第二十三章

數(shù)據(jù)分析平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)第3課時

1類型權(quán)為百分比的加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用某公司需要招聘一名員工，對應(yīng)聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個方面進(jìn)行量化考核，甲、乙、丙各項得分如下表：

筆試面試體能甲83分79分90分乙85分80分75分丙80分90分73分(1)根據(jù)三項得分的平均分，從高到低確定三名應(yīng)聘

者的排名順序；(2)該公司規(guī)定：筆試、面試、體能得分分別不得低

于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的

比例計入總分，根據(jù)規(guī)定，請你說明誰將被錄用．(1)x甲＝(83＋79＋90)÷3＝84(分)，

x乙＝(85＋80＋75)÷3＝80(分)，

x丙＝(80＋90＋73)÷3＝81(分)．

從高到低確定三名應(yīng)聘者的排名順序為甲、丙、乙．解：(2)因為該公司規(guī)定：筆試、面試、體能得分分別不

得低于80分、80分、70分，所以甲被淘汰．乙成績?yōu)?5×60%＋80×30%＋75×10%＝82.5(分)，丙成績?yōu)?0×60%＋90×30%＋73×10%＝82.3(分)，故乙將被錄用．2權(quán)為整數(shù)比的加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用類型2．某單位需招聘一名技術(shù)員，對甲、乙、丙三名候

選人進(jìn)行了筆試和面試兩項測試，其成績?nèi)缦卤?/p>

所示，根據(jù)錄用程序，該單位又組織了100名評議

人員對三人進(jìn)行投票測評，三人得票率如扇形統(tǒng)

計圖所示，每票1分．(沒有棄權(quán)票，每人只能投1票)(1)請算出三人的民主評議得分；(2)該單位將筆試、面試、民主評議三項測試得分

按2：2：1確定綜合成績，誰將被錄用？請說明

理由．測試項目

測試成績/分

甲乙丙筆試808595面試987573(1)甲民主評議得分：100×25%＝25(分)；乙民主評

議得分：100×40%＝40(分)；丙民主評議得分：100×35%＝35(分)．(2)甲將被錄用．理由：

甲的成績：乙的成績：

丙的成績：因為甲的成績最好，所以甲將被錄用．解：3權(quán)為頻數(shù)的加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用類型3．今年植樹節(jié)，東方紅中學(xué)組織師生開展植樹造林

活動，為了了解全校800名學(xué)生的植樹情況，隨

機抽樣調(diào)查了50名學(xué)生的植樹情況，制成了如下

統(tǒng)計表和如圖所示的條形統(tǒng)計圖(均不完整)．植樹數(shù)量/棵頻數(shù)頻率350.14200.45

6100.2合計501根據(jù)統(tǒng)計圖表解答下列問題：(1)將統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖補充完整；(2)求抽取的50名學(xué)生植樹數(shù)量的平均數(shù)；(3)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)，估計該校800名學(xué)生的植樹數(shù)量．(1)補全的統(tǒng)計表如下：解：植樹數(shù)量/棵頻數(shù)頻率350.14200.45150.36100.2合計501補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示：(2)抽取的50名學(xué)生植樹數(shù)量的平均數(shù)是

(3)因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4.6，所以該校800名學(xué)生參加這次植樹活動的總體

平均數(shù)約是4.6棵．因為4.6×800＝3680(棵)，所以估計該校800名學(xué)生的植樹數(shù)量約為3680棵．解：4權(quán)為組中值的加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用4．為了解某校九年級學(xué)生的體能，隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行1min的跳繩測試，并指定甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對這次測試結(jié)果的數(shù)據(jù)作出整理，下面是這四名同學(xué)提供的部分信息：甲：將全體測試數(shù)據(jù)分成6組繪成頻數(shù)分布直方圖(如圖)；乙：跳繩次數(shù)不少于105次的同學(xué)占96%；丙：第①、②兩組的頻率之和為0.12，且第②組與第⑥組的頻數(shù)都是12；?。旱冖?、③、④組的頻數(shù)之比為41715.類型根據(jù)這四名同學(xué)提供的信息，請解答如下問題：(1)這次跳繩測試共抽取學(xué)生多少名？各組有多少人？(2)如果跳繩次數(shù)不少于135次為優(yōu)秀，則這次跳繩測

試中達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為多少？(3)以每組的組中值(每組

的中點對應(yīng)的數(shù)據(jù))作

為這組跳繩次數(shù)的代

表，估計這批學(xué)生1min跳繩次數(shù)的平

均數(shù)．(1)∵第①組的頻率為1－96%＝0.04，∴第②組的頻率為0.12－0.04＝0.08，則這次跳繩測試共抽取學(xué)生12÷0.08＝150(名)．∴第①組的人數(shù)為150×0.04＝6.∵第②、③、④組的頻數(shù)之比為41715，

第②組的頻數(shù)為12，∴第③、④組的人數(shù)分別為51，45，則第⑤組的

人數(shù)為150－(6＋12＋51＋45＋12)＝24.∴第①～⑥組分別有6人、12人、51人、45人、24人、12人．解：(2)第⑤、⑥兩組的頻率之和為

＝0.16＋0.08＝0.24，∴150×0.24＝36(人)達(dá)到優(yōu)秀．(3)估計這批學(xué)生1min跳繩次數(shù)的平均數(shù)為26.1銳角三角函數(shù)第1課時

學(xué)習(xí)目標(biāo)理解正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.（重點）能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，用正切進(jìn)行簡單的計算.（難點）12

你會比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？新課導(dǎo)入

實例1:如圖①②，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？圖①圖②新課導(dǎo)入

如圖所示,輪船在A處時,燈塔B位于它的北偏東35°的方向上.輪船向東航行5km到達(dá)C處時,輪船位于燈塔的正南方,此時輪船距燈塔多少千米?(結(jié)果保留兩位小數(shù))該實際問題中的已知和所求為圖中的哪些角和線段?(事實上,求輪船距燈塔的距離,就是在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5km,求BC長度的問題)問題引入這就是我們將要學(xué)習(xí)的直角三角邊角關(guān)系新課導(dǎo)入直角三角形中銳角的對邊與鄰邊的比是定值1.如圖，在Rt△中和Rt△中，=相等.

與具有怎樣的關(guān)系?=90°.當(dāng)=時，知識講解(三角形相似)引導(dǎo)思考:(1)如何證明線段成比例?(2)根據(jù)已知,你能證明這兩個直角三角形相似嗎?(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')(3)由三角形相似的性質(zhì)可以得到

與

之間的關(guān)系嗎?（Rt△ABC∽Rt△A'B'C',

∴

知識講解2.如圖所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分別為C,C'.與

具有怎樣的關(guān)系?在兩個直角三角形中,當(dāng)一對銳角相等時,這兩個直角三角形相似,從而兩條對應(yīng)直角邊的比相等,即當(dāng)∠A(小于90°)確定時,以∠A為銳角的Rt△ABC的兩條直角邊的比

是確定的.知識講解如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tanA,即tanA==.1.正切的定義知識講解思考：(tanA是一個比值,沒有單位)(1)∠A的正切tanA表示的是tan與A的乘積還是一個整體?(tanA表示的是一個整體)(2)當(dāng)∠A的大小變化時,tanA是否變化?(tanA隨著∠A的大小變化而變化)(3)tanA有單位嗎?知識講解(4)∠B的正切怎么表示?tanA與tanB之間有怎樣的關(guān)系?(tanB=,tanA·tanB=1)(6)若知道直角三角形的斜邊和一直角邊,你能求一個銳角的正切值嗎?(5)要求一個銳角的正切值,我們需要知道直角三角形中的哪些邊?(需要知道這個銳角的對邊和鄰邊)(根據(jù)勾股定理求出另一直角邊,再根據(jù)正切定義求解)知識講解例1

在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)如圖(1)所示,∠A=30°,求tanA,tanB的值.(2)如圖(2)所示,∠A=45°,求tanA的值.解:(1)在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴∠B=60°,且

.∴==.∴tanA=tan30°=,tanB=tan60°=.知識講解(2)在Rt△ABC中,∵∠A=45°,∴a=b.∴tanA=tan45°=.這樣,就得到tan30°=,tan45°=1,tan60°=.知識講解5.tan2A表示(tanA)2,而不能寫成tanA2.注意：

1.正切是一個比值,沒有單位.2.正切值只與角的大小有關(guān),與三角形的大小無關(guān).3.tanA是一個整體符號,不能寫成tan·A，tanA不表示“tan”乘以“A”.4.當(dāng)用三個字母表示角時,角的符號“∠”不能省略,如tan∠ABC.知識講解

實例:如圖③④，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？梯子的鉛直高度與其水平距離的比相同時，梯子就一樣陡.比值大的梯子陡.你能設(shè)法驗證這個結(jié)論嗎？圖③圖④2.正切的應(yīng)用如圖,梯子AB的傾斜程度與tanA有怎樣的關(guān)系?BC1.當(dāng)梯子與地面所成的角為銳角A時，tanA＝

tanA的值越大，梯子越陡．

因此可用梯子的傾斜角的正切值來描述梯子的傾斜程度．2.當(dāng)傾斜角確定時，其對邊與鄰邊之比隨之確定，這一比值只與傾斜角的大小有關(guān)，而與物體的長度無關(guān)．例2下圖表示甲、乙兩個自動扶梯,哪一個自動扶梯比較陡?解:甲梯中乙梯中∵tanα>tanβ∴甲梯更陡4m┐8mα甲甲梯ABCβ乙5m┌13m乙梯DEF知識講解1.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,三邊分別為a,b,c,則tanA等于 (

)

A.B.C.D.解析:根據(jù)銳角正切的定義可得tanA==,故選B.

B隨堂訓(xùn)練2.把△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍,則銳角A的正切值 (

)A.不變 B.縮小為原來的C.擴大為原來的3倍 D.不能確定解析：因為△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍所得的三角形與原三角形相似，所以銳角A的大小沒改變，所以銳角A的正切值也不變．故選A．A隨堂訓(xùn)練3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜邊AB是直角邊BC的3倍，則tanB的值是(

)A.B．3C.D．4.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是(

)A．2B.C.D.DD5.已知Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,BC=12,則AC等于

.

解析:根據(jù)正切定義可得tanA===

，所以AC=9.故填9.9隨堂訓(xùn)練6.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，則tanA＝___．由正切定義可知tanA＝

因為可設(shè)BC＝15a，AB＝17a，從而可用勾股定理表示出第三邊AC＝8a，再用正切的定義求解得tanA＝7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足為D，則tan∠BCD＝____．根據(jù)題意得∠BCD＝∠CAB