1、向量數量積的物理背景與定義教案1(新人教B版必修4)2.3.1向量數量積的物理背景與定義(舞蹈附中 孟婷)(一)教學目標1 知識與技能：(1)通過物理中的功等實例，理解平面向量數量積的含義 和物理意義.(2)體會平面向量的數量積與向量投影的關系.(3)掌握平面向量數量積的重要性質及運算律.(4)了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂 直的問題.2 過程與方法：(1)通過物理中的功等實例，引出向量數量積的概念.(2)運用幾何直觀引導學生理解定義的實質.(3)進一步結合具體例題，加強對數量積性質的運用. 3 情感、態度與價值觀： 有物理背景出發引出數量積的概念，進而從幾何直觀引導學 生自

2、主探索數量積的性質，培養學生的自主探索能力.(二)教學重點、難點教學重點是向量的數量積的定義及性質.教學難點是對向量數量積定義及性質的理解和應用.（三）教學方法 有物理背景出發，介紹數量積的概念，教學中采用提出問題， 引導學生通過觀察、類比的方式，探索數量積的性質，進而 結合例題運用性質加強理解.（四）教學過程教學環節 教學內容師生互動設計意圖復 習 提 問（1）向量的概念.（2）向量的加減法和數乘運算.提問引入： 我們已經學過平面向量的加減法和數乘運算，那么自然會想 到兩個向量能否進行乘法運算呢？學生回答復習舊知識 引出新知識概念形成1向量數量乘積的物理背景 問題：如果一個物體在力F的作用下

3、產生的位移s，那么力F所做的功w等于多少？教師提問 學生回答 教師給出向量的數量積的概念.以物理問題為背景，使學生從中受到啟發，為引入向量的數 量積的概念做準備.2兩個向量的夾角已知兩個非零向量a、b,=a,= b.則/AOB稱作向量a和向 量b的夾角,記作a，b并規定0wa,bw強調：（1）求兩向量的夾角，應保 證兩個向量有公共起點，若沒有，須平移.2）范圍0a,bw.3)a，b=b，a4)a，b=0時, a、b同向a，b=時，a、b反向a，b=時，a丄b.（5）規定：零向量與任意向量垂直.借助幾何直觀加深學生對兩向量夾角的理解，為學習向量數 量積的定義打好基礎。3向量在軸上的正射影（1）概

4、念：已知向量a和軸I，作=a，過點Q A分別作軸I的垂線，垂 足分別為O1, A1，貝V向量叫做向量a在軸I上的正射影.（2）正射影的數量：正射影在軸I上的坐標， 稱作a在軸I上的數量或在軸I方 向上的數量.記作：al向量a的方向與軸I的正方向所成的角為6，則有a在軸I上的數量或在軸l方向上的數量是一個數量，不是向量.當?為銳角時為正值； 當?為鈍角時為負值； 當?為直角時為0； 當? = 0?時為|a|；當? = 180?時為?|a|.教師給出正射影的概念 在正射影的概念的基礎上給出正射影的數量的概念。 在學生了解兩個概念的基礎上，進一步探索發現夾角和正射 影數量的關系.借助多媒體形象地展現

5、正射影的數量，它可正、可負、可為 零:學生在了解向量在軸上的正射影及正射影的數量的基礎上,自主探索發現其性質,提高自主學習的能力。同時進一步加 深對向量在軸上的正射影的理解。4 向量的數量積（內積） 定義：叫做向量a和b的數量積（或內積） 記作：ab即ab =了解概念概念深化 概念講解：1數量積a?b等于a的長度與b在a方向上正投影的數量|b|cos?的乘積.2.兩個向量的數量積是一個實數，符號由a,b的符號所決定；而數乘向量是一個向量。3.兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1) e?a = a?e =|a|cos?2) a?b ? a?b = 03) a

6、?a = |a|2或4) cos? =；|a?b|w|a|b|師生共同探索：問題1：兩個向量的數量積的幾何含義是什么？問題2：兩個向量的數量積與數乘向量有什么區別？問題3：兩個向量的數量積的性質給出概念提出問題隨著問題的解決進一步加深學生對新概念的理解與掌握.應 用舉例例：已知=5，=4，a,b解：a?b =5X4Xcos120= -10.教師板書規范寫法 通過練習，進一步鞏固所學知識2.3.2向量數量積的運算律教學環節 教學內容師生互動 設計意圖復習引入 復習向量數量積的相關知識教師提問學生回答為研究向量數量積的運算律作準備概念形成問題1：數量乘 法滿足的運算律，對于向量的數量積運算是否也同

7、樣滿足呢 交換律：=b? a成立嗎？教師提問 學生思考并討論 在教師的引導下，讓學生自主探索問題2：對于乘法分配律， 向量的數量積運算是否還滿足？（a+b）?c=a? c+b? c另外，還有數乘以向量的乘積有：入（a?b）=（入a） ?b=a?（入b）教師提示：直觀上，不太容易看出它是否成立，可引導學生 從向量數量積的幾何意義出發，看看分配律是否成立.應用 舉例例1求證：1)2)3)例2：求證菱形的兩條對角線互相垂直.對菱形ABCD記=,=，則=+.=其中=. =(+)( )=22=22=0.二丄即對角錢互相垂直.要求學生運用向量的數量積的運算律證明.菱形是邊長都相等的平行四邊形邊長相等怎么用？對菱形ABCD記=,=，則=+.=其中=./=(+)( )=22=22,到此，可看出邊長相等的作用了.練習的目的是加