1、2/3/Slide source: Seitz4/Slide source: Seitz5/6/p=(X,Y,f)P=(x,y,z)7/),(vu),(YX8/),(zyxzfyYzfxX1101000000001zyxPzyxffYXs11010000000010010011100zyxMzyxffvdYudXvus攝像機內參攝像機內參9/111012wwwwwwTZYXMZYXtRzyx攝像機外參攝像機外參10/11/OriginalCreated12/13/14/15/16/17/18/19/20/21/22/23/24/25/26/Photo credit: GazetteLive.c

2、o.uk27/28/29/30/31/直接線性變換是將像點和物點的成像幾何關系在齊次坐標下直接線性變換是將像點和物點的成像幾何關系在齊次坐標下寫成透視投影矩陣的形式：寫成透視投影矩陣的形式： 11143wwwwwwZYXZYXvusPtRK其中其中 為圖像坐標系下的點的齊次坐標，為圖像坐標系下的點的齊次坐標， 為為世界坐標系下的空間點的歐氏坐標，世界坐標系下的空間點的歐氏坐標， 為為 的透視投影矩的透視投影矩陣，陣， 為未知尺度因子。為未知尺度因子。 1 ,vuwwwZYX,Ps4332/34333231242322211413121143pppppppppppppijP34333231242

3、3222114131211pZpYpXpspZpYpXpsvpZpYpXpsuwwwwwwwww消去消去 ，可以得到方程組，可以得到方程組: :s0034333231242322213433323114131211vpvZpvYpvXppZpYpXpupuZpuYpuXppZpYpXpwwwwwwwwwwww33/當已知當已知 個空間點和對應的圖像上的點時，可以得到一個個空間點和對應的圖像上的點時，可以得到一個含有含有2 2* * 個方程的方程組：個方程的方程組： 0AL其中其中 為為 的矩陣，的矩陣， 為透視投影矩陣元素組成的為透視投影矩陣元素組成的向量向量 。 12*2NLATpppppp

4、pppppp343332312423222114131211,NN0034333231242322213433323114131211vpvZpvYpvXppZpYpXpupuZpuYpuXppZpYpXpwwwwwwwwwwww34/ 像機定標的任務就是尋找合適的像機定標的任務就是尋找合適的 ，使得，使得 為為最小，即最小，即 | ALL|minALL給出約束：給出約束： 134pBCCCLTT1)(為為 的前的前1111個元素組成的向量，個元素組成的向量， 為為 前前1111列組成的矩列組成的矩陣，陣， 為為 第第1212列組成的向量。列組成的向量。LCABALL向量的比例有意義向量的比例

5、有意義0034333231242322213433323114131211vpvZpvYpvXppZpYpXpupuZpuYpuXppZpYpXpwwwwwwwwwwww35/100001000000133323123222113121100333231242322211413121134zyxyxtrrrtrrrtrrrvupppppppppppp3334rpp3341ppzTzyyTTyzxxTTxzTyTxTyxTTTtrtvtrvrtutrurtrtrtrvupppppp3030203013210032421413410010000001r3是正交單位矩陣的第是正交單位矩陣的第三行，行

6、列式為三行，行列式為136/zTzyyTTyzxxTTxzTyTxTyxTTTtrtvtrvrtutrurtrtrtrvupppppp30302030132100324214134100100000013223431234322343302031234330103343)()(ppppppppprrvrvppprruruppryxTTTyTTTx341103342203343414034240()()()()xyzxxyyprpu pprpv ptmptpuptpv37/134p是否合理？是否合理？ 約束約束 不具有旋轉和平移的不變性不具有旋轉和平移的不變性, ,解將隨著世解將隨著世界坐標系的

7、選取不同而變化界坐標系的選取不同而變化. .134p證明：證明：世界坐標系作剛性坐標變換世界坐標系作剛性坐標變換10tRPP則則3433323213134ptptptpp顯然在一般的情況下顯然在一般的情況下3434pp38/另一個約束另一個約束 具有旋轉和平移的不變性具有旋轉和平移的不變性1233232231ppp1coscoscos322212由1321R3P3R2R312111,rrr332313,rrr322212,rrr),(333231ppp向量向量 , , , , 是兩兩是兩兩垂直的單位向量垂直的單位向量1R2R3R39/ 80 80年代中期年代中期TsaiTsai提出的基于提出的

8、基于RACRAC的定標方法是計算的定標方法是計算機視覺像機定標方面的一項重要工作，該方法的核心是機視覺像機定標方面的一項重要工作，該方法的核心是利用徑向一致約束來求解像機外參數，然后再求解像機利用徑向一致約束來求解像機外參數，然后再求解像機的其它參數。基于的其它參數。基于RACRAC方法的最大好處是它所使用的大方法的最大好處是它所使用的大部分方程是線性方程，從而降低了參數求解的復雜性，部分方程是線性方程，從而降低了參數求解的復雜性，因此其定標過程快捷，準確。因此其定標過程快捷，準確。像機模型 徑向一致約束 標定算法 40/理想圖像坐標到數字圖像坐標的變換理想圖像坐標到數字圖像坐標的變換（只考慮

9、徑向偏差只考慮徑向偏差） 0221002210)(1)()(1)(vvvukvvuuvukuudddddd(ud, vd)為一個點的數字化實際坐標，（為一個點的數字化實際坐標，（u, v）為理想的數字化坐標，（為理想的數字化坐標，（u0, v0）為畸變中心）為畸變中心（u0, v0）(ud, vd)（u, v）41/理想透視投影成像坐標理想透視投影成像坐標),(uuYXp真實透視投影成像坐標真實透視投影成像坐標),(ddYXp在圖像平面上，點在圖像平面上，點 ， 共線。共線。),(uuYXp),(ddYXp42/世界坐標系和攝像機坐標系的關系世界坐標系和攝像機坐標系的關系cox ozOwywz

10、wxuvzwwwywwwxwwwTzryrxrzTzryrxryTzryrxrx987654321y由徑向約束由徑向約束ywwwxwwwddTzryrxrTzryrxrYXyx65432143/移項得：移項得：yddwdwdwxddwdwdwTXrXzrXyrXxTYrYzrYyrYx654321yTdydwydwydwyxdydwydwydwXTrXzTrXyTrXxTTYTrYzTrYyTrYx154321dyyyyxyyydwdwdwddwdwdwXTrTrTrTTTrTrTrXzXyXxYYzYyYx/654321同除以同除以 得：得：寫成矢量形式得：寫成矢量形式得： 1010dxxd

11、dydus dXuvd Yv44/1.利用徑向一致約束來求解利用徑向一致約束來求解 和和 yxTTR,s定標步驟定標步驟:2.求解有效焦距求解有效焦距 、 方向上的平移方向上的平移T T3 3 和畸變參數和畸變參數 fz1k1,0,0,0,0,00vfusfK45/123456/xyxyxyxxywidiwidiwididiwidiwidiwididiyyys r Ts rTs rTs TTx Yy Yz YYx Xy Xz XXrTrTrT1.1.求解像機外參數旋轉矩陣求解像機外參數旋轉矩陣 和和 、 方向上的平移和方向上的平移和 Rxyxs 1010dxxddydus dXuvd Yv（1

12、）（2）46/11,22,33,4,54,65,76,2221/21212121/25674562221/2456/()()()() | ()xyxyxyx xyyyyyyyyas rT as rT as rT as rTarTarT arTaaaTrTrTrTrrr令由于2221/ 24562221/ 2567()1|()yrrrTaaa根據正交性，即：，則有：2221/2123ys()|xaaaT（3）（4）47/1111221133144123155456166()/,()/()/,()/(),(),(),yxyxyxyxyxyxxyxxyxyywwwxyywwwxyyrTsrTsrTs

13、rTsrTsrTsrTsrTsrTrTxrxr yr zTrTrTyr xr yr zTrTrT714825936rrrrrrryy （5） 確定確定 的符號并得到的符號并得到yTxTrr及91假定假定 為正，在標定點中任意選取一個點，進行如下計算為正，在標定點中任意選取一個點，進行如下計算yT若若符號為正，否則為負則符號相同與符號相同且與yddTyYxX,計算計算48/diiiYyfz00() ()idiidizfydy vvwdy vvT21217892456789()(1)()()(1)()wiwiwixdiwiwiwizwiwiwiYdiwiwiwizf rxr yrzTXkr xr

14、yr zTf r xr yr zTYkr xr yr zT標定算法步驟二2. 求解求解Tz, f, k（1）（2）49/張正友方法 0,YXMcXcZcYvum ,wXwZwYwOO50/基本原理：基本原理：123120111XuXYs vA r r r tA r r tY 其中，其中， 為攝像機的內參數矩陣，為攝像機的內參數矩陣， 為模為模板平面上點的齊次坐標，板平面上點的齊次坐標， 為模板平面上點為模板平面上點投影到圖象平面上對應點的齊次坐標，投影到圖象平面上對應點的齊次坐標， 和和 分別是攝像機坐標系相對于世界坐標系的旋轉矩陣和分別是攝像機坐標系相對于世界坐標系的旋轉矩陣和平移向量平移向

15、量ATvum 1TYXM 1t321rrr0ZH 不失一般性，假定模板平面在世界坐標系不失一般性，假定模板平面在世界坐標系 的平面上的平面上51/12312Hh h hA r r t1120TTh AA h111122TTTTh AA hh AA h根據旋轉矩陣的性質，即根據旋轉矩陣的性質，即 和和 ，每，每幅圖象可以獲得以下兩個對內參數矩陣的基本約束幅圖象可以獲得以下兩個對內參數矩陣的基本約束021rrT121 rr由于攝像機有由于攝像機有5個未知內參數，所以當所攝取得的圖象數個未知內參數，所以當所攝取得的圖象數目大于等于目大于等于3時，就可以線性唯一求解出時，就可以線性唯一求解出A1111

16、2211,rA hrA hsmHM52/53/54/55/張正友方法所用的平面模板56/算法描述1. 打印一張模板并貼在一個平面上2. 從不同角度拍攝若干張模板圖象3. 檢測出圖象中的特征點4. 求出攝像機的內參數和外參數5. 求出畸變系數6. 優化求精57/張正友的平面標定方法是介于傳統標定方法和自標定方法之張正友的平面標定方法是介于傳統標定方法和自標定方法之間的一種方法。它既避免了傳統方法設備要求高，操作繁瑣間的一種方法。它既避免了傳統方法設備要求高，操作繁瑣等缺點，又較自標定方法精度高，符合辦公、家庭使用的桌等缺點，又較自標定方法精度高，符合辦公、家庭使用的桌面視覺系統面視覺系統(DVS

17、)(DVS)的標定要求。的標定要求。張的方法是需要確定模板上點陣的物理坐標以及圖像和模板張的方法是需要確定模板上點陣的物理坐標以及圖像和模板之間的點的匹配，這給不熟悉計算機視覺的使用者帶來了不之間的點的匹配，這給不熟悉計算機視覺的使用者帶來了不便。便。58/()()()()()()()()()()()()acbdbcadacbdbcadacbdbcadxxxxCRxxxxyyyyCRyyyyzzzzCRzzzzXxfzYyfz對于空間中同一直線上的四個點：對于空間中同一直線上的四個點：),(),(),(),(dddcccbbbaaazyxDzyxCzyxBzyxA、交比：交比：空間點透空間點透視關系：視關系：59/對于空間四個點對應的理想圖像點為：對于空間四個點對應的理想圖像點為：),(),(),(),(ddccbbaaYXYXYXYX、()()()()()()()()acbd