1、實際問題與二次函數第1課時二次函數與圖形面積問題見A本P231小敏用一根長為8 cm的細鐵絲圍成矩形，則矩形的最大面積是(AA4 cm2B8 cm2C16 cm2D【解析】 設矩形一邊長為x cm，則另一邊長為(4x)cm，則S矩形x(4x)x24x(x2)24(0 x4)，故當x2時，S最大值4 cm2.選A.2如圖2231所示，點C是線段AB上的一個動點，AB1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個正方形的面積之和，下列判斷正確的是(A)圖2231A當C是AB的中點時，S最小B當C是AB的中點時，S最大C當C為AB的三等分點時，S最小D當C為AB的三等分點時，S最大【解析】 設A

2、Cx，則BC1x，所以Sx2(1x)22x22x12eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)eq f(1,2).因為二次項系數大于0，所以當xeq f(1,2)時，S的值最小，即點C是AB的中點時，兩個正方形的面積和最小，故選A.3用長度一定的繩子圍成一個矩形，如果矩形的一邊長x(m)與面積y(m2)滿足關系y(x12)2144(0 x24)，則該矩形面積的最大值為_144_m2.【解析】 直接根據二次函數的性質作答，當x12時，y有最大值為144.4在邊長為4 m的正方形鉛皮中間挖去一個面積至少是1 m2的小正方形，則剩下的四方框形鉛皮的面積y(m2)與

3、小正方形邊長x(m)之間的函數關系式是_yx216(1x4)_，y的最大值是_15_【解析】 yS大正方形S小正方形，所以y42x2，即yx216，又1x4，所以當x1時，y最大值為15 m5將一條長為20 cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是_12.5_cm2【解析】 設剪成的兩段長分別為x cm，(20 x)cm，這兩個正方形面積之和為y，則yeq blc(rc)(avs4alco1(f(x,4)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(20 x,4)eq sup12(2)eq f(1,16)(x2400

4、40 xx2)eq f(1,16)(2x240 x400)eq f(1,8)(x220 x200)eq f(1,8)(x220 x100)100eq f(1,8)(x10)212.5，故兩個正方形面積之和的最小值為12.5 cm2.6某農戶計劃利用現有的一面墻再修四面墻，建造如圖2232所示的長方體水池，培育不同品種的魚苗他已備足可以修高為1.5 m、長為18 m的墻的材料準備施工，設圖中與現有一面墻垂直的三面墻的長度都為x m，即ADEFBCx m(1)若想使水池的總容積為36 m3，(2)求水池的總容積V與x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍；(3)若想使水池的總容積V最大，x應為多少？

5、最大容積是多少？圖2232【解析】(1)水池的容積為長寬高，而長為x m，則寬為(183x)m，高為1.5 m，根據總容積為36 m3，易列方程求x的值；(2)，(3)根據容積V與x的函數關系解：(1)ADEFBCx，AB183x，水池的總容積為1.5x(183x)36，即x26x80，解得x2或4，x應為2或4.(2)由(1)知V與x的函數關系式為：V1.5x(183x)4.5x227x，x的取值范圍是0 x6.(3)V4.5x227xeq f(9,2)(x3)2eq f(81,2)，當x3時，V有最大值40.5，若使水池的總容積最大，x應為3，最大容積為40.5 m37如圖2233，矩形A

6、BCD的兩邊長AB18 cm，AD4 cm，點P，Q分別從A，B同時出發，P在邊AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度勻速運動設運動時間為x(s)，PBQ的面積為y(1)求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(2)求PBQ的面積的最大值圖2233解：(1)SPBQeq f(1,2)PBBQ，PBABAP182x，BQx，yeq f(1,2)(182x)x，即yx29x(0 x4)(2)由(1)知yx29x，yeq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)eq sup12(2)eq f(81,4).當0 xeq f(9,2)時，y

7、隨x的增大而增大，而0 x4，當x4時，y最大值20，即PBQ的最大面積是20 cm2.8如圖2234，在邊長為24 cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒(A，B，C，D四個頂點正好重合于上底面上一點)已知E，F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AEBFx(cm)(1)若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V；(2)某廣告商要求包裝盒的表面(不含下底面)面積S最大，試問x應取何值圖2234解：(1)根據題意，知這個正方體的底面邊長aeq r(2)x，EFeq r(2)a2x，A

8、EEFBFAB，x2xx24，x6，a6eq r(2)，V a3(6eq r(2)3432eq r(2)(cm3)(2)設包裝盒的底面邊長為a cm，高為h cm，則aeq r(2)x，heq f(242x,r(2) 12eq r(2)eq r(2)x，S4aha2 4eq r(2)xeq r(2)(12x)(eq r(2)x)26x296x6(x8)2384.0 x12，當x8時，S取得最大值384 cm29已知在ABC中，邊BC的長與BC邊上的高的和為20.(1)寫出ABC的面積y與BC的長x之間的函數關系式，并求出面積為48時BC的長；(2)當BC多長時，ABC的面積最大？最大面積是多少

9、？(3)當ABC面積最大時，是否存在其周長最小的情形？如果存在，請說明理由，并求出其最小周長；如果不存在，請給予說明解：(1)依題意得：yeq f(1,2)x(20 x)eq f(1,2)x210 x(0 xBCBC，當點A在線段BC上時，即點A與A重合，這時LABACBCABACBCBCBC，因此當點A與A重合時，ABC的周長最小；這時由作圖可知：BB20，BCeq r(202102)10eq r(5)，L10eq r(5)10，因此當ABC面積最大時，存在其周長最小的情形，最小周長為10eq r(5)10.10用長度一定的不銹鋼材料設計成外觀為矩形的框架(如圖2235中的一種)設豎檔ABx

10、米，請根據圖中圖案回答下列問題：(題中的不銹鋼材料總長度均指各圖中所有線段的長度和，所有橫檔和豎檔分別與AD，AB平行)(1)在圖中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形框架ABCD的面積為3平方米？(2)在圖中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(3)在圖中，如果不銹鋼材料總長度為a米，共有n條豎檔，那么當x為多少時，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？圖2235解：(1)當不銹鋼材料總長度為12米，共有3條豎檔時，BCeq f(123x,3)4x，矩形框架ABCD的面積為ABBCx(4x)令x(4x)3，解得x1

11、或3，當x1或3時，矩形框架ABCD的面積為3平方米(2)當不銹鋼材料總長度為12米，共有4條豎檔時，BCeq f(124x,3)，矩形框架ABCD的面積Sxeq f(124x,3)eq f(4,3)x24x，當xeq f(4,2blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)eq f(3,2)時，S最大值3，當xeq f(3,2)時，矩形框架ABCD的面積S最大，最大面積為3平方米(3)當不銹鋼材料總長度為a米，共有n條豎檔時，BCeq f(anx,3)，矩形框架ABCD的面積Sxeq f(anx,3)eq f(n,3)x2eq f(a,3)x，當xeq f(f(a,3),2blc(rc)(

12、avs4alco1(f(n,3)eq f(a,2n)時，S最大值eq f(a2,12n)，當xeq f(a,2n)時，矩形框架ABCD的面積S最大，最大面積為eq f(a2,12n)平方米第2課時二次函數與最大利潤問題見B本P241煙花廠為揚州“煙花三月”國際經貿旅游節特別設計制作一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度h(m)與飛行時間t(s)的關系式是heq f(5,2)t220t1，若這種禮炮在最高點處引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為(B)A3 sB4 sC5 s D6 s【解析】 當teq f(b,2a)時，即teq f(20,2blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)4(s)時，

13、禮炮升到最高點，故選B.2某旅行社有100張床位，每床每晚收費20元時，客床可全部租出，若每床每晚每次收費提高4元時，則減少10張床位租出；以每次提高4元的這種方法變化下去，為了投資少而獲利大，每床每晚應提高(C)A8元或12元 B8元C12元 D10元【解析】 設每床每晚應提高x元，則減少出租床eq f(x,4)10張，所獲利潤y(20 x)eq blc(rc)(avs4alco1(100f(x,4)10)，即yeq f(5,2)x250 x2 000eq f(5,2)(x10)22 250.由x是4的正整數倍和拋物線yeq f(5,2)(x10)22 250關于x10對稱可知，當x8或x1

14、2時，獲利最大，又因為出租床位較少時，投資費用少，故選C.3出售某種手工藝品，若每個獲利x元，一天可售出(8x)個，則當x_4_元時，一天出售該種手工藝品的總利潤y最大【解析】 依題意得yx(8x)(x4)216，當x4時，y取得最大值4將進貨單價為70元的某種商品按零售單價100元售出時，每天能賣出20個，若這種商品零售價在一定范圍內每降價1元，其日銷售量就增加1個，為獲得最大利潤，應降價_5元_【解析】 設降價x元，所獲利潤為y元，則有y(10070 x)(20 x)x210 x600(x5)2625.當x5時，y值最大，故應降價5元5某化工材料經銷公司購進了一種化工原料共7 000千克，

15、購進價格為每千克30元，物價部門規定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市場調查發現：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元(天數不是一天時，按整天計算)設銷售單價為x元，日均獲利為y元，那么：(1)y關于x的二次函數關系式為_y2x2260 x6_500(30 x70)_；(2)當銷售單價定為_65_元時，日均獲利最大，日均獲利最大為_1_950_元【解析】 (1)當銷售單價為x元時，實際降價了(70 x)元，日均銷售量為602(70 x)千克，日均獲利為602(70 x)x30602(70 x)50

16、0(x30)602(70 x)500，所以y(x30)602(70 x)5002x2260 x6 500(30 x70)(2)因為y2x2260 x6 5002(x65)21 950，所以當銷售單價定為65元時，日均獲利最大，最大利潤為1 950元6某商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件如果每件商品的售價上漲1元，則每個月少賣出10件(每件售價不能高于72元)，設每件商品的售價上漲x元(x為正整數)，每個月的銷售利潤為y元(1)求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？解：(1)依題意

17、有y(60 x50)(20010 x)(0 x12且x為整數)，即y10 x2100 x2 000(0 x12且x為整數)(2)y10 x2100 x2 00010(x210 x)2 00010(x5)22 250，當x5時，y有最大值2 250，即當每件商品的售價定為65元時，每個月可獲得最大利潤，最大月利潤是2 250元7在“母親節”前夕，我市某校學生積極參與“關愛貧困母親”的活動，他們購進一批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親經試驗發現，若每件按24元的價格銷售時，每天能賣出36件；若每件按29元的價格銷售時，每天能賣出21件假定每天銷售件數y(件)與

18、銷售價格x(元/件)滿足一個以x為自變量的一次函數(1)求y與x滿足的函數關系式(不要求寫出x的取值范圍)；(2)在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷售價格定為多少元時，才能使每天獲得的利潤P最大？解：(1)設y與x滿足的函數關系式為：ykxb.由題意可得：eq blc(avs4alco1(3624kb,2129kb.)解得eq blc(avs4alco1(k3,b108.)故y與x的函數關系式為：y3x108.(2)每天獲得的利潤為：P(3x108)(x20)3x2168x2 1603(x28)2192.故當銷售價定為28元時，每天獲得的利潤最大8某汽車租賃公司擁有20輛汽車據統計，當每輛車

19、的日租金為400元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元時，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4 800元設公司每日租出x輛車，日收益為y元(日收益日租金收入平均每日各項支出)(1)公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為_元(用含x的代數式表示)；(2)當每日租出多少輛車時，租賃公司日收益最大？最大是多少元？(3)當每日租出多少輛車時，租賃公司的日收益不盈也不虧？解：(1)1 40050 x；(2)yx(50 x1 400)4 80050 x21 400 x4 80050(x14)25 000，當x14時，在0 x20范圍內，y有最大值5 000，當每日租出14輛時，租賃公司

20、日收益最大，最大是5 000元(3)要使租賃公司日收益不盈也不虧，則y0，即50(x14)25 0000，解得x124，x24，但x224不合題意，舍去，當每日租出4輛時，租賃公司日收益不盈也不虧9某商場購進一種每件價格為100元的新商品，在商場試銷發現：銷售單價x(元/件)與每天銷售量y(件)之間滿足如圖2236所示的關系：圖2236(1)求出y與x之間的函數關系式；(2)寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數關系式；若你是商場負責人，會將售價定為多少，來保證每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？解：(1)設y與x之間的函數關系式為ykxb(k0)由所給函數圖象得eq blc(avs4alco

21、1(130kb50,150kb30)，解得eq blc(avs4alco1(k1,b180)函數關系式為yx180.(2)W(x100)y(x100)(x180)x2280 x1 8000 (x140)21 600，當售價定為140元時，W最大1 600.售價定為140元/件時，每天最大利潤W1 600元102013鹽城水果店王阿姨到水果批發市場打算購進一種水果銷售，經過還價，實際價格每千克比原來少2元，發現原來買這種水果80千克的錢，現在可買88千克(1)現在實際購進這種水果每千克多少元？(2)王阿姨準備購進這種水果銷售，若這種水果的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)滿足如圖2237所

22、示的一次函數關系圖2237求y與x之間的函數關系式；請你幫王阿姨拿個主意，將這種水果的銷售單價定為多少時，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？(利潤銷售收入進貨金額)解：(1)設現在實際購進這種水果每千克a元，根據題意，得：80(a2)88解之得：a20答：現在實際購進這種水果每千克20元(2)y是x的一次函數，設函數關系式為ykxb 將(25，165)，(35，55)分別代入ykxb，得：eq blc(avs4alco1(25kb165,35kb55)解得：k11，b440y11x440 設最大利潤為W元，則W(x20)(11x440)11(x30)21 100當x30時，W最大值1 100答：

23、將這種水果的單價定為每千克30元時，能獲得最大利潤1 100元第3課時二次函數與拋物線形問題見A本P251如圖2238，濟南建邦大橋有一段拋物線形的拱梁，拋物線的表達式為yax2bx，小強騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小強騎自行車行駛10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需(D)圖2238A30 sB38 sC40 s D36 s2某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖2239，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線yx24x(單位：米)的一部分，則水噴出的最大高度是(A)A4米B3米C2米【解析

24、】 y(x24x4)4(x2)24，水噴出的最大高度是4米圖2239圖223103如圖22310所示，橋拱是拋物線形，其函數解析式為yeq f(1,4)x2，當水位線在AB位置時，水面寬為12 m，這時水面離橋頂的高度h是(D)A3 m B2eq r(6) m C4eq r(3) m D9 m【解析】 可根據點B的橫坐標，求出縱坐標根據圖形知點B的橫坐標為6，當x6時，y9，h|9|9，故選D.4圖22311(1)是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2 m，水面寬4 m，如圖22311(2)建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是(C圖22311Ay2x2

25、By2x2Cyeq f(1,2)x2 Dyeq f(1,2)x2【解析】 設拋物物的解析式為yax2，則把(2，2)代入得24a，aeq f(1,2)，故選C.5西寧中心廣場有各種音樂噴泉，其中一個噴水管噴水的最大高度為3米，此時距噴水管的水平距離為eq f(1,2)米，在如圖22312所示的坐標系中，圖22312這個噴泉的函數關系式是(C)Ay3eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)3By3eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)3Cy12eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2

26、)3Dy12eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)3【解析】 噴水管噴水的最大高度為3米，此時距噴水管的水平距離為eq f(1,2)米，拋物線的頂點坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3)，設拋物線的解析式為yaeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)3，而拋物線還經過點(0，0)，0aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)3，a12，拋物線的解析式為y12eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)3.6某公園草坪的防

27、護欄是由100段形狀相同的拋物線組成的，為了牢固起見，每段護欄需要間距0.4 m加設一根不銹鋼的支柱，防護欄的最高點距底部0.5 m(如圖22313)，則這條防護欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為(C)圖22313A50 m B100 m C160 m D200 m【解析】 以2米長線段所在直線為x軸，以其垂直平分線為y軸建立直角坐標系，求出拋物線的解析式，再求出不銹鋼支柱的總長度72012紹興教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發現鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的關系式為yeq f(1,12)(x4)23，由此可知鉛球推出的距離是_10_m.【解析】 令函數式yeq f(1,12)(

28、x4)230，即0eq f(1,12)(x4)23，解得x110，x22(舍去)，即鉛球推出的距離是10 m8廊橋是我國古老的文化遺產，如圖22314是某座拋物線形的廊橋示意圖，已知拋物線的函數表達式為yeq f(1,40)x210，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E，F處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是_18_米(精確到1米)圖22314【解析】 直接根據E、F點的縱坐標為8，得8eq f(1,40)x210，解得x280，x9，E(9，8)，F(9，8)，故EF的長約為18米圖223159如圖22315是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面

29、相交于A，B兩點，橋拱最高點C到AB的距離為9 m，AB36 m，D，E為橋拱底部的兩點，且DEAB，點E到直線AB的距離為7 m，則DE的長為_【解析】 如圖所示，建立平面直角坐標系設AB與y軸交于點H，AB36，AHBH18，由題可知：OH7，CH9，OC9716，設該拋物線的解析式為yax2k，頂點C(0，16)，拋物線yax216，代入點(18，7)71818a167324a16324a9aeq f(1,36)拋物線：yeq f(1,36)x216，當y0時，0eq f(1,36)x216，eq f(1,36)x216，x21636576x24，E(24，0)，D(24，0)，OEOD

30、24，DEODOE242448，10如圖22316所示，小明的父親在相距2 m的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5 m，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1 m的小明距較近的那棵樹0.5 m時，頭部剛好接觸到繩子，圖22316第10題答圖【解析】 根據題意可建立如圖所示的直角坐標系，設繩子對應的拋物線的解析式為yax2bxc，則此拋物線經過點(0，2.5)，(2，2.5)，(0.5，1)，所以有eq blc(avs4alco1(c2.5，,4a2bc2.5，,f(1,4)af(1,2)bc1，)解得a2，b4，c2.5，y2x24x2.52(x1)20.5，

31、即拋物線的頂點坐標為(1，0.5)，所以繩子最低點距離地面的距離為0.5 m圖2231711如圖22317，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；(2)求這條拋物線的解析式【解析】 (1)M在x軸正半軸上，OM12，所以M(12，0)，又P為拋物線的最高點，所以P(6，6)；(2)用頂點式求拋物線解析式解：(1)M(12，0)，P(6，6)；(2)設拋物線的解析式為ya(x6)26.拋物線ya(x6)26經過點(0，0)，0a(06)26，解得aeq f(1,6)，拋物線的解析式為yeq f(1,6)(x6)26，即yeq f(1,6)x22x.12如圖22318，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED16米，AE8米，拋物線的頂點C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系圖22318(1)求拋物線的解析式；(2)已知從某時刻開始的40小時內，水面與河底ED的距離h(單位：米)隨時間t