第二章

晶體和空間點陣無論是金屬材料還是非金屬材料，通常都是晶體。因此，作為材料科學工作者，首先要熟悉晶體的特征及其描述方法。本章將扼要介紹晶體學的基礎知識，并了解材料結構。幾何晶體學雖然在19世紀末已成為系統的學說，但直到1912年以前它還僅僅是一種假說，尚未被科學實驗所證實。它的抽象理論當時并未引起物理家和化學家們的注意，他們中還有不少人認為在晶體中原子、分子是無規則地分布的。1895年倫琴發現了Ｘ射線。當時沒有一個科學家想到要把Ｘ射線和幾何晶體學這兩件幾乎同時出現的重大科學成就聯系起來。人們沒有料到，在晶體學、物理學和化學這三個不同學科領域的接合部，一個新的重大突破正在醞釀之中。近代晶體學階段（1）1895年，倫琴發現X射線。（2）1912年，勞厄將X射線用于晶體衍射。（3）1912-1914年，布拉格父子完成首批晶體結構測定。（4）1916年德拜（PeterDebye)和謝樂（P.Scherrer)創立了多晶衍射法。（5）1929年鮑林（LinusCarPauling)提出鮑林法則（化學鍵的本質）。（6）傅立葉法和帕特森函數法在晶體結構分析中的應用。（7）1984年10月9日，在急冷凝固Al-Mn(14%Mn)發現含五次旋轉軸的二十面體點群對稱。

晶體學分類目前我國晶體學主要分布在化學、物理學、生物學、材料科學和礦物學中。（1）晶體生成學(Crystallogeny)研究天然及人工晶體的發生、成長和變化的過程與機理，以及控制和影響它們的因素；（2）幾何晶體學(geometricalcrystallography)研究晶體外表幾何多面體的形狀及其間的規律，晶體學早期的研究主要屬于幾何結晶學的范疇；（3）晶體結構學(Crystallology)研究晶體內部結構中質點排布的規律性，以及晶體結構的不完善性；（4）X射線晶體學：用X射線和中子等衍射技術分析研究晶體內部結構中質點在三維空間排布的規律性；（5）晶體化學（Crystallochemistry)研究晶體的化學組成與晶體結構以及晶體的物理化學性質間關系的規律性；結晶化學:主要涉及晶體在原子尺度上的結構與組成和(熱力學)環境(P,T等)關系的理論；（6）晶體物理學(Crystallophysics)研究晶體的各項物理性質及其產生的機理。我國主要研究機構有：山東大學晶體材料國家重點實驗室，中國科學院福州物質結構研究所，中國科學院科學院上海硅酸鹽研究所，北京人工晶體研究所等。在材料科學中的應用

晶體學是材料科學家常常使用的研究工具。若所要研究物質為單晶體，則其原子排布結構直接決定了晶體的外形。另外，結晶材料的許多物理性質都極大地受到晶體內部缺陷（如雜質原子、位錯等等）的影響，而研究這些缺陷又必須以研究晶體結構作為基礎。在多數情況下，研究的材料都是多晶體，因此粉末衍射在確定材料的微觀結構中起著極其重要的作用。

除晶體結構因素外，晶體學還能確定其他一些影響材料物理性質的因素。譬如：粘土中含有大量細小的鱗片狀礦物顆粒。這些顆粒容易在自身平面方向作相對滑動，但在垂直自身平面的方向則極難發生相對運動。這些機制可以利用晶體學中的織構測量進行研究。

晶體學在材料科學中的另一個應用是物相分析。材料中不同化學成分或同一種化學成分常常以不同物相的形式出現，每一相的原子結構和物理性質都不相同，因此要確定或涉及材料的性質，相分析工作十分重要。譬如，純鐵在加熱到912℃時，晶體結構會發生從體心立方（body-centeredcubic，簡稱bcc）到面心立方（face-centeredcubic，簡稱fcc）的相轉變，稱為奧氏體轉變。由于面心立方結構是一種密堆垛結構，而體心立方則較松散，這解釋了鐵在加熱過912℃后體積減小的現象。典型的相分析也是通過分析材料的X射線衍射結果來進行的。§2-1晶體的概念晶體學的研究對象是固體，晶體都是固體，但并非固體都是晶體。晶體是指具有天然生長的(非人為磨削的)、規則的幾何多面體形狀的固體(傳統的通俗概念)。具有立方體外形的食鹽(NaCl)顆粒和不具規則外形的食鹽顆粒，除外形外，兩者的基本性質都是相同的。NaCl

晶體結構：在NaCl

內部結構中，所有的Cl-離子和Na+離子在三維空間均成周期性重復排列而構成一種格子狀的構造。粉末狀的食鹽與立方體外形的食鹽在原子排布上是完全相同的，因此，晶體并非一定要具有規則的凸多面體幾何外形現，代晶體學對晶體的科學定義為：晶體是內部質點在三維空間成周期性重復排律的固體；或者說晶體是具有格子構造的固體(現代概念)。但在寶石學、人工晶體生長等領域和日常生活中，習慣上仍將“晶體”這一名稱專門用于指具有幾何多面體規則外形的、具有一定幾何尺寸的晶體，而將不具有多面體外形的晶體稱為晶粒(crystallinegrain)。與之相反，在玻璃等領域晶體則專指質點在三維空間成周期性重復排列的固體。有時為了強調晶體的通俗與科學兩種概念的區別，常在“晶體”這一名詞前加一些修飾詞(字)如大單晶(體)、粉晶(粉末晶體的簡稱)、粗晶細晶單晶體(singlecrystal)、多晶體(polycrystalline)等。另外還引入一些概念，如結晶質、顯晶質、隱晶質和非晶質等概念。質點在三維空間成周期性重復排列的固態物質則稱為結晶質(crystalline)，或簡稱晶質。晶體的共性晶體是由許多質點（嚴格說來應是無窮多個質點）在三維空間作周期性排列的固體物質。晶體的分布非常廣泛，自然界的固體物質中，絕大多數是晶體，氣體、液體和非晶態物質，在一定條件下也可以變成晶體，晶體中原子排列的周期性這個共性，決定晶體具有一些共同的性質。(1)結晶均一性

指晶體的各個部分的物理性質與化學性質都是相同的。結晶均一性：晶體的均一性是由其格子構造呈周期性重復排列的固有特點所決定的。統計均一性：非均質體也是具有均一性的，如玻璃的不同部分折射率、膨脹系數、導熱率等等都是相同的，由于它不具格子構造，因此其均一性是統計的、平均近似的均一。(2)各向異性

指晶體的性質因觀察方向的不同而表現出差異的特性。因不同方向上質點的排列不同引起的。如晶體的折射率，不同方向各不相同。如藍晶石(Kyanite,Al2(SiO4)O)的硬度，在(100)面上，平行c軸方向的為4.5，垂直c軸方向為6，而在(010)和(110)面上，垂直c軸方向為7。因此有人叫它“二硬石”NaCl石墨石墨晶體在平行于石墨層方向上比垂直于石墨層方向上導電率大一萬倍。(3)對稱性指晶體中相同部分(如外形上相同的晶面、晶棱，內部結構中的相同面網、行列或原子、離子等)或晶體的性質，能夠在不同的方向或位置上有規律地重復出現的特征。(4)自限(范)性指晶體能自發地形成封閉的凸幾何多面體外形的特征。(5)最小內能性在相同的熱力學條件下，與同種化學成分的氣體、液體及非晶質體相比，以晶體的內能為最小。(6)穩定性在相同的熱力學條件下，以具有相同化學成分的晶體和非晶體相比，晶體是穩定的，非晶質體則是不穩定的。晶體的性能、應用及進展

一位物理學家說過：“晶體是晶體生長工作者送給物理學家的最好的禮物。”這是因為，當物質以晶體狀態存在時，它將表現出其它物質狀態所沒有的優異的物理性能，因而是人類研究固態物質的結構和性能的重要基礎。按功能來分，晶體有20種之多，如半導體晶體、激光晶體、電光晶體、聲光晶體、壓電晶體、鐵電晶體、閃爍晶體、超導晶體以及多功能晶體等。以下簡單介紹其中重要的幾種。

晶體材料（1）半導體晶體:鍺（Ge）單晶、硅（Si)單晶、砷化鎵(GaAs)、磷化鎵(GaP)等；（2）磁性單晶薄膜：稀土鐵石榴石（RE3Fe5O12)；（3）光學晶體；（4）X射線分光晶體；（5）激光晶體；（6）電光晶體；（7）聲光晶體；（8）非線性光學晶體；（9）磁光晶體；（10）壓電晶體；（11）熱釋電晶體；（12）鐵電晶體；（13）閃爍晶體；（14）硬質晶體；（15）絕緣晶體；（16）色心晶體；（17）液晶；（18）敏感晶體；（19）多功能晶體剛玉鄰苯二甲酸氫鍺酸鉍電氣石晶體和非晶體

晶體(Crystal)是內部質點在三維空間成周期性重復排律的固體。具有長程有序，并成周期性重復排律。非晶質體(noncrystal)是內部質點在三維空間不成周期性重復排律的固體。具有近程有序，但不具有長程有序，如玻璃等。準晶體(quasicrystal):1984年10月9日，在電子顯微鏡研究中，發現的一類新的物態，其質點的排列是長程有序的，但不具有周期性重復規律。在非晶質體的各個部位上，沒有任何兩部分的內部結構是完全相同的。表現在外形上，非晶質體在任何條件下都不可能自發地長成規則的幾何多面體形狀。通常表現為在外形上為無規則形狀的固體，因此也稱為無定形體(amorphousbody)。晶體和非晶質體在一定條件下是可以轉換的：晶化(crystallizing)或脫玻化(devitrification):由非晶質體調整其內部質點的排列方式而向晶體轉變的作用。在相同的熱力學條件下，晶體的內能較相同成分的非晶質體要小，因此晶體是穩定的，而非晶質體是不穩定的，非晶質體有自發地向晶體轉變的必然趨勢。而晶體決不會自發地向非晶質體轉變。如使用年久的光學鏡頭，常會產生一些“霉點”，拭擦不去，實際上是由玻璃向結晶態轉變的雛晶。非晶化(non-crystallizing)或玻璃化(vitrification):晶體因內部質點的規則排列遭到破壞而向非晶質體轉變的作用。如礦物遭到放射性作用變成非晶質體。Be2O3晶體與Be2O3玻璃的內部結構如上圖所示描繪了Be2O3晶體和Be2O3玻璃的內部結構。由圖可以看出，兩者間具有顯著的不同，組成Be2O3晶體的粒子在空間的排列具有周期性，是長程有序的；而Be2O3玻璃中的粒子只有在近鄰的范圍內的粒子間保持著一定的短程有序，當隔開三、四個粒子后就不再保持這種關系，由于鍵角鍵長的畸變破壞了長程序，形成無規則網絡。晶格結構已不復存在。這是非晶態的顯著而重要的特征。晶體結構的基本特征：原子（或原子團）在三維空間呈周期性重復排列，即存在長程有序。晶體和非晶體的兩大性能區別：非晶體晶體熔點：熔化范圍固定熔點方向性：各向同性各向異性

單晶體與多晶體

同一晶體結構的固體物質，有多晶體和單晶體之分。單晶體：整個晶體（或晶粒）中的原子按同一周期性排列，即整塊固體基本為一個空間點陣所貫穿，則稱為單晶體，簡稱單晶（各向異性）。多晶體：由許多小單晶體雜亂無規則聚合而成的固體（各向同性）。§2-2晶體結構與空間點陣一、空間點陣的概念晶體是三維空間上原子具有周期性排列的固體，晶體的性質（自范性、均勻性、各向異性等）都是晶體周期性的表現。研究晶體結構必須對其周期性進行抽象概括。等同點—具有相同物質組成和幾何環境的質點。點陣—空間中幾何環境相同的點形成的無限陣列。點陣--空間中幾何環境相同的點形成的無限陣列。晶體的空間點陣理論的提出基于一個假設，即晶體是無限大的。由于實際晶體的大小遠超出晶體結構的重復周期，可以認為晶體構造是在三維空間無限伸展。具有不同結構的晶體可以有相同的空間點陣（空間格子），如NaCl和金剛石。由同種物質構成的晶體可以有不同的空間點陣，如金剛石和石墨。

判斷一組點是否為點陣，簡單有效的方法之一是連接其中任意兩點的矢量進行平移，只有能夠復原才為點陣。為構成點陣，必須滿足兩個條件：（1）點數無限多；（2）各點所處的環境完全相同。從以上的實例及討論中，我們可以得到點陣與點陣結構的關系：點陣是反映點陣結構周期性的科學抽象，點陣結構是點陣理論的實踐依據和具體研究對象。它們之間存在這樣一個關系：點陣結構=點陣+結構基元而點陣=點陣結構-結構基元基元(element)

組成晶體的原子、離子、分子或原子團統稱稱為晶體的基本結構單元，簡稱基元。點陣(lattice)

晶體基元周期性排列的點的集合，它就稱為“晶格”（或點陣），這些點被稱為格點。因此，可以說晶體的結構是由組成晶體的基元加上空間點陣來決定的。點陣點所代表的具體物質結構內容稱為結構基元.NaCl晶體結構基元FCC點陣綜合上述，點陣、點陣結構及晶體之間存在著一一對應的關系：點陣中每一點陣點對應著點陣結構中的一個結構基元，在晶體中則是一些組成晶體的實物微粒，即原子分子或離子等，或是這些微粒的集團；空間點陣中的基本單位是一個個小的平行六面體，在點陣結構中就是把每個點陣點恢復了它代表的結構基元后的實體單位，在晶體中即為晶胞。由于晶體點陣的周期性，可在其中取一個陣點為頂點，以三個不共面的點陣直線上周期為邊長的的平行六面體作為重復單元，來反映晶體結構的特征，這樣的重復單元稱為晶胞。晶體結構參數

有幾組晶體結構參數用于滿足在不同場合的不同要求下，準確明了的描述晶體結構，即晶胞參數與原子坐標參數、晶面指標、晶面間距等晶胞即為空間格子將晶體結構截成的一個個大小、形狀相等，包含等同內容的基本單位。整個晶體就是把晶胞在三維空間周期的重復排列，相互平行取向，按每一個頂點為八個晶胞共有的方式堆砌而成。晶胞是晶體結構的最小單位，它將體現出整個晶體結構的特征。晶胞的大小和形狀以及晶胞所包含內容則是晶體結構的二要素在晶胞上的體現。晶胞選取的原則同一空間點陣可因選取方式不同而得到不相同的晶胞晶胞選取的原則選取的平行六面體應反映出點陣的最高對稱性；平行六面體內的棱和角相等的數目應最多；當平行六面體的棱邊夾角存在直角時，直角數目應最多；當滿足上述條件的情況下，晶胞應具有最小的體積。

由晶胞參數a，b，c，α，β，γ表示，a，b，c為六面體邊長，α，β，γ分別是bc

，

ca,ab

所組成的夾角。1.晶胞的大小與形狀：晶胞的兩個要素：2.晶胞的內容：粒子的種類，數目及它在晶胞中的相對位置。晶胞(crystalcell)

晶胞是晶體的基本結構單位。反映晶體結構三維周期性的晶格將晶體劃分為一個個彼此互相并置而等同的平行六面體,即為晶胞。晶胞包括兩個要素:一是晶胞的大小、型式;另一是晶胞的內容,前者主要指晶胞參數的大小,即平行六面體的邊長a、b、c和夾角α、β、γ的大小,以及與晶胞對應的空間點陣型式,即屬于簡單格子P還是帶心格子I、F或C等;后者主要指晶胞中有哪些原子、離子以及它們在晶胞中的分布位置等。

NaCl的晶胞CsCl的晶胞ZnS的晶胞晶胞是晶體的代表，是晶體中的最小單位。晶胞并置起來，則得到晶體。晶胞的代表性體現在以下兩個方面：一是代表晶體的化學組成；二是代表晶體的對稱性，即與晶體具有相同的對稱元素——對稱軸，對稱面和對稱中心)。晶胞是具有上述代表性的體積最小、直角最多的平行六面體。晶系

根據6個晶胞參數間的相互關系，可將全部空間點陣歸屬于7種類型，即7個晶系。這七種晶系的特點是，所有的結點均位于單胞的角上。但是，實際的晶體是較復雜的，考慮到凡是具有等同環境的點都可以稱為結點，那么可以存在的點陣種類就要增加。1848年法國的晶體學家布拉菲（Bravais)證實了七種晶系總共可以有十四種點陣，這是非常有意義的結論，為了紀念他，后人稱這十四種點陣為布拉菲點陣。布拉菲將晶胞分為簡單晶胞和復雜晶胞，簡單晶胞中只有一個結點，而復雜晶胞中有兩個以上的結點。14種布拉菲點陣babcag三斜晶系triclinica

b

c,a

b

g

90

1abcabcaa單斜晶系monoclinica≠b≠c,α=

=90

≠βSimpleBase-centered23abccab正交晶系

Orthorhombica

b

c,a=b=g=90

SimpleBase-centeredBody–centeredFace-centered4567a=b

c,a=b=90,g=120

六方晶系Hexagonala8aaaaa三方(菱形)晶系

Rhombohedrala=b=c,a=b=g

90

9acaaca1011四方(正方)晶系

Tetragonal

a=b

c,a=b=g=90

Body-centeredSimpleaaaaaaaaa立方晶系

(Cubicsystem)a=b=c,a=b=g=90

SimpleBody-centeredFace–centered121314七個晶系的晶格參數a=b=c,a=b=g=90

a=b

c,a=b=g=90

a

b

c,a=b=g=90

a=b=c,a=b=g

90

a=b

c,a=b=90,g=120

a

b

c,b=g=90

aa

b

c,a

b

g

90

立方六方四方(正方)三方(菱方)斜方(正交)單斜三斜課堂提問根據7種晶系和4種陣胞，應當有28種不同的組合，為什么只有14種不同的點陣呢？

這是由陣胞選取的條件所限制的，在28種組合中，有些點陣由于不符合陣胞選取的條件而被另一些陣胞所取代例如，在立方晶系中，不能出現底心點陣，因為與對稱性不符，正方底心點陣可以轉換為比其體積小的簡單點陣，面心正方可以轉換為體積更小的體心點陣單斜晶系的體心和面心分別可轉換為底心菱方晶系只能存在簡單點陣，底心與對稱性不符，體心和面心可轉換為簡單點陣六方晶系只存在簡單點陣，考慮到它的六次對稱性而又不違背周期性，選取三個菱方柱的簡單點陣拼成六棱柱形底心點陣三斜的對稱性最低，只能出現簡單點陣

底心正方

簡單正方◆陣點的坐標表示●以任意頂點為坐標原點，以與原點相交的三個棱邊為坐標軸，分別用點陣周期（a、b、c）為度量單位四種點陣類型簡單（P）體心（I）面心（F）底心（C）◆簡單點陣的陣點坐標為000◆底心點陣，C除八個頂點上有陣點外，兩個相對的面心上有陣點，面心上的陣點為兩個相鄰的平行六面體所共有。因此，每個陣胞占有兩個陣點。陣點坐標為000，1/21/20◆體心點陣，I除8個頂點外，體心上還有一個陣點，因此，每個陣胞含有兩個陣點，000，1/21/21/2◆面心點陣。F除8個頂點外，每個面心上有一個陣點，每個陣胞上有4個陣點，其坐標分別為000，1/21/20，1/201/2，01/21/2三斜：anorthic(triclinic)，a;單斜：monoclinic,m;正交（斜方）：orthorhombic,o;三方（菱方）：trigonal,(三方簡單格子常用符號R表示，Rhombohedral

centred)六方：hexagonal,h;四方（正方）：tetragonal,t;立方：cubic,c.在很多書上將晶席劃分為六大晶系而不是七大晶系，這是因為菱形晶體總是可以用六方晶軸的形式來表示，因此，把菱方歸納為六方晶系的一個分系。Pearson符號第一個小寫英文字母表示所屬晶系（用該晶系英文名的第一個字母），三斜（Triclinic)用另一個英文“三斜”字（Anorthic)的字母a，菱方點陣仍用六方的h。第二個大寫英文字母表示它所屬的布喇菲點陣類型（例如P、I、F、C等），第三個數字表示單胞中的原子數。一些常見的晶體金方鉛石金剛石石英典型金屬晶體結構在元素周期表一共約有110種元素，其中80多種是金屬，占2/3。而這80多種金屬的晶體結構大多屬于三種典型的晶體結構。它們分別是：

1、體心立方晶格（BCC）

2、面心立方晶格（FCC）

3、密排六方晶格（HCP）1、體心立方晶格（

BCC）原子排列方式體心立方晶格的晶胞中,八個原子處于立方體的角上,一個原子處于立方體的中心,角上八個原子與中心原子緊靠。

體心立方晶胞特征：

晶格常數：a=b=c,α=β=γ=90°具有體心立方晶格的金屬有：鉬(Mo)、鎢(W)、釩(V)、α-鐵(α-Fe,<912℃)等。原子個數每個晶胞實際占有的原子個數。（分析時要認真考慮每個原子的空間狀況）在體心立方晶胞中,每個角上的原子在晶格中同時屬于8個相鄰的晶胞,因而每個角上的原子屬于一個晶胞僅為1/8,而中心的那個原子則完全屬于這個晶胞。所以一個體心立方晶胞所含的原子數為2個。

原子半徑晶胞中相距最近的兩個原子之間距離的一半。體心立方晶胞中原子相距最近的方向是體對角線,所以原子半徑與晶格常數a之間的關系為：體心立方結構Pearson符號是cI2每個晶胞含兩個原子

原子的坐標是

(000),(1/21/21/2)。2、面心立方晶格（

FCC）原子排列方式金屬原子分布在立方體的八個角上和六個面的中心。面中心的原子與該面四個角上的原子緊靠。面心立方晶胞的特征：晶格常數：a=b=c,α=β=γ=90°常見金屬具有這種晶格的金屬有：鋁(Al)、銅(Cu)、鎳(Ni)、金(Au)、銀(Ag)、γ-鐵(

γ-Fe,912℃～1394℃)等。

原子半徑面心立方結構Pearson符號是cF4。

每個晶胞含4個原子原子坐標為000,01/21/2,1/201/2,1/21/20.第一層{111}面上有兩個可堆放的位置：Δ和?位置，在第二層只能放在一種位置，在面上每個球和下層3個球相切，也和上層3個球相切。面心立方結構的最密排面是{111},面心立方結構是以{111}最密排面按一定的次序堆垛起來的。3、密排六方晶格（

HCP）原子排列方式十二個金屬原子分布在六方體的十二個角上,在上下底面的中心各分布一個原子,上下底面之間均勻分布三個原子。具有這種晶格的金屬有鎂(Mg)、鎘(Cd)、鋅(Zn)、鈹(Be)等。

密排六方晶胞的特征：晶格常數：用底面正六邊形的邊長a和兩底面之間的距離c來表達,兩相鄰側面之間的夾角為120°,側面與底面之間的夾角為90°。常見金屬具有這種晶格的金屬有鎂(Mg)、鎘(Cd)、鋅(Zn)、鈹(Be)、鈦（Ti）、鈷（Co）、鋯（Zr）等。原子個數晶胞原子數：6

原子半徑R=a/2

共價晶體的晶體結構

元素周期表中Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ族元素、許多無機非金屬材料和聚合物都是共價鍵結合。共價晶體的共同特點是配位數服從8－N法則小為原子的價電子數，這就是說結構中每個原子都有8－N個最近鄰的原子。

共價晶體最典型代表是金剛石結構，金剛石是碳的一種結晶形式。這里，每個碳原子均有4個等距離（0.154nm）的最近鄰原子，全部按共價鍵結合，符合8-N規則。其晶體結構屬于復雜的面心立方結構，碳原子除按通常的fcc排列外，立方體內還有4個原子，它們的坐標分別為1/41/41/4，3/43/41/4，3/41/43/4，1/43/43/4，相當于晶內其中4個四面體間隙中心的位置。故晶胞內共含8個原子。實際上，該晶體結構可視為兩個面心立方晶胞沿體對角線相對位移1/4距離穿插而成。金剛石結構金剛石為共價鍵，立方結構晶胞中有8個原子，有4個位于000；1/2，1/2，0；

1/2，1/2，0；0，1/2，1/2，它們屬于同一類共同點另4個在1/4，1/4，1/4；3/4，3/4，1/4；3/4，1/4，3/4；1/4，3/4，3/4，它們屬于另一類等同點取結構基元為頂點+面心+對角線原子，組成面心立方點陣金剛石的晶體結構為立方面心晶胞。單位晶胞中有八個碳原子，其中四個碳原子位于立方體晶胞的角頂及面的中心，另外四個原子分布于相間排列的四個小立方體的中心(將立方體平分為八個小立方體)。每一碳原子周圍有四個碳原子與其成共價鍵配位，形成正四面體配位，整個構造可視為以角頂相連接的四面體的組合。碳原子間以共價鍵連結，致使金剛石具有高硬度、高熔點、不導電、在溫度壓力變化很大的范圍內化學性質很穩定。離子晶體的晶體結構

離子晶體按其化學組成分為二元化合物和多元化合物。其中二元化合物中介紹AB型，AB2型和A2B3型化合物；多元化合物中主要有ABO3型和AB2O4型。

1.AB型化合物結構

a.CsCl型結構:CsCl型結構是離子晶體結構中最簡單的一種，屬六方晶系簡單立方點陣，Pm3m空間群。CS+和Cl-半徑之比為0.169nm/0.181nm＝0.933，Cl-離子構成正六面體，Cs+在其中心，Cs+和Cl-的配位數均為8，多面體共面連接，一個晶胞內含Cs+和Cl-各一個。

CsCl型晶胞中離子的個數：(紅球－Cs+,

綠球－Cl-)配位比：8:8氯離子分布于立方晶胞的角頂,銫離子位于立方晶胞的中心。

b.NaCl型結構:自然界有幾百種化合物都屬于NaCl型結構，有氧化物MgO，CaO，SrO，BaO，CdO，MnO，FeO，CoO，NiO；氮化物里TiN，LaN，ScN，CrN，ZrN；碳化物TiC，VC，ScC等；所有的堿金屬硫化物和鹵化物（CsCl，CsBr，Csl除外）也都具有這種結構。

結構描述：Na+離子分布于晶胞的角頂和面的中心,Cl-離子分布于棱的中心和體心也可看成Cl-作立方最緊密堆積Na+充填其八面體空隙其為典型離子鍵本結構稱為NaCl

型結構(NaClStructureType)

c.立方ZnS型結構:立方ZnS結構類型又稱閃鋅礦型(β-ZnS)，屬于立方晶系，面心立方點陣，F43m空間群，如下圖所示。結構描述：晶體結構為立方面心格子，Zn離子分布于晶胞之角頂及所有面的中心,S位于晶胞所分成的八個小立方體中的相間的四個小立方體的中心。閃鋅礦結構也可視為S離子作立方最緊密堆積，Zn離子充填在半數四面體空隙中。從配位多面體角度看[ZnS4]為一配位四面體，它們彼此通過四個角頂相連構成。也可以看成[SZn4]四面體彼此通過共角頂相連。

d.六方ZnS型結構:六方ZnS型又叫纖鋅礦型，屬六方晶系，P63mc空間群。結構描述：S作六方最緊密堆積，Zn充填半數的四面體空隙，Zn、S配位數均為4。規則的ZnS4四面體彼此以四個角頂相連。2.AB2型化合物結構a.CaF2(螢石)型結構:CaF2屬立方晶系，面心立方點陣，Fm3m空間群，正負離子數比為1:2。結構描述：鈣離子分布在立方晶胞的角頂與面的中心，如果將晶胞分為八個小立方體，則每一立方體之中心為F-所占據，也可看成鈣呈立方最緊密堆積、F-離子占據所有四面體空隙。此結構為典型結構稱其為螢石型結構(FluoriteStructureType),與之類似的Li2O結構，O離子分布于立方晶胞的角頂和面的中心(Ca2+的位置)，而Li+離子分布在八個小立方體的中心(F-的位置),稱之為反螢石型結構(Anti-fluoriteStructureType)。b.TiO2(金剛石)型結構:金紅石是TiO2的一種穩定型結構，屬四方晶系，p*4/m*n*m空間群。

結構描述：金紅石型結構(RutileStructureType)是AB2型化合物的典型結構之一。鈦離子位于四方晶胞的角頂和體心，氧離子位于面對角線(110)上，氧離子作六方最緊密堆積，鈦離子位于其八面體空隙之中，鈦的配位數為6，而氧離子則位于以鈦離子為角頂所組成的平面三角形的中心，配位數為3，這樣就形成了一種以[TiO6]八面體為基礎的晶體結構。每一個[TiO6]八面體有兩個棱與其上下相鄰的兩個[TiO6]八面體共用，從而形成了沿c軸方向延伸的比較穩定的[TiO6]八面體鏈，鏈間則是以[TiO6]八面體的共用角頂相聯結。這一結構特征可以很好地解釋金紅石沿c軸伸長的柱狀或針狀晶形。

TiOc.β-方石英(方晶石)型結構:方晶石為SiO2高溫時的同素異構體屬立方晶系。結構描述：結構特點是Si和O組成[SiO4]四面體,彼此以四個角頂相連,Si–O–Si角為143.7o,[SiO4]四面體在c軸方向上作螺旋形排列。沿螺旋軸32和31所作順時針或逆時針旋轉而分為左形和右形。這種結構上的左右形同形態上習慣規定的左右形相反,結構上的左形和右形分別對應形態上的右形和左形。3.A2B3型化合物結構:剛玉為天然a-Al2O3單晶體，呈紅色的稱紅寶石，呈藍色的稱藍寶石。其結構屬三方晶石，R3C空間群。剛玉性質極硬，莫氏硬度9，不易破碎，熔點2050度，這與結構中Al－O鍵的結合強度密切相關。屬于剛玉型結構的化合物還有Cr2O3，a－Fe2O3，a－Ga2O3等。

以α-Al2O3為代表的剛玉型結構，是A2B3型的典型結構。結構描述：O2-作六方最緊密堆積，堆積層垂直于三次軸，A13+充填了由O2-形成的八面體空隙數的2/3，[A1O6]八面體稍有變形，它們以棱連接構成層；O為四次配位，為四個A1所圍繞，在平行三次軸方向上，以八面體共面的方式構成兩個實心的[A1O6]八面體和一個空心的由氧圍成的八面體相間排列的柱體。[A1O6]八面體沿c軸方向構成三次螺旋對稱軸。剛玉，Al2O3，純凈時無色，紅色剛玉（紅寶石）晶體Cr3+替代Al3+，藍色剛玉（藍寶石）晶體,Ti4++Fe3+替代Al3+4.ABO3型化合物結構

a.CaTiQ3（鈣鈦礦）型結構:鈣鈦礦又稱灰鈦石，系以CaTiO3為主要成分的天然礦物，理想情況下為立方晶系，在低溫時轉變為斜方晶系。

b.方解石（CaCO3）型結構:方解石屬三方晶系，R3C空間群。

鈣鈦礦型結構鈣鈦礦結構是指鈦酸鈣（CaTiO3）的結構。現在發現，許多重要的介電晶體，例如，鈦酸鋇（BaTiO3）、鋯酸鉛（PbZrO3）、鈮酸鋰（LiNbO3）、鉭酸鋰（LiTaO3）等都屬于這種類型的結構。鈦酸鋇的晶胞如下圖所示。在立方體的項角上是鋇（Ba），鈦（Ti）位于體心，面心上是三組氧（O）。三組氧（OI，OII，OIII）周圍的情況各不相同，整個晶格是由Ba、Ti和OI、OII、OIII各自組成的簡立方結構子晶格（共5個）套構而成的——鈣鈦礦結構。如果把OI、OII、OIII連結起來，它們構成等邊三角形；整個原胞共有8個這樣的三角形面，圍成一個八面體，稱為氧八面體。如圖XCH001_039所示。整個結構又可看作為氧八面體的排列。從圖看出，鋇（Ba）則在8個氧八面體的間隙里。鈣鈦礦型的化學式可寫為ABO3，其中A一般代表二價或一價的金屬，B代表四價或五價的金屬。常把BO3稱為氧八面體基團。氧八面體是鈣鈦礦型晶體結構上的特點，它與這類晶體的一些重要物理性質很有關系。實際上，許多具有亞鐵磁性的晶體（通稱鐵氧體），也具有氧八面體結構，但不屬鈣鈦礦型。氧八面體結構和金剛石或閃鋅礦型中的正四面體結構是固體物理領域中很受重視的兩大典型結構。

5.AB2O4型化合物結構

AB2O4型化合物中最重要的化合物是尖晶石（MgAl2O4）。MgAl2O4結構如圖所示，屬立方晶系，面心立方點陣，Fd3m空間群。可把這種結構看成是由8個立方亞晶胞所組成。尖晶石(MgAl2O4)實際晶體的形電氣石卵石(化學組成：[Na,K,Ca][Mg,F,Mn,Li,Al]3[Al,Cr,Fe,V]6[BO3]3[Si6O18][OH,F]4

鐵鋁榴石(almandine)Fe3Al2(SiO4)3

尖晶石—Spinel

(MgAl2O4)金剛石-Diamond鐵鋁榴石--almandineFe3Al2(SiO4)3鈣鐵榴石(翠榴石)-andradite(硅酸鈣鐵，含少量鉻)黃鐵礦—FeS2螢石—CaF2螢石(CaF2)與閃鋅礦(ZnS)螢石鹽—NaCl鋯石(Zircon)-ZrSiO4綠柱石—Be3Al2Si6O18祖母綠-Be3Al2[Si6O18]綠柱石晶體

Be3Al2(SiO3)6各種綠柱石晶體石膏晶體長石（Feldspar）晶體和雙晶

化學成份主要為SiO2、Al2O3、Fe2O3、K2O和Na2O，其它成分微量

紅銻礦-Kermesite煙晶（SiO2）SmokeyQuartz

鉻釩鈣鋁榴石§2-3晶向指數、晶面指數、晶面間距

晶向（CrystalDirection）和晶面（CrystalPlane）是晶體學中的重要念。晶面最初的意義是指晶體外形的平面，而晶棱的指向則稱為晶向。在明確了晶體結構的周期性及引入了晶體點陣概念之后，晶面被定義為點陣的結點面，而晶向則被定義為結點線的指向。晶體點陣中，相互平行的結點面都具有同樣的結點排列。因此，晶面通常是指一簇平行等距的結點面，而不限于只指單一結點面。同樣的，相互平行的結點線都具有同樣結點排列，晶向通常表示的是一簇平行的結點線，并不只是表示一條結點線。

應該指出，晶體中作為等同點的結點位置是任選的，并非一定位于某類原子的中心；或者，即使結點位置選在了某類原子的中心，也不一定所有的原子都在結點上（如果一個結點有兩個以上的原子）。所以，表征晶面主要特點的是結點面的取向以及結點面間距（面間距反映結點面上的結點分布密度），而不是某個原子面；同樣，表征晶向主要特點的結點線的取向以及結點線上結點間距，而不是某個原子列。

不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的許多性質和行為（如各種物理性質、力學行為、相變、X光和電子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的關系。所以，為了研究和描述材料的性質和行為，首先就要設法表征晶面和晶向。2-3-1晶向指數晶向：點陣可在任何方向上分解為相互平行的直線組，結點等距離地分布在直線上。位于一條直線上的結點構成一個晶向。同一直線組中的各直線，其結點分布完全相同，故其中任何一直線，可作為直線組的代表。不同方向的直線組，其質點分布不盡相同。任一方向上所有平行晶向可包含晶體中所有結點，任一結點也可以處于所有晶向上。

晶向指數：用[uvw]來表示。其中u、v、w三個數字是晶向矢量在參考坐標系X、Y、Z軸上的矢量分量經等比例化簡而得出。對于晶向指數[uvw]要注意：晶向指數[uvw]必須和uvw相區分，切勿混淆，[uvw]中的u:v:w是三個互質整數，而uvw可為任何有理數，且無連比性。晶向指數的確定：將坐標原點選在OP的任一結點O點，把OP的另一結點P的坐標經等比例化簡后按X、Y、Z坐標軸的順序寫在方括號[]內，則[uvw]即為OP的晶向指數。晶向指數的確定晶向指數的例子正交晶系一些重要晶向的晶向指數晶向指數的意義晶向指數表示著所有相互平行、方向一致的晶向；所指方向相反，則晶向指數的數字相同，但符號相反；晶體中因對稱關系而等同的各組晶向可歸并為一個晶向簇，用<uvw>表示2-3-2晶面指數晶面：晶體點陣在任何方向上可分解為相互平行的結點平面，這樣的結點平面稱為晶面。晶面上的結點，在空間構成一個二維點陣。同一取向上的晶面，不僅相互平行、間距相等，而且結點的分布也相同。不同取向的結點平面其特征各異。任何一個取向的一系列平行晶面，都可以包含晶體中所有的質點。晶面指數結晶學中經常用（hkl）來表示一組平行晶面，稱為晶面指數。它是1839年由米勒（Miller)首先采用的，故也稱米勒指數。數字hkl是晶面在三個坐標軸（晶軸）上截距的倒數的互質整數比。晶面指數的確定

國際上通用的是密勒（Miller）指數，即用三個數字來表示晶面指數。右圖中的紅色晶面為待確定的晶面，其確定方法如下。

(1)建立一組以晶軸

a，b，c

為坐標軸的坐標系，令坐標原點不在待標晶面上，各軸上的坐標長度單位分別是晶胞邊長a，b，c。

(2)求出待標晶面在

a，b，c

軸上的截距x，y，z。如該晶面與某軸平行，則截距為∞。(3)取截距的倒數1/x，1/y，1/z。(4)將這些倒數化成最簡整數比h，k，l，使h∶k∶l=1/x∶1/y∶1/z。(5)將h，k，l

置于圓括號內，寫成(hkl)，則(hkl)就是待標晶面的晶面指數。

下面是一個例子。

請確定下圖中的晶面的晶面指數。

首先選定坐標系，如圖所示。然后求出待標晶面在a，b，c軸上的截距，分別為1/2，2/3，1/2。取倒數后得到2，3/2，2。再將其化成最簡整數比，得到4，3，4三個數。于是該面的晶面指數為(434)。

所有相互平行的晶面在三個晶軸上的截距雖然不同，但它們是成比例的，其倒數也仍然是成比例的，經簡化可以得到相應的最簡整數。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指數相同，或者三個符號均相反。可見，晶面指數所代表的不僅是某一晶面，而且代表著一組相互平行的晶面。

舉例

例如，有一單斜晶系晶體的晶面ABC在X、Y、Z軸上的截距分別為3a、2b、6c（如右圖）。其晶面指數求解過程為：X、Y、Z三晶軸的單位分別為a、b、c，因此其截距系數分別為3、2、6，其倒數比為：2︰3︰1，因此其晶面指數為（231）。晶面指數的例子正交點陣中一些晶面的面指數

關于晶面指數和晶向指數的確定方法還有以下幾點說明：

(1)參考坐標系通常都是直角坐標系。坐標系可以平移（因而原點可置于任何位置）。但不能轉動，否則，在不同坐標系下定出的指數就無法相互比較。

(2)晶面指數和晶向指數可為正數，亦可為負數，但負號應寫在數字上方，如、，

等。

(3)若各指數同乘以不等于零的數n，則新晶面的位向與舊晶面的一樣，新晶向與舊晶向或是同向(當

n>0)，或是反向(當

n<0)。但是，晶面距（兩個相鄰平行晶面間的距離）和晶向長度（兩個相鄰結點間的距離）一般都會改變，除非

n=1。

晶面族(FamilyofPlane)和

晶向族(FamilyofDirection)的表示

在晶體中，具有等同條件而只是空間位向不同的各組晶面（即這些晶面的原子排列情況和晶面間距等完全相同），可歸并為一個晶面族，用{hkl}表示。例如，立方晶體中某些晶面族所包括的等價晶面為：共六個等價面。

共12個等價面。共8個等價面。同理，{112}、{123}也可寫出相應的等價面。（見書P134，表4-3多重性因子）從以上各例可以看出，立方晶體的等價晶面具有“類似的指數”，即指數的數字相同，只是符號（正負號）和排列次序不同。這樣，我們只要根據兩個（或多個）晶面的指數，就能判斷它們是否為等價晶面。另一方面，給出一個晶面族符號{hkl}，也很容易寫出它所包括的全部等價晶面。

對于非立方晶系，由于對稱性改變，晶面族所包括的晶面數目就不一樣。例如正交晶系，晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以{100}族來包括。與晶面族類似，晶體中因對稱關系而等同的各組晶向可歸并為一個晶向族，用<uvw>表示。仿照上例，同學們可以寫出在立方晶系中的<100>，<110>，<111>，<112>和<123>等晶向族所包括的等價晶向。以后，在討論晶體的性質(或行為)時,若遇到晶面族或晶向族符號，那就表示該性質（或行為）對于該晶面族中的任一晶面或該晶向族中的任一晶向都同樣成立，因而沒有必要區分具體的晶面或晶向。另外，在立方晶系中，具有相同指數的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]⊥(hkl)。例1：在立方晶系中，〈100〉代表

[100],[010],[001]三個等效晶向。

有時為了表示一個具體的晶面，也可以不化互質整數。例2：(200)指平行于(100)，但與a軸截距為a/2的晶面。說明：若選用基矢坐標系，方法類似，顯然數值是不同的。(312)常見晶面的Miller指數(211)(100)(001)(001)(111)(110)常見晶面的Miller指數(100)a/2a/4(200)(400)原點110220440原點1.h,k,l三個數分別對應于a,b,c三晶軸方向。2.其中某一數為“0”，表示晶面與相應的晶軸平行，例如(hk0)晶面平行于c軸；(h00)平行于b,c軸。3.(hkl）中括號代表一組互相平行、面間距相等的晶面。

4.晶面指數不允許有公約數，即hkl三個數互質。5.若某晶面與晶軸相截在負方向，則相應指數上加一橫。對晶面指數的說明畫出晶面（100）

（100）畫出晶面（110）畫出晶面（111）畫出晶面（201） 畫出晶面（211）畫出晶面（321）

（200）、（333）等是否存在？具有公因子的晶面不存在在體心點陣上畫出晶面（110） 在體心點陣上畫出晶面（200） （100）、（111），（220）晶面是否存在？要求指數和為偶數;選最低指數在面心點陣上畫出晶面（111），（200），（220）

（100），（110），（222）晶面是否存在？同奇同偶2-3-3六方晶系指數表示

上面我們用三個指數表示晶面和晶向。這種三指數表示方法，原則上適用于任意晶系。對六方晶系，取

a，b，c為晶軸，而

a

軸與

b

軸的夾角為120°，c

軸與

a，b軸相垂直，如右圖所示。

但是，用三指數表示六方晶系的晶面和晶向有一個很大的缺點，即晶體學上等價的晶面和晶向不具有類似的指數。這一點可以從上圖看出。圖中六棱柱的兩個相鄰表面（紅面和綠面）是晶體學上等價的晶面，但其密勒指數（MillerIndices）卻分別是(100)和。圖中夾角為60°的兩個密排方向

D1和

D2

是晶體學上的等價方向，但其晶向指數卻分別是[100]和[110]。

由于等價晶面或晶向不具有類似的指數，人們就無法從指數判斷其等價性，也無法由晶面族或晶向族指數寫出它們所包括的各種等價晶面或晶向，這就給晶體研究帶來很大的不便。為了克服這一缺點，或者說，為了使晶體學上等價的晶面或晶向具有類似的指數，對六方晶體來說，就得放棄三指數表示，而采用四指數表示。六方晶系晶面指數標定根據六方晶系的對稱特點，對六方晶系采用a1，a2，a3及c四個晶軸，a1，a2，a3之間的夾角均為120度，這樣，其晶面指數就以(hkil）四個指數來表示。

根據幾何學可知，三維空間獨立的坐標軸最多不超過三個。前三個指數中只有兩個是獨立的，它們之間存在以下關系：i＝－(h+k)。六方晶系一些晶面的指數2-4-4晶面間距（InterplanarSpacing)

晶面間距是指兩個鄰近的平行晶面的垂直距離。通常，低指數的面間距較大，而高指數的晶面間距則較小。晶面間距愈大，該晶面上的原子排列愈密集；晶面間距愈小，該晶面上的原子排列愈稀疏。晶面間距（2）晶面間距公式的推導晶面間距（3）正交晶系立方晶系六方晶系由公式可見晶面間距既與晶胞參數有關，又與晶面指標h，k，l有關。正如以上所述，h、k、l的數值越小，晶面間距離越大，實際晶體外形中這個晶面出現的機會也越大。因為每一種晶體結構對應一個特定的空間點陣，因此將這一空間點陣劃分為平面點陣組時可得到不同方向上的不同d值的全體，也是這一晶體結構特定的數值組，它是晶相鑒定時的重要依據。

各晶系的面間距和晶胞體積公式見書P56表2-3。例1某正交晶體的a=7.417?,b=4.945?,c=2.547?,計算d110和d200。d110=4.11?,d200=3.71?§2-4晶帶定理(ZoneLaw)1.晶帶的定義

晶帶（CrystallographicZone)：許多不同的晶面組都平行與同一直線時，則這些晶面組總稱為一個晶帶，與之平行的直線稱為晶帶軸（CrystallographicZoneAxis）。晶帶定理:晶帶軸[uvw]與晶帶的晶面（hkl）之間符合下列關系：hu+kv+lw=0

證明：晶帶軸[uvw]的直線方程為：

晶面（hkl）的方程為:

(平面的截距方程)

即:

hx+ky+lz=1

所以，直線[uvw]與平面(hkl)平行時，必須hu+kv+lw=0晶帶定律的應用（1）晶面1(h1k1l1)晶面2(h2k2l2)晶帶軸(uvw)晶帶定律的應用（2）晶向1(u1v1w1)晶向2(u2v2w2)晶面(hkl)晶帶定律的應用（3）晶軸1(u1v1w1)晶軸2(u2v2w2)晶軸3(u3v3w3)若則三個晶軸同在一個晶面上晶帶定律的應用（4）晶面1(h1k1l1)晶面2(h2k2l2)晶面3(h3k3l3)若則三個晶面同屬一個晶帶例題1、哪個晶帶能包括（210）和（111）兩晶面？解：u=k1l2－k2l1=1×1－1×0=1

v=l1h2－l2h1=0×1－1×2=﹣2

w=h1k2－h2k1=2×1－1×1=1∴[uvw]=

§2-5晶體的對稱性

對稱性是晶體極其重要的特性，晶體學中最基本的理論為對稱性理論，晶體的外形是一個有限對稱圖象，對有限對稱圖象進行對稱操作時，至少要保持一點不動，這樣所組成的對稱性叫晶體的宏觀對稱性，一共有32種。由晶體內部結構所決定的對稱性叫微觀對稱性，一共有230種。2-5-1點對稱操作對稱圖形是指經過一種或一種以上且不改變圖形中任何兩點間距離的動作后，能復原的圖形。對稱操作(變換)系指不改變等同部分內部任何兩點間的距離而使對稱圖形中各等同部分調換位置能夠恢復原狀的動作。在對稱操作時,不改變或不動的點、線、面等幾何元素，稱為對稱元素。對稱操作可分為兩類：1）第一類對稱操作：它是能使各個相同部分重合復原的操作（例如旋轉）。2）第二類對稱操作：它是能使兩個對應部分（如D-型和L-型分子、左右手等）重合復原的操作（例如反映、反演、旋轉-反演等）。點對稱操作是指在操作過程中保持空間有一個不動點的對稱操作。一、宏觀對稱性

1、旋轉對稱軸是通過晶體中心的一根假想直線，晶體圍繞此直線旋轉一定角度后，可使相等部分重復或者說使晶體復原。對稱軸的對稱操作是圍繞一根直線旋轉。旋轉一周重復的次數稱為周次（n），重復時所旋轉的最小角度稱為基轉角（），周次與基轉角之間的關系為n=360°/

對稱軸的種類名稱符號基轉角（）軸次（n）作圖符號一次對稱二次對稱三次對稱四次對稱六次對稱L1L2L3L4L6360°180°120°90°60°12346x′=xcosα+ysinαy′=xsin

α+ycos

αz′=z或x=x′cosα-y′sinαy=x′sinα+y′cos

αz=z′

晶體對稱定律：

在晶體中，只可能出現軸次為一次、二次、三次、和六次的對稱軸，而不可能存在五次和高于六次的對稱軸。旋轉軸的習慣記為Cn(也有用gn表示的),國際記號為1,2,3,4,6.基轉角的可能值K>33210-1<-1COSα=(1-K)/2<-1-1-(1/2)01/21>1α無相當值180°120°90°60°0°360°無相當值2、反演(倒反、反伸)

對稱元素為一設想的定點,此點稱為對稱中心對稱中心是晶體中心的一個假想點，任意通過此點的直線的等距離兩端，必定找到對應的點。對稱中心的對稱操作是對此點的反伸。晶體中可以沒有對稱中心，或者有一個對稱中心。晶體中如果有對稱中心，晶體上的晶面必然都是兩兩平行（或兩兩反向平行）且相等。

對稱中心的習慣記號用i,其國際記號為

若將對稱中心取作坐標原點,其線性變換關系式為:

x′=-x

其變換行列式為:y′=-y

z′=-z3、反映對稱元素為一假想的平面,此面稱為鏡面(對稱面)。

對稱面是通過晶體中心的一個假想平面，它將晶體平分為互為鏡像的兩個相等部分。對稱面的操作是對此平面的反映。鏡面的習慣記號為σ,國際符號為m.4、旋轉-反演旋轉反伸軸是通過晶體中心的一根假想的直線，晶體圍繞此直線旋轉一定角度后，再對此直線上的一點反伸，可使相等部分重復即晶體復原。旋轉反伸軸的對稱操作是圍繞一根直線旋轉和對此直線上一點反伸。旋轉反伸軸的符號Lin

，i代表反伸，n代表軸次。n可以為1、2、3、4、6，相應的基轉角為360°、180°、120°、90°、60°，旋轉反伸軸的作用如下圖所示：當反軸為Z軸時,可得到旋轉-反演的線性變換公式:

x′=-x

cosα-ysinα

y′=xsinα-ycosα

z′=-z反軸之習慣記號為Cni,其中i表示反演,而n則為軸次,反軸的國際記號為:

綜上所述，所有的宏觀對稱元素都可用旋轉和旋轉-反演對稱軸來表示，宏觀對稱元素有以下最基本的七種：1、一次旋轉-反演對稱軸（=i）；2、二次旋轉-反演對稱軸（=m）；3、四次旋轉-反演對稱軸（）；4、二次旋轉對稱軸（2）；5、三次旋轉對稱軸（3）；6、四次旋轉對稱軸（4）；7、六次旋轉對稱軸（6）。即：2，3，4，6，i，m，七種獨立的基本對稱元素。二、微觀對稱性

晶體的宏觀對稱性是晶體結構微觀對稱性的反映。晶體的宏觀對稱元素在微觀對稱中也同樣存在。晶體結構是由其結構單位（晶胞）在三維空間上的無限排列，晶體的微觀對稱性還具有宏觀對稱不能出現的對稱元素—平移，平移和旋轉或反映的復合對稱操作，又產生新的對稱元素，螺旋軸和滑移面。它們是在微觀的無限空間中所特有的，稱為微觀對稱元素。微觀對稱性和宏觀對稱性的主要區別：1、宏觀對稱性對稱元素必須相交一點，微觀對稱性中對稱元素不須交于一點，可以在三維空間無限分布。2、宏觀對稱性中對稱元素只考慮方向，微觀對稱性中需要考慮對稱元素的相互位置關系1、平移：平移就是將物體移動到與原來環境完全相同地點的一種直線位移。因每次平移單位為幾埃，故屬微觀對稱變換。點陣反映了晶體結構的周期性，這種周期性也就是點陣的平移復原的特性。對于點陣，連接任意兩個陣點的位置矢量：R=ma+nb+pc，進行平移可以使點陣復原，表現在晶體結構上就是使在三維空間無限伸展的相同部分得以重復。R可以定義為晶體微觀結構平移的方向矢量。十四種空間格子反映了晶體結構中平移對稱的組合規律。

2、旋轉-平移：又稱螺旋旋轉。

螺旋軸是一種復合的對稱要素。其輔助幾何要素為：一根假想的直線及與之平行的直線方向。相應的對稱變換為，圍繞此直線旋轉一定的角度和此直線方向平移的聯合。螺旋軸的周次n只能等于1、2、3、4、6，所包含的平移變換其平移距離應等于沿螺旋軸方向結點間距的s/n，s為小于n的自然數。螺旋軸的國際符號一般為ns。

旋轉軸根據其軸次和平移距離的大小的不同可分為21；31；32；41；42；43；61；62；63；64；65共11種螺旋軸。螺旋軸根據其旋轉方向可分為左旋、右旋和中性旋轉軸。左旋方向是指順時針旋轉，右旋是指逆時針旋轉，旋轉方向左右旋性質相同時為中性旋轉軸。各種旋轉對稱軸如圖所示：61626364653、反映-平移：亦稱滑移面。滑移面（glideplane)：晶體結構沿著某一平面進行反映，再平行于該平面平移一定距離，結構中的每個質點均與相同的質點重復。相應的對稱操作為反映和平移的復合操作。

在晶體的微觀對稱性中，反映操作等同于反映與點陣某個平移矢量的復合操作。

在晶體結構中，按照反映后平移矢量的不同，可將滑移面分為5種。滑移反映面的符號隨滑移方向而定，它的對稱變換若是反映后平行于滑移面沿a軸滑移a/2，則符號為a，沿b則為b，沿c則為c，沿對角線滑移1/4周期則符號為d，滑移1/2為n。即：a，b，c，d，n五種。①

=(1/2)a的滑移面，符號a滑移面

a②

=(1/2)b的滑移面，符號b滑移面

b③=(1/2)c的滑移面，符號c滑移面

c④

=1/4(a+b)或1/4(b+c)或1/4(c+a)或1/4(a+b+c)的滑移面，符號d滑移面

d⑤

=1/2（a+b)或1/2(b+c)或1/2(c+a)或1/2(a+b+c)的滑移面，符號n滑移面

n§2-6點群2-6-1宏觀對稱元素描述晶體宏觀對稱性的對稱操作群。各種晶體在外觀上均呈現某種對稱性，能夠使晶體外形復原的操作稱為對稱操作，據以進行對稱操作的幾何點、線、面稱為對稱元素。晶體的對稱元素及對應的對稱操作如下表所示：

由于晶體具有三維周期性的點陣結構，晶體沒有n＝5或n＞6的轉軸，對表中所有對稱元素進行組合，共計有32種組合方式，形成32種點群。在表中所有對稱操作的作用下，晶體中至少有一點是不動的，這樣的對稱操作叫作點對稱操作，相應的對稱操作群稱為點群。晶體的幾何外心外形雖千變萬化，但能使它們作有規律重合的點對稱操作及憑借的對稱元素只有4種，現分述如下：（1）對稱中心的倒反I所組成的點群：（2）對稱面的反映σ形成的點群：（3）對稱軸的基本操作為旋轉Cn（α）所組成的點群。（4）反軸Cni的旋轉倒反為：它所組成的群我們也可以采用另一種反軸，即旋轉反映軸（Sn），它的對稱操作為旋轉加反映，這兩種操作緊密連接而不可分。其基本對稱操作為：在晶體的理想外形上是較易看出這些對稱型式的存在，而相應的對稱操作均形成一個有限群—點群2-6-2

32個晶體學點群

晶體的理想外形和宏觀觀察到的對稱性，稱宏觀對稱性。由于宏觀觀察區分不了平移的差異，因此微觀結構中一些特殊的螺旋軸、滑移面，在宏觀中表現為旋轉軸和對稱面，即在宏觀仍可以用點群來區分晶體的對稱性，但由于晶體點陣平移性質的限制，旋轉軸只能有1，2，3，4，6次軸，因此總共只有32個晶體學點群。一、點群的推導Cn：n=1,2,3,4,6即C1，C2，C3，C4，C6；五個點群；Cnv：C2v，C3v，C4v，C6v，四個點群；Cnh：C1h＝Cs，C2h，C3h，C4h，C6h，五個點群；Sn：S3與C3h等同，不重復計算，只有S2＝i，S4，S6，三個點群；Dn：D2，D3，D4，D6，四個點群；Dnh：D2h，D3h，D4h，D6h，四個點群；Dnd：該類點群含有平分面σd，使映轉軸次數要擴大一倍，故只有D2d，D3d以上共27個點群，還有5個高階群：T、Td、Tu、O、Oh。32個點群有2種表示符號，一種是Schoenflies符號，即以上所用符號，還有一種是晶體學中通用的國際符號，第一個大寫符號表示點陣形式，后面3個位置表示某方面的對稱元素。二、晶系與晶族的劃分根據晶體對稱的特點可以對晶體進行合理的科學分類。

晶體分類體系：三大晶族、七大晶系、三十二晶類

首先，把屬于同一對稱型的晶體歸為一類，稱為晶類。晶體中存在32對稱型，亦即有32晶類。

根據是否有高次軸以及有一個或多個高次軸，把32個對稱型歸納為低、中、高級三個晶族。

在各晶族中，再根據對稱特點劃分晶系，晶系共有七個。它們是屬于低級晶族的三斜晶系(無對稱軸和對稱面)、單斜晶系(二次軸和對稱面各不多于一個)和斜方晶系(二次軸或對稱面多于一個)；屬于中級晶族的四方晶系(有一個四次軸)、三方晶系(有一個三次軸)和六方晶系(有一個六次軸)；屬于高級晶族的等軸晶系(有四個三次軸)。低級晶族（無高次軸）三斜晶系（無L2，無P）

單面晶類平行雙面晶類

單斜晶系（L2或P不多于1個）

軸雙面晶類反映雙面晶類斜方柱晶類

斜方晶系（L2或P多于1個)

斜方四面體晶類斜方單錐晶類斜方雙錐晶類中級晶族（只有一個高次軸）

四方晶系（有一個L4或L4i）

四方單錐晶類四方偏方面體晶類四方雙錐晶類復四方單錐晶類復四方雙錐晶類四方四面體晶類復四方偏三角面體晶類三方晶系（有一個L3）三方單錐晶類三方偏方面體晶類復三方單錐晶類菱面體晶類復三方偏三角面體晶類六方晶系（有一個L6或L6i）三方雙錐晶類復三方雙錐晶類六方單錐晶類六方偏方面體晶類六方雙錐晶類復六方單錐晶類復