專題13焦點三角形的面積公式一、結論1、橢圓中焦點三角形面積公式在橢圓()中,,分別為左、右焦點,為橢圓上一點,,的面積記為，則：①②③,其中.2、雙曲線中焦點三角形面積公式在雙曲線(,)中,,分別為左、右焦點,為雙曲線上一點,，的面積記為，則：①②③注意：在求圓錐曲線中焦點三角形面積時，根據題意選擇適合的公式，注意結合圓錐曲線的定義，余弦定理，基本不等式等綜合應用.二、典型例題1．（2022·湖北·天門市教育科學研究院高二期末）已知、是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由橢圓的方程可得，，，則，因為，則，即，即，解得，因此，.故選：D.另解：根據焦點三角形面積公式，求,其中，由題意知，，代入【反思】焦點三角形問題，常規方法往往涉及到圓錐曲線的定義，利用定義，余弦定理求解，特別提醒，在圓錐曲線中，定義是解題的重要工具.另外作為二級結論，要特別注意記憶表示的是哪個角.2．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知P是橢圓上一動點，，是橢圓的左、右焦點，當時，；當線段的中點落到y軸上時，，則點P運動過程中，的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設.在中，當時，由橢圓的定義，余弦定理得：整理得：由三角形的面積公式得：，解得：.因為線段的中點落到y軸上，又O為的中點，所以軸，即.由，得，解得：，所以，代入橢圓標準方程得：.又有，解得：，所以橢圓標準方程為：.所以.因為，所以.所以.因為，當時，，所以.故選：A.另解：根據焦點三角形面積公式，求,其中，由題意知，代入公式，又當線段的中點落到y軸上時，，可知，從而有，，且，進一步有：所以橢圓標準方程為：.所以.因為，所以.所以.因為，當時，，所以.故選：A.【反思】解析幾何中與動點有關的最值問題一般的求解思路：①幾何法：利用圖形作出對應的線段，利用幾何法求最值；②代數法：把待求量的函數表示出來，利用函數求最值.3．（2022·安徽省亳州市第一中學高二階段練習）已知雙曲線，過原點的直線與雙曲線交于，兩點，以線段為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】解：設雙曲線的左焦點為，連接，，因為以為直徑的圓恰好經過雙曲線的右焦點，所以，圓心為，半徑為，根據雙曲線的對稱性可得四邊形是矩形，設，，則，由可得，所以，所以，所以.故選：B.另解：解：設雙曲線的左焦點為，連接，，因為以為直徑的圓恰好經過雙曲線的右焦點，所以，且,根據雙曲線焦點三角形面積公式：得：，結合，得.【反思】在雙曲線中，涉及焦點三角形，優先聯想到定義，即,結合余弦定理求解，對于適合利用焦點三角形公式的題目，可直接利用公式.4．(多選）（2022·廣東·模擬預測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，點雙曲線C右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（

）A．若，則S＝B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若的重心為G，隨著點P的運動，點G的軌跡方程為【答案】ACD【詳解】由，得，則焦點三角形的面積公式，將代入可知，故A正確．當S＝4時，，由，可得，故B錯誤．當時，S＝4，當時，，因為為銳角三角形，所以，故C正確．設，則，由題設知，則，所以，故D正確．故選：ACD【反思】在雙曲線中，涉及焦點三角形，優先聯想到定義，即,結合余弦定理求解，對于適合利用焦點三角形公式的題目，可直接利用公式.三、針對訓練舉一反三一、單選題1．（2022·福建漳州·高二期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·福建南平·高二期末）橢圓兩焦點分別為，，動點在橢圓上，若的面積的最大值為12，則此橢圓上使得為直角的點有（

）A．個 B．個 C．個 D．個3．（2022·江西鷹潭·高二期末（文））橢圓C：的焦點為，，點P在橢圓上，若，則的面積為（

）A．48 B．40 C．28 D．244．（2022·安徽省亳州市第一中學高二期末）設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且.則的面積為（

）A．6 B． C．8 D．5．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學高二期末（理））橢圓的左右焦點為?，為橢圓上的一點，，則的面積為（

）A．1 B． C． D．26．（2021·北京市第五十七中學高二階段練習）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中錯誤的是（

）A．離心率 B．的周長為18C．直線與直線斜率乘積為定值 D．若，則的面積為87．（2021·黑龍江·大慶中學高二期末）已知，分別為橢圓的左右焦點，為坐標原點，橢圓上存在一點，使得，設的面積為，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．（2022·山西運城·高二期末）已知點是雙曲線的左?右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（

）A．與雙曲線的實軸長相等B．的面積為C．雙曲線的離心率為D．直線是雙曲線的一條漸近線9．（2022·內蒙古赤峰·高三期末（理））已知雙曲線的兩個焦點為，，為雙曲線上一點，，的內切圓的圓心為，則（

）A． B． C． D．10．（2022·廣東·執信中學高三階段練習）已知雙曲線C的離心率為是C的兩個焦點，P為C上一點，，若的面積為，則雙曲線C的實軸長為（

）A．1 B．2 C．3 D．411．（2022·廣西玉林·模擬預測（文））已知雙曲線的左，右焦點為，P為雙曲線右支上的一點，，I是的內心，則下列結論錯誤的是（

）A．是直角三角形 B．點I的橫坐標為1C． D．的內切圓的面積為12．（202