1、電路分析基礎難點一階動態電路分析第1頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 學 習 目 標 理解動態元件L、C的特性，并能熟練應用于 電路分析。 深刻理解零輸入響應、零狀態響應、暫態響 應、穩態響應的含義，并掌握它們的分析計算 方法 。 弄懂動態電路方程的建立及解法。 熟練掌握輸入為直流信號激勵下的一階電路的三要素分析法。第2頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 3.1 電容元件和電感元件3.1.1 電容元件 電容器是一種能儲存電荷的器件,電容元件是電容器的理想化模型。斜率為R0qu圖3-1 電容的符號、線性非時變電容的特性曲線當電容上電壓與電荷為關聯參考

2、方向時，電荷q與u關系為：q(t)=Cu(t)C是電容的電容量，亦即特性曲線的斜率。當u、i為關聯方向時,據電流強度定義有： i=C dq/dt非關聯時： i= -C dq/dt +-uCi+q-q第3頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六電容的伏安還可寫成： 式中，u(0)是在 t=0 時刻電容已積累的電壓，稱為初始電壓；而后一項是在 t=0 以后電容上形成的電壓，它體現了在0t的時間內電流對電壓的貢獻。 由此可知：在某一時刻 t，電容電壓u不僅與該時刻的電流 i有關，而且與t以前電流的全部歷史狀況有關。因此，我們說電容是一種記憶元件，有“記憶”電流的作用。第4頁，共61頁

3、，2022年，5月20日，0點31分，星期六 當電容電壓和電流為關聯方向時，電容吸收的瞬時功率為： 瞬時功率可正可負，當 p(t)0時，說明電容是在吸收能量，處于充電狀態；當 p(t) 0時，表示電感從電路吸收功率，儲存磁場能量；當 p(t) 0時，表示供出能量，釋放磁場能量。 對上式從到 t 進行積分，即得t 時刻電感上的儲能為：第9頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六因為所以 由上式可知：電感在某一時刻 t 的儲能僅取決于此時刻的電流值，而與電壓無關，只要有電流存在，就有儲能，且儲能0。 第10頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六3.2 換路定律及初

4、始值的確定 3.2.1 換路定律 通常，我們把電路中開關的接通、斷開或電路參數的突然變化等統稱為“換路”。我們研究的是換路后電路中電壓或電流的變化規律，知道了電壓、電流的初始值，就能掌握換路后電壓、電流是從多大的初始值開始變化的。 該定律是指若電容電壓、電感電流為有限值，則uC 、 iL不能躍變，即換路前后一瞬間的uC 、iL是相等的，可表達為： uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-)必須注意：只有uC 、 iL受換路定律的約束而保持不變，電路中其他電壓、電流都可能發生躍變。第11頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六3.2.2 初 始 值 的確 定 換路后瞬

5、間電容電壓、電感電流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)來表示，它是利用換路前瞬間 t=0-電路確定uC(0-)和iL(0- )，再由換路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。 電路中其他變量如 iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循換路定律的規律，它們的初始值需由t=0+電路來求得。具體求法是： 畫出t=0+電路，在該電路中若uC (0+)= uC (0-)=US，電容用一個電壓源US代替，若uC (0+)= 0則電容用短路線代替。若iL(0+)= iL(0-)=IS，電感一個電流源IS 代替，若iL(0+)= 0則電感作開路處理。下面舉例說明初始值的求法。第12頁，共61頁，2

6、022年，5月20日，0點31分，星期六例1：在圖3-3(a)電路中，開關S在t=0時閉合，開關閉合 前電路已處于穩定狀態。試求初始值 uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和uL(0+)。圖 3-3 例 1 圖第13頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六解(1) 電路在 t=0時發生換路，欲求各電壓、電流的初始值，應先求uC(0+)和iL(0+)。通過換路前穩定狀態下t=0- 電路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流穩態電路中，uC不再變化，duC/dt=0，故iC=0，即電容C相當于開路。同理 iL也不再變化，diL/dt=0，故uL=

7、0，即電感L相當于短路。所以t=0- 時刻的等效電路如圖3-3(b)）所示，由該圖可知：（2）由換路定理得 第14頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六因此，在t=0+ 瞬間，電容元件相當于一個4V的電壓源，電感元件相當于一個2A的電流源。據此畫出t=0+ 時刻的等效電路，如圖3-3 (C) 所示。（3）在t=0+ 電路中，應用直流電阻電路的分析 方法，可求出電路中其他電流、電壓的初始 值，即 iC(0+)=2-2-1=-1AuL(0+)=10-32-4=0 第15頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 例2: 電路如圖3-4 (a)所示，開關S閉合前電路無

8、儲能，開 關S在 t=0時閉合，試求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始值。 圖 3-4 例 2 圖解（1）由題意知： （2）由換路定理得 第16頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六因此，在t=0+ 電路中，電容應該用短路線代替，電感以開路代之。得到 t=0+ 電路，如圖3-4 (b)所示。（3）在t=0+ 電路中，應用直流電阻電路的分析方法求得 通過以上例題，可以歸納出求初始值的一般步驟如下：(1) 根據t=0- 時的等效電路，求出uC(0-) 及iL(0-)。(2) 作出t=0+ 時的等效電路，并在圖上標出各待 求量。(3) 由t=0+ 等效電路，求出各待求量的初

9、始值。 i3(0+)=0 uL(0+)=20i2(0+)=200.3=6V第17頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 當外加激勵為零,僅有動態元件初始儲能所產生的電流和電壓,稱為動態電路的零輸入響應.圖3- 5 RC電路的零輸入1i+-UCISR0R2C(a)uR+-+-uCCi(b)3.3 零 輸 入 響 應 圖3-5 (a) 所示的電路中，在t0后，電路中無電源作用，電路的響應均是由電容的初始儲能而產生，故屬于零輸入響應。 RC電路的零輸入響應第18頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六-uR+uc=0而uR=i R, ，代入上式可得 上式是一階常系數

10、齊次微分方程，其通解形式為 uc=Aept t0式式中A為待定的積分常數，可由初始條件確定。p為式對應的特征方程的根。將式代入式可得特征方程為RCP+1=0式換路后由圖（b）可知，根據KVL有第19頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六從而解出特征根為 則通解 式將初始條件uc(0+)=R0IS代入3式，求出積分常數A為 將 代入式，得到滿足初始值的微分方程的通解為 式放電電流為 t0 t0 式第20頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六令=RC，它具有時間的量綱，即 故稱為時間常數, 這樣、兩式可分別寫為 t0 t0由于為負，故uc和 i 均按指數規律衰減

11、，它們的最大值分別為初始值 uc(0+)=R0IS 及 當t時，uc和 i 衰減到零。 第21頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六圖3-6 RC 電路零輸入響應 電壓電流波形圖 畫出uc及i的波形如圖3-所示。 第22頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六3.3.2 RL電路的零輸入響應 一階RL電路如圖3-7(a)所示，t=0- 時開關S閉合，電路已達穩態，電感L相當于短路，流過L的電流為I0。即 iL(0-)=I0，故電感儲存了磁能。在t=0時開關S打開，所以在t0時，電感L儲存的磁能將通過電阻R放電，在電路中產生電流和電壓，如圖3-7 (b)所示。由

12、于t0后，放電回路中的電流及電壓均是由電感L的初始儲能產生的，所以為零輸入響應。圖3-7 RL電路的零輸入響應第23頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六由圖 (b)，根據KVL有 uL+uR=0 將代入上式得 1式iL=Ae pt t0上式為一階常系數齊次微分方程，其通解形式為 2式將2式代入1式，得特征方程為 LP+R=0 故特征根為 第24頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六則通解為 若令 ，是RL電路的時間常數，仍具有時間量綱，上式可寫為 t0t03式將初始條件i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入3式，求出積分常數A為 iL (0+)=A

13、=I0這樣得到滿足初始條件的微分方程的通解為 t04式第25頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 電阻及電感的電壓分別是t0t0 分別作出 iL 、uR 和、uL的波形如圖3-8(a)、(b)所示。 由圖3-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分別為iL(0+)=I0、 uR(0+)=RI0、uL(0+)= -RI0，它們都是從各自的初始值開始，然后按同一指數規律逐漸衰減到零。衰減的快慢取決于時間常數，這與一階RC零輸入電路情況相同。 第26頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六圖3-8 RL 電路零輸入響應iL、uR和 uL 的波形第27頁，共

14、61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 從以上求得的RC和RL電路零輸入響應進一步分析可知，對于任意時間常數為非零有限值的一階電路，不僅電容電壓、電感電流，而且所有電壓、電流的零輸入響應，都是從它的初始值按指數規律衰減到零的。且同一電路中，所有的電壓、電流的時間常數相同。若用f (t)表示零輸入響應，用f (0+)表示其初始值，則零輸入響應可用以下通式表示為 t0 應該注意的是: RC電路與RL電路的時間常數是不同的，前者=RC，后者=L/R。第28頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六例 3：如圖3-9 (a)所示電路，t=0- 時電路已處于穩態，t=0時開關S

15、打開。求t0時的電壓uc、uR和電流ic。解 由于在t=0- 時電路已處于穩態，在直流電源作用下，電容相當于開路。圖 3-9 例 3 圖所以由換路定律，得 作出t=0+等效電路如圖(b)所示，第29頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六電容用4V電壓源代替，由圖(b)可知 換路后從電容兩端看進去的等效電阻如圖 (C)所示，為： 時間常數為第30頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六AVt0t0也可以由 求出 i C = -0.8e -t A t0 Vt0計算零輸入響應，得第31頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 3.4 零 狀 態 響

16、應 在激勵作用之前，電路的初始儲能為零僅由激勵引起的響應叫零狀態響應。3.4.1 RC電路的零狀態響應 圖3-10所示一階RC電路，電容先未充電，t=0時開關閉合，電路與激勵US 接通，試確定k閉合后電路中的響應。 圖3-10 (a) R C電路的零狀態響應在k閉合瞬間，電容電壓不會躍變，由換路定律uc(0+)= uc(0-)= 0，t=0+ 時電容相當于短路，uR(0+)=US，故電容開始充電。隨著時間的推移，uC將逐漸升高，第32頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六uR則逐漸降低，iR（等于ic） 逐漸減小。當t時，電路達到穩態，這時電容相當于開路，充電電流 ic()=

17、0，uR ()=0，uc=()=Us。由kVL uR+uc=US而uR=RiR=RiC= ，代入上式可得到以uc為變量的微分方程 t0 初始條件為 uC(0+)=0 1式 1式為一階常系數非齊次微分方程，其解由兩部分組成：一部分是它相應的齊次微分方程的通解uCh，也稱為齊次解；另一部分是該非齊次微分方程的特解uCP，即 uc=uch + ucp 第33頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六將初始條件uc(0+)=0代入上式，得出積分常數A=-US，故 由于1式相應的齊次微分方程與RC零輸入響應式完全相同, 因此其通解應為式中A為積分常數。特解ucp取決于激勵函數，當激勵為常量

18、時特解也為一常量，可設ucp=k，代入1式得1式的解（完全解）為ucp =k=US第34頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六由于穩態值 uc ()=US，故上式可寫成 t0 2式由2式可知，當t=0時，uc(0)=0，當 t=時，uc() =US（1-e1）=63.2%US，即在零狀態響應中，電容電壓上升到穩態值uc=()=US的63.2%所需的時間是。而當t=45時，u c上升到其穩態值US的98.17%99.3%，一般認為充電過程即告結束。電路中其他響應分別為t0 t0t0第35頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六根據uc、ic、iR及uR的表達式，

19、畫出它們的波形如3-10 (b)、(c)所示，其變化規律與前面敘述的物理過程一致。圖3-10 (b)、(C) R C 電路零狀態響應 uc、ic、iR及uR波形圖第36頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六3.4.2 RL電路的零狀態響應圖3-11 (a) 一階RL電路的零狀態響應 對于圖3-11(a)所示的一階RL電路，US為直流電壓源，t0時，電感L中的電流為零。t=0時開關s閉合，電路與激勵US接通，在s閉合瞬間，電感電流不會躍變，即有iL(0+)= iL(0-)=0, 選擇iL為首先求解的變量，由KVL有： uL+uR=US 將 , uR=RiL , 代入上式，可得初

20、始條件為 iL (0+)=01式第37頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 1式也是一階常系數非齊次微分方程，其解同樣由齊次方程的通解iLh 和非齊次方程的特解iLP兩部分組成，即 iL=iLh+iLp其齊次方程的通解也應為式中時間常數=L/R，與電路激勵無關。非齊次方程的特解與激勵的形式有關，由于激勵為直流電壓源，故特解 iLP為常量，令iLP =K，代入1式得因此完全解為第38頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六代入t=0時的初始條件 iL(0+)=0得于是 由于iL的穩態值 ，故上式可寫成： t0 電路中的其他響應分別為 t0 第39頁，共61頁，

21、2022年，5月20日，0點31分，星期六它們的波形如圖3-11 (b)、(c)所示。t0t0圖3-11 (b) (C) 一階RL電路的零狀態響應波形圖 第40頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 其物理過程是，S閉合后，iL(即 iR)從初始值零逐漸上升，uL從初始值 uL(0+)=US 逐漸下降，而uR從 uR(0+)=0逐漸上升，當 t=，電路達到穩態，這時L相當于短路，iL()=USR，uL()= 0，uR()= US。從波形圖上可以直觀地看出各響應的變化規律。 第41頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六3.4.3 單位階躍響應單位階躍函數用(t

22、)表示，其定義如下：(t) = 0 t 0-1 t 0+ (t)的波形如圖3-12(a)所示，它在（0-，0+）時域內發生了單位階躍。圖 3-12 單位階躍函數第42頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 單位階躍函數可以用來描述圖3-12 (b)所示的開關動作，它表示在t=0時把電路接入1V直流源時 u(t)的值，即： u (t)= (t) V 如果在 t=t0時發生跳變，這相當于單位直流源接入電路的時間推遲到 t=t0，其波形如圖3-13所示，它是延遲的單位階躍函數，可表示為 (t-t0) = 0 tt 0- 1 tt 0+ 圖 3-13 延遲的單位階躍函數第43頁，共6

23、1頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 當激勵為單位階躍函數(t)時，電路的零狀態響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應。對于圖3-10所示電路的單位階躍響應，只要令US=(t)就能得到，例如電容電壓為若圖3-10的激勵uS=K(t)（K為任意常數），則根據線性電路的性質，電路中的零狀態響應均應 如單位階躍不是在t=0而是在某一時刻 t0時加上的，則只要把上述表達式中的t改為t-t0，即延遲時間t0就行了。例如這種情況下的uC為第44頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六擴大K倍，對于電容有例4： 求圖3-14 (a)電路的階躍響應 uC。 解 先將電路ab左端的部分用

24、戴維南定理化簡， 得圖3-14(b)所示電路。由圖 (a)可得 圖 3-14 例 4 圖第45頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 3u1+u1=0 u1=0 則 于是式中 =R0C=210-6S將ab端短路，設短路電流為ISC（從a流向b）第46頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 3.5 全 響 應 由電路的初始狀態和外加激勵共同作用而產生的響應，叫全響應。 如圖3-15所示，設 uC =uC(0-)=U0，S在t=0時閉合，顯然電路中的響應屬于全響應。 圖3-15 RC電路的全響應第47頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六對t0

25、的電路，以uC為求解變量可列出描述電路的微分方程為 1式與描述零狀態電路的微分方程式比較，僅只有初始條件不同，因此，其解答必具有類似的形式，即代入初始條件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US1式第48頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六從而得到 通過對1式分析可知，當US=0時，即為RC零輸入電路的微分方程。而當U0=0時，即為RC零狀態電路的微分方程。這一結果表明，零輸入響應和零狀態響應都是全響應的一種特殊情況。上式的全響應公式可以有以下兩種分解方式。1、全響應分解為暫態響應和穩態響應之和。如2式中第一項為齊次微分方程的通解，是按指數規律衰減的，稱暫態響應或稱

26、自由分量（固有分量）。2式中第二項US = uC()受輸入的制約，它是非齊次方程的特解，其解的形式一般與輸入信號形式相同，稱穩態響應或強制分量。這樣有 全響應=暫態響應+穩態響應 2式第49頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六2、全響應分解為零輸入響應和零狀態響應之和。將2式改寫后可得： 3式等號右邊第一項為零輸入響應，第二項為零狀態響應。因為電路的激勵有兩種，一是外加的輸入信號，一是儲能元件的初始儲能，根據線性電路的疊加性，電路的響應是兩種激勵各自所產生響應的疊加，即 全響應=零輸入響應+零狀態響應 3式第50頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六3.6

27、 求解一階電路三要素法 如用 f (t) 表示電路的響應，f (0+)表示該電壓或電流的初始值，f () 表示響應的穩定值， 表示電路的時間常數，則電路的響應可表示為： 上式稱為一階電路在直流電源作用下求解電壓、電流響應的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 稱為三要素，把按三要素公式求解響應的方法稱為三要素法。 由于零輸入響應和零狀態響應是全響應的特殊情況，因此，三要素公式適用于求一階電路的任一種響應，具有普遍適用性。 第51頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六 用三要素法求解直流電源作用下一階電路的響應，其求解步驟如下： 一、 確定初始值 f (0+) 初始值

28、f(0+)是指任一響應在換路后瞬間t=0+ 時的數值，與本章前面所講的初始值的確定方法是一樣的。 先作t=0- 電路。確定換路前電路的狀態 uC(0-)或iL(0-), 這個狀態即為t0階段的穩定狀態，因此，此時電路中電容C視為開路，電感L用短路線代替。 作t=0+ 電路。這是利用剛換路后一瞬間的電路確定各變量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此電路中C用電壓源U0代替，第52頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六圖3-16 電容、電感元件在t=0時的電路模型L用電流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0，則C用短路線代替，L視為開路。可用圖3-16說明。作t=0+ 電路后，即可按一般電阻性電路來求解各變量的u (0+)、i (0+)。第53頁，共61頁，2022年，5月20日，0點31分，星期六二、確定穩態值f() 作t=電路。瞬態過程結束后，電路進入了新的穩態，用此時的電路確定各變量穩態值u()、i()。在此電路中，電容C視為開