課時分層作業(三十五)(本試卷共73分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，則|z|＝()A．0 B．1C．eq\r(2) D．2C[因為z＝－1－i，所以|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2).故選C．]2．(2025·德州模擬)已知復數z滿足z－i(2＋z)＝0，則z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1＋i D．1－iB[由z－i(2＋z)＝0，可得(1－i)z＝2i，所以z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i.故選B．]3．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虛數單位，若z－eq\x\to(z)＝2eq\r(3)i，則復數z的虛部為()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．eq\r(3)i D．2eq\r(3)iA[z－eq\x\to(z)＝2bi＝2eq\r(3)i，解得b＝eq\r(3).故選A．]4．已知i是虛數單位，則化簡eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2025的結果為()A．i B．－iC．－1 D．1A[因為eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq\f(1＋2i＋i2,2)＝i，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2025＝i2025＝i.]5．若復數z＝eq\f(a＋i,3－i)(其中a∈R，i為虛數單位)為純虛數，則復數z－1在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B[依題意，z＝eq\f(a＋i,3－i)＝eq\f(a＋i3＋i,3－i3＋i)＝eq\f(3a－1,10)＋eq\f(a＋3i,10)，由z為純虛數，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＝0，,a＋3≠0，))解得a＝eq\f(1,3)，復數z－1＝－1＋eq\f(1,3)i，所以復數z－1在復平面內對應點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))，位于第二象限．故選B．]6．(2025·濟南模擬)已知復數z1，z2滿足2|z1|＝|z2|＝|2z1－z2|＝2，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋\f(1,2)z2))＝()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)B[設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則2eq\r(a2＋b2)＝eq\r(c2＋d2)＝eq\r(2a－c2＋2b－d2)＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4,8－4(ac＋bd)＝4，即ac＋bd＝1，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋\f(1,2)z2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)d))2)＝eq\r(a2＋b2＋\f(1,4)c2＋d2＋ac＋bd)＝eq\r(1＋\f(1,4)×4＋1)＝eq\r(3).故選B．]二、多項選擇題7．下列命題正確的是()A．復數z＝－2－i的虛部為－1B．設z為復數，(1－i)z＝1＋i，則|eq\x\to(z)|＝2C．若復數z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數，則a＝0，b≠0D．復數2－i在復平面內對應的點在第二象限AC[對于選項A：復數z＝－2－i的虛部為－1，故A正確；對于選項B：因為(1－i)z＝1＋i，則z＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝i，所以|eq\x\to(z)|＝|－i|＝1，故B錯誤；對于選項C：若復數z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數，則a＝0，b≠0，故C正確；對于選項D：復數2－i在復平面內對應點為(2，－1)，在第四象限，故D錯誤．故選AC．]8．已知復數z1，z2，則下列說法中正確的是()A．|z1z2|＝|z1|·|z2|B．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|C．“z1z2∈R”是“z1＝eq\x\to(z)2”的必要不充分條件D．“|z1|＝|z2|”是“zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)”的充分不必要條件AC[A：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，所以|z1z2|＝eq\r(ac－bd2＋ad＋bc2)＝eq\r(a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2)，|z1||z2|＝eq\r(a2＋b2)eq\r(c2＋d2)＝eq\r(a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2)，則|z1z2|＝|z1||z2|，故A正確．B：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，所以|z1＋z2|＝eq\r(a＋c2＋b＋d2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋bd)，|z1|＋|z2|＝eq\r(a2＋b2)＋eq\r(c2＋d2)，則|z1＋z2|≠|z1|＋|z2|，故B錯誤．C：由選項A知，z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，eq\x\to(z)2＝c－di，又z1z2∈R，所以ad＋bc＝0，不一定有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－d，))即推不出z1＝eq\x\to(z)2；由z1＝eq\x\to(z)2，得a＋bi＝c－di，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－d，))則ad＋bc＝0，即z1z2∈R，所以“z1z2∈R”是“z1＝eq\x\to(z)2”的必要不充分條件，故C正確．D：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則zeq\o\al(2,1)＝(a2－b2)＋2abi，zeq\o\al(2,2)＝(c2－d2)＋2cdi，若|z1|＝|z2|，則eq\r(a2＋b2)＝eq\r(c2＋d2)，即a2＋b2＝c2＋d2，推不出zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)；若zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)，則|zeq\o\al(2,1)|＝|zeq\o\al(2,2)|，又|zeq\o\al(2,1)|＝eq\r(a2－b22＋4a2b2)＝eq\r(a2＋b22)＝a2＋b2＝|z1|2，同理可得|zeq\o\al(2,2)|＝|z2|2，所以|z1|2＝|z2|2，|z1|＝|z2|；所以“|z1|＝|z2|”是“zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)”的必要不充分條件，故D錯誤．故選AC．]三、填空題9．在復平面內，O為坐標原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的復數為－1＋2i，若點A關于直線y＝－x的對稱點為B，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數為________.－2＋i[因為A(－1,2)關于直線y＝－x的對稱點B(－2,1)，所以向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數為－2＋i.]10．在復數范圍內關于x的實系數一元二次方程x2＋px＋2＝0的兩根為x1，x2，其中x1＝1＋i，則eq\f(x1,x2)＝________.i[因為x1＝1＋i且實系數一元二次方程x2＋px＋2＝0的兩根為x1，x2，所以x1x2＝2，可得x2＝eq\f(2,x1)＝eq\f(2,1＋i)＝1－i，eq\f(x1,x2)＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,2)＝eq\f(2i,2)＝i.]11．棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(i為虛數單位)是由法國數學家棣莫弗(1667—1754)發現的．根據棣莫弗公式可知，若復數ω＝coseq\f(2π,3)＋i·sineq\f(2π,3)，則ω4的值是()A．－ω B．eq\f(1,ω)C．ω D．eq\x\to(ω)C[依題意知，ω＝coseq\f(2π,3)＋i·sineq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，由棣莫弗公式，得ω4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋i·sin\f(2π,3)))4＝coseq\f(8π,3)＋i·sineq\f(8π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π－\f(π,3)))＋i·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π－\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＋i·sineq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，所以ω4＝ω.故選C．]12．(多選)(2025·青島模擬)已知復數z，下列說法正確的是()A．若z－eq\x\to(z)＝0，則z為實數B．若z2＋eq\x\to(z)2＝0，則z＝eq\x\to(z)＝0C．若|z－i|＝1，則|z|的最大值為2D．若|z－i|＝|z|＋1，則z為純虛數AC[設z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi，若z－eq\x\to(z)＝0，即(a＋bi)－(a－bi)＝2bi＝0，即b＝0，則z為實數，故A正確；若z2＋eq\x\to(z)2＝0，即(a＋bi)2＋(a－bi)2＝0，化簡可得a2－b2＋2abi＋a2－b2－2abi＝0，即a2＝b2，即a＝±b，當a＝b時，z＝a＋ai，eq\x\to(z)＝a－ai，此時不一定滿足z＝eq\x\to(z)＝0，當a＝－b時，z＝a－ai，eq\x\to(z)＝a＋ai，此時不一定滿足z＝eq\x\to(z)＝0，故B錯誤；若|z－i|＝1，即|z－i|＝1＝|a＋(b－1)i|＝eq\r(a2＋b－12)＝1，所以a2＋(b－1)2＝1，即z對應以(0,1)為圓心，以1為半徑的圓上的點，且|z|表示圓上的點到原點的距離，所以|z|的最大值為2，故C正確；若|z－i|＝|z|＋1，即|z－i|＝|a＋(b－1)i|＝eq\r(a2＋b－12)，|z|＋1＝eq\r(a2＋b2)＋1，即eq\r(a2＋b－12)＝eq\r(a2＋b2)＋1，化簡可得b＝－eq\r(a2＋b2)，則a＝0且b≤0，此時z可能為實數也可能為純虛數，故D錯誤．故選AC．]13．寫出一個滿足(1＋i)·z∈R，且|z|>2的復數z，z＝________.3－3i(答案不唯一)[設z＝a＋bi，a，b∈R，因為(1＋i)·z＝(1＋i)·(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i∈R，所以a＋b＝0，z＝a－ai.由|z|＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)|a|>2，解得a>eq\r(2)或a<－eq\r(2)，則z＝3－3i(答案不唯一)．]14．已知z1，z2∈C且z1＝i·eq\x\to(z)2，|z1－1|＝1，則|z1－z2|的取值范圍為________.[0,2＋eq\r(2)][設z1－1＝cosθ＋isinθ，則z1＝1＋cosθ＋isinθ.因為z1＝i·eq\x\to(z)2，所以z2＝sinθ＋i(cosθ＋1)，所以|z1－z2|＝eq\r(cosθ－sinθ＋12＋sinθ－cosθ－12)＝eq\r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))