1、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模-微分方程模型煙臺(tái)大學(xué)文經(jīng)學(xué)院煙臺(tái)大學(xué)文經(jīng)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部基礎(chǔ)教學(xué)部主要內(nèi)容主要內(nèi)容三、微分方程建模的實(shí)例三、微分方程建模的實(shí)例一、微分方程建模的方法一、微分方程建模的方法二、微分方程建模的步驟二、微分方程建模的步驟 微分方程建模是一種重要的數(shù)學(xué)建模方法，在許微分方程建模是一種重要的數(shù)學(xué)建模方法，在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問(wèn)為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問(wèn)題。尤

2、其是在題。尤其是在連續(xù)變量連續(xù)變量問(wèn)題的研究中，微分方程是十問(wèn)題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。利用微分方程建模常見(jiàn)的方分常用的數(shù)學(xué)工具之一。利用微分方程建模常見(jiàn)的方法有：法有： 一、微分方程建模的方法一、微分方程建模的方法1. 1. 根據(jù)已知規(guī)律直接列出方程根據(jù)已知規(guī)律直接列出方程 根據(jù)數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科根據(jù)數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科中已有的規(guī)律和定律，如中已有的規(guī)律和定律，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律，基爾霍夫牛頓運(yùn)動(dòng)定律，基爾霍夫電流及電壓定律，放射性物質(zhì)的放射性規(guī)律電流及電壓定律，放射性物質(zhì)的放射性規(guī)律等等，等等，這些都涉及到這些都涉及到函數(shù)的變化率函數(shù)的變化

3、率問(wèn)題，因此可根據(jù)相應(yīng)問(wèn)題，因此可根據(jù)相應(yīng)的規(guī)律直接列出微分方程。的規(guī)律直接列出微分方程。2. 2. 微元分析法微元分析法 在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)等許多教科書(shū)中常會(huì)見(jiàn)到在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)等許多教科書(shū)中常會(huì)見(jiàn)到用用微元分析法微元分析法建立微分方程模型的例子，它實(shí)際上是建立微分方程模型的例子，它實(shí)際上是應(yīng)用一些已知的規(guī)律或定理去尋求某些微元增量之間應(yīng)用一些已知的規(guī)律或定理去尋求某些微元增量之間的關(guān)系式，在同一個(gè)變量的變化間隔內(nèi)，建立等式的關(guān)系式，在同一個(gè)變量的變化間隔內(nèi)，建立等式 變化率（微商）變化率（微商）= =單位增加量單位增加量( (或單位減少量或單位減少量) )然后再將其簡(jiǎn)化為微分方程。然

4、后再將其簡(jiǎn)化為微分方程。3. .模擬近似法模擬近似法 在社會(huì)科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的在社會(huì)科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的實(shí)踐中，對(duì)一些現(xiàn)象的規(guī)律性目前還不是很清楚，實(shí)踐中，對(duì)一些現(xiàn)象的規(guī)律性目前還不是很清楚，了解并不全面，應(yīng)用微分方程模型進(jìn)行研究時(shí)，可了解并不全面，應(yīng)用微分方程模型進(jìn)行研究時(shí)，可根據(jù)已知的一些經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在不同的假設(shè)下去根據(jù)已知的一些經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在不同的假設(shè)下去模擬模擬實(shí)際現(xiàn)象。對(duì)如此所得到的微分方程進(jìn)行數(shù)學(xué)上求實(shí)際現(xiàn)象。對(duì)如此所得到的微分方程進(jìn)行數(shù)學(xué)上求解或分析解的性質(zhì)，然后再去同實(shí)際作對(duì)比，觀察解或分析解的性質(zhì)，然后再去同實(shí)際作對(duì)比，觀察分析這個(gè)模型與實(shí)際現(xiàn)象的差

5、異性，看能否在一定分析這個(gè)模型與實(shí)際現(xiàn)象的差異性，看能否在一定程度上反映實(shí)際現(xiàn)象，然后對(duì)其解答做出解釋。程度上反映實(shí)際現(xiàn)象，然后對(duì)其解答做出解釋。 將形形色色的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成微分方程的定解問(wèn)將形形色色的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成微分方程的定解問(wèn)題，大體上可按以下步驟：題，大體上可按以下步驟： 1. 1. 根據(jù)實(shí)際要求確定要研究的量（自變量、未根據(jù)實(shí)際要求確定要研究的量（自變量、未知函數(shù)、必要的參數(shù)等），并建立坐標(biāo)系；知函數(shù)、必要的參數(shù)等），并建立坐標(biāo)系； 2. 2. 找出這些量所滿足的基本規(guī)律（物理的、幾找出這些量所滿足的基本規(guī)律（物理的、幾何的、化學(xué)的或生物學(xué)的等等）；何的、化學(xué)的或生物學(xué)的等等）； 3

6、. 3. 運(yùn)用這些規(guī)律列出方程和定解條件運(yùn)用這些規(guī)律列出方程和定解條件( (初邊值初邊值條件條件) )； 二、微分方程建模的步驟二、微分方程建模的步驟 下面將通過(guò)一些簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程建模下面將通過(guò)一些簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程建模的一般方法：的一般方法： 4. 4. 求解或者討論方程求解或者討論方程(數(shù)值解或定性理論數(shù)值解或定性理論)，從，從而得到我們要求的結(jié)果；而得到我們要求的結(jié)果； 5.5. 對(duì)模型和結(jié)果進(jìn)行討論與分析。對(duì)模型和結(jié)果進(jìn)行討論與分析。(動(dòng)力學(xué)模型動(dòng)力學(xué)模型) 動(dòng)力學(xué)是微分方程最早期的源泉之動(dòng)力學(xué)是微分方程最早期的源泉之一，動(dòng)力學(xué)的基本定律是一，動(dòng)力學(xué)的基本定律是牛頓第二

7、定律：牛頓第二定律： ，這也是用微分方程來(lái)解決動(dòng)力學(xué)的基本關(guān)系式這也是用微分方程來(lái)解決動(dòng)力學(xué)的基本關(guān)系式。 例例1 降落傘由高空下落，除受重力作用外，還應(yīng)降落傘由高空下落，除受重力作用外，還應(yīng)受空氣阻力的作用。設(shè)某跳傘運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為受空氣阻力的作用。設(shè)某跳傘運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為 ，降，降落傘在下落過(guò)程中所受的空氣阻力與其速度成正比，落傘在下落過(guò)程中所受的空氣阻力與其速度成正比，且降落傘下落時(shí)的初始速度為零，求降落傘下落速度且降落傘下落時(shí)的初始速度為零，求降落傘下落速度 的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。maf 三、三、 微分方程建模的實(shí)例微分方程建模的實(shí)例m 設(shè)空氣阻力系數(shù)為設(shè)空氣阻力系數(shù)為 ，降落傘在時(shí)刻，

8、降落傘在時(shí)刻 下落的速下落的速度為度為 ，則由題意可知，在時(shí)刻，則由題意可知，在時(shí)刻 降落傘所受的降落傘所受的力為力為kvmgfkvmgdtdvm分離變量，得分離變量，得由牛頓第二定律列出微分方程由牛頓第二定律列出微分方程mdtkvmgdv(1)kt( )v tt兩端積分，得兩端積分，得)0(,)ln(11kvmgCmtkvmgk即即1kCtmkekvmg從而，解出從而，解出 得得tmkCekmgtv)(又由又由00tv可得，可得，.kmgC(2)v由上式可看出，當(dāng)由上式可看出，當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有kmgtvt)(lim常數(shù)；常數(shù)； 為介質(zhì)密度；為介質(zhì)密度； 為物體在地面上的投影面積。為物體在地面

9、上的投影面積。當(dāng)落地速度當(dāng)落地速度 與與 一定時(shí)一定時(shí), , 可求出可求出 來(lái)。事來(lái)。事實(shí)上，實(shí)上，人們也正是根據(jù)公式人們也正是根據(jù)公式(4)來(lái)為跳傘者設(shè)計(jì)能保證來(lái)為跳傘者設(shè)計(jì)能保證安全的降落傘的直徑大小的。只要跳傘者在空中有足安全的降落傘的直徑大小的。只要跳傘者在空中有足, sk據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定,其中其中 為與物體形狀有關(guān)的為與物體形狀有關(guān)的)1 ()(tmkekmgtv于是，方程于是，方程(1)的特解為的特解為(3)(4)ss1,v mt 夠長(zhǎng)的停留時(shí)間，他到達(dá)地面時(shí)的速度就近似地等于夠長(zhǎng)的停留時(shí)間，他到達(dá)地面時(shí)的速度就近似地等于,kmg,kmg所以跳傘者才能安所以跳傘者才能安全降落地

10、面。全降落地面。 另外，若不計(jì)空氣阻力，則跳傘者在空中做自另外，若不計(jì)空氣阻力，則跳傘者在空中做自由落體運(yùn)動(dòng)，即按照加速度由落體運(yùn)動(dòng)，即按照加速度 落到地面。落到地面。而且不會(huì)超過(guò)而且不會(huì)超過(guò)常速常速g 例例2 一名律師的當(dāng)事人被控嫌疑謀殺，人們懷疑一名律師的當(dāng)事人被控嫌疑謀殺，人們懷疑他曾為了逃避追捕從一個(gè)他曾為了逃避追捕從一個(gè)30英尺高的英尺高的窗戶上跳下來(lái)窗戶上跳下來(lái)。辯護(hù)律師力圖申辯的是：人的腿是虛弱的，如果嫌。辯護(hù)律師力圖申辯的是：人的腿是虛弱的，如果嫌疑犯從那扇窗戶跳下來(lái)，他就可能受傷無(wú)法再逃跑疑犯從那扇窗戶跳下來(lái)，他就可能受傷無(wú)法再逃跑。試建立數(shù)學(xué)模型來(lái)幫助該律師為其當(dāng)事人辯護(hù)。

11、試建立數(shù)學(xué)模型來(lái)幫助該律師為其當(dāng)事人辯護(hù)。 注：注：首先要弄清楚問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，也就是要解決什首先要弄清楚問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，也就是要解決什么問(wèn)題？么問(wèn)題？問(wèn)題分析：?jiǎn)栴}分析： 建立數(shù)學(xué)模型是為了估計(jì)他著地時(shí)的速度，從而建立數(shù)學(xué)模型是為了估計(jì)他著地時(shí)的速度，從而判斷他能否當(dāng)即站起來(lái)并逃走。判斷他能否當(dāng)即站起來(lái)并逃走。問(wèn)題表述：?jiǎn)栴}表述： 問(wèn)題可明確為問(wèn)題可明確為“如果一個(gè)人從一個(gè)如果一個(gè)人從一個(gè)30ft的高度下的高度下落，他觸地時(shí)的速度是多少落，他觸地時(shí)的速度是多少?”轉(zhuǎn)化為：研究一個(gè)物體下落的問(wèn)題！轉(zhuǎn)化為：研究一個(gè)物體下落的問(wèn)題！ 這個(gè)問(wèn)題還需要做進(jìn)一步的分析，我們首先要這個(gè)問(wèn)題還需要做進(jìn)一步的分析，我

12、們首先要針對(duì)人體下落的情況對(duì)一些問(wèn)題做出判斷：針對(duì)人體下落的情況對(duì)一些問(wèn)題做出判斷：l人體的下落是自由下落人體的下落是自由下落, ,還是需要考慮空氣阻力還是需要考慮空氣阻力? ?l身體的尺寸對(duì)下落有影響嗎身體的尺寸對(duì)下落有影響嗎? ? l如果空氣阻力是重要的因素，在我們的模型中如如果空氣阻力是重要的因素，在我們的模型中如何評(píng)估它？何評(píng)估它？ 符號(hào)假設(shè)：符號(hào)假設(shè)：下落距離：下落距離：x (m) 速速 度：度： v (m/s) 時(shí)時(shí) 間：間： t (s) 加速度：加速度： a (m/s2) 質(zhì)質(zhì) 量：量： m (kg)引力常數(shù)：引力常數(shù)：g (9.8 m/s2)空氣阻力：空氣阻力： R (N)dx

13、dvmvdtxdmRmg22建立數(shù)學(xué)模型：建立數(shù)學(xué)模型： 假設(shè)該運(yùn)動(dòng)是垂直下落的，則是一個(gè)一維的問(wèn)題假設(shè)該運(yùn)動(dòng)是垂直下落的，則是一個(gè)一維的問(wèn)題應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律(以豎直向下為正向以豎直向下為正向)，得到，得到 (1)這是我們建立的初步模型，下面對(duì)該模型中的這是我們建立的初步模型，下面對(duì)該模型中的空氣阻力空氣阻力R R進(jìn)行分析進(jìn)行分析, ,找到合理的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述。找到合理的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述。 經(jīng)驗(yàn)：在人們的運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)中，無(wú)論是跑步、騎車經(jīng)驗(yàn)：在人們的運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)中，無(wú)論是跑步、騎車、甚至于走路都會(huì)普遍感覺(jué)到空氣阻力的影響，直覺(jué)、甚至于走路都會(huì)普遍感覺(jué)到空氣阻力的影響，直覺(jué)R R不依賴

14、于距離和時(shí)間，但卻依賴于速度，你運(yùn)動(dòng)得不依賴于距離和時(shí)間，但卻依賴于速度，你運(yùn)動(dòng)得越快，受到的阻力越大所以我們通常假定空氣阻力越快，受到的阻力越大所以我們通常假定空氣阻力正比于速度正比于速度v v，即將空氣的阻力表示為，即將空氣的阻力表示為R Rkvkv 也可以將也可以將R R及與及與v v的關(guān)系式假設(shè)成更復(fù)雜的形式，的關(guān)系式假設(shè)成更復(fù)雜的形式，比如比如或更一般地，或更一般地，如果取一般表達(dá)式，方程如果取一般表達(dá)式，方程()為：為： （）（）2kvR nkvR dxdvmvkvmgn現(xiàn)在的問(wèn)題是如何確定現(xiàn)在的問(wèn)題是如何確定n n和依賴于質(zhì)量和依賴于質(zhì)量m m的參數(shù)的參數(shù)k k的值的值? ?這對(duì)

15、于求模型的解至關(guān)重要可以做多種嘗試這對(duì)于求模型的解至關(guān)重要可以做多種嘗試，我們將利用從力學(xué)書(shū)中得到的結(jié)論：，我們將利用從力學(xué)書(shū)中得到的結(jié)論：(1)(1)對(duì)于小而堅(jiān)實(shí)的物體，例如一塊對(duì)于小而堅(jiān)實(shí)的物體，例如一塊小石頭小石頭，空，空氣阻力直接和速度成正比，即有氣阻力直接和速度成正比，即有n=1n=1；(2)(2)對(duì)于一些較為龐大的物體，如對(duì)于一些較為龐大的物體，如人體人體，空氣阻，空氣阻力和速度的平方成正比，即力和速度的平方成正比，即n=2n=2因此，對(duì)于律師所建立的人體下落模型，取因此，對(duì)于律師所建立的人體下落模型，取n=2n=2較合理較合理 接下來(lái)就是要確定模型中的參數(shù)接下來(lái)就是要確定模型中的

16、參數(shù)k. 查找力學(xué)書(shū)本可利用查找力學(xué)書(shū)本可利用“極限速度極限速度”的概念加的概念加以解決，即人體在介質(zhì)中下落的極限速度為以解決，即人體在介質(zhì)中下落的極限速度為120mile/h.而且當(dāng)人體下降處于極限速度狀態(tài)時(shí)，而且當(dāng)人體下降處于極限速度狀態(tài)時(shí)，加速度為零加速度為零(引力與空氣阻力平衡引力與空氣阻力平衡)，意味著微分方程，意味著微分方程20()dvkgKvvKdxm 從而，可以得到從而，可以得到K=0.00341.K=0.00341. 最終得到關(guān)于人體從窗戶墜落問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型最終得到關(guān)于人體從窗戶墜落問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)是一個(gè)一階微分方程一階微分方程20.00341,0,0.dvgvvdxxv

17、模型求解：模型求解：21ln()2gxKgKvx (ft)0 5 10 15 20 25 30 35 v (m/h)0 12.20 17.22 21.03 24.23 27.02 29.52 31.80距離距離-速度關(guān)系圖表速度關(guān)系圖表模型結(jié)果分析：模型結(jié)果分析： 對(duì)于上述得到的結(jié)果：如果你從對(duì)于上述得到的結(jié)果：如果你從30 ft的高處往下的高處往下跳，你撞擊地面的速度大約是跳，你撞擊地面的速度大約是30 mileh，相當(dāng)于一，相當(dāng)于一輛汽車以每小時(shí)輛汽車以每小時(shí)30 mile的速度撞擊你，因此，辯護(hù)律的速度撞擊你，因此，辯護(hù)律師辯稱自己的當(dāng)事人從師辯稱自己的當(dāng)事人從30 ft的高處跳下去的高

18、處跳下去,墜地時(shí)必然墜地時(shí)必然會(huì)受傷，不可能逃避追捕會(huì)受傷，不可能逃避追捕。思考：思考：根據(jù)以上推理，律師的辯護(hù)合情合理，但根據(jù)以上推理，律師的辯護(hù)合情合理，但是當(dāng)事人是否真的無(wú)罪呢？是當(dāng)事人是否真的無(wú)罪呢？ 這里忽略了什么東西？這里忽略了什么東西？ 提示：提示： 落地處的性質(zhì)：是硬地還是柔軟的泥地？落地處的性質(zhì)：是硬地還是柔軟的泥地？ (1) ),(0TTkdtdT 牛頓冷卻定律指出，當(dāng)系統(tǒng)與周圍環(huán)境的溫度差牛頓冷卻定律指出，當(dāng)系統(tǒng)與周圍環(huán)境的溫度差（不超過(guò)（不超過(guò)1015度）不大時(shí)，系統(tǒng)溫度的變化率與系度）不大時(shí)，系統(tǒng)溫度的變化率與系統(tǒng)溫度和環(huán)境溫度之差成正比。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為統(tǒng)溫度和環(huán)境溫

19、度之差成正比。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中式中 為系統(tǒng)的溫度，為系統(tǒng)的溫度， 為環(huán)境的溫度，為環(huán)境的溫度， 為客觀時(shí)間，為客觀時(shí)間，k為散熱系數(shù)，散熱系數(shù)只與系統(tǒng)本身的性質(zhì)有關(guān)。為散熱系數(shù)，散熱系數(shù)只與系統(tǒng)本身的性質(zhì)有關(guān)。 牛頓冷卻定律牛頓冷卻定律 利用牛頓冷卻定律可為偵破工作提供有力可靠的利用牛頓冷卻定律可為偵破工作提供有力可靠的科學(xué)依據(jù)。請(qǐng)看下例：科學(xué)依據(jù)。請(qǐng)看下例：T0Tt 某被害者的尸體于晚上某被害者的尸體于晚上7:30被發(fā)現(xiàn)，法醫(yī)于被發(fā)現(xiàn)，法醫(yī)于晚上晚上8:20趕到暗殺現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體溫度為趕到暗殺現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體溫度為32.6C；一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被

20、抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為31.4C ，室內(nèi)溫度在幾小時(shí)內(nèi)始終保持在，室內(nèi)溫度在幾小時(shí)內(nèi)始終保持在21.1C 。此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己無(wú)罪，此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己無(wú)罪，并有證人說(shuō)：并有證人說(shuō)：“下午張某一直在辦公室上班，下午張某一直在辦公室上班，5:00時(shí)打了一個(gè)電話后離開(kāi)辦公室時(shí)打了一個(gè)電話后離開(kāi)辦公室”。從張某的辦公室。從張某的辦公室到被害者家步行需到被害者家步行需5分鐘，根據(jù)上述信息判斷張某分鐘，根據(jù)上述信息判斷張某是不是殺人犯？是不是殺人犯？例例3. 利用牛頓冷卻定律確定嫌疑犯利用牛頓冷卻定律確定嫌疑犯 人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫調(diào)節(jié)功人體體溫受

21、大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫調(diào)節(jié)功能消失，尸體的溫度受外界環(huán)境溫度的變化而變化。將能消失，尸體的溫度受外界環(huán)境溫度的變化而變化。將尸體看成是一系統(tǒng)，環(huán)境為死者的家，此時(shí)尸體溫度的尸體看成是一系統(tǒng)，環(huán)境為死者的家，此時(shí)尸體溫度的變化服從牛頓冷卻定律。設(shè)變化服從牛頓冷卻定律。設(shè)T (t)表示表示t 時(shí)刻尸體的溫度時(shí)刻尸體的溫度，并記晚上，并記晚上8:20為時(shí)刻為時(shí)刻t=0。則根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)有。則根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)有 (0)32.6,(1)31.4(2)TCTC 假設(shè)受害者死亡時(shí)體溫是正常的，即假設(shè)受害者死亡時(shí)體溫是正常的，即37C ，要，要確定受害者死亡時(shí)間確定受害者死亡時(shí)間t0，即求方程，即求方程T (

22、t0)= 37C的解。的解。時(shí)刻時(shí)刻t0張某如果不可能到達(dá)死者家，則他被排除在嫌張某如果不可能到達(dá)死者家，則他被排除在嫌疑犯之外。疑犯之外。由由(1)式得其通解式得其通解式中式中T0=21.1C為被害者家的溫度，即環(huán)境溫度。根為被害者家的溫度，即環(huán)境溫度。根據(jù)據(jù)(2)式確定常數(shù)式確定常數(shù)C*和散熱系數(shù)和散熱系數(shù)k，于是有，于是有01(0)21.132.6(1)21.131.4kkTC eTC e解方程組得解方程組得11.5,ln115 ln1030.11Ck0( )(3)ktT tTC e因此因此(3)式化為式化為 當(dāng)當(dāng)T (t)=37C時(shí)，解得時(shí)，解得02.952 57mthh 所以，被害者

23、的死亡時(shí)間約為所以，被害者的死亡時(shí)間約為8小時(shí)小時(shí)20分分-2小時(shí)小時(shí)57分分=5小時(shí)小時(shí)23分。分。 即被害者的死亡時(shí)間約在下午即被害者的死亡時(shí)間約在下午5:23。因此張某不能。因此張某不能被排除在嫌疑犯之外。被排除在嫌疑犯之外。0.11( )21.1 11.5(4)tT te思考題：思考題：如果張某的律師出據(jù)了一份非常重要如果張某的律師出據(jù)了一份非常重要的證據(jù)：被害者于當(dāng)天下午去醫(yī)院看過(guò)病，病的證據(jù)：被害者于當(dāng)天下午去醫(yī)院看過(guò)病，病歷記錄了被害者發(fā)燒到歷記錄了被害者發(fā)燒到38.3C。假設(shè)在死者體。假設(shè)在死者體內(nèi)未發(fā)現(xiàn)服用過(guò)阿斯匹林或類似藥物，問(wèn)張某內(nèi)未發(fā)現(xiàn)服用過(guò)阿斯匹林或類似藥物，問(wèn)張某是

24、否能被排除在嫌疑犯之外？是否能被排除在嫌疑犯之外？例例4 流體混合模型流體混合模型 中學(xué)數(shù)學(xué)中有這樣一類問(wèn)題，某容器中裝有濃度中學(xué)數(shù)學(xué)中有這樣一類問(wèn)題，某容器中裝有濃度為為c1的含物質(zhì)的含物質(zhì)A的液體的液體V升升，從其中取出從其中取出V1升后加入升后加入濃度為濃度為c2的物質(zhì)的液體的物質(zhì)的液體V2升，求混合后液體的濃度。升，求混合后液體的濃度。 我們?cè)谏a(chǎn)和實(shí)驗(yàn)中還經(jīng)常會(huì)遇到如下問(wèn)題我們?cè)谏a(chǎn)和實(shí)驗(yàn)中還經(jīng)常會(huì)遇到如下問(wèn)題：容容器中裝有含物質(zhì)器中裝有含物質(zhì)A的流體，設(shè)的流體，設(shè)t=0時(shí)，流體的體積為時(shí)，流體的體積為V0，物質(zhì)，物質(zhì)A的質(zhì)量為的質(zhì)量為x0（濃度當(dāng)然也就知道了）。今以（濃度當(dāng)然也就知

25、道了）。今以速度速度v2（單位時(shí)間的流量）放出流體，而同時(shí)又以速（單位時(shí)間的流量）放出流體，而同時(shí)又以速度度v1注入濃度為注入濃度為c1的流體。求在的流體。求在t時(shí)刻容器時(shí)刻容器內(nèi)內(nèi)物質(zhì)物質(zhì)A的的質(zhì)量及流體的濃度。質(zhì)量及流體的濃度。（如圖（如圖1所示）所示） 這類問(wèn)題稱為這類問(wèn)題稱為流體混合問(wèn)題流體混合問(wèn)題，它已不能用初等數(shù)，它已不能用初等數(shù)學(xué)方法來(lái)解決，必須用微分方程來(lái)解決。下面我們用學(xué)方法來(lái)解決，必須用微分方程來(lái)解決。下面我們用微元法微元法列出方程。設(shè)在時(shí)刻列出方程。設(shè)在時(shí)刻t 容器內(nèi)物質(zhì)容器內(nèi)物質(zhì)A的質(zhì)量為的質(zhì)量為x(t)，濃度為，濃度為c2。經(jīng)過(guò)時(shí)間。經(jīng)過(guò)時(shí)間dt后，容器內(nèi)物質(zhì)后，容器

26、內(nèi)物質(zhì)A的質(zhì)量的質(zhì)量增加了增加了dx，于是有關(guān)系式，于是有關(guān)系式2012,()xcVvv t1 12 2,(1)dxcvdtc v dt因?yàn)橐驗(yàn)閷⑵浯氲綄⑵浯氲?1)式，并整理得式，并整理得這是一個(gè)這是一個(gè)一階線性微分方程一階線性微分方程。求物質(zhì)。求物質(zhì)A在在t時(shí)刻的質(zhì)量時(shí)刻的質(zhì)量112102)(vcxtvvVvdtdx(2)問(wèn)題就歸結(jié)為求問(wèn)題就歸結(jié)為求微分方程微分方程(2)滿足初始條件滿足初始條件21 1012( ), ( ).()vp tq tc vVvv t212vkvv其中其中設(shè)設(shè) ，則，則 所以所以的解的問(wèn)題。由一階線性微分方程的通解公式的解的問(wèn)題。由一階線性微分方程的通解公式

27、，得得0)0(xxCdtetqetxdttpdttp)()()()(3)tvvVkdttvvVvdttp)(ln)()(2102102(4)()()(21011210CdttvvVvctvvVtxkk(5)當(dāng)當(dāng)k-1-1時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)k=-1時(shí)，時(shí)，)(2)()(11)()(210211121012102111210tvvVvvvctvvVCCtvvVkvvvctvvVtxkkktvvVtvvVvvvctvvVCCtvvVvvvctvvVtx)(ln)()()(ln)()(21021021112102102111210將初始條件將初始條件 x(0)=x0代入上式，得代入上式，得1,)(ln)(1

28、,)(2)()()(21021112102102111210210ktvvVvvvctvvVCktvvVvvvctvvVCtxtvvVk1,ln1,20211110010211100kVvvvcVxkVvvvcVxCkk綜上討論綜上討論,有有會(huì)全部流干會(huì)全部流干(即容器內(nèi)溶液體積為零即容器內(nèi)溶液體積為零)？思考題：思考題：21vv 當(dāng)流速當(dāng)流速時(shí)，容器內(nèi)的液體需要多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，容器內(nèi)的液體需要多長(zhǎng)時(shí)間cm100例例5 有高有高 1m 1m 的半球形容器的半球形容器, , 水從它的底部小孔流出水從它的底部小孔流出, ,小孔橫小孔橫.cm12S開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水, ,出過(guò)程中出

29、過(guò)程中, , 容器里水面的高度容器里水面的高度 h h ( (水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離) )隨時(shí)間隨時(shí)間 t t 的變化規(guī)律，并求出水流完所需要的時(shí)間。的變化規(guī)律，并求出水流完所需要的時(shí)間。r解解: : 由水力學(xué)知由水力學(xué)知, , 水從孔口流出的流量水從孔口流出的流量( (即通過(guò)孔口橫截面的即通過(guò)孔口橫截面的水的體積隨時(shí)間水的體積隨時(shí)間t t的變化率的變化率) )為為thgVd262. 0d求水從小孔流求水從小孔流截面積為截面積為流量系數(shù)流量系數(shù)孔口橫截面面積孔口橫截面面積重力加速度重力加速度設(shè)在設(shè)在d,ttt內(nèi)，水面高度由內(nèi)，水面高度由 h 降到降到 ),0d(dhhhh

30、hdhho由實(shí)驗(yàn)可測(cè)得由實(shí)驗(yàn)可測(cè)得 k=0.62，故有，故有2dVQkSghdt則對(duì)應(yīng)下降的體積為則對(duì)應(yīng)下降的體積為hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此，有因此，有hhhthgd)200(d262. 021000th其中其中r是時(shí)刻是時(shí)刻t時(shí)水面的半徑時(shí)水面的半徑,右端加一負(fù)號(hào)是由于右端加一負(fù)號(hào)是由于dh0。又因又因故故這就是要求的水面高度這就是要求的水面高度h=h(t)應(yīng)滿足的微分方程。應(yīng)滿足的微分方程。另外，由題意可知，另外，由題意可知，h=h(t)還應(yīng)滿足下列初始條件：還應(yīng)滿足下列初始條件：(1)gt262. 0兩端積分兩端積分, 得得g262.

31、0hhhd)200(2321233400(h)5225hC將初始條件代入將初始條件代入, 可得可得5101514262. 0gC將常數(shù)將常數(shù)C的值代入到的值代入到(2)式并化簡(jiǎn)，可得式并化簡(jiǎn)，可得)310107(265. 4252335hhgt將方程將方程(1)分離變量，得分離變量，得hhhgtd)200(262. 0d2321(2) 這就是水從小孔流出的過(guò)程中，容器內(nèi)水面的高度這就是水從小孔流出的過(guò)程中，容器內(nèi)水面的高度h隨時(shí)隨時(shí)間間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.由上式可知，容器內(nèi)的水流完需要的時(shí)間為：由上式可知，容器內(nèi)的水流完需要的時(shí)間為：min58210068. 1107265. 445hss

32、gt 在交通十字路口，都會(huì)設(shè)置紅綠燈，為了讓那在交通十字路口，都會(huì)設(shè)置紅綠燈，為了讓那些正行駛在交叉路口或離交叉路口太近而無(wú)法停下些正行駛在交叉路口或離交叉路口太近而無(wú)法停下的車輛通過(guò)路口，紅綠燈轉(zhuǎn)換中間還要亮起一段時(shí)的車輛通過(guò)路口，紅綠燈轉(zhuǎn)換中間還要亮起一段時(shí)間的黃燈。那么，黃燈應(yīng)亮多長(zhǎng)時(shí)間才最為合理呢？間的黃燈。那么，黃燈應(yīng)亮多長(zhǎng)時(shí)間才最為合理呢？(要避免讓駕駛員處于這樣的進(jìn)退兩難的境地：要要避免讓駕駛員處于這樣的進(jìn)退兩難的境地：要安全停車則離路口太近，要想在紅燈亮之前通過(guò)路安全停車則離路口太近，要想在紅燈亮之前通過(guò)路口又覺(jué)得太遠(yuǎn)。口又覺(jué)得太遠(yuǎn)。) 例例6 交通信號(hào)黃燈的設(shè)置問(wèn)題交通信號(hào)黃

33、燈的設(shè)置問(wèn)題 分析：對(duì)于駛近交叉路口的駕駛員，在他看到分析：對(duì)于駛近交叉路口的駕駛員，在他看到黃色信號(hào)燈后要做出決定：是停車還是通過(guò)路黃色信號(hào)燈后要做出決定：是停車還是通過(guò)路口當(dāng)決定停車時(shí)，他必須有足夠的停車距離；當(dāng)口當(dāng)決定停車時(shí)，他必須有足夠的停車距離；當(dāng)決定通過(guò)路口時(shí)，必須有足夠的時(shí)間使他安全通過(guò)決定通過(guò)路口時(shí)，必須有足夠的時(shí)間使他安全通過(guò)路口。這就考慮三個(gè)時(shí)間：路口。這就考慮三個(gè)時(shí)間：做出決定的反應(yīng)時(shí)間、做出決定的反應(yīng)時(shí)間、決定停車后需要的停車時(shí)間或決定通過(guò)時(shí)安全通行決定停車后需要的停車時(shí)間或決定通過(guò)時(shí)安全通行時(shí)間時(shí)間 為了安全通過(guò)，黃燈持續(xù)的時(shí)間為了安全通過(guò)，黃燈持續(xù)的時(shí)間T應(yīng)為駕駛員

34、的應(yīng)為駕駛員的反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間T0、車通過(guò)交叉路口的時(shí)間車通過(guò)交叉路口的時(shí)間T1和勻速通過(guò)和勻速通過(guò)安全剎車距離所需的時(shí)間安全剎車距離所需的時(shí)間T2之和。即之和。即 120TTTT 設(shè)道路限速為設(shè)道路限速為v0，交叉路口的寬度為，交叉路口的寬度為L(zhǎng)，典型，典型的車身長(zhǎng)度為的車身長(zhǎng)度為l。考慮到車通過(guò)路口實(shí)際上指的是。考慮到車通過(guò)路口實(shí)際上指的是車的尾部必須通過(guò)路口，故通過(guò)路口的時(shí)間為：車的尾部必須通過(guò)路口，故通過(guò)路口的時(shí)間為：10LlTv 假設(shè)在整個(gè)過(guò)程中所受制動(dòng)摩擦力不變，可設(shè)假設(shè)在整個(gè)過(guò)程中所受制動(dòng)摩擦力不變，可設(shè)為為f=-km，m是車輛的質(zhì)量。利用是車輛的質(zhì)量。利用Newton運(yùn)動(dòng)定運(yùn)動(dòng)

35、定律，制動(dòng)距離滿足律，制動(dòng)距離滿足：22d smkmdt 20max0max20.,22vsvsTkvk解得剎車距離為則有0002vL lTTvk若設(shè)若設(shè)T0=1s，L=10m，l=4.5m，k=0.8g,可得可得T和和v0的關(guān)系如圖所示：的關(guān)系如圖所示：，10203040506070802.533.544.555.566.5我國(guó)一些地區(qū)我國(guó)一些地區(qū)出臺(tái)政策規(guī)定出臺(tái)政策規(guī)定黃燈時(shí)間為黃燈時(shí)間為4s是安全的，因是安全的，因?yàn)橥瑫r(shí)規(guī)定了為同時(shí)規(guī)定了通過(guò)交通路口通過(guò)交通路口時(shí)速不超過(guò)時(shí)速不超過(guò)40m/s。 據(jù)考古學(xué)家論證，地球上出現(xiàn)生命距今已有據(jù)考古學(xué)家論證，地球上出現(xiàn)生命距今已有20 億年，而人類

36、的出現(xiàn)距今卻不足億年，而人類的出現(xiàn)距今卻不足200萬(wàn)年。縱觀人萬(wàn)年。縱觀人類人口總數(shù)的增長(zhǎng)情況，我們發(fā)現(xiàn)：類人口總數(shù)的增長(zhǎng)情況，我們發(fā)現(xiàn)：1000 年前人口年前人口總數(shù)為總數(shù)為2.75 億。經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的過(guò)程到億。經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的過(guò)程到1830 年，人口年，人口總數(shù)達(dá)總數(shù)達(dá)10 億，又經(jīng)過(guò)億，又經(jīng)過(guò)100 年，在年，在1930 年，人口總年，人口總數(shù)達(dá)數(shù)達(dá)20億；億；30 年之后，在年之后，在1960 年，人口總數(shù)為年，人口總數(shù)為30 億；又經(jīng)過(guò)億；又經(jīng)過(guò)15 年，年，1975 年的人口總數(shù)是年的人口總數(shù)是40 億，億，12 年之后即年之后即1987 年，人口已達(dá)年，人口已達(dá)50 億。億。 我們自然會(huì)產(chǎn)

37、生這樣一個(gè)問(wèn)題：人類人口增長(zhǎng)我們自然會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)問(wèn)題：人類人口增長(zhǎng)的規(guī)律是什么？如何在數(shù)學(xué)上描述這一規(guī)律。的規(guī)律是什么？如何在數(shù)學(xué)上描述這一規(guī)律。例例7 人口增長(zhǎng)模型人口增長(zhǎng)模型:(1)Malthus 模型: 1798 年，英國(guó)神父年，英國(guó)神父Malthus 在分析了一百多年在分析了一百多年人口統(tǒng)計(jì)資料之后，提出了人口統(tǒng)計(jì)資料之后，提出了Malthus模型。模型。模型假設(shè)：模型假設(shè)：（i）設(shè)）設(shè) x(t) 表示表示 t 時(shí)刻的人口數(shù)，且時(shí)刻的人口數(shù)，且 x(t) 連續(xù)可微。連續(xù)可微。（ii）人口的增長(zhǎng)率）人口的增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)（增長(zhǎng)率是常數(shù)（增長(zhǎng)率=出生率出生率-死亡死亡率）。率）。（ii

38、i）人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口數(shù)量的增加）人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口數(shù)量的增加與減少只取決于人口中個(gè)體的生育和死亡，且每一個(gè)與減少只取決于人口中個(gè)體的生育和死亡，且每一個(gè)體都具有同樣的生育能力與死亡率。體都具有同樣的生育能力與死亡率。 由假設(shè)，由假設(shè)，t 時(shí)刻到時(shí)刻到t +t 時(shí)刻人口的增量為時(shí)刻人口的增量為x(t +t) x(t) = rx(t)t于是得于是得 模型的建立與求解：模型的建立與求解：0)0(xxrxdtdx其解為其解為 (1)rtextx0)(2) 考慮二百多年來(lái)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況，考慮二百多年來(lái)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況，1961 年年世界人口總數(shù)為世界人口總數(shù)為3.0610

39、9，在，在19611970 年這段年這段時(shí)間內(nèi)，每年平均的人口自然增長(zhǎng)率為時(shí)間內(nèi)，每年平均的人口自然增長(zhǎng)率為2%，則，則(2)式式可寫(xiě)為可寫(xiě)為 模型評(píng)價(jià)模型評(píng)價(jià):)1961(02. 091006. 3)(tetx(3) 根據(jù)根據(jù)17001961 年間世界人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我們年間世界人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)與發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)與(3)式的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)符合。因?yàn)樵谶@式的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)符合。因?yàn)樵谶@期間地球上人口大約每期間地球上人口大約每 35 年增加年增加 1 倍，而倍，而(3)式算出式算出每每 34.6年增加年增加1 倍。倍。 但是，當(dāng)人們用但是，當(dāng)人們用(2)式對(duì)式對(duì)1790 年以來(lái)的美國(guó)人口年以

40、來(lái)的美國(guó)人口進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有很大差異。進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有很大差異。 利用利用(3)式對(duì)世界人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，也會(huì)得出驚異式對(duì)世界人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，也會(huì)得出驚異的結(jié)論：當(dāng)?shù)慕Y(jié)論：當(dāng)t = 2670 年時(shí)，年時(shí)，x(t) = 4.41015，即，即4400 萬(wàn)億，這相當(dāng)于地球上每平方米要容納至少萬(wàn)億，這相當(dāng)于地球上每平方米要容納至少 20 人。人。 顯然，用這一模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于實(shí)顯然，用這一模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于實(shí)際人口的增長(zhǎng)，誤差的原因是際人口的增長(zhǎng)，誤差的原因是對(duì)增長(zhǎng)率對(duì)增長(zhǎng)率 r 的估計(jì)過(guò)的估計(jì)過(guò)高。高。由此，可以對(duì)由此，可以對(duì) r 是常數(shù)的假設(shè)提出疑問(wèn)。是常數(shù)的假設(shè)提出疑問(wèn)。 如何對(duì)增

41、長(zhǎng)率如何對(duì)增長(zhǎng)率 r 進(jìn)行修正呢？我們知道，地球上進(jìn)行修正呢？我們知道，地球上的資源是有限的，它只能提供一定數(shù)量的生命生存所的資源是有限的，它只能提供一定數(shù)量的生命生存所需的條件。隨著人口數(shù)量的增加，自然資源、環(huán)境條需的條件。隨著人口數(shù)量的增加，自然資源、環(huán)境條件等對(duì)人口再增長(zhǎng)的限制作用將越來(lái)越顯著。如果在件等對(duì)人口再增長(zhǎng)的限制作用將越來(lái)越顯著。如果在人口較少時(shí)，我們可以把增長(zhǎng)率人口較少時(shí)，我們可以把增長(zhǎng)率r 看成常數(shù)，那么當(dāng)看成常數(shù)，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量之后，就應(yīng)當(dāng)視人口增加到一定數(shù)量之后，就應(yīng)當(dāng)視r(shí) 為一個(gè)隨著人為一個(gè)隨著人口的增加而減小的量，口的增加而減小的量，即將增長(zhǎng)率即將增長(zhǎng)率r

42、表示為人口表示為人口x(t)的的函數(shù)函數(shù)r(x)，且，且r(x)為為x的減函數(shù)。的減函數(shù)。(2)阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic 模型模型)(i) 設(shè)設(shè)r(x)為為x的線性函數(shù)，的線性函數(shù)，r(x) = r sx; (工程師原則，首先用線性工程師原則，首先用線性)(ii)自然資源與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)為自然資源與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)為 xm ，即當(dāng)，即當(dāng)x = xm 時(shí)，增長(zhǎng)率時(shí)，增長(zhǎng)率r(xm ) = 0 .模型假設(shè)模型假設(shè):模型建立與求解模型建立與求解:由假設(shè)由假設(shè)(i)和和(ii)，可得，可得)1 ()(mxxrxr則有則有00)(,)1 (xtxxxxrdtd

43、xm(4)(4)式是一個(gè)可分離變量的方程，其解為式是一個(gè)可分離變量的方程，其解為)(00) 1(1)(ttrmmexxxtx(5)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn):由由(4)式，計(jì)算可得式，計(jì)算可得xxxxxrdtxdmm)21)(1 (222(6)人口總數(shù)人口總數(shù)x(t)有如下規(guī)律：有如下規(guī)律：(i),)(limmtxtx即無(wú)論人口初值即無(wú)論人口初值 x0如何，人口總數(shù)如何，人口總數(shù)都以都以x m為極限。為極限。(ii) 當(dāng)當(dāng)0 x 0)，它的作用是使純，它的作用是使純?cè)鲩L(zhǎng)率減少。如果一個(gè)國(guó)家工業(yè)化程度較高，食品供應(yīng)增長(zhǎng)率減少。如果一個(gè)國(guó)家工業(yè)化程度較高，食品供應(yīng)較充足，能夠提供更多的人生存，此時(shí)較充足，能

44、夠提供更多的人生存，此時(shí)b 較小；反之較小；反之b 較大，故建立方程較大，故建立方程00)() 0,(),(xtxbabxaxdtdx(7)其解為)(0000)()(ttaebxabxaxtx(8)由(8)式，得xbxabxadtxd)(2(22(9)對(duì)對(duì)(7)(9)式進(jìn)行分析，有式進(jìn)行分析，有(1) 對(duì)任意的對(duì)任意的0,( )0,lim( ).tattx tx tb有且(2)0( )0, ( )aaxx tx txbb當(dāng)時(shí)，遞增;當(dāng)時(shí)，( )0( )0, ( )ax txx tx tb；當(dāng)時(shí)，遞減。(3)為凹；時(shí)當(dāng))(, 0)(,20txtxbax 為凸。時(shí)，當(dāng))(, 0)(2txtxbax

45、ba 令令(7)式第一個(gè)方程的右邊為式第一個(gè)方程的右邊為0，得，得, 021baxx稱它們是微分方程稱它們是微分方程(7)的的平衡解平衡解。易知。易知,)(limbatxt.ba故又稱故又稱口開(kāi)始的數(shù)量口開(kāi)始的數(shù)量x0為多少，經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間后為多少，經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間后,是是(7)式的式的穩(wěn)定平衡解穩(wěn)定平衡解。可預(yù)測(cè)：不論人。可預(yù)測(cè)：不論人人口總數(shù)將穩(wěn)定在人口總數(shù)將穩(wěn)定在ba 參數(shù)參數(shù) a 和和b 可以通過(guò)已知數(shù)據(jù)利用可以通過(guò)已知數(shù)據(jù)利用Matlab 中的中的非線性回歸命令非線性回歸命令nlinfit 求得。求得。例例8.放射性廢料的處理放射性廢料的處理 美國(guó)原子能委員會(huì)以往處理濃縮的放射性核

46、廢美國(guó)原子能委員會(huì)以往處理濃縮的放射性核廢料的方法，一直是把它們裝入密封的圓桶里，然后料的方法，一直是把它們裝入密封的圓桶里，然后扔到水深為扔到水深為90 多米的海底。生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家們表多米的海底。生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家們表示擔(dān)心，怕圓桶下沉到海底時(shí)與海底碰撞而發(fā)生破示擔(dān)心，怕圓桶下沉到海底時(shí)與海底碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染。原子能委員會(huì)分辯說(shuō)這是不裂，從而造成核污染。原子能委員會(huì)分辯說(shuō)這是不可能的。為此工程師們進(jìn)行了碰撞實(shí)驗(yàn)。發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓可能的。為此工程師們進(jìn)行了碰撞實(shí)驗(yàn)。發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓桶下沉速度超過(guò)桶下沉速度超過(guò)12.2 m/s 與海底相撞時(shí)，圓桶就可與海底相撞時(shí)，圓桶就可能發(fā)生碰裂。這樣為避免圓桶

47、碰裂，需要計(jì)算一下能發(fā)生碰裂。這樣為避免圓桶碰裂，需要計(jì)算一下圓桶沉到海底時(shí)速度是多少圓桶沉到海底時(shí)速度是多少? 已知圓桶質(zhì)量為已知圓桶質(zhì)量為239.46 kg，體積，體積0.2058m3，海水密度為海水密度為1035.71kg/m3，如果圓桶速度小于，如果圓桶速度小于12.2 m/s 就說(shuō)明這種方法是安全可靠的，否則就要禁止就說(shuō)明這種方法是安全可靠的，否則就要禁止使用這種方法來(lái)處理放射性廢料。假設(shè)水的阻力與使用這種方法來(lái)處理放射性廢料。假設(shè)水的阻力與速度大小成正比例，其正比例常數(shù)速度大小成正比例，其正比例常數(shù)k = 0.6。現(xiàn)要求。現(xiàn)要求建立合理的數(shù)學(xué)模型，解決如下實(shí)際問(wèn)題：建立合理的數(shù)學(xué)模

48、型，解決如下實(shí)際問(wèn)題：（1）判斷這種處理廢料的方法是否合理）判斷這種處理廢料的方法是否合理?（2）一般情況下，）一般情況下，v 大，大，k 也大；也大；v 小，小，k 也小。也小。當(dāng)當(dāng)v 很大時(shí)，常用很大時(shí)，常用kv 來(lái)代替來(lái)代替k ，那么這時(shí)速度與時(shí)，那么這時(shí)速度與時(shí)間關(guān)系如何間關(guān)系如何? 并求出當(dāng)速度不超過(guò)并求出當(dāng)速度不超過(guò)12.2 m/s，圓桶，圓桶的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和位移應(yīng)不超過(guò)多少的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和位移應(yīng)不超過(guò)多少? ( k 的值仍設(shè)為的值仍設(shè)為0.6)模型的建立與求解模型的建立與求解(1)問(wèn)題一的模型問(wèn)題一的模型 首先要找出圓桶的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由于圓桶在運(yùn)首先要找出圓桶的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由于圓桶在運(yùn)動(dòng)過(guò)程

49、中受到本身的重力動(dòng)過(guò)程中受到本身的重力G以及水的浮力以及水的浮力H 和水和水的阻力的阻力f 的作用，所以根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到圓筒的作用，所以根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到圓筒受到的合力受到的合力F 滿足滿足F = G H f （1）,22mgGdtsdmdtdvmmaF又因?yàn)?dtdskkvfghH可得到圓桶的可得到圓桶的位移位移和和速度速度分別分別滿足下面的微分方程：滿足下面的微分方程：dtdskghmgdtsdm22（2）kvghmgdtdvm（3）根據(jù)方程根據(jù)方程(2)，加上初始條件，加上初始條件, 000ttsdtds以及題設(shè)的初始數(shù)據(jù)，求得位移函數(shù)為以及題設(shè)的初始數(shù)據(jù)，求得位移函數(shù)為 s(t)

50、 = 171510.9924 + 429.7444t +171510.9924e 0.0025056 t (4)由方程由方程(3)，加上初始條件，加上初始條件求得速度函數(shù)為求得速度函數(shù)為, 00tvv(t) = 429.7444 429.7444e0.0025056t (5) 由由s(t) = 90m，求得圓筒到達(dá)水深，求得圓筒到達(dá)水深90m的海底需的海底需要時(shí)間要時(shí)間t =12.9994 s，再把它帶入方程，再把它帶入方程(5），求出圓），求出圓桶到達(dá)海底的速度為桶到達(dá)海底的速度為v =13.7720m/s。 顯然此圓桶的速度已超過(guò)顯然此圓桶的速度已超過(guò)12.2m/ s，可以得出這，可以得出

51、這種處理廢料的方法不合理。因此，美國(guó)原子能委員會(huì)種處理廢料的方法不合理。因此，美國(guó)原子能委員會(huì)已經(jīng)禁止用這種方法來(lái)處理放射性廢料。已經(jīng)禁止用這種方法來(lái)處理放射性廢料。(2)問(wèn)題二的模型問(wèn)題二的模型 由題設(shè)條件，圓桶受到的阻力應(yīng)改為由題設(shè)條件，圓桶受到的阻力應(yīng)改為22)(dtdskkvf類似問(wèn)題一的模型，可得到圓桶的速度應(yīng)滿足如類似問(wèn)題一的模型，可得到圓桶的速度應(yīng)滿足如下的微分方程下的微分方程:2kvghmgdtdvm(6)根據(jù)方程根據(jù)方程(6)，加上初始條件，加上初始條件, 00tv求出圓桶的速度為求出圓桶的速度為v(t) = 20.7303th(0.0519t)這時(shí)若速度要小于這時(shí)若速度要小

52、于12.2m/ s ，那么經(jīng)計(jì)算可得圓，那么經(jīng)計(jì)算可得圓桶的運(yùn)動(dòng)時(shí)間就不能超過(guò)桶的運(yùn)動(dòng)時(shí)間就不能超過(guò)T =13.0025s，利用位移，利用位移,)()(0TdttvTs計(jì)算得位移不能超過(guò)計(jì)算得位移不能超過(guò)84.8438m。 從這個(gè)模型，我們也可以得到原來(lái)處理核廢料從這個(gè)模型，我們也可以得到原來(lái)處理核廢料的方法是不合理的。的方法是不合理的。(3) 結(jié)果分析結(jié)果分析 由于在實(shí)際中由于在實(shí)際中 k 與與v 的關(guān)系很難確定，的關(guān)系很難確定， 所以上所以上面的模型有它的局限性，而且對(duì)不同的介質(zhì)，比如面的模型有它的局限性，而且對(duì)不同的介質(zhì)，比如在水中與在空氣中在水中與在空氣中k 與與v 的關(guān)系也不同。如果假設(shè)的關(guān)系也不同。如果假設(shè)k 為常數(shù)的話，那么水中的這個(gè)