1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我第3講函數性質一、函數的單調性1.增函數、減函數定義 設函數y f (x)的定義域為集合I ：增函數定義如果對于屬于定義域I內某個區間 D上的任意兩個自變量的值xi、X2 ,當x X2時，都有f(x1) f(x2),那么就說在f(x)這個區間D上是增函數;減函數定義如果對于屬于定義域I內某個區間 D上的任意兩個自變量的值為、x2 ,當x x2時，都有f(xi) f (x2),那么就說f (x)在這個區間D上是減函數.2.單調函數、單調區間定義如果函數y f(x)在區間D是增函數或減函數， 那么就說函數y f(x)這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y f(x

2、)的單調區間.3.增函數、減函數的等價定義任取 xi,x2 a,b,則等價定義1f(x) f(x2)0xi x2f(xi) f(x2)0X x2f (x)在a,b上是增函數;f(x)在a,b上是減函數.等價定義2供 x2)f(x) f(x2) 0f(x)在a,b上是增函數;(xi x2) f (xi)f (x2) 0 f (x)在a,b上是減函數.4.對單調性概念的理解:(i)函數的單調性只能在定義域內討論，可以是整個定義域，也可以是定義域的某個區間.(2)有些函數在其定義域內不具有單調性，如y x' y x2； /有些函數在其整個定義域內都具有單調性，如y x, y x3；(3)當函

3、數在閉區間上單調時，區間包不包括端點都可以，但習慣上寫成閉區間的形式；因為對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，因而沒有增減變化，所以區間端點處不具有單調性;ii百度文庫-讓每個人平等地提升自我(4)函數單調性定義中的 xi、X2應取自同一單調區間且具有任意性；(5)在單調區間上，增函數的圖像是上升的，減函數的圖像是下降的；5 .定義法證明函數單調性的步驟/任取，作差、變形(一般是因式分解、配方、分子或分母有理化),判斷符號，結論.6 .復合函數分析法/設？Skip Record If£?, ?Skip Record If？Skip Record If.?, ?Skip R

4、ecord If.?Skip Record If.?在？Skip Record If.?上也是單調函數，其單調性由“同增異減”來確定，即“里外”函數增減性相同，復合函數為增函數，“里外”函數的增減性相反，復合函數為減函數。如下表：題型一：求函數的單調區間，常用以下四種方法。1.定義法【例1】 試用函數單調性的定義判斷函數f(x) * 在區間(0, 1)上的單調性.X 1【例2】證明函數y X3在定義域上是增函數.【例3】 根據函數單調性的定義，證明函數 f(x)x3 1在(，)上是減函數.【例4】 證明函數f(x)、/x在定義域上是減函數.22百度文庫-讓每個人平等地提升自我【例5】 討論函數

5、f(x) -x( 1 x 1)的單調性. x 11 、【例6】求函數f(x)=x+ 的單調區間。 x【例7】求證：函數f(x) x a (a 0)在(Ta,)上是增函數x1【例8】 已知f(x)是定義在R上的增函數，對 xCR有f(x)>0 ,且f(5)=1 ,設F(x尸f(x)+ ,討論F (x)的f(x)單調性，并證明你的結論?！纠?】 已知函數f (x)對任意實數x, y均有f(x y) f (x) f(y).且當x>0時，f(x) 0 ,試判斷f (x)的單調性，并說明理由.33百度文庫-讓每個人平等地提升自我【例10 已知給定函數f(x)對于任意正數x, y都有f(xy)

6、= f(x) f(y),且f(x)w0,當x 1時，f (x) 1 .試判斷f(x)在(0,)上的單調性，并說明理由./2.圖象法【例11如圖是定義在區間5, 5上的函數y f(x),根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？【例12】求函數y 1 2x| 2 x的單調減區間44百度文庫-讓每個人平等地提升自我【例13】求下列函數的單調區間：,、，、1 ，、 y | x 1| ; y x ( x 0). x【例14】求下列函數的單調區間：2 y |x 1| |2x 4| ； y x 2|x| 3【例15作出函數y |x2 x|的圖象，并結合圖象寫出它的單調區間.【

7、例16】畫出下列函數圖象并寫出函數的單調區間22 y x 2| x | 1(2) y | x 2x 3|3.求復合函數的單調區間【例17】求函數y -1 的單調區間.x x 255百度文庫-讓每個人平等地提升自我【例18】討論函數y "x 2x 3的單調性.題型二：利用單調性求函數中參數的取值范圍【例19】設函數f (x) (2a 1)x b是R上的減函數，則a的范圍為()B. aC. a【例20】函數y x2bx c(x 0,)是單調函數的充要條件是(A. b 0 B. b 0C. b 0D . b 0【例21】已知f(x)A. (0,1)C.五，-2a (ax a x) ( a

8、0且a w 1)是R上的增函數.則實數a的取值范圍是a 2 B. (0, 1)|J 五,/D. (0, 1)|J 收).66百度文庫-讓每個人平等地提升自我題型三：函數的單調性與方程、不等式【例22 已知f(x)在區間()上是減函數,/ a, b R且a b 0,則下列表達正確的是(A. f(a)f(b)f(a) f(b)C. f (a) f(b)f(a)/f(b)B. f(a) f(b) f( a) f( b)D. f(a) f(b) f( a). f( b)【例23若f(x)是R上的減函數,且f (x)的圖象經過點 A(0 , 3)和點B(3 ,1),則不等式| f (x 1) 1| 2的

9、解集為( ).A . (,3)B . (,2)C. (0, 3) D. ( 1,2)77【例24 設f(x)是定義在R上的函數，對 m、(1)求證:f(0) 1;(3)求證：f(x)在R上是減函數;n R恒有 f (m n) f (m) f (n),且當 x 0 時，0 f (x) 1。(2)證明：x R時恒有f (x) 0 ；(4)若 f (x) f (2 x) 1 ,求 x 的范圍?！纠?5 設f(x)是定義在(0,)上的單調增函數，滿足 f(xy) f(x) f (y), f(3) 1求：(1) f (1); (2)1當 f(x) f (x 8) 2時 x 的取值范圍.【例26】已知f(

10、x)是定義在R上的增函數，且f(?) f(x)/f(y). y /求證：f(1) 0, f(xy) f (x) f(y);百度文庫-讓每個人平等地提升自我1若f(2) 1 ,解不等式f(x) f() 2.x 3【例27】設n 1, f(x)是定義在有限集合A 1, 2, 3, M|, n上的單調遞增函數，且對任何f(x)f(y)f(x)f(y).那么，(A. n 2B. n 3 C. n 4題型四：函數的最值【例28】求函數f(x)1x 一 , x 0的取小值.x88【例29】求函數y xx_1 Wx 1的最小值.【例30】求函數y Jx 1 Jx1的最值.百度文庫-讓每個人平等地提升自我二、

11、函數的奇偶性1 .奇函數定義/如果對于函數定義域內任意一個X,都有f( x) f(x),那么函數f(x)就叫奇函數.2 .偶函數定義/如果對于函數定義域內任意一個x,都有f( x) f(x),那么函數f(x)就叫偶函數、3 .函數的奇偶性定義如果一個函數是奇函數或偶函數，則稱這個函數在其定義域內具有奇偶性.注：(1)函數可分為奇函數、偶函數、既奇又偶函數、非奇非偶函數.(2)奇函數、偶函數定義域關于原點對稱.(3 )定義域關于原點對稱是函數f (x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件.4 .判斷函數奇偶性的步驟先看函數的定義域是否關于原點對稱；在定義域關于原點對稱的條件下，再根據f( x)與f(

12、x)的關系做出判斷,為了便于判斷，有時需要將函數進行化簡.5 .判斷函數奇偶性的方法/(1)奇偶性定義是判斷函數奇偶性的主要方法./(2)為了便于判斷，有時將函數解析式化簡后利用奇偶性定義的等價形式：/f( x) f (x) 0函數為奇函數； f( x) 1函數為奇函數(f(x) 0); f( x) f (x) 0 函數為偶函數;f(x)立) 1 函數為偶函數(f(x) 0)./f(x)(3)根據函數圖像的對稱性判斷奇偶性：/圖像關于原點對稱的函數是奇函數，圖像關于y軸對稱的函數是偶函數.(4)利用基本函數的奇偶性結論判斷(具體內容見后面附錄二)99百度文庫-讓每個人平等地提升自我(5)由任意

13、一個定義域關于原點對稱的函數f(x),均可構造出一個奇函數 g(x) f(x) f( x)/2、一個偶函數 h(x) f(x) f( x)/2 .(6)利用以下結論判斷奇偶性：/奇函數土奇函數=奇函數，偶函數土偶函數 二偶函數，奇函數x奇函數 =偶函數，奇函數x偶函數 二奇，偶函數x偶函數=偶函數等./'5.有關函數奇偶性的結論(1 )奇函數在關于原點對稱的區間內具有相同的單調性(如果具有單調性)(2)偶函數在關于原點對稱的區間內具有相反的單調性(如果具有單調性)(3)若奇函數f(x)在x 0處有定義，則f(0) 0.(4)若f(x) 0,且f(x)定義域關于原點對稱，則函數f(x)既

14、是奇函數，又是偶函數.目如隹典例分析/題型一：判斷函數奇偶性1.判斷函數奇偶性可以直接用定義，"而在某些情況下判斷 f(x) f(-x)是否為0是判斷函數奇偶性的一個重要技 巧，比較便于判斷.【例1】 判斷下列函數的奇偶性：/y 1; x.,42_ y x x 2 ； y x3 x ；1010百度文庫-讓每個人平等地提升自我(4) yx31 .【例2】判斷下列函數的奇偶性:4 f(x) x ；55,、1 f(x) x ； f (x) x x,、1 f(x) x【例3】判斷下列根式函數的奇偶性并說明理由:(1)f(x) (x 1)卜(2)f(x尸x2 1 x-1(3)x2 1 x+11

15、111【例4】判別下列函數的奇偶性：(1) f(x) x2 5|x|；(2) f(x) |x 1| |x 1|;(3) f(x) x2 x3.、x2 1 x-1【例5】判斷函數f(x)= :一的奇偶性.x2 1 x+1百度文庫-讓每個人平等地提升自我(2) 函數奇偶性的定義，有下面的結論：在公共定義域內(1 )兩個偶函數之和(積)為偶函數；/八、(2)兩個奇函數之和為奇函數；兩個奇函數之積為偶函數；(3) 一個奇函數和偶函數之積為奇函數.3【例6】/若函數f(x尸(x x)g(x)是偶函數，且f(x)不恒為零，判斷函數 g(x)的奇偶性.【例7】 函數y f(x)與y g(x)有相同的定義域，

16、對定義域中任何x,有f (x) f( x) 0, g(x)g( x) 1,則F(x)2f(x)g(x) 1f(x)是(A.奇函數C.既是奇函數又是偶函數B.偶函數D.非奇非偶函數題型二：求解析式與函數值1212百度文庫-讓每個人平等地提升自我1 .利用函數奇偶性可求函數解析式.【例8】 設f(x)是R上的奇函數，且當x 0,)時，f(x) x(1 次)，那么當x (,0)時，f (x)=.【例9】 已知偶函數f(x)的定義域為R,當xR時，f(x)= x2 3x-1 ,求f(x)的解析式.設 x<0,則一x>0【例10】已知函數f(x)為R上的奇函數，且當 x 0時f(x) x(1

17、 x).求函數f(x)的解析式.【例11】已知函數f(x) (m2 1)x2 (m 1)x n 2,當m,n為何值時，f(x)是奇函數?【例12】已知f(x)是偶函數，x 0時，f (x)2x2 4x,求x 0時f(x)的解析式.【例13】已知f(x)是定義域為R的奇函數，當x 0時，f(x) x2 x 2,求f(x)的解析式.1313百度文庫-讓每個人平等地提升自我【例14】y f(x)圖象關于x 1對稱，當xwi時，f(x) x2 1 ,求當x 1時f(x)的表達式.ax 1【例15】已知函數f(x) -(a,b,c Z)是奇函數，且f 2, f (2) 3,求a,b,c的值. bx c2

18、 .對于函數奇偶性有如下結論：定義域關于原點對稱的任意一個函數f(x)都可表示成一個偶函數和一個奇函數之和.-1 _即 f(x)= 一 F(x)+G(x)其中 F(x) = f(x)+ f(-x),G(x) = f(x) -f(-x)2利用這一結論，可以簡捷的解決一些問題.x2 x【例16】te義在R上的函數f(x)= -2,可表不成一個偶函數g(x)和一個奇函數h(x)之和，求g(x) , h(x).x 1【例17】已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數并且f (x) g(x) x 1 ,則求f (x)與g(x)的表達式.1414百度文庫-讓每個人平等地提升自我1【例18】已知f(x)是前函

19、數，g(x)是偶函數，且f(x) g(x) ,求f (x)、g(x).x 13.利用函數奇偶性求函數值【例 19】已知 f(x)x2 ax3bx 8且 f( 2) 10,.求 f(2).【例20】 若f(x)是定義在R上的奇函數，則f (0) =若f(x)是定義在R上的奇函數，f(3) 2,且對一切實數x都有f(x 4) f (x),則f(25)= 、設函數y f(x) (x R且x 0)對任意非零實數 XE滿足f(x x2) f(xj “x2),則函數y f (x)是(指明函數的奇偶性)【例 21 已知函數 f (x)2x3x .若x1、x2、x3R 且 x1x20 ,x2x30 ,x3x1 0 .則 f (為)f (x2)f (x3)(),、 /A.大于零 B.小于零 C.等于零D.大于零或小于零/x3 | x | 2x2 x【例22】設函數f(x) x | x2-x的最大值為M ,最小值為m,則M與m滿足().2x |x|A. Mm2 B.Mm4/C. M m 2D. M m 4/【例23】函數f(x)在R上有定義，且滿足f(x)是偶函數；f(0) 2005;g(x) f (x 1)是奇函數；求f (2005