第七章隨機變量及其分布7.2離散型隨機變量及其分布列例1一批產品中次品率為5%，隨機抽取1件，定義求X的分布列.解：根據X的定義，“抽到次品”，“抽到正品”，X的分布列為，.對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義如果，則，那么X的分布列如表7.2-3所示.表7.2-3X01Pp例2某學校高二年級有200名學生，他們的體育綜合測試成績分5個等級，每個等級對應的分數和人數如表7.2-4所示.表7.2-4等級不及格及格中等良優分數12345人數2050604030從這200名學生中任意選取1人，求所選同學分數X的分布列，以及.解：由題意知，X是一個離散型隨機變量，其可能取值為1，2，3，4，5，且“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“優”.根據古典概型的知識，可得X的分布列，如表7.2-5所示.表7.2-5X12345P.例3一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺.如果從中隨機挑選2臺，求這2臺電腦中A品牌臺數的分布列.解：設挑選的2臺電腦中A品牌的臺數為X，則X的可能取值為0，1，2，根據古典概型的知識，可得X的分布列為，，.用表格表示X的分布列，如表7.2-6所示.表7.2-6X012P練習1.舉出兩個離散型隨機變量的例子．【答案】例子見解析；【解析】【分析】根據離散型隨機變量的定義可得結論.【詳解】（1）拋擲一枚質地均勻的硬幣10次，正面向上的次數；（2）某公共汽車站1分鐘內等車的人數；2.下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結果．（1）拋擲2枚骰子，所得點數之和；（2）某足球隊在5次點球中射進的球數；（3）任意抽取一瓶標有1500mL的飲料，其實際含量與規定含量之差．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析.【解析】【分析】(1)拋擲兩枚骰子，所得點數之和，能用離散型隨機變量表示，利用列舉法能求出個隨機變量可能的取值和這些值所表示的隨機試驗的結果.(2)某足球隊在5次點球中射進的球數能用離散型隨機變量表示，利用列舉法能求出個隨機變量可能的取值和這些值所表示的隨機試驗的結果.(3)任意抽取一瓶某種標有1500mL的飲料，其實際量與規定量之差，不能用離散型隨機變量表示.【詳解】(1)拋擲兩枚骰子所得點數之和，能用離散型隨機變量表示，各隨機變量可能的取值分別為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.2表示拋擲兩枚骰子得到的結果為11；3表示拋擲兩枚骰子得到的結果為12；21；4表示拋擲兩枚骰子得到的結果為13；22；31；5表示拋擲兩枚骰子得到的結果為14；23；32；41；6表示拋擲兩枚骰子得到的結果為15；51；24；42；33；7表示拋擲兩枚骰子得到的結果為16；61；25；52；34；43；8表示拋擲兩枚骰子得到的結果為26；62；35；53；44；9表示拋擲兩枚骰子得到的結果為36；63；45；54；10表示拋擲兩枚骰子得到的結果為46；64；55；11表示拋擲兩枚骰子得到的結果為56；65；12表示拋擲兩枚骰子得到的結果為66.(2)某足球隊在5次點球中射進的球數能用離散型隨機變量表示，各隨機變量可能的取值分別為0，1，2，3，4，50表示5次點球中射進0球；1表示5次點球中射進1球；2表示5次點球中射進2球；3表示5次點球中射進3球；4表示5次點球中射進4球；5表示5次點球中射進5球.(3)任意抽取一瓶某種標有1500mL的飲料，其實際量與規定量之差，不能用離散型隨機變量表示.3.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分的分布列．【答案】見解析【解析】【詳解】試題分析：先確定隨機變量可能取法，再分別求對應概率，最后列表可得分布列，也可根據二點分布直接得分布列試題解析：解設此運動員罰球1次的得分為ξ，則ξ的分布列為ξ01P0.30.7(注：ξ服從二點分布)點睛：(1)先根據隨機變量的特點判斷出隨機變量服從什么特殊分布；(2)可以根據特殊分布的概率公式列出分布列，根據計算公式計算出均值和方差；也可以直接應用離散型隨機變量服從特殊分布時的均值與方差公式來計算；若X＝aξ＋b不服從特殊分布，但ξ服從特殊分布，可利用有關性質公式及E(ξ)，D(ξ)求均值和方差．4.拋擲一枚質地均勻的硬幣2次，寫出正面向上次數X的分布列．【答案】答案見解析【解析】【分析】由題意計算出正面向上的次數的概率，即可得到分布列.【詳解】由已知，拋擲一次一枚質地均勻的硬幣，正面向上的概率為記正面向上的次數為，則可取0，1，2，，，，所以正面向上的次數的分布列為：012習題7.2復習鞏固5.張同學從學校回家要經過4個紅綠燈路口，每個路口可能遇到紅燈或綠燈．（1）寫出隨機試驗的樣本空間；（2）設他可能遇到紅燈的次數為X，寫出X的可能取值，并說明這些值所表示的隨機事件．【答案】（1）樣本空間見解析；（2）的可能取值為、、、、；【解析】【分析】（1）設在一個路口遇到紅燈記為1，遇到綠燈記為0，用數對表示在4個路口所出現的情況，列出樣本空間即可；（2）由樣本空間可得的可能取值，以及所對應的隨機事件；【詳解】解：（1）設在一個路口遇到紅燈記為1，遇到綠燈記為0，用表示他經過四個路口所遇到紅綠燈情況，其中表示第個路口的情況，則隨機試驗的樣本空間，，，，，（2）設他可能遇到紅燈的次數為X，則的可能取值為、、、、；表示表示表示表示，，，，表示6.某位同學求得一個離散型隨機變量的分布列為：X0123P0.20.30.150.45試說明該同學的計算結果是否正確．【答案】該同學的計算結果不正確;【解析】【分析】根據分布列的性質進行解題即可.【詳解】根據分布列的性質可知：分布列中所有概率之和等于1，而題目中，所以該同學的計算結果不正確.7.在某項體能測試中，跑1km時間不超過4min為優秀．某位同學跑1km所花費的時間X是離散型隨機變量嗎？如果只關心該同學是否能夠取得優秀成績，應該如何定義隨機變量？【答案】答案見解析.【解析】【分析】根據離散型隨機變量的定義進行問題的分析.【詳解】若隨機變量只取有限多個或可列無限多個值，則稱為離散型隨機變量，在某項體能檢測中，跑時間不超過為優秀，某同學跑所花的時間是連續的，所以某同學跑所花費的時間不是離散型隨機變量，而是連續型隨機變量；如果只關心是否優秀，只需要定義一個兩點隨機變量就可以了，如下：，此時是離散型隨機變量，它僅有兩個取值，其中表示優秀，表示不優秀.8.某位射箭運動員命中目標的環數X的分布列為：X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9環或10環為優秀，那么他一次射擊成績為優秀的概率是多少？【答案】0.55【解析】【分析】根據分布列的性質，將射中環數為9、10環對應的概率相加即可得解．【詳解】解：若射手射擊一次為優秀，則他射中的環數為9、10環，其概率為P＝P（X＝9）+P（X＝10）＝0.35+0.20＝0.55，故他射擊一次為優秀的概率是0.55．綜合運用9.老師要從10篇課文中隨機抽3篇讓學生背誦，規定至少要背出其中2篇才能及格，某同學只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數量的分布列；(2)他能及格的概率．【答案】（1）見解析（2）【解析】【詳解】(1)設隨機抽出的3篇課文中該同學能背誦的篇數為X，則X是一個隨機變量，它可能的取值為0、1、2、3，且X服從超幾何分布，分布列如下：X

0

1

2

3

P

即X

0

1

2

3

P

(2)該同學能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝≈0.667.10.某種資格證考試，每位考生一年內最多有3次考試機會．一旦某次考試通過，便可領取資格證書．不再參加以后的考試，否則就繼續參加考試，直到用完3次機會．李明決定參加考試，如果他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，且每次考試是否通過相互獨立，試求：（1）李明在一年內參加考試次數X的分布列；（2）李明在一年內領到資格證書