1、嚴(yán) F 第辰章 平面向量及其應(yīng)用_LIU ZHANG 6.1平面向量的概念K ! 4B K IB BiBia *!IB ! B a LB. K 6.1.16.1.1向量的實際背景與概念6.1.2向量的幾何表示危6.1.3相等向量與共線向量程標(biāo)推訂.通過對力、連度、位移等的分析解平面向量的實際背最*理解平面向量的意義和兩牛向相等、井線的含 義.2.理眸平面向址的幾何表示和慕本要素.教學(xué)重點：向尿的糯會*其堤向量、相等向H:的概念和向雖的幾何表示.教學(xué)難點：計向応柢念秋;理解.核心概念掌握(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.(2)數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.知識點- 知識導(dǎo)學(xué)向量與數(shù)

2、量裁師獨具內(nèi)容】知識點二向量的表示具有方向的線段叫做有向線段.它包含三個要素：起點、_方向、長度.1-幾何表示】 用ED有向線段來表示向量亍甌有向 線段的長度表示向量的大小，匪1有向線段的表示法方向表示向量的方向， 即用有向線段的起點、終點字母表示，如A氏L_-1字母表示：用小寫字母虹表示（手寫時 必須加箭頭）.一“.、 “”Z”.- “ 一 2,“， 一 丄向量的大小稱為向量的長度（或稱模）.知識點三向量的有關(guān)概念向量名稱定義零向量區(qū)長度為0的向量記作U單位向量畫長度等于1個單位長度的向量平行向量（共線向量L_甌方向相同或相反的非零向量；向量a.ba.b平行記作a/a/ b,b,規(guī)定：零向量

3、與任意向量平行向量名稱定義相等向量固長度相等且方向相同的向量；向量a.ba.b相等己作a a = = b bJ J-新知拓展-1.向量與數(shù)量的區(qū)別（ 1 ）向 量 被 賦 予 了 幾 何 意 義 ， 即 向 量 是 具 有 方 向 的 ， 而 數(shù) 量 是 一 個 代 數(shù) 量 ， 沒有方向；(2)數(shù)量可以比較大小，而向量無法比較大小，即使|a a|b b|，也不能說 a ab b;(3) 0與0不同.0表示數(shù)量，但0表示零向量，其中|0|=0.2.向量與有向線段區(qū)別：從定義上看，向量有大小和方向兩要素，而有向線段有起點、方向、 終點三要素，因此這是兩個不同的量.聯(lián)系：向量可以用有向線段表示，但這

4、并不是說向量就是有向線段.3.共線向量與相等向量(1)共線向量的定義指的是非零向量的共線問題；(2)共線向量中的向量所在的直線可以平行，也可以重合，與平面幾何中的 “共線”“平行”不同；(3)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量.共線向量僅僅 指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.特別注意：(1)判斷兩個向量的關(guān)系：一要判斷大小，二要判斷方向，如遇上 零向量，必須注意其方向的任意性.(2)定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒有確定方向.我們規(guī)定零 向量的方向是任意的；單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同.N 評價自測1.判一判(正確的打“V”，錯誤

5、的打“X”)(1)兩個向量能比較大小.()(2)向量的模是一個正實數(shù).()(3)單位向量的模都相等.()(4)向量AB與向量BA是相等向量.()答案(1)X(2)X V X2.做一做(1)下列說法正確的是()A.若|a a|b b|，則 a ab bB.若|a a|=|b b|,貝Ua a= b bC.若 a a= b b,貝Ua a 與 b b 共線D.若 a a b b,則 a a 一定不與 b b 共線(2)如圖，四邊形ABCD中，AB=DC,則必有()L)AaA. AD=CB B. OA=OC C. AC=DB D. DO=OB ABC是等腰三角形，則兩腰上的向量AB與AC的關(guān)系是_

6、.如圖所示，四邊形ABCD為正方形，BCE為等腰直角三角形，1圖中與AB共線的向量有_;2圖中與AB相等的向量有_;3圖中與AB模相等的向量有 _ ;4圖中與EC相等的向量有_.答案CD模相等 (4)DC，CD，BE，EB，AE，EA，BADC，BE 3DC，CD，BA，BE，EB，DA，AD，CB，BCBD核心素養(yǎng)形成題型一 向量的有關(guān)概念例1下列說法正確的是（）A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C.向量的大小與方向有關(guān)D.向量的模可以比較大小解析A項，不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，不正確；B項,方向相同的向量也不能比較大小

7、，不正確；C項，向量的大小即向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關(guān)，不正確；D項，向量的模是一個數(shù)量，可以比較大小，正確.答案D金版點睛解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心 方向和長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且 長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量 的核心是方向沒有限制，長度是0;規(guī)定零向量與任意向量共線.只有緊緊抓住 概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題.跟蹤訓(xùn)練1給出下列命題：1若向量 a a =AB, b b=BA,則|a a|=|b b|;2若 a a 是單位向量，b b 也是單位向

8、量，則 a a 與 b b 的方向相同或相反；3若向量AB是單位向量，則BA也是單位向量；4以坐標(biāo)平面上的定點A為起點， 所有單位向量的終點P的集合是以A為圓 心的單位圓.其中正確的個數(shù)是_ .答案3解析 正確，由于|a a 匸|AB|=AB,|b b|=|BA|=BA=AB,因此有|a a|=|b b|.2不正確，由單位向量的定義知，凡長度為1個單位長度的向量均稱為單位 向量，但是對方向沒有任何要求，因此說法不正確.T TTT3正確，因為|AB匸|BA|，所以當(dāng)AB是單位向量時，BA也是單位向量.T4正確，由于向量|AP|=1,所以點P是以點A為圓心的單位圓上的一點反T過來，若點P是以點A為

9、圓心，1為半徑的單位圓上的任一點，則由于|AP匸1,T所以向量AP是單位向量，因此說法正確.題型二 向量的幾何表示例2某人從A點出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點，然后改變方向按東北方向走了10 2米到達(dá)C點，到達(dá)C點后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點.T T T(1)作出向量AB，BC，CD;T(2)求AD的模.T T T解作出向量AB，BC，CD如圖所示.(2)由題意得，BCD是直角三角形，其中/BDC=90BC=1廉米，CD=10米，所以BD=10米. ABD是直角三角形，其中/ABD=90AB=5米，BD_ T=10米，所以AD52+102=5.5(米).所以|AD|=5. 5米.金版點睛向量的

10、兩種表示方法幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長 度確定向量的終點.(2)字母表示法：為了便于運算可用字母 a a，b,b, c c,表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量，如AB,CD,EF等.跟蹤訓(xùn)練2某次軍事演習(xí)中，紅方一支裝甲分隊為完成對藍(lán)軍的穿插包圍，先從A處出 發(fā)向西迂回了100 km到達(dá)B地，然后又改變方向向北偏西40走了200 km到達(dá)C地，最后又改變方向，向東突進(jìn)100 km到達(dá)D處，完成了對藍(lán)軍的包圍. (1)作出向量AB,BC,CD;求|AD|. 解(1)向量AB,BC,CD，如圖所示. 由題意，易知AB

11、與CD方向相反,故AB與CD共線. 又|AB匸|CD|,在四邊形ABCD中，AB綊CD,四邊形ABCD為平行四邊形.AD=BC,AD|=|BC|=200 km.題型三 相等向量與共線向量例3若|a a 匸|b b|,貝Ua a= b b;T T2若A,B,C,D是不共線的四點，貝U AB=DC是四邊形ABCD是平行四邊 形的充要條件；3若 a a= b,b, b b= c c,貝Ua a = c c；f|a a|=|b b|,4兩向量 a a, b b 相等的充要條件是_a/ b b;5|a a|=|b b|是向量 a a= b b 的必要不充分條件；TT6AB=CD的充要條件是A與C重合、B

12、與D重合.其中真命題的個數(shù)是 _TTT如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且OA= a a,OB= b,b,OC= c c.A 81與 a a 的長度相等、方向相反的向量有哪些？2與 a a 共線的向量有哪些？3請一一列出與 a a, b b, c c 相等的向量.解析不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同，因此由|a a 匸|b b 推不出 a a= b.b. 正確. AB=DC,JAB|=|DC|且AB/DC.又TA,B,C,D是不共線的四點，四邊形ABCD是平行四邊形.反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB 綊DC,且AB與DC方向相同，因此AB=DC.3正確.a a

13、= b,b,：a a, b b 的長度相等且方向相同.又vb= c,c,：b,b, c c 的長度相等且方向相同，a a, c c 的長度相等且方向相同.故 a a= c c.4不正確.當(dāng) a/ba/b,但方向相反時，即使|a a匸|b b|,也不能得到 a a 二 b b,故a a 匸 b bi, 不是 a a= b b 的充要條件.a/ba/b?5正確.這是因為|a a|=|b b|/a a= b b, 但 a a= b b? |a a|=|b b|,所以|a a|=|b b|是 a a= b b 的必要不充分條件. 6不正確.這是因為AB=CD時，應(yīng)有|AB匸|CD及由A到B與C到D的方

14、向相同，但不一定要有A與C重合、B與D重合. DO,CB;與 b b 相等的向量有DC,EO,FA與 c c 相等的向量有FO,ED,AB.答案(1)3(2)見解析結(jié)論探究本例(2)條件不變，試寫出與向量BC相等的向量. 解OD,AO,FE.與 a a 的長度相等、方向相反的向量有OD,BCAO,FE.與 a a 共線的向量有EF, BC,OD,FE,CB,DO,AO, DA,AD.與 a a 相等的向量有EF,綜合探究在本例中，若|a a|=1,則正六邊形的邊長如何？解 因為ABCDEF是正六邊形，|a a 匸1,所以正六邊形的邊長也是1.相等向量是指大小相等且方向相同的向量共線向量是方向相

15、同或相反的非 零向量，共線向量也叫平行向量相等向量一定是共線向量，而共線向量不一定 相等向量相等具備傳遞性，而向量的共線不具備傳遞性.跟蹤訓(xùn)練3下列命題：1兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同；2若非零向量AB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點共線；3若 a a / b b 且 b bIIIIc c，貝Ua a / c c；4若四邊形ABCD是平行四邊形，則一定有AB=DC.其中真命題的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3(2)如圖所示，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形.1找出與向量AB共線的向量；2找出與向量AB相等的向量.答案(1)B(2)見解析解析(1)相等向量起點相同

16、時，終點必相同，故錯誤；向量的共線不同于點共線，故當(dāng)AB與CD共線時，四點A，B，C，D不一定共線，即錯誤；當(dāng) b b =0時，a a 與 c c 沒有任何關(guān)系，故錯誤；AB與DC同向且等長，則AB=DC,故 正確. (2)依據(jù)圖形可知，DC，ED，EC與AB方向相同，BA，CD，DE，CE與AB方金版點睛共線向量與相等向量的區(qū)別與聯(lián)系 向相反，所以與向量AB共線的向量為BA,CD,DC,ED,DE,EC,CE. 由四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形，知DC,ED與AB長度相等且方向 相同，所以與向量AB相等的向量為DC和ED.隨堂水平達(dá)標(biāo)1有下列物理量：質(zhì)量；速度；力；加速度；路程；功. 其中，不是向量的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析 速度、力、加速度這3個物理量是向量，它們都有大小和方向，其余 的不是向量.2.在下列判斷中，正確的是（）長度為0的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；單位向量的長度都相等；單位向量都是同方向；任意向量與零向量都共線.A.B.C.D.答案D解析 由定義知正確，由于零向量的方向是任意的，故兩個零向量的方 向是否相同不確定，故不正確.顯然正確，不