1、2007年安徽省高中數學競賽初賽試題一.選擇題1.如果集合同時滿足,就稱有序集對為“好集對。這里的有序集對意指當，是不同的集對，那么“好集對一共有個。.設函數,為( )3.設是一個1203位的正整數,由從100到500的全體三位數按順序排列而成那么A除以126的余數是( ) 4.在直角中,為斜邊上的高,D為垂足.設數列的通項為那么( )5.刪去所有和55互質的項之后,把余下的各項按從小到大的順序排成一個新的數列,易見那么6.設那么7.邊長均為整數且成等差數列,周長為60的鈍角三角形一共有_種.8.設,且為使得取實數值的最小正整數,那么對應此的為9.假設正整數恰好有4個正約數,那么稱為奇異數,例

2、如6,8,10都是奇異數.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999這10個數中奇異數有_個.10.平行六面體中,頂點出發的三條棱的長度分別為2,3,4,且兩兩夾角都為那么這個平行六面體的四條對角線的長度(按順序)分別為_11.函數的迭代的函數定義為其中=2,3,4設,那么方程組的解為_12.設平行四邊形中，那么平行四邊形繞直線旋轉所得的旋轉體的體積為_三解答題13.橢圓和點直線兩點(可以重合). 1)假設為鈍角或平角(為原點),試確定的斜率的取值范圍. 2)設關于長軸的對稱點為,試判斷三點是否共線,并說明理由. 3)問題2)中,假設三點能否共線?請說明

3、理由.14. 數列由下式確定:,試求(注表示不大于的最大整數,即的整數局部.)15. 設給定的銳角的三邊長滿足其中為給定的正實數,試求的最大值,并求出當取此最大值時,的取值.07年安徽省高中數學競賽初賽答案選擇題1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D.第1題解答過程逐個元素考慮歸屬的選擇.元素1必須同時屬于A和B.元素2必須至少屬于A、B中之一個，但不能同時屬于A和B，有2種選擇：屬于A但不屬于B，屬于B但不屬于A.同理，元素3和4也有2種選擇.但元素2，3，4不能同時不屬于A，也不能同時不屬于B.所以4個元素滿足條件的選擇共有種.換句話說，“好集對一共有6個. 答：C.第2題

4、解答過程令，那么，且，.從而. 令，那么題設方程為 ，即，故 ， ，解得 . 從而 . 答：A.第3解答過程注意 ,2,7和9兩兩互質. 因為 mod2,mod9,所以mod18. 1又因為，mod7,所以mod7. (2)，1，2兩式以及7和18互質，知mod126. 答：C.另解：，所以，其中B，C為整數.從而，其中D，E為整數.所以A除以63的余數為6.因為A是偶數，所以A除以126的余數也為6. 答：C.第4解答過程易見，即，又，故，；，.顯然是首項為，公比為的等比數列的前項和.故， .即 ， .故答案為A.易知其余答案均不成立另解：易見，即，又，故，.解得， .顯然是首項為，公比為的

5、等比數列的前項和，故， . 于是數列就是斐波那契數列1，2，3，5，8，13，21，它滿足遞推關系 . 所以答案為A.第5題解答過程可看成是在正整數數列1，2，3，4，5，6，7，中刪去所有能被2，5或11整除的項之后，把余下的各項按從小至大順序排成的數列.由三階容斥原理，1，2，3，4，中不能被2，5或11整除的項的個數為，其中不表示不大于的最大整數，即的整數局部.估值：設，故 .又因=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍數，從而知. 答：B. 又解：可看成是在正整數數列1，2，3，4，5，6，7，中刪去所有能被2，5

6、 或11整除的項之后，把余下的各項按從小至大順序排成的數列.因為2，5，11是質數，它們的最小公倍數為110.易見，-54，-53，0，1，2，3，55中不能被2，5，11整除的數為,共40個.或由歐拉公式，1，2，3，110中不能被2，5，11整除的數的個數，等于1，2，3，110中與110互質的數的個數，等于. 顯然1，2，3，中每連續110個整數，不能被2，5，11整除的數都有40個.所以，1，2，3，中，不能被2，5，11整除的數有個.大于5500中的數不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，.

7、所以5519是第2007個不能被2，5，11整除的數，亦即所求的. 答：B .第6題解答過程顯然 ；.注意到， ,所以，.故. 答：D.另解：，=.因為和是實數，所以， ,.答：D.第7解答過程解：設ABC三邊長為整數，成等差數列，為鈍角，那么必有，.易解得 ，；，即.因此，即.另外，.易檢驗都是鈍角三角形. 答：4.第8題解答過程注意到，滿足，故可令，0.從而，-，-，故，+. 取實數，當且僅當，當且僅當，Z.滿足此條件且的最小正整數為，此時.答：-1.第9題解答過程易見奇異數有兩類：第一類是質數的立方是質數；第二類是兩個不同質數的乘積為不同的質數.由定義可得是奇異數第一類；不是奇異數；是奇

8、異數第二類；是奇異數第二類；是奇異數第一類；是質數，不是奇異數；是奇異數第一類；是奇異數第二類；是奇異數第二類；是奇異數第二類.答：8.第10解答過程解：將向量，分別記為，. 那么，且易見， ， ， .所以=55，故. 類似地，可算得，=3.答：，3.第11題解答過程令，易見，；令，易見，.因此，題設方程組可化為1-2，2-3，3-1得 所以. 代入1得， , , .所以原方程組的解為. 答：.第12題解答過程.以表示平面圖形繞直線所得旋轉體體積.記直線為，作，交于，分別交，于.過作，分別交于.由于是的中點，所以分別是的中點.由對稱性，易見所求旋轉體體積為.由于，易見，.顯然，.且，.從而由圓

9、錐體積公式得.又，.從而由圓錐體積公式得.從而.答：所求體積為：第13題解答過程解：I可設：，與聯立得. 這是的一元二次方程，由判別式解得.記，那么 ，.由題設條件， ，即，得 ，即，即 .得， ， ，.故的斜率的取值范圍為.因為F(1,0),所以，從而.與共線， 即與F、B三點共線.III假設，過的直線與交于A、B，且A關于長軸的對稱點為，如果、F、B三點共線.我們另取點.設直線AP與交于，那么如II的證明，、F、B三點必共線.故B與重合，從而直線AB和重合，就是AQ與AP重合.所以P與Q重合，與假設矛盾.這就是說，時，三點、F、B不能共線.第14題解答過程14.解：， ，.故 ，亦即 ，由

10、得 . *由于，且顯然，故是遞減數列，且，故 ，由*式得，.第15題解答過程證明：因為ABC是銳角三角形，其三邊滿足，以及.因此，由平均不等式可知，從而 ，亦即，.ABxoQABxoQA1FllAABxoQABxoQA1FllAA1B1C1D1BCDABCDQMPNOFEyyyy第13題答圖 第10題答圖 第12題答圖2023年安徽高中數學競賽初賽試題一、選擇題1.假設函數的圖象繞原點順時針旋轉后，與函數的圖象重合，那么 ABCD2.平面中，到兩條相交直線的距離之和為1的點的軌跡為 A橢圓B雙曲線的一局部C拋物線的一局部 D矩形3.以下4個數中與最接近的是 A-2023 B-1C1D20234

11、.四面體的6個二面角中至多可能有 個鈍角。A3B4C5D65.寫成十進制循環小數的形式，其循環節的長度為( )(A)30 (B)40(C)50D606.設多項式，那么中共有 個是偶數。A127B1003C1005D1881二、填空題7.化簡多項式8.函數的值域為9.假設數列滿足，且具有最小正周期2023，那么10.設非負數的和等于1，那么的最大值為11.設點A，B、C在橢圓上，當直線BC的方程為時，的面積最大。12.平面點集，易知可被1 個三角形覆蓋即各點在某個三角形的邊上，可被2個三角形覆蓋，那么覆蓋需要個三角形。三、解答題13.將6個形狀大小相同的小球其中紅色、黃色、藍色各2個隨機放入3個

12、盒子中，每個盒子中恰好放2個小球，記為盒中小于顏色相同的盒子的個數，求的分布。14.設，其中表示不超過x的最大整數。證明：無論取何正整數時，不在數列的素數只有有限多個。15.設圓與圓相交于A，B兩點，圓分別與圓，圓外切于C，D，直線EF分別與圓，圓相切于E，F，直線CE與直線DF相交于G，證明：A，B，G三點共線。08年安徽省高中數學競賽初賽答案一、選擇題此題總分值36分，每題6分1D2D3B4A5C6D二、填空題此題總分值54分，每題9分789，正整數且與2023互素。101112三、解答題此題總分值60分，每題20分13。2分。6分。6分。6分14。2分當時，利用數學歸納法，得。5分令，那

13、么有。5分當時，。5分故當充分大時，不在數列中的正整數只有有限多個。3分15以為軸，為軸，建立平面直角坐標系。設，1分，1分，1分，1分其中滿足2分于是，2分，2分，2分，2分，2分。2分由知，點的坐標滿足直線的方程。2分注：對于幾何證法，如果無法列舉所有情形，得分減半。2023年全國高中數學聯賽安徽賽區預賽試卷一、填空題每題8分，共64分1.函數的值域是.2.函數的圖象與的圖象關于直線對稱.3.正八面體的任意兩個相鄰面所成二面角的余弦值等于.4.設橢圓與雙曲線相切，那么.5.設是復數，那么的最小值等于.6.設，是實數，假設方程的三個根構成公差為1的等差數列，那么，應滿足的充分必要條件是.7.

14、設是的內心，動點的軌跡所覆蓋的平面區域的面積等于.8.從正方體的八個頂點中隨機選取三點，構成直角三角形的概率是.二、解答題共86分9.20分設數列滿足，.求的通項公式.10.22分求最小正整數使得可被2023整除.11.22分的三邊長度各不相等，分別是，的平分線與邊，的垂直平分線的交點.求證：的面積小于的面積.12.22分桌上放有根火柴，甲乙二人輪流從中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多根火柴，此后每人每次至少取走根火柴.但是不超過對方剛剛取走火柴數目的2倍.取得最后一根火柴者獲勝.問：當時，甲是否有獲勝策略？請詳細說明理由.10年安徽省高中數學競賽初賽答案1.答案：.提示：因，設，那么其中，

15、為銳角，所以當時，當時，故.2. 答案：提示：因兩函數圖象關于直線對稱，所以，解得.3. 答案：提示：正八面體由兩個棱長都相等的正四棱錐組成，所以任意兩個相鄰面所成二面角是正四棱錐側面與底面所成二面角的兩倍.，那么.4. 答案：提示：由橢圓方程知，設其參數方程為為參數代入雙曲線方程，得.因兩曲線相切，故.5. 答案：提示：在復平面上，設，那么當為的費馬點時，取得最小值，最小值為.6. 答案：且.提示：設三個根為，那么，右邊展開與左邊比較得，消去得，這就是所求的充要條件.7. 答案：提示：如圖，根據向量加法的幾何意義，知點在圖中的三個平形四邊形及其內部運動，所以動點的軌跡所覆蓋的平面區域的面積等

16、于等于面積的2倍，即.8. 答案：提示：從正方體的八個頂點中隨機選取三點，共有個三角形，其中直角三角形有個，所求“構成直角三角形的概率是.9. 解：特征根法.又，10分得，于是.20分10. 解：10分又或，或，故所求最小正整數.22分11. 證明：由題設可證，六點共圓. 10分不妨設圓半徑為1，那么有，.由于的面積小于的面積. 22分12. 解：把所有使得甲沒有有獲勝策略的初始火柴數目從小到大排序為：，不難發現其前4項分別為2，3，5，8. 下面我們用數學歸納法證明：1滿足；2當時，乙總可取到最后一根火柴，并且乙此時所取的火柴數目；3當時，甲總可取到最后一根火柴，并且甲此時所取的火柴數目.1

17、0分設，注意到.當時，甲第一次時可取根火柴，剩余根火柴，乙無法獲勝.當時，根據歸納假設，甲可以取到第根火柴，并且甲此時所取的火柴數目，剩余根火柴，乙無法獲勝.當時，設甲第一次時取走根火柴，假設，那么乙可取走所有剩小的火柴；假設，那么根據歸納假設，乙總可以取到第根火柴，并且乙此時所取的火柴數目，剩余根火柴，甲無法獲勝.綜上可知，.因為100不在數列，所以當時，甲有獲勝策略. 22分2023年全國高中數學聯賽安徽省預賽一、填空題每題8分，共64分1以表示集合的元素個數. 假設有限集合滿足，那么的最大可能值為2設是正實數. 假設的最小值為10，那么3實系數多項式滿足，那么的所有可能值集合為4設展開式

18、. 假設，那么第5題第6題5在如下列圖的長方體中，設是矩形的中心，線段交平面于點. 假設，那么. 6平面上一個半徑的動圓沿邊長的正三角形的外側滾動，其掃過區域的面積為. 7設直角坐標平面上的點與復數一一對應. 假設點分別對應復數，那么直線與軸的交點對應復數用表示. 8設n是大于4的偶數. 隨機選取正n邊形的4個頂點構造四邊形，得到矩形的概率為. 二、解答題第910題每題22分，第1112題每題21分，共86分數列滿足，求的通項公式. 10正整數都是合數，并且兩兩互素，求證：. 11設是實數，當時，. 求的最大可能值. 12設點，在雙曲線的左支上，直線交雙曲線的右支于點. 求證：直線與的交點在直

19、線上. 2023年全國高中數學聯賽安徽省預賽答案1. 10. 2. 2. 3. 32. 4. 2413. 5. 6. 7. .8. 9.10設的最小素因子，因為不是素數，所以. 于是11由可知滿足題設，的最大可能值為.12設，直線的方程，那么，所以 ， ，所以。把代入上式，得. 2023年全國高中數學聯賽安徽賽區初賽試卷填空題每題8分，共64分函數|+1|+|-1|+的值域是方程sin2023兀x=的實數根為化簡sinsinsin=用數字作答設數列滿足，,那么設ABC的外接圓圓心P滿足，那么=設復數z=x+yi滿足的實部和虛部之比為，其中i是虛數單位，x,y，那么的最大值為設=，其中是常數，那

20、么=隨機選取正11邊形的3個不同頂點，它們構成銳角三角形的概率為解答題第9-10每題21分，第11-12題每題22分，共86分設正三棱錐的底面邊長為1，側面長為2，求其體積和內切球的半徑.求所有函數，使得對任意的x,y都有設a,b,c是不全為0的實數，求F=的取值范圍，a,b,c分別滿足什么條件時，F取最大值和最小值？設數列滿足求數列的通項公式；求證：對任意的正整數k,和都是整數.2023安徽高中數學競賽初賽試題答案2023年全國高中數學聯賽安徽省初賽試卷一、填空題每題8分，共64分 1. 函數的值域是_.2. 函數在中的零點個數是_3. 設定點，動點在軸上，動點在直線上，那么的周長的最小值是

21、_4. 設是平面上兩點，是關于的對稱點，是關于的對稱點,假設，那么_5. 四面體的側面展開圖如以下列圖所示，那么其體積是_6. 設復數滿足，那么的取值范圍是_7. 設動點，其中參數，那么線段掃過的平面區域的面積是_8. 從正12邊形的頂點中取出4個頂點，它們兩兩不相鄰的概率是_二、解答題第910題每題21分，第1112題22分，共86分9. 正實數滿足求證：10. 設數列滿足求證：1當時，嚴格單調遞減2當時，這里11. 平面凸四邊形的面積為1求證：12. 求證：1方程恰有一個實根，并且是無理數；2不是任何整數系數二次方程的根2023年全國高中數學聯賽安徽省初賽試卷答案2023全國高中數學聯賽安

22、徽省初賽試卷考試時間：2023年7月4日上午9:0011:30一、填空題每題8分，共64分函數的最小值是設數列的通項公式是設平面向量滿足，那么的取值范圍是設是定義域為的具有周期的奇函數，并且，那么在中至少有個零點設為實數，且關于的方程有實根，那么的取值范圍是.給定定點，動點滿足線段的垂直平分線與拋物線相切，那么的軌跡方程是設為復數，其中是實數，是虛數單位，其滿足的虛部和的實部均非負，那么滿足條件的復平面上的點集所構成區域的面積是設是正整數把男女乒乓球選手各人配成男雙、女雙、混雙各對，每位選手均不兼項，那么配對方式總數是二、解答題第9題20分，第1012題22分，共86分設正實數滿足求證：在如下列圖的多面體中，都與平面垂直設，求四面體與公共局部的體積用表示設平面四邊形的四邊長分別為4個連續的正整數。證明：四邊形的面積的最大值不是整數。31位學生參加了某次考試，考試共有10道題，每位學生解