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文檔簡介
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 1、二次函數(shù)的定義 2、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì) 3、求解析式的三種方法 4、a,b,c及相關(guān)符號的確定 5、拋物線的平移 6、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 7、二次函數(shù)的應(yīng)用題 8、二次函數(shù)的綜合運用1、二次函數(shù)的定義定義: y=ax² bx c ( a 、 b 、 c 是常數(shù), a 0 ) 定義要點:a 0 最高次數(shù)為2 代數(shù)式一定是整式練習(xí):1、y=-x²,y=2x²-2/x,y=100-5 x²,y=3 x²-2x³+5,其中是二次函數(shù)的有_個。2.當(dāng)m_時,函數(shù)y=(m+1) - 2+1 是二次函數(shù)?
2、2、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)拋物線頂點坐標(biāo)對稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+bx+c (a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符號確定由a,b和c的符號確定a>0,開口向上a<0,開口向下在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小. 在對稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而增大. 在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大. 在對稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而減小. xy0xy0例2:已知二次函數(shù)(1)求拋物線開口方向,對稱軸和頂點M的坐標(biāo)。(2)設(shè)拋物線與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點,求C,A,B的坐標(biāo)。(3)x為何值時,y隨的增大而減少,x為何值時,y有最大(小
3、)值,這個最大(小)值是多少?(4)x為何值時,y<0?x為何值時,y>0?3、求拋物線解析式的三種方法1、一般式:已知拋物線上的三點,通常設(shè)解析式為_y=ax2+bx+c(a0) 2,頂點式:已知拋物線頂點坐標(biāo)(h, k),通常設(shè)拋物線解析式為_求出表達式后化為一般形式.y=a(x-h)2+k(a0) 3,交點式:已知拋物線與x 軸的兩個交點(x1,0)、 (x2,0),通常設(shè)解析式為_求出表達式后化為一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a0)練習(xí):根據(jù)下列條件,求二次函數(shù)的解析式。(1)、圖象經(jīng)過(0,0), (1,-2) , (2,3) 三點;(2)、圖象的頂點(2,
4、3), 且經(jīng)過點(3,1) ;(3)、圖象經(jīng)過(0,0), (12,0) ,且最高點的縱坐標(biāo)是3 。例1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2,圖象頂點在直線y=x+1上,并且圖象經(jīng)過點(3,-6)。求a、b、c。解:二次函數(shù)的最大值是2拋物線的頂點縱坐標(biāo)為2又拋物線的頂點在直線y=x+1上當(dāng)y=2時,x=1 頂點坐標(biāo)為( 1 , 2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又圖象經(jīng)過點(3,-6)-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2即: y=-2x2+4x4、a,b,c符號的確定拋物線y=ax2+bx+c的符號問題:(1)a的符號:由拋物線的
5、開口方向確定(2)C的符號:由拋物線與y軸的交點位置確定.(3)b的符號:由對稱軸的位置確定(4)b2-4ac的符號:由拋物線與x軸的交點個數(shù)確定(5)a+b+c的符號:因為x=1時,y=a+b+c,所以a+b+c的符號由x=1時,對應(yīng)的y值決定。當(dāng)x=1時,y>0,則a+b+c>0當(dāng)x=1時,y<0,則a+b+c<0當(dāng)x=1時,y=0,則a+b+c=0(6)a-b+c的符號:因為x=-1時,y=a-b+c,所以a-b+c的符號由x=-1時,對應(yīng)的y值決定。當(dāng)x=-1,y>0,則a-b+c>0當(dāng)x=-1,y<0,則a-b+c<0當(dāng)x=-1,y=0
6、,則a-b+c=0練習(xí)、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示,則a、b、c的符號為() A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示,則a、b、c的符號為() A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=03、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示,則a、b、c
7、 、 的符號為( ) A、a>0,b=0,c>0,>0 B、a<0,b>0,c<0,=0 C、a>0,b=0,c<0,>0 D、a<0,b=0,c<0,<0 熟練掌握a,b, c,與拋物線圖象的關(guān)系(上正、下負(fù))(左同、右異) 4.拋物線y=ax2+bx+c(a0)的圖象經(jīng)過原點和 二、三、四象限,判斷a、b、c的符號情況:a 0,b 0,c 0. 5.拋物線y=ax2+bx+c(a0)的圖象經(jīng)過原點,且它的頂點在第三象限,則a、b、c滿足 的條件是:a 0,b 0,c 0. 6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,如果a&g
8、t;0,b<0,c<0,那么這個二次函數(shù)圖象的頂點必在第 象限 先根據(jù)題目的要求畫出函數(shù)的草圖,再根據(jù)圖象以及性質(zhì)確定結(jié)果(數(shù)形結(jié)合的思想)7.已知二次函數(shù)的圖像如圖所示,下列結(jié)論。a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正確的結(jié)論的個數(shù)是( )A 1個 B 2個 C 3個 D 4個要點:尋求思路時,要著重觀察拋物線的開口方向,對稱軸,頂點的位置,拋物線與x軸、y軸的交點的位置,注意運用數(shù)形結(jié)合的思想。5、拋物線的平移左加右減,上加下減練習(xí)二次函數(shù)y=2x2的圖象向 平移 個單位可得到y(tǒng)=2x2-3的圖象;二次函數(shù)y=2x2的圖象向 平移 個單位可得到y(tǒng)=2(x-3)
9、2的圖象。二次函數(shù)y=2x2的圖象先向 平移 個單位,再向 平移 個單位可得到函數(shù)y=2(x+1)2+2的圖象。引申:y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2(3)由二次函數(shù)y=x2的圖象經(jīng)過如何平移可以得到函數(shù)y=x2-5x+6的圖象.y=x2-5x+6 y=x26二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程根的情況與b²-4ac的關(guān)系我們知道:代數(shù)式b2-4ac對于方程的根起著關(guān)鍵的作用.二次函數(shù)y=ax²bxc的圖象和x軸交點的橫坐標(biāo),便是對應(yīng)的一元二次方程ax²bxc=0的解。二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點有三種情況:(1)有兩個交點b2
10、4ac > 0(2)有一個交點b2 4ac= 0(3)沒有交點 b2 4ac< 0若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點,則b2 4ac 0例(1)如果關(guān)于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根,則m=,此時拋物線 y=x2-2x+m與x軸有個交點.(2)已知拋物線 y=x2 8x +c的頂點在 x軸上,則c=.(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的兩個根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函數(shù)y= 3 x2+x-10與x軸的交點坐標(biāo)是.判別式:b2-4ac二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根
11、b2-4ac0 與x軸有兩個不同的交點(x1,0)(x2,0)xyO 有兩個不同的解x=x1,x=x2 b2-4ac=0 與x軸有唯一個交點xyO 有兩個相等的解x1=x2= b2-4ac0 與x軸沒有交點xyO 沒有實數(shù)根7二次函數(shù)的綜合運用1.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同,頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5,請寫出滿足此條件的拋物線的解析式.解:Q拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同 a=
12、1或-1 又Q頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5, 頂點為(1,5)或(1,-5) 所以其解析式為: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展開成一般式即可.2.若a+b+c=0,a¹0,把拋物線y=ax2+bx+c向下平移 4個單位,再向左平移5個單位所到的新拋物線的頂點是(-2,0),求原拋物線的解析式.分析:(1)由a+b+c=0可知,原拋物線的圖象經(jīng)過(1,0)(2) 新拋物線向右平移5個單位, 再向上平移4個單位即得原拋物線練習(xí)題1直線y3 x1與yxk 的交點在第四象限,則k 的
13、范圍是( )(A)k (B)k1 (C)k1 (D)k1或k1【提示】由,解得因點在第四象限,故0,0 k1【答案】B【點評】本題應(yīng)用了兩函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法,結(jié)合了不等式組的解法、象限內(nèi)點的坐標(biāo)符號特征等2二次函數(shù)yax2bxc 的圖象如圖,則下列各式中成立的個數(shù)是( )(1)abc0; (2)abc0; (3)acb; (4)a(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【提示】由圖象知a0,0,故b0,而c0,則abc0當(dāng)x1時,y0,即acb0;當(dāng)x1時,y0,即acb0【答案】B【點評】本題要綜合運用拋物線性質(zhì)與解析式系數(shù)間的關(guān)系因a0,把(4)a兩邊同除以a,得1,即1,所以(4)是正
14、確的;也可以根據(jù)對稱軸在x1的左側(cè),判斷出1,兩邊同時乘a,得a,知(4)是正確的3若一元二次方程x22 xm0無實數(shù)根,則一次函數(shù)y(m1)xm1的圖象不經(jīng)過( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【提示】由D 44 m0,得m10,則m10,直線過第二、三、四象限【答案】A【點評】本題綜合運用了一元二次方程根的判別式及一次函數(shù)圖象的性質(zhì)注意,題中問的是一次函數(shù)圖象不經(jīng)過的象限4如圖,已知A,B 是反比例函數(shù)y的圖象上兩點,設(shè)矩形APOQ 與矩形MONB 的面積為S1,S2,則( )(A)S1S2 (B)S1S2 (C)S1S2 (D)上述(A)、(B)、(C)都
15、可能【提示】因為SAPOQ|k|2,SMONB2,故S1S2【答案】A【點評】本題可以推廣為:從雙曲線上任意一點向兩坐標(biāo)軸引垂線,由這點及兩個垂足和原點構(gòu)成的矩形的面積都等于|k|5若點A(1,y1),B(2,y2),C(p,y3)在反比例函數(shù)y的圖象上,則( )(A)y1y2y3 (B)y1y2y3 (C)y1y2y3 (D)y1y3y2【提示】因(k21)0,且(k21)y12 y2p y3,故y1y2y3或用圖象法求解,因(k21)0,且x 都大于0,取第四象限的一個分支,找到在y 軸負(fù)半軸上y1,y2,y3 的相應(yīng)位置即可判定【答案】B【點評】本題是反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)的應(yīng)用,圖象法是
16、最常用的方法在分析時應(yīng)注意本題中的(k21)06直線yaxc 與拋物線yax2bxc 在同一坐標(biāo)系內(nèi)大致的圖象是( )(A) (B) (C) (D)【提示】兩個解析式的常數(shù)項都為c,表明圖象交于y 軸上的同一點,排除(A),(B)再從a 的大小去判斷【答案】D【點評】本題綜合運用了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)(B)錯誤的原因是由拋物線開口向上,知a0,此時直線必過第一、三象限7已知函數(shù)yx21840 x1997與x 軸的交點是(m,0)(n,0),則(m21841 m1997)(n21841 n1997)的值是( )(A)1997 (B)1840 (C)1984 (D)1897【提示】拋物線與x
17、軸交于(m,0)(n,0),則m,n 是一元二次方程x21840 x19970的兩個根所以m21840 m19970,n21840 n19970,mn1997原式(m21840 m1997)m(n21840 n1997)nmn1997【答案】A【點評】本題揭示了二次函數(shù)與一元二次方程間的聯(lián)系,應(yīng)用了方程的根的定義、根與系數(shù)的關(guān)系等知識點,并要靈活地把所求代數(shù)式進行適當(dāng)?shù)淖冃?某鄉(xiāng)的糧食總產(chǎn)量為a(a 為常數(shù))噸,設(shè)這個鄉(xiāng)平均每人占有糧食為y(噸),人口數(shù)為x,則y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系為( )(A) (B) (C) (D)【提示】糧食總產(chǎn)量一定,則人均占有糧食與人口數(shù)成反比,即y又因為人口數(shù)不
18、為負(fù)數(shù),故圖象只能是第一象限內(nèi)的一個分支【答案】D【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象在實際問題中的應(yīng)用(A)錯在畫出了x0時的圖象,而本題中x 不可能小于0(二)填空題(每小題4分,共32分)9函數(shù)y的自變量x 的取值范圍是_【提示】由2 x10,得x;又x10,x1綜合可確定x 的取值范圍【答案】x,且x110若點P(ab,a)位于第二象限,那么點Q(a3,ab)位于第_象限【提示】由題意得a0,ab0,則b0故a30,ab0【答案】一11正比例函數(shù)yk(k1)的圖象過第_象限【提示】由題意得k2k11,解得k12,k21(舍去),則函數(shù)為y6 x【答案】一、三【點評】注意求出的k1使比例系數(shù)為
19、0,應(yīng)舍去12已知函數(shù)yx2(2m4)xm210與x 軸的兩個交點間的距離為2,則m_【提示】拋物線與x 軸兩交點間距離可應(yīng)用公式來求本題有2,故m3【答案】3【點評】拋物線與x 軸兩交點間距離的公式為,它有著廣泛的應(yīng)用13反比例函數(shù)y的圖象過點P(m,n),其中m,n 是一元二次方程x2kx40的兩個根,那么P 點坐標(biāo)是_【提示】P(m,n)在雙曲線上,則kxymn,又mn4,故k4【答案】(2,2)【點評】本題是反比例函數(shù)、一元二次方程知識的綜合應(yīng)用由題意得出kmn4是關(guān)鍵14若一次函數(shù)ykxb 的自變量x 的取值范圍是2x6,相應(yīng)函數(shù)值y 的范圍是11y9,則函數(shù)解析式是_【提示】當(dāng)k0
20、時,有,解得當(dāng)k0時,有,解得【答案】yx6或yx4【點評】因k 是待定字母,而k 的不同取值,導(dǎo)致線段分布象限不一樣,自變量的取值與函數(shù)取值的對應(yīng)關(guān)系也就不同故本例要分k0時自變量最大值對應(yīng)函數(shù)最大值,與k0時自變量最大值對應(yīng)函數(shù)最小值兩種情形討論15公民的月收入超過800元時,超過部分須依法繳納個人收入調(diào)節(jié)稅,當(dāng)超過部分不足500元時,稅率(即所納稅款占超過部分的百分?jǐn)?shù))相同某人本月收入1260元,納稅23元,由此可得所納稅款y(元)與此人月收入x(元)800x1300間的函數(shù)關(guān)系為_【提示】因1260800460,5%,故在800x1300時的稅率為5%【答案】y5%(x800)【點評】
21、本題是與實際問題相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,解題時應(yīng)注意并不是每個人月收入的全部都必須納稅,而是超過800元的部分才納稅,故列函數(shù)式時月收入x須減去80016某種火箭的飛機高度h(米)與發(fā)射后飛行的時間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是h10 t220 t,經(jīng)過_秒,火箭發(fā)射后又回到地面【提示】火箭返回地面,即指飛行高度為0,則10 t220 t0,故t0或t20【答案】20【點評】注意:t0應(yīng)舍去的原因是此時火箭雖在地面,但未發(fā)射,而不是返回地面(三)解答題17(6分)已知yy1y2,y1 與x 成正比例,y2 與x 成反比例,并且x1時y4,x2時y5,求當(dāng)x4時y 的值【解】設(shè)y1k1x,y2,則yk1x
22、把x1時y4,x2時y5分別代入上式,得,解得 函數(shù)解析式為y2 x當(dāng)x4時,y2×4 所求的y 值為【點評】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式關(guān)鍵在于正確設(shè)出y1,y2 與x 的函數(shù)解析式注意兩個比例系數(shù)應(yīng)分別用k1,k2 表示出來,而不能僅用一個k 值表示18(6分)若函數(shù)ykx22(k1)xk1與x 軸只有一個交點,求k 的值【提示】本題要分k0,k0兩種情況討論【解】當(dāng)k0時,y2 x1,是一次函數(shù),此時,直線與x 軸必有一個交點當(dāng)k0時,函數(shù)為二次函數(shù),此時,D 4(k1)24 k(k1)12 k40 k 所求的k 值為0或【點評】注意,當(dāng)問題中未指明函數(shù)形式,而最高次項系數(shù)
23、含字母時,要注意這個系數(shù)是否為0函數(shù)圖象與x 軸有一個交點包括兩種情形:當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時,直線與x 軸必只有一個交點;當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時,在D 0的條件下,圖象與x 軸只有一個交點19(8分)已知正比例函數(shù)y4 x,反比例函數(shù)y(1)當(dāng)k 為何值時,這兩個函數(shù)的圖象有兩個交點?k 為何值時,這兩個函數(shù)的圖象沒有交點?(2)這兩個函數(shù)的圖象能否只有一個交點?若有,求出這個交點坐標(biāo);若沒有,請說明理由【解】由y4 x 和y,得4 x2k0,D 16 k(1)當(dāng)D 0,即k0時,兩函數(shù)圖象有兩個交點; 當(dāng)D 0,即k0時,兩函數(shù)圖象沒有交點;(2) 比例系數(shù)k0,故D 0 兩函數(shù)圖象不可能只有一個
24、交點20(8分)如圖是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標(biāo)系中的一個示意圖,橫斷面的地平線為x 軸,橫斷面的對稱軸為y 軸,橋拱的DGD 部分為一段拋物線,頂點G 的高度為8米,AD 和AD是兩側(cè)高為5.5米的立柱,OA 和OA為兩個方向的汽車通行區(qū),寬都為15米,線段CD 和CD為兩段對稱的上橋斜坡,其坡度為14(1)求橋拱DGD所在拋物線的解析式及CC的長(2)BE 和BE為支撐斜坡的立柱,其高都為4米,相應(yīng)的AB 和AB為兩個方向的行人及非機動車通行區(qū),試求AB 和AB的寬(3)按規(guī)定,汽車通過橋下時,載貨最高處和橋拱之間的距離不可小于0.4米,今有一大型運貨汽車,裝載上大型設(shè)備后,其寬為4米,車載大型設(shè)備的頂部與地面的距離為7米,它能否從OA(OA)安全通過?請說明理由【分析】欲求函數(shù)的解析式,關(guān)鍵是求出三個獨立的點的坐標(biāo),然后由待定系數(shù)法求之所以關(guān)鍵是由題中線段的長度計算出D、G、D的坐標(biāo),當(dāng)然也可由對稱軸x0解之至于求CC、AB、AB的數(shù)值,則關(guān)鍵
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