1、2008年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)講稿(老人教大綱版湖南卷)排列組合應(yīng)用題的類型及解題策略排列組合問題，通常都是出現(xiàn)在選擇題或填空題中，或結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)綜合出題，它聯(lián)系實(shí)際，生動(dòng)有趣， 但題型多樣，思路靈活，不易掌握。實(shí)踐證明，解決問題的有效方法是：題型與解法歸類、識(shí)別模式、熟練 運(yùn)用。一.處理排列組合應(yīng)用題的一般步驟為：明確要完成的是一件什么事(審題)有序還是無序分步還是分類。二.處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律(1) 兩種思路：直接法，間接法。(2) 兩種途徑：元素分析法，位置分析法。三、解決問題的入手點(diǎn)是： 特殊元素優(yōu)先考慮；特殊位置優(yōu)先考慮。1、特殊優(yōu)先法：.對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題

2、，我們可以從這些特殊的東西入手，先 解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法。例1.( 06上海春)電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和 2個(gè)不同的公益廣告，要求 首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示)解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有 A22種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有 A?種，從而應(yīng)當(dāng)填A(yù)” A = 48.從而應(yīng)填48.(3)對(duì)排列組合的混合題，一般先選再排，即先組合再排列。弄清要“完成什么樣的事件”是前提。三.基本題型及方法：1.相鄰問題(1)、全相鄰問題，整體處理(捆邦法)例2、6名同學(xué)排成一排，其中甲，乙兩人必

3、須排在一起的不同排法有( C )種。A) 720 B ) 360 C ) 240 D ) 120說明：從上述解法可以看出，所謂“捆邦法”，就是在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰問題時(shí)，可以整體考慮將相鄰元素視作一個(gè)“大”元素。(2)、全不相鄰問題，插空處理法例3、要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少不 同的排法，解：先將6個(gè)歌唱節(jié)目排好，其中不同的排法有6!,這6個(gè)節(jié)目的空隙及兩端共有七個(gè)位置中再排4個(gè)舞蹈節(jié)目有A4種排法，由乘法原理可知，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為A4A6種例4 (06重慶卷)高三(一)班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈

4、節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是(A) 1800(B) 3600(C) 4320( D) 504052解：不同排法的種數(shù)為 As As =3600,故選B說明：從解題過程可以看出，不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它隔開，此類問題可以先將其它元素排好，再將特殊元素插入，故叫插空法。(3) .不全相鄰排除法，排除處理例5.五個(gè)人站成一排，其中甲、乙、丙三人有兩人相鄰，有多少排法？解：A5-A3A3-A22Ag3A2A3A2 = 72例6.有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐, 并且這2人不左

5、右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是解法一：前后各一個(gè)，有 8X 12X2= 192種方法前排左、右各一人：共有 4X4X2= 32種方法兩人都在前排：兩人都在前排左邊的四個(gè)位置：乙可坐2個(gè)位置2 + 2=4乙可坐1個(gè)位置1 + 1=2湖南省漢壽縣第三中學(xué)艾鎮(zhèn)南第6頁/共38頁此種情況共有4+2=6種方法因?yàn)閮蛇叾际?個(gè)位置，都坐右邊亦有 6種方法，所以坐在第一排總共有6 + 6= 12種方法兩人都坐在第二排位置，先規(guī)定甲左乙右10乙有1。個(gè)位置可坐乙有9個(gè)位置可坐乙有E個(gè)位置可坐乙有1個(gè)位置可坐乙沒有位置10 110 9 8 2 1 = 10 =55甲左乙右總共有2種方法.同樣甲、乙可互換位置，乙左

6、甲右也同樣有55種方法，所以甲、乙按要求同坐第二排總共有55X2=110種方法。綜上所述，按要求兩人不同排法有 192+32+ 12+ 110= 346 種解法二：考慮20個(gè)位置中安排兩個(gè)人就坐，并且這兩人左右不相鄰，4號(hào)座位與5號(hào)座位不算相鄰（坐在前排相鄰的情況有 12種。），7號(hào)座位與8號(hào)座位不算相鄰（坐在后排相鄰的情況有22種。），共有A20 -2（11 +6） =346種2、順序一定，除法處理或分類法。3面紅旗、2面白旗，把5面旗都掛上去,例7、信號(hào)兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號(hào)，現(xiàn)有 可表示不同信號(hào)的種數(shù)是（）（用數(shù)字作答）。解：5面旗全排列有 A5種掛，由于3面紅旗與2面

7、白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故有 工 =10nA說明：在排列的問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序問題，這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便快捷例8. （06湖北卷）某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程 丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是。（用數(shù)字作答）解一：依題意，只需將剩余兩個(gè)工程插在由甲、乙、丙、丁四個(gè)工程形成的5個(gè)空中（插一個(gè)或二個(gè)），可得有解+5mA；=30種不同排法。解二：0二30 4!例9、由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的 6位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位的

8、數(shù)字的共有（）A 210 個(gè) B ） 300 個(gè) C ） 464 個(gè) D ） 600 個(gè)1解：一A1A5=300故選（B）24、多元問題，分類法例10. （06陜西卷）某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同 去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有 種解析：某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙 只能同去或同不去，可以分情況討論， 甲、丙同去，則乙不去，有 C； 'A4=240種選法；甲、丙同不去， 乙去,有C；，A4 =240種選法；甲、乙、丙都不去，有 A =120種選法，共有600種

9、不同的選派方案.例11: （06全國卷I）設(shè)集合I =1,2,3,4,5 。選擇I的兩個(gè)非空子集 A和B,要使B中最小的數(shù)大于 A 中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有A 50種 B . 49種C . 48種D . 47種解析：若集合A B中分別有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有C52=10種；若集合A中有一個(gè)元素，集合 B中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C53=10種；若集合A中有一個(gè)元素，集合B中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C：=5種；若 集合A中有一個(gè)元素，集合 B中有四個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C55=1種；若集合A中有兩個(gè)元素，集合 B中有 一個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C53=10種；若集合A中有兩個(gè)元素，集合

10、 B中有兩個(gè)個(gè)元素，則選法種數(shù)有C；=5種；若集合A中有兩個(gè)元素，集合 B中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C55=1種；若集合A中有三個(gè)元素，集合 B 中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C： =5種；若集合A中有三個(gè)元素，集合B中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C5=1 種；若集合A中有四個(gè)元素，集合 B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有C55=1種；總計(jì)有49種，選B.解法二：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，從5個(gè)元素中選出2個(gè)元素，有C： =10種選法，小的給 A集合，大的給B集合；從5個(gè)元素中選出3個(gè)元素，有 C53=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有

11、2X10=20種方法；從5個(gè)元素中選出4個(gè)元素，有C：=5種選法，再分成1、3; 2、2; 3、1兩組，較小元素的一組給 A集合，較大元素白一組的給B集合，共有3X5=15種方法；從5個(gè)元素中選出5個(gè)元素，有 C55=1種選法，再分成1、4; 2、3; 3、2; 4、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4X1=4種方法；總計(jì)為10+20+15+4=49種方法。選B.例12 （06天津卷）將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有（）A. 10 種B. 20 種C. 36 種D. 52 種解

12、析：將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，分情況討論：1號(hào)盒子中放1個(gè)球，其余3個(gè)放入2號(hào)盒子，有C4 =4種方法；1號(hào)盒子中放2個(gè)球，其余2個(gè)放入2號(hào)盒子，有C42 =6種方法；則不同的放球方法有10種，選A.說明：元素多，取出的情況也多種，可按要求分成互不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。5、交叉問題，集合法（二元否定問題，依次分類）。例13、從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4名參加4X 100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法？解：設(shè)全集U=6人中任選4人參賽白排列, A=甲跑第一棒的排列, B=乙跑第四

13、棒的排列,根據(jù)求集合元素的個(gè)數(shù)的公式可彳#參賽方法共有：card（U）-card（A）-card（B）+card（A A B）=252例14、某天的課表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、體育共六門課程，且上午安排四節(jié)課，下午 安排兩節(jié)課。（1）若第一節(jié)不排體育，下午第一節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排課方法？（2）若要求數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)不能排在一起（上午第四節(jié)與下午第一節(jié)不算連排），一共有多少種不同的排課方法？例15、同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（） A） 6種B ） 9種C ） 11種 D ） 23種解：此題可以看成是

14、將數(shù)字 1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一數(shù)，且每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字不同的填法問題。所以先將1填入2至4的3個(gè)方格里有3種填法；第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它 3個(gè)方格，又有3種填法；第三步將余下的兩個(gè)數(shù)字填入余下的兩格中只有一種填法， 故共有3X 3X1=9種填法。故選B說明：求解二元否定問題可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依此即可 完成。例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的總數(shù)是.（用數(shù)字作答）。（答：78種）說明：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可

15、用集合中求元素的個(gè)數(shù)的公式來求解。6、多排問題，單排法例17、兩排座位，第一排有 3個(gè)座位，第二排有 5個(gè)座位，若8名學(xué)生入座（每人一座位），則不同的座5_3.15335.8法為AC8 c8B ） A2c8 c8C ） A8 A8D ）與解：此題分兩排座可以看成是一排座，故有A8種座法。，選（D）說明：把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。7、至少問題，分類法 或間接法（排除處理）例18. （06福建卷）從 4名男生和3名女生中選出 3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（A） 108種（B） 186種（C） 216種（D） 270種解析：從全部方

16、案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有A3_A3=186種，選B.例19. （06遼寧卷）5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1、2、3號(hào)參 加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員，且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有 種.（以 數(shù)作答）【解析】?jī)衫弦恍聲r(shí)，有C3MC；A22 =12種排法；兩新一老時(shí)，有C2c2MA3 = 36種排法，即共有48種排法.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有限制條件的排列組合問題以及分類討論思想例20. （06重慶卷）將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有（A）30種（B）9 0種（C）

17、1 8 0種（D）2 7 0種解析：將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少 1名，最多2名，則將5名教師分成三組，C1 C23 一一組1人，另兩組都是2人，有 5 , 4 =15種方法,再將3組分到3個(gè)班，共有15八3 =90種不同的分配 A方案，選B.說明：含“至多”或“至少”的排列組合問題，是需要分類問題，或排除法。排除法，適用于反面情況 明確且易于計(jì)算的情況。8、部分符合條件淘汰法例21 .四面體的頂點(diǎn)各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 （） A ） 150 種 B ） 147 種 C） 144 種 D ） 141 種解：10個(gè)點(diǎn)取4個(gè)點(diǎn)共有 C10

18、種取法，其中面 ABC內(nèi)白6 6個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)必共面，這樣的面共有6個(gè)，又各棱中點(diǎn)共6個(gè)點(diǎn)，有四點(diǎn)共面的平面有3個(gè)，故符合條件不共面的平面有 _ 4_ 4_.C10 -4C6 -6 -3=141選 D說明：在選取總數(shù)中，只有一部分符合條件，可從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求。9.分組問題與分配問題分組問題：均勻分組，除法處理；非均勻分組，組合處理例22。有9個(gè)不同的文具盒：（1）將其平均分成三組；（2）將其分成三組，每組個(gè)數(shù) 2, 3, 4。上述問 題各有多少種不同的分法？33分析：（1）此題屬于分組問題： 先取3個(gè)為第一組，有C9種分法，再取3個(gè)不第二組，有C6種分法，剩下3個(gè)為第三組，

19、有C；種分法，由于三組之間沒有順序,故有333C9 C6 c3A3種分法。（2）同（1）,共有C92C73C4種分法，因三組個(gè)數(shù)各不相同，故不必再除以A3。練習(xí)：12個(gè)學(xué)生平均分成3組，參加制作航空模型活動(dòng)，3個(gè)教師各參加一組進(jìn)行指導(dǎo)，問有多少種分組方法？分配問題：定額分配，組合處理；隨機(jī)分配，先組后排。例23。有9本不同的書：（1）分給甲2本，乙3本，丙4本；（2）分給三個(gè)人，分另得 2本，3本，4本。 上述問題各有多少種不同的分法？（1）此題是定額分配問題，先讓甲選，有c；種；再讓乙選，有C3種；剩下的給丙，有C4種，共有C92C73C4種不同的分法（2）此題是隨機(jī)分配問題：先將 9本書分

20、成2本，3本，4本共有三堆，再將三堆分給三個(gè)人,2008年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)講稿（老人教大綱版湖南卷） 共有Cr.cicjA3種不同的分法。例24:對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣白測(cè)試方法有多少種可能？解：第5次必測(cè)出一次品，余下 3件次品在前4次被測(cè)出，從4件中確定最后一件次品有 C4種方法，前 4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有C6c3種，前4次測(cè)試中的順序有 A 4種，由分步計(jì)數(shù)原理即得：C4 （c6c3） A 4A4 = 576。【評(píng)述】本題涉及一類重要問題：?jiǎn)栴}中既有元素的限制，又有排列的問題，一

21、般是先選元素（即組合）后 排列練習(xí)：1。3名教師分配到6個(gè)班里，各人教不同的班級(jí)，若每人教2個(gè)班，有多少種分配方法？ c（2c：c2 = 902 .將10本不同的專著分成c3oc3c3ci14!3本，3本，3本和1本，分別交給4位學(xué)者閱讀，問有多少種不同的分法?3!例25 （06湖南卷）某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過 2個(gè)，則該外商不同的投資方案有（）A.16種 B.36 種 c.42 種 D.60 種解析：有兩種情況，一是在兩個(gè)城市分別投資1個(gè)項(xiàng)目、2個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有 c3 A2 =36,二是在在兩個(gè)城市分別投資1, 1, 1個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有 A3 =

22、 24 ,1.2.3共有 c3 A4 +A4=60,故選（D）10 .隔板法：隔板法及其應(yīng)用技巧在排列組合中，對(duì)于將不可分辨的球裝入到可以分辨的盒子中，每盒至少一個(gè)，求方法數(shù)的問題，常用隔板法。見下例：例26.求方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。（即：10個(gè)相同的小球分給三人，每人至少1個(gè)，有多少種方法？）分析：將10個(gè)球排成一排，球與球之間形成9個(gè)空隙，將兩個(gè)隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分的球數(shù)分別為x.y.z 之值（如圖）OOO OOO OOOO2則隔板與解的個(gè)數(shù)之間建立了一一對(duì)立關(guān)系，故解的個(gè)數(shù)為c9 =36個(gè)。實(shí)際運(yùn)用隔板法解題時(shí)，在確定

23、球數(shù)、如何插隔板等問題上形成了一些技巧。下面舉例說明：技巧一：添加球數(shù)用隔板法。例27.求方程x+y+z=10的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。分析：注意到x、y、z可以為零，故上題解法中的限定“每空至多插一塊隔板”就不成立了。怎么辦呢？ 只要添加三個(gè)球，給 x、y、z 各一個(gè)球。這樣原問題就轉(zhuǎn)化為求x+y+z=13的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)了，故解的2個(gè)數(shù)為c12=66個(gè)。【小結(jié)】本例通過添加球數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為如例1中的典型的隔板法問題。技巧二：減少球數(shù)用隔板法。例28.將20個(gè)相同的小球放入編號(hào)分別為1, 2, 3, 4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于它的編號(hào)數(shù)，求放法總數(shù)。分析1:先在編號(hào)1, 2, 3

24、, 4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放 0, 1, 2, 3個(gè)球，有1種方法；再把剩下的 14個(gè)球,湖南省漢壽縣第三中學(xué)艾鎮(zhèn)南第7頁/共38頁2008年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)講稿(老人教大綱版湖南卷)分成4組，每組至少1個(gè)，由例25知有C133 =286種方法。分析2:第一步先在編號(hào)1, 2, 3, 4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放 1, 2, 3, 4個(gè)球，有1種方法；第二步把剩 下的10個(gè)相同的球放入編號(hào)為 1, 2, 3, 4的盒子里，由例26知有 C133 =286 種方法。【小結(jié)】?jī)煞N解法均通過減少球數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為例25、例26中的典型問題。技巧三：先后插入用隔板法。例29。為構(gòu)建和諧社會(huì)出一份力，一文藝團(tuán)體下基

25、層宣傳演出，準(zhǔn)備的節(jié)目表中原有4個(gè)歌舞節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，擬再添2個(gè)小品節(jié)目，則不同的排列方法有多少種？分析：記兩個(gè)小品節(jié)目分別為A、B。先排A節(jié)目。根據(jù)A節(jié)目前后的歌舞節(jié)目數(shù)目考慮方法數(shù)，相當(dāng)于把4個(gè)球分成兩堆，由例26知有C5種方法。這一步完成后就有 5個(gè)節(jié)目了。再考慮需加入的B節(jié)目前后的節(jié)111目數(shù)，同上理知有C6種方法。故由乘法原理知，共有 C5c6 =30種方法。【小結(jié)】對(duì)本題所需插入的兩個(gè)隔板采取先后依次插入的方法，使問題得到巧妙解決。11 .數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)

26、的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)。 能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是 4的倍數(shù)。 能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是 0或5。 能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是 25, 50, 75。 能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。例30 （06北京卷）在1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（A） 36 個(gè)（B） 24 個(gè)（C） 18 個(gè)（D） 6 個(gè)解：依題意，所選的三位數(shù)字有兩種情況：（1） 3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，有 A3種方法（2） 3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù)，有C3A3,故共有A3 + C3A3=24種

27、方法，故選B例31。（06天津卷）用數(shù)字0, 1, 2, 3, 4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)， 則其中數(shù)字1,2相鄰的偶數(shù)有 24個(gè)（用數(shù)字作答）.12.分球入盒問題例32:將5個(gè)小球放到3個(gè)盒子中，在下列條件下，各有多少種投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空解：將小球分成 3份，每份1, 1, 3或1, 2, 2。再放在3個(gè)不同的盒子中，即先分堆，后分配。有c5cC2C)*a3小球不同，盒子不同，盒子可空小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要將5個(gè)不同小球分成 3份，分法為:小球不同，盒子相同，盒子可空解：35種311, 1, 3; 1, 2, 2。共有 C5c2 +A222C 5c3 =2

28、5 種A2本題即是將5個(gè)不同小球分成31221 份,2 份,3 份的問題。共有 C5 +(C4 +C3) + (C5c2 + c5c3 w 55 w 522A2 A2)=41 種小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 00 002，有C4種方法小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把5個(gè)小球及插入的2個(gè)隔板都設(shè)為小球（7個(gè)球）。7個(gè)球中任選兩個(gè)變?yōu)楦舭澹梢韵噜彛Ｄ敲?塊隔板分成3份的小球數(shù)對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的3個(gè)不同盒子。故有 C2=21解：分步插板法。小球相同，盒子相同，盒子不空解：5個(gè)相同的小球分成 3份即可，有3, 1, 1; 2, 2, 1。 共2種 小球相同，盒子相同，盒子可空0；

29、4,1, 0; 3, 2, 0;解：只要將將5個(gè)相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5, 0,3,1,1； 2,2,1。例33、有4個(gè)不同的小球，放入 4個(gè)不同的盒子內(nèi)，球全部放入盒子內(nèi)（1）共有幾種放法？（答：44）（2）恰有1個(gè)空盒，有幾種放法？（答：C2A3 =144）（3）恰有1個(gè)盒子內(nèi)有2個(gè)球，有幾種放法？（答：同上C2A3 =144）（4）恰有2個(gè)盒子不放球，有幾種放法？（答：C3A2+C2c2 =84） 13、涂色問題：（1）用計(jì)數(shù)原理處理的問題，需要關(guān)注圖形的特征：多少塊？多少色？（2）以涂色先后分步，以色的種類分類。例34、（2003全國）某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃

30、，花圃分為6個(gè)部分（如圖）。現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分要能栽種同種顏色的花，則不同的栽種方法有J20 種?例35、將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，若只有五種顏色可供使 用，則不同的染色種數(shù)為 j420應(yīng)該指出的是，上述所介紹的適用不同要求的各種方法并不是絕對(duì)的，對(duì)于同一問題有時(shí)會(huì)有多種方法, 這時(shí)要認(rèn)真思考和分析，靈活選取最佳方法。二項(xiàng)式定理應(yīng)用題的類型及解題策略1 .正確運(yùn)用二項(xiàng)式定理，解決與之相關(guān)的恒等式證明問題，進(jìn)一步熟悉二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式，靈活地應(yīng)用于復(fù)雜的多項(xiàng)式中，求某些項(xiàng)系數(shù)的問題.2 .會(huì)利用二項(xiàng)式定理解決某些整除性問題.1

31、.二項(xiàng)式定理及其特例：(1) (a+b)n =C；an +cnanb+|+C：anbr +H|+C；bn(nw n*),(1+x)n =1+C：x+|+C：xr +|H+xn.2 .二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：Tf =C；an'brr的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行Cn1. C：可以看成以r為3 .求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)的整數(shù)性.4二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）（a +b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1,2,3時(shí),兩端都是1,除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和5 .二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（a+b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是C：, C1, C

32、：,自變量的函數(shù)f(r),定義域是0,1,2, HI，n,例當(dāng)n=6時(shí)，其圖象是7個(gè)孤立的點(diǎn)(如圖)(1)對(duì)稱性.與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等(.cnm=cnn-),直線r =-是圖象的對(duì)稱軸. 2(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng) C，取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng) Cn2 , Cn2取得 最大值.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)和：(1 +x)n =1 +C：x + 川 + C；xr +IH +xn,令x=1,則 2n =C： +C： +C： +UI+C； +HI+C； . .二、講解范例：例 1 .計(jì)算：(x -1)5 +5(x -1)4 +10(x -1)3 +10(x -

33、1)2 +5(x -1)計(jì)算：1 +2C： +4C： +2nCn分析：本例是二項(xiàng)式定理的逆用.若正用二項(xiàng)式定理，亦可求解，但過程較繁.解：(x1)5+5(x1)4+10(x_1)3+10(x_1)2+5(x1) = (x1)+15 1=11 + 2C： +4C： +2nCn = (1 +2)n = 3n例2.證明恒等式：CM +C10 +C10 =21°分析：本題的證明方法值得注意，它是對(duì)二項(xiàng)式定理中的a、b取某些牛I殊值.證明：左邊=C10 +G10+111+61；= (1+1)10=210=右邊引伸：化簡(jiǎn) C0xn C'xn+C2xn" + +(1)nCnn解：

34、C0xn -C：xnJL +CnT +(1)nCn = (x -1)n例3.求證32nH2 -8n -9(nw N*)能被64整除.分析：考慮到用二項(xiàng)式定理證明，就需要多項(xiàng)式展開后的各項(xiàng)盡量多的含有82的式子.因此，可將32n七化成(32)n由=(8+1)n+再進(jìn)行展開，化簡(jiǎn)即可證得.證明： 32n 2 -8n 一9 =(8 1)n 1 -8n -9=(1 8C：1 82C21 HI 8nCn1 8n1)-8n-9= 82C218nCnV8n.1= 82(Cn1 -HI -8nC；d 8nJ)，多項(xiàng)式展開后的各項(xiàng)含有8232n* -8n _9(nwN*)能被 64 整除.引伸：求證923十1能

35、被10整除；求813除以9的余數(shù).例4.求(1 +x)2(1 x)5的展開式中x3的系數(shù).解：利用通項(xiàng)公式T.=cnan-br,則 (1+x)2 的通項(xiàng)公式 Tr+=C2 xr , r 0,1,25kkk k k(1 x)5 的通項(xiàng)公式 Tk4=C； .(x)k =(1)kC5kxk, k0,1,2,3,4,5令 k +r =3 ,則，k =1 或)/或 ) =3 ,從而 x3 的系數(shù)為C； +C；C； -C3 =5r =2%=1r =0引伸：求(1x3 )(1 +x)10的展開式中x5的系數(shù).(答案：207 )例5.求(Vx - J)15的展開式中的常數(shù)項(xiàng)和有理項(xiàng).x解：設(shè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

36、第r +1項(xiàng)，則30 JrTr1 =()C：5 (3x)15(1 )r =(一1)C；5 L (*)x由題意得_=。，解得”6,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng) 七5釬尸以:5。5.由題意可 得30-5WZ ,即r是6的倍數(shù)，又因?yàn)?Mr M15,所以r =0,6,12 故展開式中 的有理項(xiàng) 為 6T1 =(-1)° C* x5 =x5,T7 =5005, T13 =420x,. 2例6.已知：(x、+3x2)n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解：令x =1,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1 +3)n =22n

37、,又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2n,2n n - 2 一2 = 992 , n =5 .(1) n=5,展開式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，2222 T -C2(x_313(3x2)2 =90乂6 T =C3(X3)2/3乂2)3 =270x3I 3 C5 (x ) (3x ) 90x , 14 C5 (x ) (3x ) 270x ,210 .4r(2)設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則 1書=C；(x3)5"(3x2)r =3,C；x 3r r r 4rl3 C5 - 3 C579,，-r -3rC5 3 C!122226即展開式中第5項(xiàng)系數(shù)最大，T5 =C；（x3）（3x

38、2）4 =405x .插板法處理相同元素分配問題時(shí)間關(guān)鍵詞插板法 處理 相同元素 分配 例：8本相同的書分到編號(hào)為 1、2、3的三個(gè)閱覽室，按下列要求各 有多少種分配方案？每個(gè)閱覽室至少有一本書；每個(gè)閱覽室分到的書不少于其編號(hào)數(shù) ；每個(gè)閱覽室分 到的書不限。 分析：引入隔板模型，將書放成一排，插入2個(gè)隔板關(guān)鍵詞插板法 處理 相同元素 分配例：8本相同的書分到編號(hào)為1、2、3的三個(gè)閱覽室，按下列要求各有多少種分配方案？每個(gè)閱覽室至少有一本書；每個(gè)閱覽室分到的書不少于其編號(hào)數(shù)；每個(gè)閱覽室分到的書不限。分析：引入隔板模型，將書放成一排，插入2個(gè)隔板分成3部分依次分給1、2、3號(hào)閱覽室。插法種數(shù)就是

39、分配方案數(shù)。相同元素的分配問題是排列、組合中常見的一種題型。 處理此類問題一般有兩種方法：一是按要求先分組，然后再分配；二是引入隔板模型，利用“插板法”。一、先分組，再分配解：分組為（6、1、1）,（5、2、1）,（4、3、1）,（4、2、2）,（3、3、2）。符合條件的分配方案有 C13+C13C12+C13C12+C13+C23=21。先將每個(gè)閱覽室放入與其編號(hào)相同數(shù)的書，然后將剩下的2本書進(jìn)行分組，再分配。分組為（2、0、0）,（1、1、0）。符合條件的分配方案有 C13+C23=6種。分組為（8、0、0）,（7、1、0）,（6、2、0）,（6、1、1）,（5、3、0）,（5、2、1）,

40、（4、4、0）,（4、3、1）,（4、2、2）,（3、3、2）。符合條件的分配方案有 C13+C13C12+C13C12+C13+C13C12+C13C12+C23+C13C12+C13+C23=45二、插板法解：為保證三部分都有書，隔板只能向8本書中間的7個(gè)空插。共有 C25=21種插法；方法一：為保證第一部分至少有1本書，第三部分至少有3本書，從第1本書后到倒數(shù)第三本書前共有5個(gè)空，有C25種插法，由于兩隔板相鄰的插法（中間部分只有1本書）不符合要求，有4種。滿足條件的插法共有 C25-4=6 種。方法二：中間部分給編號(hào)為1的閱覽室，左、右兩部分分別給編號(hào)為2、3的閱覽室。左邊第二本書后到

41、右邊倒數(shù)第三本書前共有 4個(gè)空，有C24=6種插法。方法三：先分別放入比閱覽室編號(hào)小1的書（1號(hào)不放,2號(hào)放1本,3號(hào)放2本），然后再向剩下的5本書中間4個(gè)空插入2個(gè)隔板,C24=6種插法。方法一：從8本書的9個(gè)空才f入2個(gè)隔板有C29種插法，但不包含兩隔板插在一起（中間部分沒有書）的 情況,9個(gè)空有9種插法。滿足條件的插法共有C29+9=45種。方法二：先在8本書9個(gè)空插入一隔板，然后再在8本書及一隔板共10個(gè)空插入另一隔板，由于兩隔板無 序,滿足條件的插法有12X9X10=45種。排列組合之“捆綁法”、“插空法”、“插板法”排列組合的三大方法精要華圖公務(wù)員考試聯(lián)中心沈林在排理g合中，有三種

42、特別常用的方法：摑綁法、臉法、插極法.這三種方法有特定 的應(yīng)用環(huán)境,考生應(yīng)特別注意三種方法之間的差異及應(yīng)用方法.一、砌法精要：所謂捆綁法指在解決對(duì)于某幾個(gè)元索要求相等的問題時(shí)，先整體考慮，將+目部 元素視作一個(gè)整體參與排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間順序.提醒：其首要特點(diǎn)是腳？，其軟捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的邦樂問題中a工例蒯 有10本不同的書：其中數(shù)學(xué)書4本.外語書3本，語文書3本.若將這些書 排成一列放莊書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有（）種.解析:這是一個(gè)排序問題，書本之間是不同的,其中要求數(shù)學(xué)書和外語書都售囪生一起. 為快速解決這個(gè)問題，先將4本教學(xué)書

43、看做一個(gè)無素，將3本外語書看做一個(gè)無索，然后和 剩下的3本語文書共5個(gè)元素進(jìn)行統(tǒng)一排序，方法致為月，燃后排在一起的4本數(shù)學(xué)書之 間就序不同也時(shí)虛筑后整個(gè)排序不同，所以在4本書內(nèi)部也需要排序，方法數(shù)為父，同理， 外語書排序方法數(shù)為期而三者之間是分步過程，蟻而用乘法原理得4父&.t例題J 5個(gè)人站成一排,要求甲乙兩人站在一起，有多少種方法？解析，先將甲已兩人看成1個(gè)人，與剩下的3個(gè)人一趣排列，方法教為其，然后甲乙 兩個(gè)人也有順序要求，方法數(shù)為 <；,因此站隊(duì)方法數(shù)為印用。t練習(xí)一臺(tái)晚會(huì)上有6個(gè)演唱節(jié)目和4節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起.有多 少不同的型F節(jié)目的順序？注釋：運(yùn)用捆綁法時(shí)一

44、定要注意捆綁起來的整體內(nèi)部是否存在順序的要求，有的題目 有順序的要求，有的則沒有.如下面的例1題.工例題1 6個(gè)不同的球放到5個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多 少種方法?解析：按照題意，顯燃是2個(gè)球放到其中一個(gè)食子，另外4個(gè)球分別坡到4個(gè)盆子中， 因此方法是先從6個(gè)球中批出2個(gè)球作為一個(gè)整體放到一個(gè)盒子中，嫩后這個(gè)整體和軻下曲 4個(gè)球分別即列放到5個(gè)盒子中，就方法數(shù)是C；Z <,二，推空法精要:所謂插空法A旨在解決對(duì)于某幾個(gè)元箱屋不相等的問題時(shí)冼將其它元素排好， 再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置.提醒：首要特點(diǎn)是不算，其次是插空法一般應(yīng)用在排序問題中

45、.【例題】若有k/D、E五個(gè)人排隊(duì)要求A和甘兩個(gè)人必須不站在一起j則有害少排隊(duì)方法？解析；題中要求&B麗人徜g在一起，所以可以先將除A和B之外的3個(gè)人排成一批 分法數(shù)為現(xiàn)，然后再將A和B分別插入到其余3個(gè)人排隊(duì)所彩底的4個(gè)空中，也就是從4 個(gè)空中視出品個(gè)并排上兩個(gè)人，其方法數(shù)為因此總方法數(shù)收4【例題J 8個(gè)人排成TU，要求甲乙必須相鄰且與丙不木腳,有多少種方法？解析：甲己相鄰，可以捆綁看作一個(gè)無素，但這個(gè)整體無素又和丙不相鄰，所少先不排 這個(gè)甲己丙，而是排軻下的5個(gè)人，療法數(shù)為兒，然君再將甲乙構(gòu)成的整體元素雙丙這闞 個(gè)元素插74此前5人所形成的6個(gè)空里，方法數(shù)為 工：,另處甲已闞個(gè)人內(nèi)

46、部還存在排序 要求為用B眈總方法數(shù)為兒發(fā)是口陳習(xí)1 5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排，要求女生不能相鄰，有多少種方法?注釋：將要求不相鄰元素插入排好元素時(shí)，要注稀是否能夠插入兩端位置.【例若有A、B、匚& E五個(gè)人排隊(duì),要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起.且A和E不能站在兩端，則有簍少排隊(duì)方法？解析：底理同前，也是先排好C、D、E三個(gè)人，然后將hB查到C、D. E所影戲的 兩個(gè)空中，因?yàn)锳、B不進(jìn)的瑞.所以只有曲個(gè)空可選.方法總數(shù)為&月注釋：對(duì)于捆綁法和插空法的區(qū)別可簡(jiǎn)單記為“相第利隨舞法,不等潮融空等'三、插板法精要：所謂插板法，指在解決若干相同元素細(xì),要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采

47、用將比 所需分娼數(shù)目少1的板插入元素之間形成分妲的解題策略.提酶：其首要特點(diǎn)是元素相同其淡是每蟀少含有一個(gè)元素，一般用于俎合問題中口1例題將8個(gè)完全相旗球放到3個(gè)不同的盒子中.要求每T金子至少放一個(gè)球，- 共有多少種方法？解析：解決這道同題只需要聘8個(gè)球分成三孤 然后施次聘每一如分別放到一個(gè)盆子中 即可.因此問題只需要把8個(gè)球分成三姐即可，于是可以講2個(gè)球排成一排，然后周麗個(gè)板 查到&個(gè)球所形成的空里，即可瓶利的把8個(gè)球分成三組.其中第一板前面的球放到第一 個(gè)盒子中，第一個(gè)板和第二個(gè)板之間的俅放到第二個(gè)盒子中，第二個(gè)板后面的錢放到第三個(gè) 盒子中去,因?yàn)槊總€(gè)盒子至少被一個(gè)俅,因此畫個(gè)板不

48、吉滋在同一個(gè)空里且極不能放在兩端， 子是其放板的力誄數(shù)是0 0（根也是無區(qū)別的）I例題J有9顆相同國篇每天至少吃1顆，要4天吃完，有多少種吃法？解析：原理同上，只需要用3個(gè)板植入到9*鞋場(chǎng)成的8個(gè)內(nèi)部空隙，將9顆精分成4 如且每如數(shù)目不少于1即可口因而3個(gè)板互林鄰，其方法致為償.1陳習(xí)現(xiàn)有10個(gè)完全相同的籃球全部淄7個(gè)班皴-每班至少1個(gè)球，問共有舒 種不同的分法？注釋：每蛆允許有雪個(gè)元素時(shí)也可以用插板法，其原理不同，注意下題解;擲區(qū)別。例題將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，一共有多少種方法？解析,世質(zhì)中沒有要求每個(gè)盒子中至少放一件扎 因此其解法不同于上面的拈板法，俚 仍舊是插入2個(gè)根，分

49、成三姐甲但生分蛆的過程中，允許勒塊板之間沒有俅.其考慮思維為 插入場(chǎng)塊板后,與原來的8個(gè)球一共10個(gè)元素。所有為法數(shù)實(shí)際是這1。個(gè)元素的一個(gè)隊(duì)列， 但因切球之間無震別，板之間無差別，所以方法數(shù)實(shí)際為從10個(gè)元素所占的10個(gè)位置中挑 2個(gè)傳直加上2個(gè)板，其余位置全部放球即可,因此方法數(shù)為 翁注釋：特別注意插極法與捆綁法,抽空;卻謳別之處在于其元素是相用也四、具體應(yīng)用1例題1 一條馬路上有編號(hào)為1、2、一、9的九盞路燈，現(xiàn)為了節(jié)約用電，要將其中 的三餐關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不融關(guān)燈方法有多少種？解析：要關(guān)掉9盞打中的3番，但要求相鄰的燈不能關(guān)閉，因此可以先將要關(guān)掉的3 盞燈拿

50、出來，這樣還剩6盞燈，現(xiàn)在只需把求備關(guān)閉的3盞燈插入到亮著的6盞燈所形成的 空俅之間即可0 6番燈的內(nèi)部發(fā)的端共有了個(gè)空，地方法數(shù)為1洌題】一條馬路的兩邊各立著1。盞電燈,現(xiàn)在為了節(jié)省用電，決定每邊關(guān)掉3卷， 但為了安全道路起點(diǎn)和終點(diǎn)兩邊的燈必須是亮的.而且任意一邊不自彝續(xù)關(guān)掉兩盞.問總 共可以有多少總方案？As 120B、320 C、4J0口 42。解析，考慮一側(cè)的美燈方法，1 口盞燈關(guān)掉3裝，還剩7羞，因?yàn)槲魅鸬臒舨荒荜P(guān)，表 示3番關(guān)掉的燈只能插在7量燈形成的6個(gè)內(nèi)部空隙中，而不含綠在西端，墳為法數(shù)為 吠， 恿歷法數(shù)為C：=4。0口注釋：因?yàn)閮蛇呹P(guān)掉的喉肯定是一樣的t因?yàn)閮蛇吺峭鹊匚唬?/p>

51、而且總的種數(shù)是一 邊的種數(shù)乘以另一邊的種數(shù)，因此關(guān)的方案數(shù)一定是個(gè)平方數(shù)，只有C符合口湖南省漢壽縣第三中學(xué)艾鎮(zhèn)南第43頁/共38頁高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解排列組合應(yīng)用題的21種策略排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握， 實(shí)踐證明，掌握題型和解題方法，識(shí)別模式，熟練運(yùn)用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑； 下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略.1 .相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.例1. A,B,C, D,E五人并排站成一排，如果A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有A 60 種 B 、 48 種 C 、 3

52、6 種 D 、 24 種解析：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A4=24種，答案:D.2 .相離問題插空排：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī) 定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端 .例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A 1440 種 B 、3600 種 C 、4820 種 D 、4800 種解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A2種，不同的排法種數(shù)是A5A2 =3600 種，選 B.3 .定序問題縮倍法：在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍

53、數(shù)的方法 . 例3. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A,B可以不相鄰）那么不同的 排法種數(shù)是A 24 種 B 、60 種 C 、90 種 D 、120 種解析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是 5個(gè)元素全排列數(shù)的一 半，即1A5 =60種，選B.24 .標(biāo)號(hào)排位問題分步法：把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一 個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1, 2, 3, 4填入標(biāo)號(hào)為1, 2, 3, 4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的 標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有A 6 種B 、9 種 C 、11 種

54、 D 、23 種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它 三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有 3X3X1=9種填法, 選B .5 .有序分配問題逐分法：有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5. （1）有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需 2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這 三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是A 1260 種B 、2025 種 C 、2520 種 D 、5040 種解析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從 另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共

55、有 C12）C8C； = 2520種，選C.（2） 12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口 4人，則不同的分配方案有A、C：2C；C：種B 、3Ci：C；C4 種C 、C42C；A；種D、。12。3。4 種A答案：A.6 .全員分配問題分組法：例6. (1) 4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多 少種？解析：把四名學(xué)生分成3組有C2種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有 A3種,故共有C42a3 = 36種方法.說明：分配的元素多于對(duì)象且每一對(duì)象都有元素分配時(shí)常用先分組再分配.(2) 5本不同的書，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為A 480 種 B 、240 種 C 、120 種 D 、96 種答案：B.7 .名額分配問題隔板法：例7.10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一 個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案，故共有不 同的分配方案為C：=84種.8 .限制條件的分配問題分類法