32000cm3）。解：設木盒的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則它的容積為V=xyzcm3。因為xy+2xz+2yz=40×80=3200為一定值，故它們的積xy×2xz×2yz=4（xyz）2=4V2，在xy=2xz=2yz時最大，從而V也最大，此時有x=y=2z。經計算得x=40，y=40，z=20。具體制作方式如下：先取原木板的一半（40cm×40cm）作為木盒的底面，再將剩下的一半分成 20 cm×40 cm大小的四等份，每份作為木盒的一個側面就可以了。4.（11）。解：

53、設四壁的造價是a元/m2，則底面造價為2a元/m2。又設其底面邊長為xm，高為ym，則有x2y=64000?？傇靸r為a×4xy+2a×x2=2a（2xy+x2）=2a（xy+xy+x2）。因為xy×xy×x2=（x2y）2=640002為一定值，故當xy=xy=x2即xy=11時，總造價最省。5.解：設A城化肥運往C村x噸，則運往D村（200-x）噸；B城化肥運往C村（220-x）噸，運往D村（80+x）噸，總運費y元，則y=20x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060。又易知0x200，故當x=0時，運費最省，為1

54、0060元。運輸方案如下：A城化肥運往C村0噸，運往D村200噸；B城化肥運往C村220噸，運往D村80噸。6.（98，94）。解：設某一學生前4次的平均分為x分，第5次的得分為y分，則其5次總分為4x+y=5×90=450。于是y=450-4x。顯然90y100，故90450-4x100，解得87.5x90。于是兩個學生前4次的平均分分別為88分和89分。第5次得分分別為 450-4×88=98（分）和450-4×89=94（分）。7.（90根）。解：每一根7300毫米的鋼筋有如下三種損耗較小的截法：290×2+150×1=7300， 210

55、×2+150×2=7200， 210×2+290×2=7100。 設按方案截得的鋼筋有x根，按方案截得的鋼筋有y 根，按方案截得的鋼筋有z根，則長為290，210，150毫米各有100根，即2x+z=x+2y=2y+2z=100。于是x=40，y=30，z=20。一共至少用去長為7300毫米的鋼筋90根。8. （30，20， 50）。解：x+y+z=100， 400x+600y+400z44000， 800x+200y+400z48000。 由得 2x+3y+2z220。 由得 4x+y+2z240。 由-×2，得y20。由-×2，得

56、2x-y40。由得 z=100-x-y。成本為6x+5y+4z=6x+5y+4（100-x-y）=400+2x+y=400+2y+（2x-y）400+40+40=480。四、計數的方法與原理計數方法與原理是組合數學的主要課題之一，本講介紹一些計數的基本方法及計數的基本原理。（一）枚舉法一位旅客要從武漢乘火車去北京，他要了解所有可供乘坐的車次共有多少，一個最易行的辦法是找一張全國列車運行時刻表，將所有從武漢到北京的車次逐一挑出來，共有多少次車也就數出來了，這種計數方法就是枚舉法。所謂枚舉法，就是把所要求計數的所有對象一一列舉出來，最后計算總數的方法。運用枚舉法進行列舉時，必須注意無一重復，也無一

57、遺漏。例1：四個學生每人做了一張賀年片，放在桌子上，然后每人去拿一張，但不能拿自己做的一張。問：一共有多少種不同的方法？解：設四個學生分別是A，B，C，D，他們做的賀年片分別是a，b，c，d。先考慮A拿B做的賀年片b的情況（如下表），一共有3種方法。同樣，A拿C或D做的賀年片也有3種方法。一共有333=9（種）不同的方法。例2：甲、乙二人打乒乓球，誰先連勝兩局誰贏，若沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到決出輸贏為止。問：一共有多少種可能的情況？解：如下圖，我們先考慮甲勝第一局的情況：圖中打的為勝者，一共有7種可能的情況。同理，乙勝第一局也有 7種可能的情況。一共有 77=14（種）可能的情

58、況。（二）加法原理如果完成一件事情有n類方法，而每一類方法中分別有m1，m2，mn種方法，而不論采用這些方法中的任何一種，都能單獨地完成這件事情，那么要完成這件事情共有N=m1+m2+mn種方法。這是我們所熟知的加法原理，也是利用分類法計數的依據。例3：一個自然數，如果它順著數和倒著數都是一樣的，則稱這個數為“回文數”。例如1331，7，202都是回文數，而220則不是回文數。問：1到6位的回文數一共有多少個？按從小到大排，第2000個回文數是多少？解：一位回文數有：1，2，9，共9個；二位回文數有：11，22，99，共9個；三位回文數有：101，111，999，共90個；四位回文數有：1001，1111，9999，共90個；五位回文數有：10001，10101，99999，共900個；六位回文數有：100001，101101，999999，共900個。到六位數為止，回文數共有999090900900=1998（個）。第1999個回文數是1000001，第2000個回文數是1001001。例4：設有長度為1，2，9的線段各一條，現在要從這9條線段中選取若干條組成一個正方形，共有多少種不同的取法？這里規定當用2條或多條線段接成一條邊時，除端點外，不