1、17.5 17.5 反證法反證法 1.掌握反證法的證明步驟。掌握反證法的證明步驟。 2.能用反證法進行推理。能用反證法進行推理。 3.學會反面說理的方法，培養從正反兩方面學會反面說理的方法，培養從正反兩方面進行說理的能力。進行說理的能力。 學習重點學習重點 反證法的證明步驟反證法的證明步驟 學習難點學習難點 能用反證法進行推理證明能用反證法進行推理證明故事說一個少婦抱著小孩回娘家，路故事說一個少婦抱著小孩回娘家，路過瓜田，遇上一個惡少調戲。少婦不過瓜田，遇上一個惡少調戲。少婦不從，被誣偷瓜，告到縣衙。惡少暗中從，被誣偷瓜，告到縣衙。惡少暗中用用 錢收買為他看瓜的地保，囑他摘三錢收買為他看瓜的地

2、保，囑他摘三個大瓜到縣衙作證。張飛升堂審訊，個大瓜到縣衙作證。張飛升堂審訊，問惡問惡 少，惡少說少婦偷他的瓜，有人少，惡少說少婦偷他的瓜，有人證物證；問少婦，少婦說惡少調戲她。證物證；問少婦，少婦說惡少調戲她。張飛張飛 “想了一想想了一想”，佯斷少婦偷瓜，佯斷少婦偷瓜，命惡少先把三個大瓜命惡少先把三個大瓜 抱回去。惡少左抱回去。惡少左抱右抱，怎么也抱不起來。張飛虎眉抱右抱，怎么也抱不起來。張飛虎眉一一 豎，拍案而起，痛斥惡少豎，拍案而起，痛斥惡少你堂堂你堂堂男子漢，三個瓜都抱不動，她是弱女男子漢，三個瓜都抱不動，她是弱女子，子， 又抱小孩，怎能偷你三個大瓜？又抱小孩，怎能偷你三個大瓜？分明是你

3、調戲。分明是你調戲。經過審問，果然不經過審問，果然不錯。錯。 張飛是怎樣證明少婦張飛是怎樣證明少婦無罪的呢無罪的呢?他運用了怎樣的推理他運用了怎樣的推理方法方法?張飛斷案假設假設“少婦偷瓜少婦偷瓜” 少婦同時要抱小孩和三個瓜少婦同時要抱小孩和三個瓜與與 “惡少惡少無法抱動三個瓜無法抱動三個瓜”產生矛盾產生矛盾假設假設 “少婦偷瓜少婦偷瓜”不成立不成立所以所以“少婦沒有偷瓜少婦沒有偷瓜” 是正確的是正確的張飛推理方法是張飛推理方法是: 從前有個聰明的孩子叫王從前有個聰明的孩子叫王戎。他戎。他7 7歲時歲時, ,與小伙伴們外與小伙伴們外出游玩出游玩, ,看到路邊的李樹上結看到路邊的李樹上結滿了果子

4、滿了果子. .小伙伴們紛紛去摘小伙伴們紛紛去摘取果子取果子, ,只有王戎站在原地不只有王戎站在原地不動動. . 有人問王戎為什么，有人問王戎為什么，王戎回答說王戎回答說:“:“樹在道邊而多樹在道邊而多子子, ,此必苦李此必苦李.”.”小伙伴摘取一個嘗了一下果小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李然是苦李. . 王戎是怎樣知道李子是王戎是怎樣知道李子是苦的呢苦的呢? ? 他運用了怎樣的推理他運用了怎樣的推理方法方法? ?假設假設“李子甜李子甜”樹在道邊則李子少樹在道邊則李子少與已知條件與已知條件“樹在道邊而多子樹在道邊而多子”產生矛盾產生矛盾假設假設 “李子甜李子甜”不成立不成立所以所以“樹在道邊而多

5、子樹在道邊而多子,此必為苦李此必為苦李” 是正確的是正確的王戎推理方法是王戎推理方法是:身邊的例子媽媽媽媽:小華小華,聽說鄰居小芳全家這幾天在外聽說鄰居小芳全家這幾天在外地旅游地旅游.小華小華:不可能不可能,我上午還在學校碰到了她和我上午還在學校碰到了她和她媽媽呢她媽媽呢!上述對話中上述對話中,小華要告訴媽媽的命題是什么小華要告訴媽媽的命題是什么?小芳全家沒外出旅游小芳全家沒外出旅游.如何推斷該命題的正確性的如何推斷該命題的正確性的?老師的困惑老師的困惑：一個三角形中不可能有兩個鈍角。一個三角形中不可能有兩個鈍角。一個三角形中最多有一個直角。一個三角形中最多有一個直角。還有很多呢！還有很多呢！

6、證明：一個三角形中不可能有兩個鈍角。證明：一個三角形中不可能有兩個鈍角。已知：已知：ABC。求證：三角形中不可能有兩個鈍角求證：三角形中不可能有兩個鈍角。CBA證明：假設證明：假設ABC有兩個鈍角，有兩個鈍角，不妨設不妨設A和和B都是鈍角。都是鈍角。 A+ B 180 A+ B+ C 180 這與這與“三角形的內角和是三角形的內角和是180 ”相矛盾，相矛盾，所以，我們假設三角形中可以有兩個鈍角是錯所以，我們假設三角形中可以有兩個鈍角是錯誤的，因此一個三角形中不可能有兩個鈍角。誤的，因此一個三角形中不可能有兩個鈍角。誰能幫老師解決誰能幫老師解決“一個三角形中最多有一個直角一個三角形中最多有一個

7、直角”你能你能證明它嗎？證明它嗎？已知已知:ABC求證：在求證：在ABC中，如果它含有直角，那么它只有一個直角。中，如果它含有直角，那么它只有一個直角。ABC證明：假設證明：假設ABC中有兩個（或三個）直角，設中有兩個（或三個）直角，設A=B=90 A+B=90 A+B+C 180這與這與“三角形的內角和等于三角形的內角和等于180”相矛盾。相矛盾。因此，三角形有兩個（或三個）直角的假設是不成立因此，三角形有兩個（或三個）直角的假設是不成立的。的。所以，如果三角形含有直角，那么它只能有一個直角。所以，如果三角形含有直角，那么它只能有一個直角。過同一直線上的三點不能作圓過同一直線上的三點不能作圓

8、. .已知：點已知：點A A、B B、C C三點在直線三點在直線 L L上上. .求證：過求證：過A A、B B、C C三點不能作圓三點不能作圓. . 設這個圓的圓心為P，那么點P既在線段AB的垂直平分線L1上，又在線段BC的垂直平分線L2上，即點P為 L1與L2的交點. 而這與我們以前學過的“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾。假設不成立。所以，所以，過同一直線上的三點不能作圓。過同一直線上的三點不能作圓。證明：假設過A、 B、 C三點可以作一個圓。 用反證法證明（填空）用反證法證明（填空）: :在三角形的內角在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于中，至少有一個角大于或等于606

9、0. .這與這與_相矛盾相矛盾. .所以所以_不成立，所求證的結論成立不成立，所求證的結論成立. . 已知已知: : A，B，C是是ABC的內角的內角. . 求證求證: : A，B，C中至少有一個角大中至少有一個角大 于于 或等于或等于60.證明證明: : 假設所求證的結論不成立，即假設所求證的結論不成立，即 A _ 60 ，B _ 60 ，C _60 則則A+B+C 180.三角形三個內角的和等于三角形三個內角的和等于180180假設假設試一試求證求證:在同一平面內在同一平面內,如果一條直線和兩條平如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交行直線中的一條相交,那么和另一條也相交那么和另一條也相交

10、.已知已知: 直線直線l1,l2,l3在同一平面內在同一平面內,且且l1l2,l3與與l1相交于相交于點點P.求證求證:l3與與l2相交相交.證明證明:假設假設_,那么那么_.因為已知因為已知_,這與這與“_ _”矛盾矛盾.所以所以假設不成立假設不成立,即求證的命題正確即求證的命題正確.l1l2l3Pl3與與l2 不相交不相交.l3l2l1l2 經過直線外一點經過直線外一點,有且只有一條直有且只有一條直線平行于已知直線線平行于已知直線所以過直線所以過直線l2外一點外一點P,有有兩條直線兩條直線和和l2平行平行,用反證法證明平行線的性質定理一：用反證法證明平行線的性質定理一：兩條平行線被第三條直

11、線所截同位角相等兩條平行線被第三條直線所截同位角相等 已知：如圖直線已知：如圖直線ABCD,直線直線EF分別與直分別與直線線AB,CD交于點交于點G,H.1和和2是同位角。是同位角。 求證：求證：1=2ABCDEGHF12 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。已知已知:如圖，只想如圖，只想AB CD，直線，直線EF分別于直線分別于直線AB,CD交于點交于點G,H,1和和2是同位角。是同位角。求證：求證： 1= 2。證明：假設證明：假設1 1 2 2。 過點過點G G作直線作直線MNMN，使得，使得EGN=EGN= 1 .1 . EGN=EGN= 1

12、,1 , MN CDMN CD（基本事實）。（基本事實）。 又又 AB CD AB CD（已知）（已知） 過點過點G G有兩條不同的直線有兩條不同的直線ABAB和和MNMN都與直線都與直線CDCD平行，平行， 這與這與“經過已知直線外一點，有且只有一條直線與已知經過已知直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行直線平行”相矛盾。相矛盾。 1 1 2 2的假設是不成立的。的假設是不成立的。 因此，因此， 1=1= 2 2。12FCMAGEHDNB推理過程推理過程原結論是正確的原結論是正確的命題中的結論不成立命題中的結論不成立相矛盾的定理原來是它求證求證: :在同一平面內在同一平面內, ,如果兩條

13、直線都和第三條直線如果兩條直線都和第三條直線平行平行, ,那么這兩條直線也互相平行那么這兩條直線也互相平行. .定理定理不用反證法證明不用反證法證明已知已知: :如圖，如圖，l1l2 ,l 2 l 3求證求證: : l1l3 l1l2l3lBl1l2 ,l 2l 3（已知）（已知）2 =1 ，1 =3（兩直線平行，同位角相等）兩直線平行，同位角相等）證明證明: :作直線作直線l，分別與，分別與直線直線l1 ，l2 ，l3交于于點交于于點A A，B B，C C。2 =3（等式性質）（等式性質） l1l3 （同位角相等，兩直線平行）同位角相等，兩直線平行）213lCA用反證法證明直角三角形全等的用

14、反證法證明直角三角形全等的“斜邊、直角邊斜邊、直角邊”定理。定理。求證：求證： ABCABCABC.ABC.不妨設不妨設BCABCABCD在在BC上截取上截取CD=CB.連接連接AD.在在ABC和和ADC中，中，AC=AC,C=C,CB=CD,ABC ADC(SAS).AB=AD(全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等)AB=AB(已知已知)，AB=AD（等量代換），（等量代換），B=ADB（等邊對等角），（等邊對等角），ADB90（三角形內角和定理），（三角形內角和定理），即即C這與這與C=90相矛盾。相矛盾。因此，因此，BCBC的假設不成立，即的假設不成立，即ABC與與ABC不全等的

15、假設不不全等的假設不成立。成立。所以，所以，ABC ADC.不全等，即證明：假設CBBCCBAABC.,90中，和已知：在CAACBAABCCCBAABC用反證法證明一個命題是真命題用反證法證明一個命題是真命題的一般步驟是：的一般步驟是： 第一步，假設命題的結論不成立。第一步，假設命題的結論不成立。 第二步，從這個假設和其他已知條件出發，第二步，從這個假設和其他已知條件出發，經過推理論證，得出與學過的概念、基本經過推理論證，得出與學過的概念、基本事實，已證明的定理、性質或題設條件相事實，已證明的定理、性質或題設條件相矛盾的結果。矛盾的結果。 第三步，有矛盾的結果判定假設不成立，第三步，有矛盾的

16、結果判定假設不成立，從而說明命題的結論是正確的。從而說明命題的結論是正確的。反證法的一般步驟反證法的一般步驟:假設命題結假設命題結論不成立論不成立假設假設不成不成立立假設命題結假設命題結論反面成立論反面成立與已知條件與已知條件矛盾矛盾假設假設推理得推理得出的結出的結論論與與定理，定定理，定義，基本事義，基本事實實矛盾矛盾所證所證命題命題成立成立常用的互為否定的表述方式：常用的互為否定的表述方式：是是 存在存在平行平行 垂直垂直等于等于 都是都是大于大于 小于小于至少有一個至少有一個至少有三個至少有三個至少有至少有n個個至多有一個至多有一個三角形中最多有一個是直角三角形中最多有一個是直角不是不是

17、不存在不存在不平行不平行不垂直不垂直不等于不等于不都是不都是不大于不大于不小于不小于一個也沒有一個也沒有至多有兩個至多有兩個至多有至多有(n-1)個個至少有兩個至少有兩個三角形中有兩個或三個角是直角三角形中有兩個或三個角是直角鞏固練習鞏固練習 用反證法證明下列命題：用反證法證明下列命題： 1.垂直于同一條直線的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩條直線平行 2.兩條直線相交，有且只有一個交點。兩條直線相交，有且只有一個交點。 3.如果兩條直線都平行與第三條直線，那么如果兩條直線都平行與第三條直線，那么著兩條直線也互相平行。著兩條直線也互相平行。 學以致用：1、用反證法證明、用反證法證明“三角形的三

18、個內角中，至三角形的三個內角中，至少有一個內角小于或等于少有一個內角小于或等于60”。證明：假設三角形的三個內角都大于60度，即A 60，B 60, C 60,則 A+B+ C ,這與 相矛盾， 不成立， 。180三角形的內角和是三角形的內角和是180三角形的三個內角都大于三角形的三個內角都大于60三角形的三個內角中，至少有一個內角小于或等于三角形的三個內角中，至少有一個內角小于或等于602 2、如圖，已知、如圖，已知ABEFABEF于于M M，CDEFCDEF于于N,N,用反證法用反證法證明：證明：ABCDABCD。GDCABEFHNM證明：假設證明：假設ABAB與與CDCD不平行，不平行，過過N N作作GHGHABAB， GHGHAB,AB,AME=GNE,AME=GNE, ABEFABEF，AME=90AME=90, , GNE=90GNE=90，GH EF,GH EF,又又 CDEF,CDEF,過點過點N N有兩條直線有兩條直線CDCD和和GHGH都與直線都與直線EFEF垂直垂直，這與這與“經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾。相矛盾。ABAB與與CDCD不平行的假設是不成立的，不平行的假設是不成立的，因此，因此， AB