1、第 34卷第 5期2009年 9月測(cè)繪科學(xué)Science of Surveying and M app ingVol 134No 15Sep 1 作者簡(jiǎn)介 :殷海峰 (19772 , 男 , 安徽樅 陽 , 在讀工程碩士 , 清華大學(xué)土木工程 系地 球 空 間 信 息 研 究 所 , 研 究 方 向 :GPS 接收機(jī)的二次開發(fā) (軟件 。 E 2mail:I ntelYin1261com 收稿日期 :2008206203緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算新法殷海峰 , 白征東 , 程伯輝( 清華大學(xué)土木工程系地球空間信息研究所 , 北京 100084; 中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院 , 北京 100039【 摘 要 】

2、在近幾年的公路建設(shè)中 , 各種復(fù)雜的緩和曲線越來越多 , 如 :匝道 、 C 型曲線 、 S 型曲線等 , 傳統(tǒng)的計(jì) 算方法在處理這類曲線時(shí)非常繁瑣 , 在實(shí)際應(yīng)用中有相當(dāng)?shù)睦щy 。 通過研究 , 本文介紹一種新的計(jì)算方法 , 它與 傳統(tǒng)的計(jì)算方法相比 , 新方法主要優(yōu)點(diǎn)有兩個(gè) :一是可以從任意一點(diǎn)開始起算 , 具有很大的方便性 ; 二是計(jì)算項(xiàng) 數(shù)可以進(jìn)行靈活擴(kuò)充 , 使之滿足要求的計(jì)算精度 。 新方法的這些優(yōu)點(diǎn)使其能夠輕松處理各種復(fù)雜的緩和曲線 , 對(duì) 實(shí)際的計(jì)算工作有一定的指導(dǎo)意義 。 【 關(guān)鍵詞 】 緩和曲線 ; 道路正算 ; 道路反算 【 中圖分類號(hào) 】 P23115 【 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼

3、】 A 【 】 222031 引言, 不 (直緩點(diǎn) 或緩直點(diǎn) ; , 一 般最高展到第 11次項(xiàng) , 如 :參考文獻(xiàn) 1的公式 (4 和 參考文獻(xiàn) 3的公式 (1 。 這種傳統(tǒng)方法的特點(diǎn)決定了它 只適合于鐵路和部分公路的緩和曲線計(jì)算 。近幾年 , 隨著高速公路 、立交橋建設(shè)的逐漸增多 , 各 種復(fù)雜的緩和曲線也越來越多 , 如 :匝道 , 其特點(diǎn)是曲率 半徑很小 , 僅僅展到第 11次項(xiàng)是不能滿足設(shè)計(jì) 、 施工要求 的 ; 還有 C 型曲線 (即卵形曲線 、 S 型曲線 , 使用傳統(tǒng)方 法完成這類曲線的計(jì)算首先要把曲率為零的點(diǎn)計(jì)算出來 , 這個(gè)步驟是比較繁瑣的 。因此 , 研究新的計(jì)算方法是很

4、有必要的 。為了方便后 面的敘述 , 有必要對(duì)一些基本概念進(jìn)行闡明 、 約定 。1 道路方向約定道路方向?yàn)?:前 與道路中心線相切 , 樁號(hào)增 加的方向 ; 后 “ 前 ” 的反方向 ; 左 , 右 假設(shè)一個(gè) 人沿著道路中心線由 “ 后 ” 向 “ 前 ” 走 , 他左邊的部分叫 “ 左 ” , 反之叫 “ 右 ” 。 規(guī)定道路前進(jìn)方向的方位角為 T 。2 距中點(diǎn)到道路中心線的距離就是距中 。因?yàn)橹行木€有兩側(cè) , 所以距中的描述一般為 “ 左 5m ” “ 右 6m ” 等 。 為了便于敘 述 , 特做如下約定 :在道路左邊的距中為負(fù) , 在道路右邊 的距中為正 , 簡(jiǎn)稱 “ 左負(fù)右正 ” 。

5、 本文以 JZ 表示 “ 距中 ” 。3 坐標(biāo)系統(tǒng)測(cè)量使用的坐標(biāo)系統(tǒng)與數(shù)學(xué)使用的坐標(biāo)系統(tǒng)是不同的 , 原因在于 :數(shù)學(xué)系中的方位角是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)增大的 , 這與 測(cè)量習(xí)慣不相符 。 因此在測(cè)量中引入了 “ 測(cè)量系 ” , 解決了 上述問題 。 測(cè)量系相當(dāng)于從背后觀看數(shù)學(xué)系 , 所以數(shù)學(xué)系。不過它們并 , 尤其涉及到方向的問題 。 許多參考文獻(xiàn)上推導(dǎo)緩 和曲線計(jì)算公式時(shí) , 都是以數(shù)學(xué)系為準(zhǔn)的 , 測(cè)量計(jì)算的時(shí) 候必須要考慮方向 、 坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換問題 。為了省去這種不必 要的麻煩 , 本文將全部以測(cè)量系為準(zhǔn) 。實(shí)際測(cè)量時(shí)的坐標(biāo)系 施工坐標(biāo)系大部分都是 “ 測(cè) 量系 ” 。 施工坐標(biāo)系重點(diǎn)用來描述各元

6、素之間的相對(duì)位置 , 所以它的原點(diǎn)一般意義不大 。圖 1 數(shù)學(xué)與測(cè)量坐標(biāo)系 4 曲率 、 曲率 半徑按照 數(shù) 學(xué) 上 的 定義 , 曲 線 上 某 點(diǎn) 的曲率 M =dL, 曲 率半徑 R 是曲率 M 的 倒 數(shù) 。公 式 中 L是樁 號(hào) , T 是 道 路前進(jìn) 方 向 , T 是 L的函數(shù) 。 需要注意的是 , 曲率和曲率半徑是有符號(hào)的 :根 據(jù)曲率計(jì)算公式 , 當(dāng) dL >0(沿道路向前走 , dT >0(右 轉(zhuǎn)彎 時(shí)曲率 >0。 所以規(guī)定曲率和曲率半徑的符號(hào) :沿道 路前進(jìn)方向走 , 左轉(zhuǎn)為負(fù) , 右轉(zhuǎn)為正 。5 道路正反算 規(guī)定 : 根據(jù)樁號(hào) L 、 距中 JZ 計(jì)算

7、該點(diǎn)平面坐標(biāo) x 、 y 和道路前進(jìn)方向 T 的步驟為正算 ; 根據(jù)平面坐標(biāo) x 、 y 計(jì) 算該點(diǎn)樁號(hào) L 、 距中 JZ 和道路前進(jìn)方向 T 的步驟為反算 。2 緩和曲線正算緩和曲線 最 本 質(zhì) 的 特 點(diǎn) 就 是 dL=M R a te , 公 式 中 M Rate 是一個(gè)常數(shù) 。即 :緩和曲線上曲率隨樁號(hào)的變化率為一常數(shù) 。因?yàn)?M =dL , 所以有 dL =2dL2=M R a te 。 可以得到 :M =MR a te (L -L 0 +M0; T =a (L -L 0 2+M0(L -L 0 +T 0公式中 a =2。 L 0、 M 0、 T 0是起算點(diǎn)的樁號(hào) 、曲率 、 前進(jìn)

8、方向 , 均為已知量 。令 s =L -L 0, 則有 :M =M R a te ×s +M0; T =as 2+M0s +T 0 第 5期 殷海峰等 緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算新法 令緩和曲線上的坐標(biāo)為 x c , y c , 則 dx c =ds ×cos T ; dy c =ds ×sin T所以 dx c +idy c =(cos T +i sin T ds =e iT ds 式中 i =-1, 可知 :x c-x 0+i (y c -y 0 =se iTds =(cos T 0+i sin T 0se i (as 2+M 0s ds(1上式中 (x 0, y 0

9、是樁號(hào) L 0處的坐標(biāo) , 即起算點(diǎn)坐標(biāo) 而ei (as 2+M 0s =+n =0i n (as 2+Ms nn!=+n =0nn!nr =0C r n a r M n -r 0sn 所以 :s 0ei (as 2+M 0s ds =u c +iv c =+n =0nn!nr = C r na r M n -rn +r+1n +r +=s +n =0nr =0i n (as 2 r (M s n -r r! (n -r ! (n +r +1(2(2 式代入 (1 式可得道路中心 (標(biāo)為 :c=0-sin T T 0u v +x 0y (3將道路中心點(diǎn)沿右方向 (方位角 =T +2, 也就是法

10、 方向 移動(dòng) JZ 才能得到最終要求的邊樁坐標(biāo) :=x c +J Z cos (T +2y c +J Z sin (T +2=x c -J Z sin y c +J Z cos (4 3 計(jì)算技巧及計(jì)算實(shí)例使用 (2 式進(jìn)行編程計(jì)算時(shí)請(qǐng)不要使用冪函數(shù) (即計(jì) 算 x y 。 因?yàn)樗挠?jì)算效率是比較低的 , 另外它可能造成數(shù) 據(jù)溢出 , 要么無法運(yùn)行 (如 :VB 中 , 要么計(jì)算結(jié)果不可靠 (如 :VC 中 。 下面介紹一種方法 :確定 (2 式中最大的 n, 這里假定 n 從 0算到 3, 請(qǐng)做一個(gè) 4×4的上三角矩陣 。 下 文中稱該矩陣為計(jì)算矩陣 。表 1 計(jì)算 矩陣n =0n

11、 =1n =2第 0行(2 00!=1a03第 1行211!第 2行 222! 第 3行233!n =3第 0列(M 0s 00!s =s第 1列(M 0s 11! s第 2列(M 0s 22! s第 3列(M 0s 33!s計(jì)算步驟 :1 計(jì)算最左邊那列數(shù)據(jù) 。 記第 i 行數(shù)據(jù)為 r ow (i , 則r ow (0 =1; r ow (1 =r ow (0 21; r ow (i =r ow(i -12i2 計(jì)算最下邊那行數(shù)據(jù) 。 記第 i 列數(shù)據(jù)為 col (i , 則 col (0 =s; col (1 =col (0M s1; col (i =col(i -1M s i3 計(jì)算矩陣

12、內(nèi)的元素 a ij =( (2i +j +14 將 i +j =n 的元素相加 。如 :n =2時(shí)應(yīng)該加 a 20、 a 11、 a 02這 n +1=3個(gè)元素 。記這個(gè)和為 S (n 。如 :S (2 =a 20+a 11+a 025 計(jì)算 u c 、 v c 圖 2 緩和曲線計(jì)算 請(qǐng) 將 u c 、 v c的初始值賦為零 , 完成一項(xiàng) S (n 的 計(jì)算后 , n (VCn 4n VB 以 n AND 3表示 。余 數(shù) =0時(shí) u c =u c+S (n ; 余數(shù) =1時(shí) v c =v c +S (n ; 余數(shù) =2時(shí) u c =u c -S (n ; 余數(shù) =3時(shí) v c =v c -S

13、 (n ;最終 :u c =S (0 -S (2 +S (4 -S (6 +111; v c =S (1 -S (3 +S (5 -S (7 +111下面舉例來說明如何計(jì)算 :表 2 已 知一 段 S 型 緩和 曲線 的信息樁號(hào) x y 前進(jìn)方向 TK0+000801980370110190°K0+1508115705141588132°58 1816047 如圖 2所示 , 已知一段S 型緩和曲線的信息如表 2。 請(qǐng)計(jì)算樁 號(hào) K 0+100,距中 -10的坐標(biāo) 。以 K 0+150為起算點(diǎn) , 則 :L 0=150; T 0=132°58 1816047 =2

14、132079632686606(弧度 ; M 0=1/50=0102(右 轉(zhuǎn)所以為正 ; x 0=811570; y 0=5141588; s =L -L 0=100-150=-50;L =L 1=0時(shí) , 曲率 M 1=-1/100(左轉(zhuǎn)所以為負(fù) ; L =L 2=150時(shí) , 曲率 M 2=1/50, M R a te =M -M L 2-L 1=50-150-0=010002; a =2=010001;K0+100處的 T =as 2+M0s +T 0=1157079632686606(弧度 =90°計(jì)算矩陣如下 :表 3 計(jì)算 矩陣-5010000025100000-8133

15、3332108333-01416670106944-41166673112500-11250000134722-0107440-01312500126042-01111610103255-01018600101628-0100723-01000900100081-0100004S (0 =-50100000 S (1 =20183333932測(cè)繪科學(xué) 第 34卷 S (2 =-5152083 S (3 =1107515S (4 =-0116568 S (5 =0102113u c =S (0 -S (2 +S (4 =-441645;v c =S (1 -S (3 +S (5 =191779;

16、根據(jù) (3 式 可 得 道 路 中 心 坐 標(biāo) x c =971529, y c =4681440, 根據(jù) (4 式 可 得 最 終 要 求 的 坐 標(biāo) (1071529, 4681440 。使用相同的方法 , 也可以以 K 0+000為起算點(diǎn)進(jìn)行計(jì) 算 , 這里就不贅述了 。4 計(jì)算精度上面的例子中 , 無法確切的知道樁號(hào) K0+100, 距中 -10的坐標(biāo) 。 比較有效的方法就是不斷增大計(jì)算用到的 n 值 , 看計(jì)算結(jié)果 (x, y 隨 n 的變化趨勢(shì) , 見表 4。表 4 計(jì)算結(jié)果 (x, y 隨 n 的變化趨勢(shì)n x y x n -x n +1y n -y n +1 111014084

17、199032434631802749057875-3176321398791741039532296640 21061645205915326467184228135451501786674416260013107143188033158646815751444559350101410715448140846954681453918412311-001510715293500009444681-00161071101000148928283 71071000012543088-01000013464079 81071527954117092-01000001018860-01000000949

18、167 910715279530982324681441330085648-0100000006521101000000069999 10107152795303302146814413301556470100000000440401000000004103 111071527953037425468144133015975001000000000238-01000000000256 1210715279530376634681441330159494-01000000000014-01000000000013 1310715279530376494681441330159481-010000

19、0000000101000000000001 14107152795303764846814413301594820100000000000001000000000000 1510715279530376484681441330159482可見 :計(jì)算結(jié)果隨著 n 的增大迅速收斂 。對(duì)于一般的 緩和曲線 , 如 :鐵路上的緩和曲線 , n 取到 5一般就能滿足 計(jì)算要求 。5 結(jié)束語511 新公式的優(yōu)點(diǎn)1 推導(dǎo)時(shí)就以測(cè)量系為準(zhǔn) , 實(shí)際測(cè)量計(jì)算時(shí)不需要在 數(shù)學(xué)系 、 測(cè)量系之間來回轉(zhuǎn)換 。2 可以從緩和曲線上任一點(diǎn)起算 , 具有很大的靈活 性 。 如 :計(jì)算實(shí)例中 , 采用傳統(tǒng)公式計(jì)算 , 需

20、要計(jì)算 S 型 曲線曲率為零的點(diǎn) , 然后以該點(diǎn)開始起算 。 新公式?jīng)]有這 個(gè)束縛 。3 傳統(tǒng)公式對(duì)曲率 、曲率半徑的符號(hào)沒有明確的定 義 , 實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要人工進(jìn)行分段 、判斷 。如 :計(jì)算實(shí)例 中 , 采用傳統(tǒng)公式計(jì)算 , 需要將 S 型曲線分成兩段分別進(jìn) 行計(jì)算 , 計(jì)算步驟比較繁瑣 。新公式規(guī)定了 “ 左轉(zhuǎn)為負(fù) , 右轉(zhuǎn)為正 ” 的原則 , 分段 、判斷的工作變成了簡(jiǎn)單的曲率 取正負(fù)號(hào) 。4 對(duì)于曲率及曲率變化都很大的緩和曲線計(jì)算 (如 :匝 道的計(jì)算 , 只需提高計(jì)算矩陣的階數(shù)即可 。這種算法特別 適合在微機(jī)上使用 VB 、 VC 等高級(jí)語言編程實(shí)現(xiàn) , 編程時(shí) 計(jì)算矩陣是完全可以省

21、略掉的 。5 公式 (2 不僅適用于緩和曲線 , 還適用于圓曲線 和直線 。 當(dāng) a 和 M都為零時(shí) , 就是直線 ; 當(dāng) a =0, M 0 0時(shí)就是圓曲線 。 對(duì)于圓曲線 (2 式可簡(jiǎn)化 :u c +iv c = s 0e i M 0s ds =sin (M s M 0+i1-cos (M s M 0這也是計(jì)算矩陣第 0行所有元素的和 , 當(dāng) M很大時(shí)就 可以省去計(jì)算第 0行的步驟 ;512(2, :C O fx , 最好還是從曲率 0=0, 即起算點(diǎn)曲率為零時(shí) ,uc+ivc=s+n =0n (2 nn! (2n +1下面介紹一下將起算點(diǎn)移至曲率為零點(diǎn)的方法 :假定起算點(diǎn)的樁號(hào)為 L1,

22、 其曲率和前進(jìn)方向分別為 M 1、 T 1, 則 T =a (L -L 1 2+M1(L -L 1 +T 1=a (L -L 0 2+T 0, 式中 L=L 1-MM R a te為曲率為零的樁號(hào) ; T=T 1-M 2 2M R a te 為L(zhǎng) 0對(duì) 應(yīng) 的 前 進(jìn) 方 向 , 在 計(jì) 算 實(shí) 例 中 :L 1=150; T 1= 132°58 1816047 ; M 1=0102; M R a te =010002代入上式 , 可算得 :L=50; T 0=75°40 3317984在微機(jī) 、 掌上電腦等計(jì)算平臺(tái)高速發(fā)展的今天 , 新公 式的缺點(diǎn)已經(jīng)不是什么問題 , 相

23、信在緩和曲線相關(guān)計(jì)算領(lǐng) 域它會(huì)有更廣闊的利用空間 。參考文獻(xiàn)1李全信 1緩和曲線平行線弓形面積的計(jì)算方法 J .勘察科學(xué)技術(shù) , 2006, (1 :2923312李全信 1緩和曲線平行線的通用參數(shù)方程及應(yīng)用 J 1鐵道勘察 , 2004, (6 :42613高淑照 , 史東晏 1緩和曲線非線性方程的快速解算 J 1測(cè)繪通報(bào) , 2006, (3 :2823014劉朝輝 1匝道施工中緩和曲線大地坐標(biāo)計(jì)算的統(tǒng)一 數(shù)學(xué)模型 J 1測(cè)繪通報(bào) , 2006, (10 :432451 5寧津生 , 等 1測(cè)繪科學(xué)發(fā)展綜述 J 1測(cè)繪科學(xué) , 2006, 31(1 1New m ethod of sp i ra l curve coord i n a te ca lcul a ti onAbstract:On high way constructi on in last few years, many kinds of comp licated s p iral curve are used more commonly, such as ramp, C 2type curve, S 2type curve, etc 1It s very comp licated in p r ocessing these curve