1、七年級下三角形綜合題歸類雙等邊三角形模型1 .(1)如圖7,點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連結(jié)AC和BD,相交于點E,連結(jié)BC.求/AEB的大小；(2)如圖8,AOAB固定不動，保持AOCD的形狀和大小不變，將AOCD繞著點。旋轉(zhuǎn)(AOAB和AOCD不能重疊)，求/AEB的大小.2 .已知:點C為線段AB上一點，ACM,zCBN都是等邊三角形，且AN、BM相交于O.求證：AN=BM求/AOB的度數(shù)ACAD AE同類變式：已知，如圖所示，在4ABC和4ADE中，ABAC,BACDAE,且點B,A,D在一條直線上，連接BE,CD,M

2、,N分別為BE,CD的中點.(1)求證：BECD;AMAN.(2)在圖的基礎上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)1800,其他條件不變，得到圖所示的圖形.請直接寫出(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立圖圖4.如圖，四邊形ABCtJ口四邊形AEFG勻為正方形，連接BG與DE相交于點H.(1)證明：ABG0/XADE；(2)試猜想BHD勺度數(shù)，并說明理由；(3)將圖中正方形ABCDS點A逆時針旋轉(zhuǎn)(0°<BAE<180。)，設4ABE的面積為S1,4ADG勺面積為S2,判斷S1與S2的大小關系，并給予證明.5.已知：如圖，ABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作DG/BC,交AC于點G

3、,在GD的延長線上取點E,使DEDB,連接AE,CD.(1)求證：AGE04DAC；(2)過點E作EF/DC,交BC于點F,請你連接AF,并判斷4AEF是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論.二、垂直模型(該模型在基礎題和綜合題中均為重點考察內(nèi)容)考點1:利用垂直證明角相等1.如圖，ZXABC中，/ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線，過C作CFXAE,垂足為F,過B作BDLBC交CF的延長線于D.求證：(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的長.考點2:利用角相等證明垂直1 .已知BE,CF是ABC勺高，且BP=ACCQ=AB試確定AP與AQ的數(shù)量關系和位置關系2 .

4、如圖，在等腰RtAABC,/AC母90°,D為BC的中點，DELAB,垂足為E,過點B作BF/AC交DE的延長線于點F,連接CF.(1)求證：CD=BF求證：AD±CF;連接AF,試判斷4ACF的形狀.拓展鞏固：如圖9所示,ABC是等腰直角三角形，/AC氏90°,AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E,交AD于點F,求證：/ADC=/BDEAB(提示：對比此題的條件和上面那題的條件，對比此題的圖形和上題的圖像，有什么區(qū)別和聯(lián)系？)3 .如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC.(1)試猜想AE與GC有怎樣的位置關系

5、，并證明你的結(jié)論；(2)將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使E點落在BC邊上，如圖2,連接AE和GC.你認為(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.G匚F(S2)4 .如圖1,ABC的邊BC在直線l上，ACBC,且ACBC,EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EFFP(1)在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系；(2)將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q,連接AP,BQ.猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系，請證明你的猜想；(3)將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線

6、交AC的延長線于點Q,連2AP,BQ,你認為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.(2)等腰三角形（中考重難點之一）考點1:等腰三角形性質(zhì)的應用1 .如圖，ABC中，ABAC,BAC90,D是BC中點，EDFD,ED與AB交于E,FD與AC交于F.求證：BEAF,AECF.2 .兩個全等的含30°,60o角的三角板ade和三角板ABC,如圖所示放置，E,A,C三點在一條直線上，連結(jié)BD,取BD的中點M,連結(jié)ME,MC.試判斷EMC的形狀，并說明理由.壓軸題拓展：（三線合一性質(zhì)的應用）已知 Rt ABC 中，AC BC

7、 , C 90 , D 為AB邊的中點，EDF90,EDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F.當EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時（如圖1）,易證SdefScef'Sabc.當EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，Sdef,Scef,SABC又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明.圖1A提示：此題為上面題目的綜合應用，思路與第一題相似。3 .已知：如圖，ABC中，/ABC=45°,CD，AB于D,BE平分/ABC,且BE，AC于E,與CD相交于點F,H是BC邊的中點，連結(jié)

8、DH與BE相交于點G。1(1) BF=AC(2)CE=-BF(3)CE與BC的大小關系如何2考點2:等腰直角三角形(45度的聯(lián)想)1 .如圖1,四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D,且直角頂點E在AB邊上滑動(點E不與點A,B重合)，另一條直角邊與/CBM的平分線BF相交于點F.(1)如圖14-1,當點E在AB邊的中點位置時： 通過測量DE,EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關系是 連接點E與AD邊的中點N,猜想NE與BF滿足的數(shù)量關系是請證明你的上述兩猜想.如圖142,當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N,使得NE=BF,進而猜想此

9、時DE與EF有怎樣的數(shù)量關系并證明2 .在RtAABC中，AOBC,/AC況90°,D是AC的中點，DG，AC交AB于點G.(1)如圖1,E為線段DC上任意一點，點F在線段DG上，且DE=DF連結(jié)EF與CF,過點F作FH，F(xiàn)G交直線AB于點H.求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)量關系并加以證明.(2)若E為線段DC的延長線上任意一點，點F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在圖1圖2同類變式：(期末考試原題哦)已知：ABC為等邊三角形，M是BC延長線上一點，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點A,且60o角的頂點E在BC上滑動，(

10、點E不與點B、C重合)，斜邊與/ACM的平分線CF交于點F(1)如圖(1)當點E在BC邊得中點位置時猜想AE與EF滿足的數(shù)量關系是.連結(jié)點E與AB邊得中點N,猜想BE和CF滿足的數(shù)量關系是.請證明你的上述猜想；(2)如圖(2)當點E在B C邊得任意位置時,BCM圖（2）圖（1）四、角平分線問題1 .如圖：E在線段CD上，EAEB分另I平分/DA出口/CBA,/AEB=90，設AD=x,BC=y,且x,y滿足x2y26x8y250(1)求AD和BC的長；(2)你認為AD和BC還有什么關系？并驗證你的結(jié)論；(3)你能求出AB的長度嗎？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由.2 .如圖，OP是/M

11、ON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：(1)如圖，在ABC中，/ACB是直角，/B=60°,AD、CE分另是/BAG/BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；（2）如圖，在ABC中，如果/ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不斷立，3 .（北京市中考模擬題）如圖，在四邊形ABCD中,AC平分BAD,過C作1CEAB于E,并且AE-（ABAD）,貝ABCADC等于多少？24 .如圖，ZXABC中，AD平分/B

12、ACDGLBC且平分BGDEIAB于E,DF±AC于F.(1)說明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=d,求AE、的長.5、在ABCt,AB=2ACAD平分/BAGAD=BD,求證：CD±AC6、如圖，已知在AB/,/BAC為直角，AB=ACD為AC上一點，CHBD于E.1(1)若BD平分/ABC求證CEjBR(2)若D為AC上一動點，/AEDto何變化，若變化，求它的變化范圍；若不變,求出它的度數(shù)，并說明理由7已知：如圖E在4ABC的邊AC上，且/AEBWABC(1)求證：/ABEWC(2)若/BAE的平分線AF交BE于F,FD/BC交AC于D,設AB=5AC=8

13、求DC的長。五、中點問題1 .在ABCt, D為BC的中點，過D點的直線GF交AC于F ,交AC的平行線BG于點G。DE GF ,并交AB于點E .連結(jié)EG .(1)求證：BG CF ；(2)請猜想BE CF與EF的大小關系，并加以證明2 . 如右下圖，在 ABC中，若 B 2 C , AD BC , E為BC邊的中點.求 證：AB 2DE .DE3.已知ABC中，ABAC,BD為AB的延長線，且BDAB,CE為ABC的AB邊上的中線.求證CD2CE（提示：倍長中線試試）附加思考題：（此題有很好地思維訓練價值，值得深入思考探究）以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtAC

14、E,BADCAE90.連接DE,M、N分別是BC、DE的中點.探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系.如圖當ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是；線段AM與DE的數(shù)量關系是;將圖中的等腰RtABD繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)（090）后，如圖所示，問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.6、問題：已知4ABC中，BAC2ACB,點D是4ABC內(nèi)的一點，且ADCD,BDBA.探究DBC與ABC度數(shù)的比值.先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析請你完成下列探究過程：并加以證明.（1）當BAC90時，依問題中的條件補全右圖.觀察圖形，AB與AC得數(shù)量關系為當推出DAC15時，可進一步推出DBC的度數(shù)為可得到DBC與ABC度數(shù)的比值為.（2）當BAC90時，請你畫出圖形，研究DBC與AB（t數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明.8、（1）如圖1,在正方形ABCD中，點E.F分別在邊BC,CD上,AEBF交于點O,