1、第第3節(jié)等比數(shù)列及其前節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和項(xiàng)和最新考綱1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；2.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.知 識 梳 理1.等比數(shù)列的概念(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于_非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列.同一個(gè)q等比數(shù)列2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an_；通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm.a1qn13.等比數(shù)列的性質(zhì)已知an是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)若klmn(k

2、，l，m，nN+)，則有akal_.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，akm，ak2m，仍是等比數(shù)列，公比為_.(3)當(dāng)q1，或q1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比數(shù)列，其公比為_.amanqmqn微點(diǎn)提醒2.由an1qan，q0，并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10.3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.基 礎(chǔ) 自 測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)等比數(shù)列公比q是一個(gè)常數(shù)，它可以是任意實(shí)數(shù).()(2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2ac.()(4

3、)數(shù)列an為等比數(shù)列，則S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列.()解析(1)在等比數(shù)列中，q0.(2)若a0，b0，c0滿足b2ac，但a，b，c不成等比數(shù)列.(3)當(dāng)a1時(shí)，Snna.(4)若a11，q1，則S40，S8S40，S12S80，不成等比數(shù)列.答案(1)(2)(3)(4)答案D3.(必修5P23例2改編)在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為_.解析設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439q3，q327，q3.插入的兩個(gè)數(shù)分別為9327，27381.答案27，814.(2019馬鞍山質(zhì)檢)已知等比數(shù)列an滿足a11，a3a54(a41)，則a7的值為(

4、)答案B答案D6.(2015全國卷)在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項(xiàng)和.若Sn126，則n_.答案6考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算【例1】 (1)(2017全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21，a1a33，則a4_.解析(1)由an為等比數(shù)列，設(shè)公比為q.顯然q1，a10，所以a4a1q31(2)38.(2)設(shè)數(shù)列an首項(xiàng)為a1，公比為q(q1)，答案(1)8(2)32【訓(xùn)練1】 (1)等比數(shù)列an中各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn是其前n項(xiàng)和，且滿足2S38a13a2，a416，則S4()A.9 B.15 C.18 D.30答案(1)D(2)1考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明【例2】 (201

5、6全國卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，規(guī)律方法1.證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對n1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.【訓(xùn)練2】 (2019廣東省級名校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足Sn2ann4.(1)證明：Snn2為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和Tn.(1)證明因?yàn)閍nSnSn1(n2)，所以Sn2(SnS

6、n1)n4(n2)，則Sn2Sn1n4(n2)，所以Snn22Sn1(n1)2(n2)，又由題意知a12a13，所以a13，則S1124，所以Snn2是首項(xiàng)為4，公比為2等比數(shù)列.(2)解由(1)知Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】 (1)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6a4a718，則log3a1log3a2log3a10()A.12 B.10 C.8 D.2log35(2)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1a2a34，a4a5a68，則S12()A.40 B.60 C.32 D.50解析(1)由

7、等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，則原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)510.(2)數(shù)列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4，8，S9S6，S12S9是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則S9S6a7a8a916，S12S9a10a11a1232，因此S1248163260.答案(1)B(2)B規(guī)律方法1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.2.在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解題時(shí)

8、注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.【訓(xùn)練3】 (1)(2019西安質(zhì)檢)在等比數(shù)列an中，若a3，a7是方程x24x20的兩根，則a5的值是()解析(1)根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a30，a70，即a50，(2)法一由等比數(shù)列的性質(zhì)S3，S6S3，S9S6仍成等比數(shù)列，由已知得S63S3，思維升華1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比數(shù)列中的基本量.(2)分類討論思想：如求和時(shí)要分q1和q1兩種情況討論，判斷單調(diào)性時(shí)對a1與q分類

9、討論.易錯(cuò)防范1.特別注意q1時(shí)，Snna1這一特殊情況.2.Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q1且n為偶數(shù)時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q1或q1時(shí)且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)總成立.數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等差(比)數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1.數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明析運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).本系列數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為：理解數(shù)列問題，掌握數(shù)列運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果.通過對數(shù)列性質(zhì)的學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展.2.數(shù)學(xué)抽象是指能夠在熟悉的情境中直接

10、抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納形成簡單的數(shù)學(xué)命題，能夠在解決相似的問題中感悟數(shù)學(xué)的通性通法，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想.類型1等差數(shù)列兩個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用在等差數(shù)列an中，Sn為an的前n項(xiàng)和：(1)S2n1(2n1)an；(2)設(shè)an的項(xiàng)數(shù)為2n，公差為d，則S偶S奇nd.顯然可得am0，所以am2.代入上式可得2m119，解得m10.(2)設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.答案(1)10(2)5類型2等比數(shù)列兩個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用在等比數(shù)列an中，(1)若mnpq(m，n，p，qN+)，則anamapaq；(2)當(dāng)公比q1時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比數(shù)列(nN+).【例2】 (1)等比數(shù)列an中，a42，a55，則數(shù)列l(wèi)g an的前8項(xiàng)和等于()A.6 B.5 C.4 D.3(2)設(shè)等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S38，S67，則a7a8a9等于()解析(1)數(shù)列l(wèi)g an的前8項(xiàng)和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)