1、江蘇省第一屆1991年高等數學競賽本科競賽試題有改動一、填空題每題 5分,共50分1 .函數y sin x sin x 其中x 一的反函數為.22 .當x 0時,3x 4sin x sin xcosx x與xn為同階無窮小,那么 n 3 .在x 1時有極大值6,在x 3時有極小值2的最低哥次多項式的表達式是4 .設 p(x)nm、nd (1 x )dxn,m,n是正整數,那么p15 . 2 x/ 2 x.cos(x )sin xdx6 .假設函數x x(t)由 t2x 2 一,、一,一 一. d xe t dt 0所確定的隱函數,那么 -41dt27 .微分方程y,yU)有特解yx那么xx 2

2、z8 .直線繞z軸旋轉,得到的旋轉面的方程為y 19 .v為單位向量,a 3b垂直于7a4b垂直于7a 2b ,那么向量a、b的夾角為10 . lim 1n12n222 n2 n2 n二、7 分 設數列an滿足an2,anan2, n1,求 lim an.nb三、7分求c的值,使 x ccosx c 0 ,其中b a. a2222四、12分求由曲面x y cz, x y a,b,c為正實數.22a ,xy b和z 0所圍區域的體積其中1,如此不斷重復 試問該極限位置與20 f(x)dx五、12分一點先向正東移動 am,然后左拐彎移動 aqm 其中0 q 左拐彎,使得后一段移動距離為前一段的 q

3、倍,這樣該點有一極限位置, 原出發點相距多少米？六、12分fx在0,2上二次連續可微,f1 0,證實其中 M maxfx,江蘇省第二屆1994年高等數學競賽本科一級競賽試題有改動一、填空題每題 5分,共50分,11.11.limL.1nm 4n 1 4n 2 4n 2n2 .設z是由方程組 x t 1C0sz確定的隱函數,那么 cy tsinzx23 .設 fx x2一,0 a b,求曲線y x ax與直線y bx所 3x 2ncosa ,貝U fn2.164 .設四階常系數線性齊次微分方程有一個解為xy xe cos2x,貝U通解為5.平面 Ax By Cz 0 (C0與柱面2 y b21(

4、A,B0相交成的橢圓面積為6.a, b是非零常向量br r2, (a, b)r ra xb一,貝U lim3 x 0 x7.1(cot x)3dx8.橢球面x2 2y2 4z2 1與平面x yz幣0之間的最短距離為. 一, .- b、10分a, b滿足 x dx a、8分試比擬,與的大小.四、10分設區域D : x2y2 t2, (t 0), f (x, y)在 D上連續.求證:f (0, 0).1lim = f (x, y)dxdy t 0 2Dxcosx .-dxosin x、xe )1五、10分求不定積分x1六、10分通過線性變換2x ay, x by將方程一ux24y0化簡成求a,b的

5、值.七、12分1fx在0,1上具有二階連續導數,且f 0f(1) 0, f(x)0,證實：0f (x).江蘇省第三屆(1996年)高等數學競賽本科三級、專科競賽試題(有改動)一、填空題(每題 5分,共40分)1 x t2L.1.右 a 0 , lim dt limsin( 一 x)tan3x,那么 a .x 0 x sin x 0at x _62 .假設 f(x) x(2x 1)(3x 2)(100x 99),那么 f (0) .1113 .當x大于一且趨向于一時, -3arccosx與a(x )b為等價無窮小,那么222a , b .4 .5 .直線x 2y 3z 2在平面z 1上的投影為直

6、線 L,那么點(1,2,1)到直線L的距離為2x y z 36.設 與 均為單位向量,其夾角為 面積為.那么以+ 與+為鄰邊的平行四邊形的d7 .設當 x0時 一 f (sin x)dx8 .設函數y y(x)是由x3d 一 2一 f 2(sin x), f (0) 0,那么 f (0) dxy3 3axy 0 (a 0)確定,那么 lim x二、(10分)x x x 0設y f (x) x,x 0;討論f(x)的連續性,求單調區間、極值與漸近線.0 ,x 0三、(10分)設f(x)=x 2(x 1)2(x 3)2.(1)(本科三級考生做)試問曲線yf(x)有幾個拐點,證實你的結論 .(2)(

7、專科考生做)試問f (x) 0在區間(0,3 )上有幾個實根,證實你的結論四、(10分)假設f (u)是連續函數,證實0 xf(sinx)dx=- f (sin x)dx,并求 2xSinx一廠 dx.2 0 '0 3sin2x 4cos2 x五、(10分)|arctanx-arctany|,又 f(1)=0,設f(x)在區間0,1上可積,當0 x<y 1時,|f(x)-f(y)|-11求證：|°f(x)dx| -ln 2.六、(10分)x y 0x 3y 1 0求過點(11, 9, 0),而與兩直線Li :、L2 :相交的直線方xyz40y z 2 0程.七、(10分

8、設f(t)連續函數,求證 f(x y)dxdyAI I I A AAf(t)(A t)dt,D:x 2 y 1江蘇省第四屆(2002年)高等數學競賽本科三級、專科競賽試題(有改動)、填空題(每題 5分,共40分)1.xm0,1 x . 1 xJ x223 .設 f(x)=_22.函數 f(x)= X3x 2 x x的不可導點的個數為4.(本三考生做)設變量x,y,t滿足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函數f, F的一階偏導數連續,那么dy一=.dx,_ ,1 1 (專科考生做)設嶇)的導數連續,且f (0) =0,那么lim f(xt)dtx 0x 02x z 1 十5(本三考生做)直

9、線l過點 M (1,-1, 0)且與兩條直線11:和x y 3z 5x 2 t,l2: y 1 4t,垂直,那么l的參數方程為. z 36. ln x dx .2n 12,x ax bx7 .設 f (x) lim 加(n N),極限 limf(x)與 lim f(x)都存在.,那么nx 1x 1x 1a、b8 .設f(x)為偶函數,g(x)為奇函數,且f (a) 2, g (a) 3 (a 0),那么 f ( a) g ( a).、(9分)求 lim sin( vn2n).、(9分) 為正常數,使得不等式 xex對任意正數x成立,求 的最大值.四、設函數f (x)在a,b上二階可導,對于a,

10、b內每一點x, f (x) f''(x) 0,且在a,b的子區間上f (x)不恒等于零.試證f (x)在a,b中至多有一個零點.o 1o 2五、(9 分)設連續函數 f (x)滿足 f(x) = x x 0 f (x)dx x ° f (x)dx,求f (x).1 x六、9分設fx x x x表布不超過x的最大整數,求極限lim 1 fxdx.x x 0七、9 分有一形狀為直角三角形的薄銅片,其密度fx,y k1 x 2y,x 0, y 0,1 x 2y 0,k為常數.今 從中截取一矩形銅片該矩形兩條鄰邊位于三角形的兩條直角邊上使其質量最大,求該矩形銅片質量與原直角三

11、角形銅片質量之比.這里假設八、6分地面雖然不太平坦,但請證實一張小方凳經過適當旋轉總可以放平穩 小方凳四條腿的端點 A, B, C, D為正方形四個頂點.江蘇省第五屆(2000年)高等數學競賽本科三級、民辦本科競賽試題(有改動)、填空題(每題 3分,共15分)一 d 311. 一f (x3),那么f (x) dxx12. lim(tan x)1nxx 0Q1 X3. - dx .x . x2 14 .設z z(x,y)由方程F x y, y z, z x 0所確定,F為可微函數,那么z zx ya,5 . f(x) f ( x)sin xdx a二、選擇題(每題 3分,共15分)2xe 1 一

12、1.函數f(x)的可去間斷點為()x(x 1)A、x 0,1B、x 1 C11 y2.改變積分次序 0 dy 丫21f (x, y)dx (A、1dx cf(x,y)dyc 0dx .1Ff(x,y)dyD、x 0 D 、無可去間斷點)0- fx11 xB、1dx 0f (x, y)dy 0dx ° f(x,y)dy11 x、1dx cf(x, y)dyB、連續但不一定可微D、不一定可微也不一定連續處取()eB、極小值 一23 .設f(x)可導,F(x) f (x)(1 sinx),欲使F(x)在x 0處可導,那么必有()A、f (0)0B、f (0)0C、f (0)f(0) 0D、

13、f(0)f (0)04 .假設事去而都存在,那么f(x,y)在%*是()A、連續且可微C、可微但不一定連續.2x 2, ,15 . f (x,y) e (x y 2y)在點一,12eA、極大值 一2C、不取得極值D、極小值e三、(8分)設2ln(1 x) (ax bx )x2 t2-e dt0dx ,2 ,求常數a,box(ln x)2四、(6分)設z (1xy)y,求 dz(1,1).五、(6分)f (x)g(x)設f(x),g(x)在a,b上連續,在(a,b)內可導,且對于(a,b)內的一切x均有f (x)g (x) 0,證實：假設f (x)在(a,b)內有兩個零點,那么介于這兩個零點之間

14、,g(x)至少有一個零點.六、6分計算二重積分|y x2 |dxdy,其中積分區域 D:x 1,0 y 2.D七、8分過拋物線 y x2上一點a,a2作切線,問 a為何值時所作切線與拋物線y x2 4x 1所圍成的圖面積最小？八、6分當x 0時,Fx ：x2 t2fdt的導數與x2為等價無窮小,求 f 0.,、一1.九、(8分)計算 -dx .022(1 x )(1 x )十、8分求兩直線y 2x和y x 3之間的最短的距離.1 z x卜一、6分5+ x求F8xx ,dx.1十二、8分設f(x)在(上連續,且滿足f(t) 222x yt2(x2 y2) f G/x2y2)dxdy t4 ,求

15、f(x).江蘇省第六屆2002年高等數學競賽本科三級,民辦本科競賽試題、填空題每題5分,共40分c(c 0),那么 k,c2.設f(x)在1,+)上可導,以下結論中成立的是 .A.假設 lim f (x) 0,那么 f(x)在1,+)上有界x +B.假設 lim f (x) 0,那么f(x)在1,+)上無界x +C.假設 lim f (x)=1,那么 f(x)在1,+)上無界x +3. 設由 e y x(y x) 1 x確定y=y(x),那么y (0) .4. (arcsinx arccosx)dx .1 .5. dx .4 . x(1 x)26.z f()g(ex,sin y), f的二階導

16、數連續,g的二階偏導數連續,那么 xx y1 3 x7 .交換積分次序0 dx x2 f (x, y)dy .8 .函數f(x,y)=2x-y+1滿足方程x2 y2 5的條件極大值為,條件極小值為二、(8 分)ba設f (x)在0 ,+ )上連續且單調減少,0 a b,證實：a a f(x)dx b ° f(x)dx.三、(9分)設 f(x)=kx+sinx.假設k 1,求證：f(x)在(-,+ )上恰有一個零點；假設0<k<1,且f(x)在(-,+ )上恰有一個零點,求常數k的取值范圍.四、(8 分)求 2exUinxdx.01 cosx五、(9 分)設 f (x, y

17、),1,、yarctan-2 ,(x, y).x y(0,0)一 _,試討論f (x, y)在點(0,0)處的連續性、可偏導性與可微性.0,(x, y) (0,0)六、(8分)設z f (x, y), x(y), f的二階偏導數連續,可導,d 2z(y求全導數1.dx七、(9分)設 f(u)在 u=0可導,f(0)=0,D:x2 y2 2tx, y 0,求 Jm土 f (Tx'y2 )ydxdy ° t D八、(9 分)求 |sin(x y) |dxdy, D : x 0, y 0,x y 一 d2江蘇省第七屆2004年高等數學競賽本科三級、民辦本科競賽試題填空題每題5分,共

18、40分4.limn1n2 4.n2 1622n 4n2.limxxarctan! xx2k3 .右x 0時,x sin xcosxcos2x與cx為等價無否小,貝U c 4 . f x x4 ln 1 x ,那么 n 4 時,f n 0.x 一.5 .設函數 z arctan ,貝U dz1, 1 yx sin xcosx , 6. 2-dx .cosx xsin xa7. f x f x sin xdx a8.設 d ：x ,yx 0 x 10 其他f y f x y dxdy D、10分設f x在a,b連續,在 a,b可導；f aba, f xadx證：在 a,b內至少存在一點u ,使得f

19、' u f u u 1.、10分設D：y2 x24, y x, x y 2, x y 4.在D的邊界y x上任意取點22一P,設P到原點的距離為t,作PQ垂直于y x交D的邊界y x 4于Q.求：1將P,Q的距離PQ用t表示；2將D繞y x旋轉一周所得立體的體積.四、10分設f x在 ,上有定義,f x在x 0處連續,且對一切實數 不？2有f x1 x2 f x1 f x2 ,求證：f x在 , 上處處連續.一、一 1_上恰有一根,求k的取值范圍.五、10分設k為常數,方程kx 1 1 0在0,六、10 分設 fx,y 可微,f 1,21, fx 1,22, fy 1,23,x f f

20、 x,2x ,2 f x,2x ；求 12o sin x"4. f x 1 x x e ,那么 f0 .5.設函數由 x zeyz確定,那么 dz e,0.6.函數f x, y e x ax b y2中常數a, b滿足條件 時,f 1,0為 其極大值.七、10 分求 d 2 1 e d0 2江蘇省第八屆2006年高等數學競賽本科三級、民辦本科競賽試題二、 填空題每題5分,共40分2c22.12n1 - lim -tt-LT- 32.nm n1n2n nx 1 t22. 那么./ 1dt -3.假設 |im Mx2 3x 2 ax b .,貝U a ；b . x7.交換二次積分的次序2

21、dxex1xx, y dy一 dxdy y228.設 D： 2x x、8分設f x2axbsin xc, x0、問:0a,b,c為何值時,函數在x 0處一階導數連續,但二階導數不存在?三、9分過點1,5作曲線 ：y x3的切線L.的面積；3 D的x 0局部繞x軸求：1 L的方程；2 與L所圍平面圖形D 旋轉一周所得立體的體積.四、8分f x在區間0,上有連續的導數,1；證實:ex1, x 0,五、8分1 arctan x r dx0 1 x六、9分設圓柱面x2y21, z 0被柱面z x2 2x 2 ,及平面z 0截下的部分為.為計算的面積,用鐵片制作了的模型,A 1,0,5 ,B 1,0,1

22、 ,C 1,0,0為上的三點,現將 沿線段BC剪開并展開為平面圖形 D.建立平面直角坐標系,使得D位于x軸的正上方,且點 A 1,0,5的坐標為0,5 .求：1 D的邊界方程；2求D的面積.七、9分用拉格朗日乘數法求函數 f x, y x2 V2xy 2y2在區域x2 2y2 4上的 最大值與最小值.八、9分設D為y x；x -； y 0所圍的平面圖形,求,2cos x y dxdyD江蘇省第九屆2021年高等數學競賽本科三級競賽試題1、假設ljmax 2 xarctanxbx x一,那么a2; b 填空題每題5分,共40分2、lim1nm k 1 k k 3'3、f x x x 1

23、x 2 x 100 ,那么 f 1004、常數a , b的階數最高.時,f x ax x2 -x在 x1 bx0時,關于x的無窮小5、2 sin2 x cos3 xdx06、dxnxz7、設 z ,那么一-| 2,1x y y8、設 D：由 y x, x 0 , y1 所圍,貝Uarctan ydxdyD、8分設數列 xn為：x1 1,xn 1<6 xn ；求證：數列 xn收斂,并求極限.、8分設f x在區間a,b上連續,f x dx 0.a證實：存在 a, b ,使得 f x dx f .aa2, 0 a b繞直線x 3b四、8分將xoy平面上的曲線 x b 2 y2旋轉一周所得立體的體積.五、8分設f x, y 222 x yx y 2 x, yx y0x, y0,0討論f x,y在0,0處的連0,0續性,可偏導性,可微性.六、10分曲面4x2 4y2 z21與平面z x y 0的交線在xoy面上的投影曲線為一橢圓,求該橢圓的面積七、8分在平面 ：x2y z 20內作直線,使過另一直線L ： x 2y