《橢圓的簡單幾何性質》教學設計一、復習回顧，新知導入這節課我們繼續研究有關橢圓的相關知識，在進入本節課的知識之前，我們先復習一下上節課的知識。二、探究問題，觀察發現從哪幾方面研究研究橢圓的幾何性質呢?學生紛紛討論之后老師確定從橢圓的對稱性、頂點、范圍、離心率來探究。探究一：橢圓的范圍問題1.（1）觀察橢圓的形狀，它有怎樣的范圍？（2）如何利用方程+=1(a>b>0)給出證明？從方程的結構特點出發，師生共同分析，給出證明過程。由+=1，利用兩個實數的平方和為1，結合不等式知識得，x≤a且y≤b,則有｜x｜≤a,｜y｜≤b,所以-a≤x≤a,-b≤y≤b?！驹O計意圖】通過橢圓的標準方程確定橢圓的范圍，使學生感受利用橢圓方程研究橢圓幾何性質的方法，理解橢圓位于直線和所圍成的矩形內，為描點法作圖提供了參考，體會利用坐標法研究曲線幾何性質的優越性.（板書）橢圓的范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b。探究二：橢圓的對稱性問題2：（1）觀察橢圓的形狀，你有什么發現？【設計意圖】讓學生直觀感知，更深入認識橢圓的對稱性。得出結論：橢圓具有對稱性：橢圓是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。（2）在直角坐標系中，要證明一個圖形關于坐標軸或原點對稱，就是要證明什么？【設計意圖】經歷幾何問題代數化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。學生討論：設，則點關于軸、軸和坐標原點的對稱點分別是，若曲線關于軸對稱，則點關于軸對稱點也在曲線上，即滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。（3）基于此，能否從方程角度得到橢圓的對稱性？【設計意圖】為培養學生觀察、分析、歸納問題的能力。為進一步的學習打下良好的基礎。學生討論得出：以代，方程不變，則曲線關于軸對稱；以代，方程不變，則曲線關于軸對稱；同時以代、以代，方程不變，則曲線關于原點對稱。（板書）橢圓的對稱性：橢圓關于軸，軸和原點對稱。探究三：橢圓的頂點問題3：觀察橢圓，你覺得有哪些特殊的點？由方程如何得到這些點的坐標?學生易得：橢圓與對稱軸有交點，有四個交點?！驹O計意圖】體驗用代數的方法研究幾何問題過程。令則有或；同理可得或。教師指出：其實，我們把橢圓與坐標軸的交點就叫做橢圓的頂點。其中線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長，此時長軸在x軸上。（整合點：教師通過ppt演示“橢圓的頂點”）（板書）橢圓的頂點：。探究四：橢圓的離心率橢圓的簡單的幾何性質中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離心率問題。為了能將抽象的問題形象化，利于學生的理解與接受，設計如下的課堂活動，讓全體學生參與到課堂中來，在自己的探究中獲得學習的樂趣，學習的快樂，并且可以使不同程度的學生都有所收獲。問題4：（1）觀察圖形，橢圓有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓的扁平程度呢？【設計意圖】讓學生積極參與到課堂活動來，自主思考、討論，交流成果。本過程中，幾何畫板的強大功能發揮巨大作用。在幾何畫板中展示橢圓的形狀變化的同時，還可以讓學生觀察到橢圓中a,b,c三個參量的變化，進而對橢圓的離心率充分了解。觀看課件演示，加深對離心率問題的直觀認識。(整合點：展示“橢圓的離心率.gsp”幾何畫板，取橢圓的長軸長不變，拖動兩焦點改變它們之間的距離，再畫橢圓，由學生觀察出橢圓形狀的變化。)教師指出：在剛才的演示中，我們發現在橢圓長軸長不變的前提下，兩個焦點離開中心的程度不一樣，可以用離心率來描述。（1）概念：橢圓焦距與長軸長之比。（2）定義式：問題4：（2）離心率是如何刻畫橢圓的扁平程度的？【設計意圖】學生通過觀察動畫更容易找出橢圓圖形隨e的變化而變化的規律，他到突破難點的效果。再一次演示幾何畫板。學生發現不變時，c變大，即離心率變大時，橢圓越扁；c變小即離心率變小時，橢圓越圓。從式子上看：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在時的特例。橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認為線段為橢圓在時的特例。(板書)橢圓的離心率：，三、總結歸納，能力提升讓學生學會將課堂上所學的知識整合成塊，形成屬于自己的知識體系。要求課堂填寫（）的性質，課后完成（）的性質。【小試牛刀】1.若點P（2,4）在橢圓上，下列哪些點在橢圓上_______(1)P(-2,4)(2)P(-4,2)(3)P(-2,-4)(4)P(2,-4)2.比較下列橢圓的形狀,哪一個更圓？和【設計意圖】為了讓學生能真正理解離心率的意義，教學中利用數形結合的思想，從幾個具體的橢圓標準方程入手，通過對圖形的觀察、方程的驗證，從數的方面，發現了橢圓形狀與的本質聯系，使學生體驗了學習數學的樂趣，感悟和體會了特殊到一般、由具體到抽象的認識問題的一般方法和數形結合、歸納、類比等數學思想方法的運用。四、典例賞析，學以致用為了加深對橢圓的幾何性質的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例題：【例1】求橢圓的長軸和短軸的長，離心率、焦點和頂點的坐標。變式：求適合下列條件的橢圓的標準方程：焦點在軸上，；（2）經過點P(-3,0)，Q(0,-2)；（3）長軸長等于20，離心率等于。五、課堂小結本節課我們研究了曲線的哪些性質？這些性質通過怎樣的方法得到?作業布置1.課本P115習題3.1組第3、4題。2.已知橢圓C的方程為（1）與橢圓C具有相同焦點的橢圓有多少個？寫出其中兩個橢圓的方程.(2)與橢圓C具有相同離心率的橢圓有多少個？寫出其中兩個橢圓的方程.（3）求與橢圓C具有相同離心率，且過點（3,2）的橢圓的標準方程.學情分析學生已經熟悉和掌握橢圓的定義和標準方程，學生有探究的興趣，有一定的觀察分析和邏輯推理的能力，但這是學生第一次通過方程研究曲線的幾何性質，研究思路并不是很清晰。對于范圍、對稱性、頂點三個性質，通過老師的點撥引導，學生比較容易掌握。離心率概念比較抽象，學生缺乏研究此類問題的經驗。離心率的發現過程要為學生創設適當的情境，使學生在最近發展區中發現問題、解決問題。效果分析1.課堂教學效果各個教學環節學生都能積極參與，都能比較深刻的理解和熟練地應用知識點；應用幾何畫板，非常形象的展示了橢圓離心率的變化對橢圓形狀的影響，激發了學生學習的興趣，同時將難點直觀化，學生接受新知效果較好；通過學生板演，激勵學生學習，同時也是對本節課的驗收。2.學生學習效果巡視發現學生掌握較好；課堂積極參與，學習態度較好。教材分析教材的地位和作用本節課是人教A版選擇性必修一第三章《圓錐曲線的方程》中3.1《橢圓》的第二課時，本節課是在學生熟悉了直線和圓的方程、橢圓的定義及其標準方程的基礎上，并具有初步運用方程研究曲線的方法的活動經驗后，第一次系統地運用代數與幾何相結合的方法研究曲線的性質.它為之后研究雙曲線、拋物線的幾何性質、運用“以數解形”的方法解決幾何問題等內容提供了數學模型和方法指導，因此本節課具有舉足輕重的地位和作用.本節內容蘊含了豐富的數學思想方法，突出體現了數形結合、分類討論及類比推理的思想和用代數法研究曲線性質的數學方法.教學目標（1）知識與技能：掌握橢圓的性質，能根據性質正確地做出橢圓草圖；掌握橢圓中a、b、c、e的幾何意義及相互關系；能利用橢圓的性質解決實際問題。（2）過程與方法：通過對橢圓標準方程的討論，使學生知道在解析幾何中是怎樣用代數方法研究曲線性質的，逐步領會解析法（坐標法）的思想。培養學生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運用數形結合思想解決實際問題的能力。（3）情感態度與價值觀：通過對問題的探究活動，親歷知識的建構過程，使學生領悟其中所蘊涵的數學思想和數學方法，體驗探索中的成功和快樂，使學生在探索中喜歡數學、欣賞數學。3.教學重、難點（1）教學重點橢圓的簡單幾何性質.（2）難點橢圓的離心率.評測練習【小試牛刀】1.若點P（2,4）在橢圓上，下列哪些點在橢圓上_______(1)P(-2,4)(2)P(-4,2)(3)P(-2,-4)(4)P(2,-4)2.比較下列橢圓的形狀,哪一個更圓？和【例1】求橢圓的長軸和短軸的長，離心率、焦點和頂點的坐標。變式：求適合下列條件的橢圓的標準方程：焦點在軸上，；（2）經過點P(-3,0)，Q(0,-2)；（3）長軸長等于20，離心率等于。課后反思本節課是人教A版選擇性必修一第三章的內容，它是在學完橢圓的標準方程的基礎上，通過研究橢圓的標準方程來探究橢圓的簡單幾何性質。這是學生第一次正式學習使用代數方法研究圓錐曲線的幾何性質，因此，上好本節課顯得尤為重要。本節課總體上是以橢圓為載體研究橢圓的幾何性質，通過對橢圓方程的研究，讓學生自然得出相應的幾何性質。由學生歸納出橢圓的頂點、范圍、長短軸等概念，并揭示了橢圓方程中的幾何意義。本節課的重點是利用橢圓方程來研究幾何性質，所以在歸納一般概念時，應注重強調代數方法和坐標法。例如，由方程可直接求得的范圍；利用對稱點的坐標，可以檢驗曲線的對稱性；分別令和可以求出四個頂點（即橢圓與對稱軸交點）的坐標。從教學情況來看，學生接受還是比較好的。離心率是本節課的難點，課本直接提出利用與可以刻畫橢圓的圓扁程度，接著給出離心率的定義，學生接受起來是比較困難的。因此我在學生對橢圓的圓扁變化有了初步的感性認識之后，讓學生合作討論，尋找一個合適的量來刻橢圓的扁平程度。學生們不難發現，橢圓的扁平程度與長軸，短軸有關，所以可以用來進行刻畫。我首先肯定了學生的回答，再在這個基礎上，通過推導說明也是反映橢圓扁平程度的一個量，引出離心率的定義，之后再通過幾何畫板形象的展示對離心率的影響，這種對事物從感性到理性的認識，正是思維質變的過程。不過由于給學生自主討論離心率的時間較少，學生對離心率的理解課下還需再消化一下。另外由于課堂上時間有限，學生的接受能力也有所局限，在作業布置中給出了對本節內容深層次理解的題目，實現分層教學的目的。課標分析《普通高中數學課程標準（2017年版）》對本節課的要求有以下兩條：（1）掌握橢圓的簡單