1、文檔編碼 : CG6U9N7V5F8 HR5P7M3U6M6 ZK4M7O4S10J3角（基礎）學問講解 【高清課堂：角 397364 角的概念】 要點一,角的概念 1 角的定義： （1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角,這個公共端點是角的頂 點,這兩條射線是角的兩條邊如圖 OB 1 所示,角的頂點是點 O,邊是射線 OA, 圖 1 圖 2 （2）定義二：一條射線圍著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形,射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面 部分是角的內(nèi)部如圖 2 所示,射線 OA 繞它的端點 O 旋轉(zhuǎn)到 OB 的位置時,形 成的圖形叫做角,起始位置 OA 是角的始邊,終止位置 OB 是角的終邊 要點詮釋：

2、（ 1）兩條射線有公共端點,即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的 長短無關 （ 2）平角與周角：如圖 1 所示射線 OA 繞點 O 旋轉(zhuǎn),當終止位置 OB 和起始位 置 OA 成一條直線時, 所形成的角叫做平角, 如圖 2 所示連續(xù)旋轉(zhuǎn), OB 和 OA 重 合時,所形成的角叫做周角 1.以下語句正確選項 C 第 1 頁,共 12 頁A兩條直線相交,組成的圖形叫做角 B兩條具有公共端點的線段組成的圖形叫做角 C兩條具有公共端點的射線組成的圖形叫做角 D過同一點的兩條射線組成的圖形叫做角 【答案】 【解析】依據(jù)角的定義判定 【總結(jié)升華】角不能僅僅看作是有公共端點的兩條射線,角的兩種描述

3、中都隱含 了組成角的一個重要元素,即兩條射線間的相對位置關系,這是角與 “有公共端點 的兩條射線 ”的重要區(qū)分 舉一反三： 【變式】判定以下說法是否正確 1 兩條射線組成的圖形叫做角 2 平角是一條直線 3 周角是一條射線 2.角的表示法：角的幾何符號用 “ ”表示,角的表示法通常有以下四種： 第 2 頁,共 12 頁要點詮釋： 用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時, 要在靠近角的頂點處加上弧線, 且注上阿拉 伯數(shù)字或小寫希臘字母 寫出圖中 1 能用一個字母表示的角； 2 以 B 為頂點的角； 3圖中共有幾個角 小 于 180【答案與解析】 解： 1能用一個字母表示的角 A,C 2以 B 為頂點的角

4、ABE , ABC , CBE 3圖中共有 7 個角 【總結(jié)升華】 1 頂點處只有一個角時,才可以用一個字母表示； 2一般數(shù)角時 不包括平角和大于平角的角 已知：如圖,在 AOE 的內(nèi)部從 O 引出 3 條射線,求圖中共有多少個角？如 果引出 99 條射線,就有多少個角？ 分析：在 AOE 的內(nèi)部從 O 點引出 3 條射線,那么在圖形中,以 O 為端點的 射線共 5 條；其中,任意一條射線與其他 4 條射線都必構(gòu)成一個角（小于平角的 角）；數(shù)角的時候要按確定的次序,從 OE 邊開頭數(shù),這樣可得到 4+3+2+1 個角, 所以,這 5 條射線共組成角的個數(shù)為 10 個角； nn 1 公式為： 2

5、；同理,假如引出 99 條射線,那么,以 O 為頂點的射線共 101 第 3 頁,共 12 頁條,構(gòu)成的角的個數(shù)為 5050 個； 已知：如圖,在 AOE 的內(nèi)部從 O 引出 3 條射線,求圖中共有多少個角？如 果引出 99 條射線,就有多少個角？ 分析：在 AOE 的內(nèi)部從 O 點引出 3 條射線,那么在圖形中,以 O 為端點的 射線共 5 條；其中,任意一條射線與其他 4 條射線都必構(gòu)成一個角（小于平角的 角）；數(shù)角的時候要按確定的次序,從 OE 邊開頭數(shù),這樣可得到 4+3+2+1 個角, 所以,這 5 條射線共組成角的個數(shù)為 10 個角； nn 1 公式為： 2；同理,假如引出 99

6、條射線,那么,以 O 為頂點的射線共 101 條,構(gòu)成的角的個數(shù)為 5050 個； 3.角的畫法 （ 1）用三角板可以畫出 30,45,60,90等特別角 （ 2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角用量角器量角和畫角的一般步驟： 對中 角的頂點與量角器的中心對齊 ；重合 一邊與刻度尺上的零度線重合 ； 讀數(shù) 讀出另一邊所在線的度數(shù) （ 3）角的和,差關系：利用三角板除了可以做出 30, 45, 60,90外,依據(jù) 角的和,差關系,仍可以畫出 15,75, 105, 120,135,150, 165的角 要點四,方位角 在航行和測繪等工作中,常常要用到表示方向的角例如,圖中射線 OA 的方 第 4

7、 頁,共 12 頁向是北偏東 60；射線 OB 的方向是南偏西 30這里的 “北偏東 60和”“南偏西 30” 表示方向的角,就叫做方位角 要點詮釋： （ 1）正東,正西,正南,正北 4 個方向不需要用角度來表示； （ 2）方位角必需以正北和正南方向作為 30；” “基準 ”,“北偏東 60一”般不說成 “東偏北 （ 3）在同一問題中觀看點可能不止一個,在不同的觀測點都要畫出表示方向的 “十 字線 ”,確定其觀看點的正東,正西,正南,正北的方向； （ 4）圖中的點 O 是觀測點,全部方向線 射線 都必需以 O 為端點 A 看 B 的方向是北偏東 30,那么 B 看 A 的方向是 A南偏東 60

8、 B南偏西 60 C南偏東 30 D南偏西 30 【答案】 D 【解析】依題意畫出示意圖由圖可知,圖中 1 即表示從 A 看 B 的北偏東 30, 2 是從 B 看 A 的方位角由此可確定從 B 看 A 是南偏西 30 【總結(jié)升華】 從本例的分析與結(jié)果來看, 從 A 看 B 與從 B 看 A 正好是一對對立的 第 5 頁,共 12 頁觀看過程,其方向是一種 “相反 ”的對應關系方位角的確定第一以什么點為基點 （即 人站在此處觀看）要弄清晰,再由正南或正北到視線夾角測量出來 舉一反三： 【變式】 小王從家動身向南偏東 30的方向走了 1000 米到達小軍家, 此時小王家 在小軍家的方向 【答案】

9、北偏西 30 要點五,鐘表上有關夾角問題 鐘表中共有 12 個大格,把周角 12 等分,每個大格對應 30的角,分針 1分鐘 轉(zhuǎn) 6,時針每小時轉(zhuǎn) 30,時針 1分鐘轉(zhuǎn) 0.5 ,利用這些關系,可幫忙我們解決 鐘表中角度的運算問題 4 時 15 分時針與分針的夾角 . 【答案與解析】 如圖（ 1）,AOC 301 30, BOC 15 所以 AOB 即 4 時 15 分時針與分針的夾角為 【總結(jié)升華】求鐘表中時針與分針的夾角有兩種方法：第一種方法利用時針與分 針的每分鐘轉(zhuǎn)速求解,比如解法一；其次種方法直接依據(jù)圖形求夾角,如解法二 舉一反三： 【變式】 2 時 48 分時針與分針的夾角 【答案】

10、 解法 2：如圖 2 第 6 頁,共 12 頁BOD 304120, COD 2612, AOB 4824, 所以 AOC BOD+ COD+ AOB 156 即 2 時 48 分時針與分針的夾角為 156 要點二,角的比較與運算 1.角度制及其換算 角的度量單位是度,分,秒,把一個周角平均分成 360 等份,每一份就是 1 1 1 的角, 1的 為 1分,記作 “ 1,1”的 為 1秒,記作 “ 1這”種以度,分,秒為 60 60 單位的角的度量制,叫做角度制 1周角 360, 1平角 180,1 60, 1 60 要點詮釋： 在進行有關度分秒的運算時, 要按級進行, 即分別按度, 分,秒運

11、算, 不夠減, 不夠除的要借位,從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算,在相乘或 相加時,當?shù)臀坏脭?shù)大于 60 時要向高一位進位 1把 分別用度,分,秒表示 2把 45 12 3化0度 【思路點撥】第 1題中 中含有兩部分 25和 ,只要把 化成分, 秒即可第 2題中, 45 12含3有0三部分 45, 12和 30,其 45已經(jīng)是度, 中 只要把 12和 30化成度即可 【答案與解析】 解： 604,1 6012, 所以 25 4312 30 10.5 , 2 30 60 60 第 7 頁,共 12 頁所以 45 12 30 45.21 【總結(jié)升華】 無論由高級單位向低級化仍是由低級單

12、位向高級化, 都必需逐級進行, “越級 ”化單位簡潔出錯 舉一反三： 【變式】 1把 轉(zhuǎn)化為度,分,秒表示的形式； 2把 33 24 3轉(zhuǎn)6化成度表示的形式 【答案】 2626 6206 26 +17 +0.4266017 +2246 17 24 233 243633 +24+36 1 33+24 6033 +24.633 1 60 【總結(jié)升華】在角度的和,差運算中應先統(tǒng)一單位,都化成度或分,秒表示,然 后再進行運算； 3,已知： A=50o24, o, C=50o14 24,”那么以下各式正確的 是（ ） B, A B=CC, BCA D, A, AB CB=C A 2.角的比較：角的大小比

13、較與線段的大小比較相類似,方法有兩種 方法 1：度量比較法先用量角器量出角的度數(shù),然后比較它們的大小 方法 2：疊合比較法把其中的一個角移到另一個角上作比較 如比較 AOB 和 A O的大 B小： 如下圖,由圖（ 1）可得 AOB A O； B 由圖 2可得 AOB A O；由 B圖 3可得 AOB A O B 第 8 頁,共 12 頁3.角的和,差關系 如以下圖, AOB 是 1 與 2 的和,記作：AOB 1+ 2；1 是 AOB 與 2 的差,記作： 1 AOB- 2 4.角平分線 從一個角的頂點動身,把這個角分成相等的兩個角的射線,叫做這個角的平 分線如以下圖, OC 是 AOB 的角

14、平分線, AOB 2AOC 2BOC, AOC BOC = 1 AOB 2要點詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架 一樣 如以下圖,已知 OC 平分 BOD ,且 BOC20,OB 是 AOD 的平分線,求 AOD 的度數(shù) 第 9 頁,共 12 頁【答案與解析】 解：由于 OC 平分 BOD ,且 BOC 20, 所以 BOD 2BOC=2 20 40 又 OB 是 AOD 的平分線, 所以 AOD 2BOD 240 80 【總結(jié)升華】應用角的平分線的定義時依據(jù)兩點：如 OB 是 AOC 的平分線,就 AOB BOC 1 AOC ； AOC 2 AOB 2 BOC

15、,在解題時要學 2會靈敏應用 舉一反三： 【變式】已知：如圖,OM 是 AOB 的平分線,ON 是 BOC 的平分線, AOC=80 , 求： MON. 【答案】 OM 平分 AOB , ON 平分 COB , MOB= 1 AOB , BON= 1 BOC. 角平分線的定義 2 2MON= MOB+ BON = 1 AOB+ 1 BOC= 1 AOB+ BOC 2 2 2= 1 AOC= 1 80 =40 . 2 2即 MON=40 . 圖中, AOB= BOC=COD= DOE,就有 （1） =4AOB （2） = =3 BOC 第 10 頁,共 12 頁（3） （4） = = = =1/

16、2AOE =2/3 =2/3 =COE=1/2 如圖,已知 AOB90, BOC 30, OM平分 AOC, ON平分 BOC； （ 1）求 MON的度數(shù)； （ 2）假如已知中 AOB 80,其他條件不變,求 MON的度數(shù)； （ 3）假如已知中 BOC 60,其他條件不變,求 MON的度數(shù)； （ 4）從（ 1）,（ 2）,（ 3）中你能看出有什么規(guī)律？ （ 1）因 OM平分 AOC,所以 MOC1AOC； 2 又 ON平分 BOC,所以 NOC 1BOC； 2所以 MON MOC NOC 1AOC 1BOC 1AOB； 2 2 2而 AOB 90,所以 MON45； （ 2）當 AOB 80,其他條件不變時, （ 3）當 BOC 60,其他條件不變時, MON 1 80 40； 2MON 45； （ 4）分析（ 1）,（2）,（3）的結(jié)果和（ 1）的解答過程可知： MON的大小總等 于 AOB 的一半,而與銳角 BOC 的大小變化無 關； OM 是 AOB 的平分線,射線 OC 在 BOM 內(nèi),ON 是 BOC 的平分線,已知 AOC=80o,那么 MON 的度數(shù)是多少 . 解： 第 11 頁,共 12 頁設 COM x, CON y 的平分 又 OM , ON 分別是角平分