1．進一步理解數學歸納法原理．2．會用數學歸納法證明整除問題以及平面幾何中的有關問題．3．1.2數學歸納法應用舉例知識點1用數學歸納法證明整除性問題【例1】已知數列{an}滿足a1＝0，a2＝1，當n∈N*時，an＋2

＝an＋1＋an，求證：數列{an}的第4m＋1項(m∈N*)能被3整除． 證明(1)當m＝1時，

a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)

＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.

即當m＝1時，第4m＋1項能被3整除．(2)假設當m＝k時，a4k＋1能被3整除，則當m＝k＋1時，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.顯然，3a4k＋2能被3整除，又由假定知a4k＋1能被3整除．∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．即當m＝k＋1時，a4(k＋1)＋1也能被3整除．由(1)和(2)知，對于n∈N*，數列{an}中的第4m＋1項能被3整除． ●反思感悟：本題若從遞推式入手，設法求出通項公式，會相當困難．這時，可轉向用數學歸納法證明．1．用數學歸納法證明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．證明

(1)當n＝1時，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，顯然命題成立．(2)假設n＝k(k≥1)時，命題成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，則當n＝k＋1時，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－1＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(x2＋3x＋3)．由假設可知上式可被x2＋3x＋3整除，即n＝k＋1時命題成立．由(1)(2)可知原命題成立．知識點2探索問題 ●反思感悟：探索性問題一般從考查特例入手，歸納出一般結論，然后用數學歸納法證明，體現了從特殊到一般的數學思想．2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在正整數m，使得對任意n∈N*，都能使m整除f(n)？如果存在，求出m最大的值，并證明你的結論；若不存在，說明理由．解

f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360猜想：能整除f(n)的最大整數是36.證明如下：用數學歸納法．(1)當n＝1時，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．(2)假設n＝k(k≥1)時，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除．則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)．由歸納假設3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶數．∴18(3k－1－1)能被36整除．∴當n＝k＋1時，f(n)能被36整除．由(1)(2)可知，對任意n∈N*，f(n)能被36整除．知識點3用數學歸納法證明幾何問題【例3】平面上有n個圓，每兩圓交于兩點，每三圓不過同一點，求證這n個圓分平面為n2－n＋2個部分．證明

(1)當n＝1時，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一圓把平面分成兩部分，所以n＝1命題成立．(2)設n＝k時，k個圓分平面為k2－k＋2個部分，則n＝k＋1時，第k＋1個圓與前k個圓有2k個交點，這2k個交點分第k＋1個圓為2k段，每一段都將原來所在的平面一分為二，故增加了2k個平面塊，共有：(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2個部分．∴對n＝k＋1也成立．由(1)(2)可知，這n個圓分割平面為n2－n＋2個部分． ●反思感悟：如何應用歸納假設及已知條件，其關鍵是分析k增加“1”時，研究第(k＋1)個圓與其他k個圓的交點個數問題，通常要結合圖形分析．課堂小結1．用數學歸納法可證明有關的正整數問題，但并不是所有的正整數問題都是用數學歸納法證明的，學習時要具體問題具體分析．2．運用數學歸納法時易犯的錯誤(1)對項數估算的錯誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關系時，項數發生什么變化被弄錯．(2)沒有利用歸納假設：歸納假設是必須要用的，假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了．(3)關鍵步驟含糊不清，“假設n＝k時結論成立，利用此假設證明n＝k＋1時結論也成立”，是數學歸納法的關鍵一步，也是證明問題最重要的環節，對推導的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴謹性、規范性．隨堂演練1．求證：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.證明

(1)當n＝1時，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立．設n＝k(k≥1)時，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當n＝k＋1時，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋