1、三三平面與圓錐面的截線平面與圓錐面的截線1.等腰三角形底邊上的高線與一條直線的關系如圖,AD是等腰三角形ABC底邊BC上的高,BAD=,直線l與AD相交于點P,且與AD的夾角為 .則:(1)當時,l與AB(或AB的延長線),AC都相交;(2)當=時,l與AB不相交;(3)當,則平面與圓錐的交線為橢圓;(2)若=,則平面與圓錐的交線為拋物線;(3)若,則平面與圓錐的交線為雙曲線.特別提醒當 時,平面與圓錐的交線為圓.【做一做1】 已知圓錐的母線與軸的夾角為50,一個平面與圓錐軸的夾角為40,則該平面與圓錐面的截線為 ()A.橢圓B.圓 C.雙曲線D.拋物線解析:因為=50,=40,所以該平面與圓

2、錐面的截線為雙曲線.答案:C3.圓錐曲線的結構特點(1)橢圓上的點到兩個定點(焦點)的距離之和為常數(長軸長2a);(2)雙曲線上的點到兩個定點(焦點)的距離之差的絕對值為常數(實軸長2a);(3)拋物線上的點到一個定點(焦點)和一條定直線的距離相等.4.圓錐曲線的幾何性質(1)焦點:Dandelin球與平面的切點.(2)準線:截面與Dandelin球和圓錐交線所在平面的交線.(3)離心率:_.名師點撥圓錐曲線的統一性橢圓為封閉圖形,雙曲線、拋物線為不封閉圖形,雖然其圖形不一樣,但它們都可以用平面截圓錐面得到,因此,橢圓、雙曲線、拋物線統稱為圓錐曲線.它們都滿足曲線上的點到焦點的距離與到準線的

3、距離之比為常數(離心率e).當e1時,曲線為雙曲線.定義上的統一,必然也蘊含著圖形上的統一.答案:A 思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“”,錯誤的畫“”.(1)用一個不經過圓錐頂點的平面截圓錐面,截線只可能是橢圓、雙曲線、拋物線. ()(2)在圓錐的兩部分分別嵌入Dandelin球,與平面的兩個切點分別為F1,F2,則F1,F2即為平面截圓錐所得雙曲線的焦點. ()(3)所有圓錐曲線都有兩個焦點和兩條準線. ()(4)平面截圓錐面,所得圓錐曲線的離心率等于截面和圓錐的軸的交角的余弦與圓錐的母線和軸所成角的余弦之比. ()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二思維辨析當堂

4、檢測平面截圓錐面截線形狀的判斷平面截圓錐面截線形狀的判斷【例1】在空間中,取直線l為軸,直線l與l相交于O點,夾角為,l圍繞l旋轉得到以O為頂點,l為母線的圓錐面.任取平面,若它與軸l的交角為,求證:時,平面與圓錐面的交線是雙曲線(如圖所示).分析:利用Dandelin雙球方法作答.探究一探究二思維辨析當堂檢測解:如圖,當時,平面與圓錐的兩部分相交.在圓錐的兩部分分別嵌入Dandelin球,與平面的兩個切點分別是F1,F2,與圓錐兩部分截得的圓分別為S1,S2. 在截口上任取一點P,連接PF1,PF2.過P和圓錐的頂點O作母線,分別與兩個球相切于Q1,Q2,則PF1=PQ1,PF2=PQ2,所

5、以|PF1-PF2|=|PQ1-PQ2|=Q1Q2.由于Q1Q2為兩圓S1,S2所在平行平面之間的母線線段長,因此Q1Q2為定值.故由雙曲線的定義知,平面與圓錐的交線是雙曲線.探究一探究二思維辨析當堂檢測變式訓練變式訓練1在【例1】中的情形下,說明當=時,平面與圓錐面的截線是拋物線(如圖).探究一探究二思維辨析當堂檢測解:如圖,設平面與圓錐內切球相切于點F1,球與圓錐的交線為S,過該交線的平面為,與相交于直線m.在平面與圓錐的截線上任取一點P,連接PF1,過點P作PAm,交m于點A,過點P作的垂線,垂足為B.連接AB,則ABm,所以PAB是與所成二面角的平面角,連接PO與S相交于Q1,連接BQ

6、1,則BPQ1=,APB=.在RtAPB中,PB=PAcos ;即PF1=PA.動點P到定點F1的距離等于它到定直線m的距離.故當=時,平面與圓錐面的截線是拋物線.探究一探究二思維辨析當堂檢測平面截圓錐面截線的幾何性質平面截圓錐面截線的幾何性質【例2】一平面截圓錐的截線為橢圓,橢圓的長軸長為8,長軸的兩端點到頂點的距離分別為6和10,則橢圓的離心率為()解析:如圖為截面的軸面,則AB=8,SB=6,SA=10.答案:C 探究一探究二思維辨析當堂檢測反思感悟研究圓錐曲線的幾何性質時,關鍵是理解Dandelin雙球法,掌握圓錐曲線的焦點、準線、離心率與Dandelin球與平面的切點、交線以及夾角之

7、間的關系.探究一探究二思維辨析當堂檢測解析:設平面與軸線夾角為,母線與軸線夾角為,由題意,答案:A 探究一探究二思維辨析當堂檢測審題不清致誤【典例】 已知圓錐的頂角為50,圓錐的截面與軸成30角,則截線是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線錯解:由于=50,=30,所得截線是橢圓,因此選B.糾錯心得本題錯誤在于沒有弄清定理2中角的含義,角是指圓錐的母線與軸的夾角,而不是指圓錐的頂角,是指截面與圓錐軸的夾角,在求解中必須注意弄清角,的含義.探究一探究二思維辨析當堂檢測變式訓練變式訓練已知圓錐的頂角為60,截面與母線所成的角為60,則截面所得的截線是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線解析:該

8、圓錐的軸截面如圖所示,由題意知,截面與圓錐的軸垂直,故截線為圓. 答案:A探究一探究二思維辨析當堂檢測1.已知AD是等邊三角形ABC上的高,直線l與AD相交于點P,且與AD的夾角為,當l與AB(或AB的延長線),AC都相交時,的取值范圍是()解析:作出圖形,由圖形計算可得.答案:D2.一圓錐面的母線和軸線成30角,當用一與軸線成30的不過頂點的平面去截圓錐面時,所截得的截線是()A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.兩條相交直線解析:因為=30,所以截線為拋物線.答案:C探究一探究二思維辨析當堂檢測3.已知圓錐母線與軸線夾角為60,平面與軸線夾角為45,則平面與圓錐交線的形狀是,其離心率為. 探究一探究二思維辨析當堂檢測4.用一個平面去截一個正圓錐,而且這個平面不通過圓錐的頂點,則截線會