1、2013年浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽封面（在相應(yīng)的題號(hào)上打鉤）姓名年級(jí)（注1）專業(yè)手機(jī)號(hào)（注1）：須注明本科生或研究生及年級(jí)浙江理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)建模實(shí)踐基地二零一三年三月病人候診問(wèn)題摘要本文針對(duì)病人候診問(wèn)題，通過(guò)采用服從泊松分布的病人到達(dá)率和服從負(fù)指數(shù)分布的看病時(shí)間，建立病人候診單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)模型，來(lái)分析診所的工作狀態(tài)。針對(duì)問(wèn)題一，我們假設(shè)病人到達(dá)率服從泊松分布，病人的看病時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，診所容量無(wú)限，引入排隊(duì)論原理和“生滅過(guò)程”狀態(tài)方程表達(dá)出病人排隊(duì)看病過(guò)程，編寫(xiě)LINGO程序來(lái)運(yùn)算得到該診所內(nèi)排隊(duì)候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時(shí)間、醫(yī)生空閑的概率，以及排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)。同時(shí)通過(guò)

2、模型分析，給出了最優(yōu)服務(wù)率（即病人看病時(shí)間）的求解方程式。針對(duì)問(wèn)題二，我們?cè)趩?wèn)題一的基礎(chǔ)上將模型進(jìn)行推廣，在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上限制診所的容量，通過(guò)計(jì)算得出了診所內(nèi)排隊(duì)候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時(shí)間、醫(yī)生空閑的概率，以及排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)的表達(dá)式，將數(shù)據(jù)代入得到最后的結(jié)論。編寫(xiě)LINGO程序方便求解。得出最優(yōu)服務(wù)率的方程式。關(guān)鍵字：泊松分布，負(fù)指數(shù)分布，容量，排隊(duì)論，生滅過(guò)程，LINGO最優(yōu)服務(wù)率。一、問(wèn)題的提出某私人診所只有一位醫(yī)生，已知來(lái)看病的病人和該醫(yī)生的診病時(shí)間都是隨機(jī)的，若病人的到達(dá)服從泊松分布且每小時(shí)有4位病人到來(lái)，看病時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每個(gè)病人需要12分鐘。試分析該診所

3、的工作狀況，即求出該診所內(nèi)排隊(duì)候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時(shí)間、醫(yī)生空閑的概率等。二、模型的準(zhǔn)備本題是單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)模型，排隊(duì)是日常生活中常見(jiàn)的一種現(xiàn)象，其特點(diǎn)是：在一個(gè)排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中包含有一個(gè)或多個(gè)“服務(wù)設(shè)施”，有許多需要進(jìn)入服務(wù)系統(tǒng)的“被服務(wù)者”或“顧客”，當(dāng)被服務(wù)者進(jìn)入系統(tǒng)后不能立即得到服務(wù)，也就出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象。由于“被服務(wù)者”到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的時(shí)間不確定，是隨即的，所以排隊(duì)論又稱為“隨即服務(wù)系統(tǒng)理論”，因此，排隊(duì)論在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。如：病人候診，顧客到商店購(gòu)物，輪船入港，機(jī)器等待修理。排隊(duì)論主要研究的內(nèi)容是性態(tài)問(wèn)題，最優(yōu)化問(wèn)題和排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷。排隊(duì)論中的排隊(duì)系統(tǒng)由

4、下列三部分組成：（ 1）輸入過(guò)程，即顧客來(lái)到服務(wù)臺(tái)的概率分布。在輸入過(guò)程中要弄清顧客按怎樣的規(guī)律到達(dá)。（ 2）排隊(duì)規(guī)則，即顧客排隊(duì)和等待的規(guī)則，排隊(duì)規(guī)則一般有即時(shí)制和等待制兩種。所謂即時(shí)制就是當(dāng)服務(wù)臺(tái)被占用時(shí)顧客便隨即離去；等待制就是當(dāng)服務(wù)臺(tái)被占用時(shí)顧客便排隊(duì)等待服務(wù)。等待制服務(wù)的次序規(guī)則有先到先服務(wù)，隨機(jī)服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的先服務(wù)等。（ 3）服務(wù)機(jī)構(gòu)，其主要特征為服務(wù)臺(tái)的數(shù)目，服務(wù)時(shí)間的分布。服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是沒(méi)有服務(wù)員的，也可以是一個(gè)或多個(gè)服務(wù)員；可以對(duì)單獨(dú)顧客進(jìn)行服務(wù)，也可以對(duì)成批顧客進(jìn)行服務(wù)。和輸入過(guò)程一樣，多數(shù)的服務(wù)時(shí)間都是隨機(jī)的，但通常假定服務(wù)時(shí)間的分布是平穩(wěn)的。排隊(duì)論主要是研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)

5、行的效率，估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是否合理、研究設(shè)計(jì)改進(jìn)措施。因此，研究排隊(duì)問(wèn)題，首先要確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本量化指標(biāo)，然后求出這些指標(biāo)的概率分布和數(shù)學(xué)特征。要研究的系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)主要有：（ 1）隊(duì)長(zhǎng)指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)，期望值記作LS；（ 2） 排隊(duì)長(zhǎng)（隊(duì)列長(zhǎng)）指在系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記作Lq，即Ls=Lq+Ln，其中Ln為正在接受服務(wù)的顧客數(shù)；（3）逗留時(shí)間指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間，其期望值記作WS；（4）等待時(shí)間指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排對(duì)等待的時(shí)間，其期望值記作Wq，即Ws=Wq+a，其中a為服務(wù)時(shí)間；5）忙期服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)工作的時(shí)間長(zhǎng)度，記作Tb

6、；( 6)損失率由于系統(tǒng)的條件限制，使顧客被拒絕服務(wù)而使服務(wù)部門受到損失的概率，用Plost表示；( 7)服務(wù)強(qiáng)度絕對(duì)通過(guò)能力A,表示單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)完顧客的均值，或稱為平均服務(wù)率；相對(duì)通過(guò)能力Q,表示單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)完的顧客數(shù)與請(qǐng)求服務(wù)的顧客數(shù)之比值。要解決這里的病人候診問(wèn)題，只要分析排隊(duì)論中最簡(jiǎn)單的單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)問(wèn)題即可。所謂單服務(wù)臺(tái)是指服務(wù)機(jī)構(gòu)由一個(gè)服務(wù)員組成，對(duì)顧客進(jìn)行單獨(dú)的服務(wù)。下面通過(guò)對(duì)這類問(wèn)題的分析和討論來(lái)解決病人候診問(wèn)題。三、模型假設(shè)( 1)顧客源無(wú)限，顧客單個(gè)到來(lái)且相互獨(dú)立，顧客流平穩(wěn)，不考慮出現(xiàn)高峰期和空閑期的可能性。( 2)排隊(duì)方式為單一隊(duì)列的等待制，先到先服務(wù)。隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限

7、制。( 3)顧客流滿足參數(shù)為的泊松分布，其中是單位時(shí)間到達(dá)顧客的平均數(shù)。( 4)各顧客的服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為小的負(fù)指數(shù)分布，其中表示單位時(shí)間內(nèi)能服務(wù)完的顧客的平均數(shù)。(5)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的。四、模型的分析與建模確定系統(tǒng)在任意時(shí)刻t的狀態(tài)為n的概率Pn(t)。由假設(shè)知，當(dāng)t充分小時(shí)，在t,t+t時(shí)間間隔內(nèi)：有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為：t+(t)；沒(méi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為：1t+(t)；有一個(gè)顧客被服務(wù)完的概率為：tt+(t);沒(méi)有一個(gè)顧客被服務(wù)完的概率為:1t+(t);多于一個(gè)顧客到達(dá)或被服務(wù)完離開(kāi)的概率為：(t)；現(xiàn)在考慮在t+t時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率Pn(t+t)，可能

8、有四種情況A:時(shí)刻t顧客數(shù)為nPn(t+t)=pn(t)(1t)(1-t)B：時(shí)刻t顧客數(shù)為n+1Pn(t+t)=Pni(t)(1t)tC：時(shí)刻t顧客數(shù)為n1Pn(t+t尸Pni(t)(t)(1t)D:時(shí)刻t顧客數(shù)為nPn(t +t 尸 Pn(t)( t)( t)這是一個(gè)生滅過(guò)程，四種情況相互獨(dú)立，則有Pn(t+t尸pn(t)(1t-t)+Pn1(t)t+pni(t)t+(t),令t0,則得dPn tdtPn l(t)Pn1(t)-(+ ) Pn(t),n=1,2,當(dāng)n=o時(shí)，類似有dpt=-P0t+Pitdt于是，一般的，有dp。(t)dtdPn(t)dtn=1,2Po(t)Pn 1(t)P

9、1(t)Pn 1(t)(五、模型求解)Pn(t)此方程為差分微分方程，假設(shè)t,極限存在，于是有=0,Pnt=Pn則狀態(tài)平衡方程為( P。P1 0 Pn 1 Pn1Pn 0,(n 1)令=一,它表示平均每單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)可以為顧客服務(wù)的時(shí)間比例，它是刻畫(huà)服務(wù)效率和服務(wù)機(jī)構(gòu)利用程度的重要標(biāo)志，稱為服務(wù)強(qiáng)度。我們的問(wèn)題求解將在<1的條件下進(jìn)行，否則系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)的長(zhǎng)度將無(wú)窮增大，永遠(yuǎn)不能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)由差分方程(1),得Pn=nPo,n=0,1,2,又由概率的性質(zhì)Pn=1和<1,得n0n111.P0()(；)1n01從而pn(1)，n0,1,2,下面我們就可以計(jì)算出系統(tǒng)的一些重要運(yùn)行指標(biāo),(1)

10、隊(duì)長(zhǎng)nLs=n1n(1-)=1(2)隊(duì)列長(zhǎng)Lq= n 1 Pn=Ls-=n 1(3)逗留時(shí)間逗留時(shí)間服從參數(shù)為分布密度分別為F W =1-e w 和 fw=(的負(fù)指數(shù)分布，分布函數(shù)和w) e所以Ws = E W(4)等待時(shí)間等待時(shí)間=逗留時(shí)間一被服務(wù)時(shí)間，即1Wq=Ws-=由題意可得=4,5,從而，該診所內(nèi)平均有病人人數(shù)為：Ls =4 (人)該診所內(nèi)排隊(duì)候診病人的平均數(shù)為：Lq =3.2 (人)看一次病平均所需的時(shí)間： Ws=-1 1(小時(shí))排隊(duì)等候看病白平均時(shí)間： Wq =0.8 (小時(shí))-、山一口-1診所的醫(yī)生空閑的概率，即診所中沒(méi)有病人的概率為：Po5結(jié)論：由結(jié)果可知病人平均等待的概率為

11、0.8,病人平均等待時(shí)間0.8h,系統(tǒng)排隊(duì)長(zhǎng)3.2人，病人平均逗留時(shí)間為1h,系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)4人。六、模型推廣在剛剛的建模中，我們考慮的是顧客源為無(wú)限的情形。在實(shí)際情況下，我們常考慮系統(tǒng)容量有限的模型（記之為模型）。這類模型，可以在模型假設(shè)中將原模型假設(shè)中的假設(shè)1中“認(rèn)為顧客源無(wú)限”改為“認(rèn)為排隊(duì)系統(tǒng)的容量為N,即排隊(duì)等待的顧客最多為N1,在某時(shí)刻一顧客到達(dá)時(shí)，如系統(tǒng)中已有N個(gè)顧客,那么這個(gè)顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)”，其他假設(shè)一樣。Po(t)Po(t)Pi(t)Pn(t)Pnl(t)Pnl(t)()Pn(t),A1,2,N1當(dāng)n=N時(shí)，由同樣的方法得：'Pn(t)Pn1(t)Pn(t)在穩(wěn)態(tài)情況

12、下，令一,得)Pn，n 1,2, ,N 1P1PoPn1Pn1(1PnPn1PoP1Pn與，1N1NPn 1在條件n 1下，解得1n一，PnNT,nN,11這里，不用假設(shè)<1（因?yàn)槲覀兿拗屏讼到y(tǒng)的容量）。得到的各種指標(biāo)為:(1) Lsnpnn 0LsnPn(2)NLqn1Pnn1NLqn1Pnn1(3)Ws1WqWs一應(yīng)該指出，效是指有效到達(dá)率，它與平均到達(dá)率不同。這兒對(duì)Ws，Wq的導(dǎo)出過(guò)程中用效而不采用主要是由于當(dāng)系統(tǒng)已滿時(shí)，顧客的實(shí)際到達(dá)率為1nPn0P01(1P0)1P00。又正在被服務(wù)的顧客的平均數(shù)為n0,又概率1P。，從而效1-P。把病人候診問(wèn)題修改為：某私人診所只有一位醫(yī)生，

13、診所內(nèi)有8個(gè)椅子，當(dāng)8個(gè)椅子都坐滿時(shí),后來(lái)的病人不進(jìn)診所就離開(kāi)了,病人平均到達(dá)率為5人/小時(shí)，醫(yī)生每小時(shí)可診6個(gè)病人，試分析該服務(wù)系統(tǒng)，給出求解該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型和一般的計(jì)算公式，并計(jì)算求出該診所內(nèi)排隊(duì)候診病人的期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時(shí)間、醫(yī)生空閑的概率等。N9,5,6,56診所的醫(yī)生空閑的概率，即診所中沒(méi)有病人的概率為:P00.1988從而，該診所內(nèi)平均有病人人數(shù)為915915Ls=-6F69L3.074（人）1515616該診所內(nèi)排隊(duì)候診病人的平均數(shù)為：Lq=Ls1po=2.272（人）系統(tǒng)的有效到達(dá)率：效1-p。=4.807看一次病平均所需的時(shí)間：WsL/=0.639（小時(shí)）/效

14、1-排隊(duì)等候看病白平均時(shí)間：WqWs=0.472（小時(shí)）結(jié)論：由結(jié)果可知排隊(duì)等待時(shí)間0.472h,排隊(duì)長(zhǎng)2.27.看病完成需要0.639h,醫(yī)生空閑概率0.1988。七、最優(yōu)化問(wèn)題針對(duì)問(wèn)題一模型，設(shè)目標(biāo)函數(shù)zcscwLs,即單位時(shí)間服務(wù)成本與顧客等待費(fèi)用之和的期望值，其中cs表示1（單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)完一個(gè)顧客）時(shí)服務(wù)機(jī)構(gòu)的服務(wù)費(fèi)用，cw為每個(gè)顧客在系統(tǒng)中停留單位時(shí)間的費(fèi)用，由dz-Ls=，則zcscw,求其最小值，令0,解得最優(yōu)dG元，于是單位時(shí)間收入的期解*ccw/,即為最優(yōu)服務(wù)率。針對(duì)問(wèn)題二模型，設(shè)系統(tǒng)服務(wù)完一個(gè)顧客收入望值為1pNG,則系統(tǒng)的純利潤(rùn)為NNz1PnGcsG-Ncs令dz0,得

15、dn i N (N 1)1NVN 1csGNN1*其中Pnb，用數(shù)值方法求解出的數(shù)值解。111韓中庚出版社 2007 195-22321徐全智楊晉浩出版社.2003 95-107八、參考文獻(xiàn)實(shí)用運(yùn)籌學(xué)模型、方法與計(jì)算清華大學(xué)數(shù)學(xué)建模高等教育九、附錄附錄一:診所容量無(wú)限制的模型下，求出該診所內(nèi)排隊(duì)候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時(shí)間、醫(yī)生空閑的概率的LINGO程序：Model:S=1;R=4;T=1/5;load=R*T;Pwait=peb(load,S);W_Q=Pwait*T/(S-load);L_Q=R*W_Q;W_S=W_Q+T;L_S=W_S*R;End運(yùn)行結(jié)果：Vari

16、ableValueS1.000000R4.000000T0.2000000LOAD0.8000000PWAIT0.8000000W_Q0.8000000L_Q3.200000W_S1.000000L_S4.000000病人平均等待的概率為0.8，病人平均等待時(shí)間0.8h，系統(tǒng)排隊(duì)長(zhǎng)3.2人，病人平均逗留時(shí)間為1h,系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)4人。附錄二：診所容量有限制的模型下，求出該診所內(nèi)排隊(duì)候診病人的數(shù)學(xué)期望，病人每看一次病平均所花費(fèi)的時(shí)間、醫(yī)生空閑的概率的LINGO程序：MODEL:sets:num_i/1.9/:P;endsetsc=1;N=9;L=5;T=1/6;P0*L=(1/T)*p(1);(L+1

17、/T)*p(1)=L*p0+c/T*p(2);for(num_i(i)|i#gt#1#and#i#lt#N:(L+c/T)*p(i)=L*p(i-1)+c/T*p(i+1);L*p(N-1)=c/T*P(N);P0+sum(num_i(i)|i#le#N:P(i)=1;Plost=p(N);Q=1-p(N);L_E=Q*L;L_S=sum(num_i(i)|i#le#N:i*P(i);L_Q=L_S-L_E*T;W_S=L_S/L_E;W_Q=W_S-T;end運(yùn)行結(jié)果為VariableValueC1.000000N9.000000L5.000000T0.1666667P00.1987690PLOST0.3852276E-01Q