1、第十章 量子力學的建立與發展 第十章 量子力學的建立與發展 10.1 歷史概述10.2 電子自旋概念的提出10.3 矩陣力學的創立10.4 波動力學的創立10.5 波函數的物理詮釋10.6 測不準原理和互補原理的提出10.7 關于量子力學完備性的爭論 10.1 歷史概述玻爾的量子理論盡管取得了不少令人驚奇的成果,但也遇到嚴重困 難。困難之一是它面臨著一系列解決不了的問題,例如:它無法解釋氦 原子光譜,也無法對諸如反常塞曼效應一類新現象作出令人滿意的說 明;困難之二是內在的不協調。例如:對應原理的應用往往因人因事而 異,沒有統一規則。10.1 歷史概述有人曾這樣形容當時物理學界的處境:星期一三五

2、 用輻射的經典理論;而在星期二四六則應用輻射的量子理論。這確實反 映了當時物理學的混亂情況,需要重新認識電子的行為,建立新的概念, 對玻爾理論作進一步的改造。 10.1 歷史概述1924 年泡利(W.Pauli)提出不相容原理。這個原理促使烏倫貝克 (G.E.Uhlenbeck)和高斯密特(S.A.Goudsmit)在 1925 年提出電子自旋的 假設。從而使長期得不到解釋的光譜精細結構、反常塞曼效應和斯特恩 蓋拉赫實驗等難題迎刃而解。正好在這個時候,海森伯創立了矩陣力學, 使量子理論登上了一個新的臺階。 圖81 泡利和玻爾正在玩旋轉中的陀螺10.1 歷史概述1923 年德布羅意提出物質波假設

3、,導致了薛定諤在 1926 年以波動方 程的形式建立新的量子理論。不久薛定諤證明,這兩種量子理論是完全 等價的,只不過形式不同罷了。 10.1 歷史概述1928 年狄拉克提出電子的相對論性運動方程狄拉克方程,奠定 了相對論性量子力學的基礎。他把量子論與相對論結合在一起,很自然 地解釋了電子自旋和電子磁矩的存在,并預言了正負電子對的湮沒與產 生。 10.1 歷史概述1933 年狄拉克還提出量子力學的第三種表述方式,這就是后來由費 因曼發展的路徑積分量子化形式。費因曼用這種量子理論研究電子和光 子的相互作用,為量子電動力學的發展打開了新局面。 10.1 歷史概述量子論和相對論是現代物理學的兩大基石

4、。如果說相對論給我們提 供了新的時空觀,就可以說量子論給我們提供了新的關于自然界的表述 方法和思考方法。量子力學揭示了微觀物質世界的基本規律,為原子物 理學、固體物理學、核物理學和粒子物理學奠定了理論基礎。 10.2 電子自旋概念的提出 1921 年,杜賓根大學的朗德(A.Lande)認為,根據反常塞曼效 應的實驗結果看來,描述電子狀態的磁量子數 m 應該不是 m=l, l1, l 2 , l ( 共 2l+1個 ) , 而 應 該 是 m =l1/2 , l3/2 , , (共 2l 個)。為了解釋半量子數的存在,理論家費盡了心機,提出了種種假說。 10.2 電子自旋概念的提出 1924 年

5、,泡利通過計算發現,滿殼層的原子實應該具有零角動量, 因此他斷定反常塞曼效應的譜線分裂只是由價電子引起,而與原子實無 關。顯然價電子的量子論性質具有“二重性”。 10.2 電子自旋概念的提出 “在一個原子中,決不能有兩個或兩個以上的同科電子,對它們來 說,在外場中它們的所有量子數 n、k1、k2、m(或 n、k1、m1、m2)都是相等的。如果在原子中出現一個電子,它們的這些量子數(在外場中) 都具有確定的數值,那么這個態就說是已被占據了。” 10.2 電子自旋概念的提出 這就是著名的不相容原理。泡利提出電子性質有二重性實際上就是 賦予電子以第四個自由度。電子自旋再加上不相容原理,已經能夠比較

6、滿意地解釋元素周期表了。所以泡利的思想得到了大多數物理學家的贊 許。然而二重性和第四個自由度的物理意義究竟是什么,連泡利自己也 說不清楚。 10.2 電子自旋概念的提出 這時有一位來自美國的物理學家克羅尼格(R.L.Kronig),對泡利的 思想非常感興趣。他從模型的角度考慮,認為可以把電子的第四個自由 度看成是電子具有固有角動量,電子圍繞自己的軸在作自轉。根據這個 模型,他還作了一番計算,得到的結果竟和用相對論推證所得相符。于 是他急切地找泡利討論,那里想到,克羅尼格的自轉模型竟遭到泡利的 強烈反對。 10.2 電子自旋概念的提出 泡利對克羅尼格說:“你的想法的確很聰明,但是大自然并 不喜歡

7、它。”泡利不相信電子會有本征角動量。他早就考慮過繞軸自旋 的電子模型,由于電子的表面速度有可能超過光速,違背了相對論,所以必須放棄。更根本的原因是泡利不希望在量子理論中保留任何經典概 念。克羅尼格見泡利這樣強烈的態度,也就不敢把自己的想法寫成論文 發表。 10.2 電子自旋概念的提出 半年后,荷蘭著名物理學家埃倫費斯特的兩個學生,一個叫烏倫貝克,一個叫高斯密特,在不知道克羅尼格工作的情況下提出了同樣的想 法。他們找埃倫費斯特討論,埃倫費斯特認為他們的想法非常重要,當然也可能完全錯了,建議他們寫成論文拿去發表。于是,他們寫了一篇 只有一頁的短文請埃倫費斯特推薦給自然雜志。 10.2 電子自旋概念

8、的提出 他們兩人又去 找物理學界老前輩洛侖茲請教。洛侖茲熱誠地接待了他們,答應想一想 再回答。一周后再見到洛侖茲時,洛侖茲給他們一疊稿紙,稿紙上寫滿 了計算式子和數字。并且告訴他們,如果電子圍繞自身軸旋轉,其表面 速度將達到光速的十倍。這個結果當然是荒唐的,于是他們馬上回去請埃倫費斯特還給他們那篇論文,承認自己是在胡鬧。可是出乎他們意料, 埃倫費斯特早已把論文寄走了,大概馬上就要發表。烏倫貝克和高斯密 特感到非常懊喪,埃倫費斯特勸他們說:“你們還很年輕,做點蠢事不 要緊。” 圖82 1926年在萊頓大學卡麥林昂納斯實驗室合影，最左邊的是烏倫貝克，左側穿黑上衣的是狄拉克，最右側的是高斯密特，后排

9、右側是埃倫費斯特夫婦。10.2 電子自旋概念的提出 烏倫貝克和高斯密特的論文刊出后,海森伯立刻來信表示贊許,并 認為可以利用自旋軌道耦合作用,解決泡利理論中所謂“二重性”的困 難。不過,棘手的問題是如何解釋雙線公式中多出的因子2。對于這個問題,烏倫貝克和高斯密特一時無法回答。 10.2 電子自旋概念的提出 幸好這時愛因斯坦來到了萊頓大學進行訪問講學。愛因斯坦向他們 提供了關鍵性的啟示:在相對于電子靜止的坐標系里,運動原子核的電 場將按照相對論的變換公式產生磁場,再利用一級微擾理論可以算出兩 種不同自旋方向的能量差。 10.2 電子自旋概念的提出 玻爾也很贊賞烏倫貝克和高斯密特的工作,他真沒想到

10、困擾多年的 光譜精細結構問題,居然能用“自旋”這一簡單的力學概念就可以解決。 不過他也感到棘手,因為從相對論推出的雙線公式還沒有能對因子2作出完全解釋。 泡利則始終反對運用力學模型來進行思考。他對玻爾爭辨說:“一 種新的邪說將被引入物理學。”他有自己獨特的見解。 10.2 電子自旋概念的提出 1926 年,因子 2 的困難終于被在哥本哈根研究所工作的英國物理學 家托馬斯(L.H.Thomas)解決了。他運用相對論的規律進行計算,發現人 們的錯誤在于忽略了坐標系變換時的相對論效應,只要考慮到電子具有 加速度,加上這一相對論效應就可以自然地得到因子2。 這樣一來,物理學界很快就普遍接受了電子自旋的

11、概念。連泡利也 承認這一假設是有效的。他給玻爾寫信說:“現在對我來說,只好完全投降了。” 10.2 電子自旋概念的提出 應該說,泡利并沒有錯。他在兩年后也實現了自己的目標,把電子 自旋納入了量子力學的體系。不久狄拉克建立相對論性量子力學,在他 的理論中可以自然地得出電子具有內稟角動量這個重要結論。 10.3 矩陣力學的創立 1922 年 6 月玻爾應邀 到哥廷根講學,索末菲帶領海森伯和泡利一起去聽講。在講演后的討論 中,海森伯發表的意見引起玻爾的注意,爾后兩人一起散步繼續討論。 玻爾對這位年輕的學者印象深刻,邀請他和泡利在適當的時候到哥本哈 根去作研究。1922 年海森伯就去了,開始了他們之間

12、的長期合作。1924 年海森伯又到哥本哈根跟玻爾和克拉末斯合作研究光的色散理論。 10.3 矩陣力學的創立 在研究中,海森伯認識到,不僅描寫電子運動的偶極振幅的傅里葉 分量的絕對值平方決定相應輻射的強度,而且振幅本身的位相也是有觀 察意義的。海森伯由這里出發,假設電子運動的偶極和多極電矩輻射的 經典公式在量子理論中仍然有效。然后運用玻爾的對應原理,用定態能 量差決定的躍遷頻率來改寫經典理論中電矩的傅里葉展開式。譜線頻率 和譜線強度的振幅都是可觀察量。這樣,海森伯就不再需要電子軌道等 經典概念,代之以頻率和振幅的二維數集。 10.3 矩陣力學的創立 但是令海森伯奇怪的是,這樣做的結果,計算中的乘

13、法卻是不可對 易的。當時他還不知道這就是矩陣運算,于是他把論文拿給著名物理學 家玻恩,請教有沒有發表價值。玻恩開始也感到茫然,經過幾天的思索, 記起了這正是大學學過的矩陣運算,認出海森伯用來表示觀察量的二維 數集正是線性代數中的矩陣。從此以后,海森伯的新理論就叫矩陣力學。 10.3 矩陣力學的創立 玻恩認識到海森伯的工作有重要意義,立即推薦發表,并著手運用 矩陣方法為新理論建立一套嚴密的數學基礎。一次偶然的機會,玻恩遇 見了年輕的數學家約丹(P.Jordon),約丹正是這方面的內行,欣然應允 合作。1925 年 9 月,兩人聯名發表了論量子力學一文,首次給矩陣 力學以嚴格表述。 10.3 矩陣

14、力學的創立 接著,玻恩、約丹和海森伯三人合作,又寫了一篇論文,把以前的 結果推廣到多自由度和有簡并的情況,系統地論述了本征值問題、定態 微擾和含時間的定態微擾,導出了動量和角動量守恒定律,以及強度公 式和選擇定則,還討論了塞曼效應等問題,從而奠定了量子力學的基礎。 10.4 波動力學的創立 1925 年10月,薛定諤得到了一份德布羅意的博士論文,使他有可能深入地研 究德布羅意的位相波思想。薛定諤在他的第一篇論文中,提到了德布羅意的博士論文對他的啟示。他寫道:“我要特別感謝路易斯德布羅意 先生的精湛論文,是它激起了我的這些思考和對相波在空間中的分 布加以思索。”10.4 波動力學的創立 著名化學

15、物理學家德拜對他也有積極影響。據說,在蘇 黎世定期召開的討論會上,薛定諤被德拜指定作有關德布羅意工作的報 告。在報告之后,主持人德拜表示不滿,向他指出,研究波動就應該先 建立波動方程。薛定諤在他的啟示下,下功夫研究這個問題,幾星期后, 薛定諤再次報告,宣布找到了這個方程。 10.4 波動力學的創立 1926 年16 月間,薛定諤一連發表了四篇論文,題目都是量子化 就是本征值問題,對他的新理論作了系統論述。薛定諤是從經典力學 和幾何光學的對比,提出了對應于波動光學的波動方程。開始,他試圖 建立一個相對論性運動方程,但由于當時還不知道電子有自旋,所以在 關于氫原子光譜的精細結構的理論上與實驗數據不

16、符。后來他改用非相 對論性波動方程來處理電子,得到了與實驗相符的結果,這個波動方程 現在就叫薛定諤方程。10.4 波動力學的創立 他在第一篇論文中引入波函數的概念,利用變 分原理,得到不含時間的氫原子波動方程: 10.4 波動力學的創立 薛定諤從這個方程得到的解正是氫原子的能級公式。這樣,量子化就成了薛定諤方程的自然結果,而不是象玻爾和索末菲那樣需要人為規定某些量子化條件。 10.4 波動力學的創立 薛定諤在論文一開始就寫道:“通常的量子化法則可以用另一個假 設來代替了,在這個假設中,不引入任何一個關于整數的概念,而 整數性倒會象振動的弦的波節數是整數一樣很自然地得出來。這種新的 理解是可以普

17、遍化的,而且象我認為的那樣,是很深地淵源于量子法則 的真正本質之中的。 10.4 波動力學的創立 在第二篇論文中,薛定諤從經典力學與幾何光學的類比及物理光學 到幾何光學過渡的角度,闡述了他建立波動力學的思想,并建立了一般的含時間的波動方程。 接著,薛定諤解出了諧振子的能級和定態波函數,結果與海森伯的 矩陣力學所得相同。他還處理了普朗克諧振子和雙原子分子等問題。 10.4 波動力學的創立 薛定諤的第三篇論文闡述了定態微擾理論,他用波函數詳細計算了氫原子的斯塔克效應,結果與實驗符合得很好。 薛定諤的第四篇論文推出了含時間的微擾理論,并用之于計算色散等問題。 10.4 波動力學的創立 這一組論文奠定

18、了非相對論量子力學的基礎。薛定諤把自己的新理 論稱為波動力學。總括起來,薛定諤的思想大概是從以下四個方面的前提得出來的: (1) 原子領域中電子的能量是分立的;(2) 在一定的邊界條件下,波動方程的振動頻率只能取一系列分裂的本征頻率;10.4 波動力學的創立 (3) 哈密頓雅可比方程不僅可用于描述粒子的運動,也可用于描述光波;(4) 最關鍵的是愛因斯坦和德布羅意關于波粒二象性的思想。電子可以看成是一種波,其能量 E 和動量 p 可用德布羅意公式與波長和頻 率 v 聯系在一起。 10.4 波動力學的創立 波動力學形式簡單明了,數學方法基本上是解偏微分方程,對大家 都比較熟悉,也易于掌握,所以,人

19、們普遍歡迎這一新理論。但是,波 動力學和矩陣力學究竟有什么關系,誰也說不清楚,開始雙方都抱有門 戶之見。后來,薛定諤認真鉆研了海森伯等人的著作,于 1926 年發表了 題為論海森伯、玻恩與約丹和我的量子力學之間的關系的論文,證 明矩陣力學和波動力學的等價性,指出兩者在數學上是完全等同的,可 以通過數學變換從一種理論轉換到另一種理論,它們都是以微觀粒子的 波粒二象性為基礎。與此同時,泡利也作了同樣的證明。 10.5 波函數的物理詮釋 薛定諤的波動力學提出后,人們普遍感到困惑的是其中某些關鍵概 念(例如波函數)的物理意義還不明確。薛定諤把波函數解釋成是描述 物質波動性的一種振幅,用波群的運動來描述

20、力學過程。在他的理論中, 粒子不過是波集中在一起形成的波群,即所謂的波包。 10.5 波函數的物理詮釋 又是玻恩對薛定 諤的波動力學作了重要補充,他在 1926 年 6 月發表題為散射過程的量 子力學一文,指出:“迄今為止,海森伯創立的量子力學僅用于計算 定態以及與躍遷相關的振幅,”但對于散射問題,則“在各種不同形式 中,僅有薛定諤的形式看來能夠勝任。”他在對兩個自由粒子的散射問 題進行計算后對波函數的物理意義作了探討,指出:發現粒子的幾率正比于波函數的平方。只要把波函數作這樣的詮釋,散射結果就有明確 的意義。由于有了玻恩的詮釋,波動力學才為公眾普遍接受。 10.5 波函數的物理詮釋 玻恩在回

21、憶他是怎樣想出這一詮釋時寫道:“愛因斯坦的觀點又一 次引導了我。他曾經把光波振幅解釋為光子出現的幾率密度,從而使粒 子(光量子或光子)和波的二象性成為可以理解的。這個觀念馬上可以 推廣到函數上:2必須是電子(或其他粒子)的幾率密度”。 可見,愛因斯坦在量子力學的發展中起了何等重要的作用。 10.6 測不準原理和互補原理的提出 測不準原理也叫不確定原理,是海森伯在 1927 年首先提出的,它反 映了微觀粒子運動的基本規律,是物理學中又一條重要原理。 10.6 測不準原理和互補原理的提出 海森伯在創立矩陣力學時,對形象化的圖象采取否定態度。但他在 表述中仍然需要“坐標”、“速度”之類的詞匯,當然這

22、些詞匯已經不 再等同于經典理論中的那些詞匯。可是,究竟應該怎樣理解這些詞匯新 的物理意義呢? 10.6 測不準原理和互補原理的提出 海森伯抓住云室實驗中觀察電子徑跡的問題進行思考。 他試圖用矩陣力學為電子徑跡作出數學表述,可是沒有成功。這使海森 伯陷入困境。他反復考慮,意識到關鍵在于電子軌道的提法本身有問題。 人們看到的徑跡并不是電子的真正軌道,而是水滴串形成的霧跡,水滴 遠比電子大,所以人們也許只能觀察到一系列電子的不確定的位置,而 不是電子的準確軌道。因此,在量子力學中,一個電子只能以一定的不 確定性處于某一位置,同時也只能以一定的不確定性具有某一速度。可 以把這些不確定性限制在最小的范圍

23、內,但不能等于零。這就是海森伯 對不確定性最初的思考。 10.6 測不準原理和互補原理的提出 據海森伯晚年回憶,愛因斯坦 1926 年的一次談 話啟發了他。愛因斯坦和海森伯討論可不可以考慮電子軌道時,曾質問 過海森伯:“難道說你是認真相信只有可觀察量才應當進入物理理論 嗎?”對此海森伯答復說:“你處理相對論不正是這樣的嗎?你曾強調 過絕對時間是不許可的,僅僅是因為絕對時間是不能被觀察的。”愛因 斯坦承認這一點,但是又說:“一個人把實際觀察到的東西記在心里, 會有啟發性幫助的在原則上試圖單靠可觀察量來建立理論,那是完 全錯誤的。實際上恰恰相反,是理論決定我們能夠觀察到的東西只 有理論,即只有關于

24、自然規律的知識,才能使我們從感覺印象推論出基 本現象。” 10.6 測不準原理和互補原理的提出 海森伯在 1927 年的論文一開頭就說:“如果誰想要闡明一 個物體的位置(例如一個電子的位置)這個短語的意義,那么他就要 描述一個能夠測量電子位置的實驗,否則這個短語就根本沒有意義。” 海森伯在談到諸如位置與動量,或能量與時間這樣一些正則共軛量的不 確定關系時,說:“這種不確定性正是量子力學中出現統計關系的根本原因。” 10.6 測不準原理和互補原理的提出 海森伯測不準原理是通過一些實驗來論證的。設想用一個射線顯 微鏡來觀察一個電子的坐標,因為射線顯微鏡的分辨本領受到波長 的限制,所用光的波長越短,

25、顯微鏡的分辨率越高,從而測定電子坐 標不確定的程度q 就越小,所以q。但另一方面,光照射到電子, 可以看成是光量子和電子的碰撞,波長越短,光量子的動量就越大, 所以有p1/。經過一番推理計算,海森伯得出:qp=h/4。海 森伯寫道:“在位置被測定的一瞬,即當光子正被電子偏轉時,電子的 動量發生一個不連續的變化,因此,在確知電子位置的瞬間,關于它的 動量我們就只能知道相應于其不連續變化的大小的程度。于是,位置測 定得越準確,動量的測定就越不準確,反之亦然。” 10.6 測不準原理和互補原理的提出 海森伯還通過對確定原子磁矩的斯特恩蓋拉赫實驗的分析證明,原 子穿過偏轉所費的時間T 越長,能量測量中

26、的不確定性E 就越小。再 加上德布羅意關系=h/p,海森伯得到ETh,并且作出結論:“能 量的準確測定如何,只有靠相應的對時間的測不準量才能得到。” 10.6 測不準原理和互補原理的提出 海森伯的測不準原理得到了玻爾的支持,但玻爾不同意他的推理方 式,認為他建立測不準關系所用的基本概念有問題。雙方發生過激烈的 爭論。玻爾的觀點是測不準關系的基礎在于波粒二象性,他說:“這才 是問題的核心。”而海森伯說:“我們已經有了一個貫徹一致的數學推 理方式,它把觀察到的一切告訴了人們。在自然界中沒有什么東西是這 個數學推理方式不能描述的。”玻爾則說:“完備的物理解釋應當絕對 地高于數學形式體系。” 10.6

27、 測不準原理和互補原理的提出 玻爾更著重于從哲學上考慮問題。1927 年玻爾作了量子公設和原 子理論的新進展的演講,提出著名的互補原理。他指出,在物理理論 中,平常大家總是認為可以不必干涉所研究的對象,就可以觀測該對象, 但從量子理論看來卻不可能,因為對原子體系的任何觀測,都將涉及所 觀測的對象在觀測過程中已經有所改變,因此不可能有單一的定義,平 常所謂的因果性不復存在。對經典理論來說是互相排斥的不同性質,在 量子理論中卻成了互相補充的一些側面。波粒二象性正是互補性的一個 重要表現。測不準原理和其它量子力學結論也可從這里得到解釋。 10.7 關于量子力學完備性的爭論 玻恩、海森伯、玻爾等人提出

28、了量子力學的詮釋以后,不久就遭到 愛因斯坦和薛定諤等人的批評,他們不同意對方提出的波函數的幾率解釋、測不準原理和互補原理。雙方展開了一場長達半個世紀的大論戰, 許多理論物理學家、實驗物理學家和哲學家卷入了這場論戰,這一論戰 至今還未結束。現在正在進行的關于隱參量的辯論就是他們論戰的繼續。 圖811 1920年玻爾和海森伯、泡利在一起 圖812 1932年和1933年諾貝爾物理學獎得主合影，從右到左：薛定諤、海森伯、狄拉克、薛定諤夫人和狄拉克及海森伯的母親10.7 關于量子力學完備性的爭論 早在 1927 年10月召開的第五屆索爾威會議上就爆發了公開論戰。 那次會議先由德布羅意介紹自己對波動力學的看法,提出了所謂的導波 理論。在討論中泡利對他的理論進行了激烈的批評,于是德布羅意聲明 放棄自己的觀點。接著,玻恩和海森伯介紹矩陣力學波函數的詮釋和測 不準原理。最后他們說:“我們主張,量子力學是一種完備的理論,它 的基本物理假說和數學假設是不能進一步被修改的。”玻爾也在會上發 表了上節提到的演講內容。這些話顯然是說給愛因斯坦聽的,但愛因斯 坦一直保持沉默。只是在玻恩提到愛因斯坦的工作時,才起來作了即席 發言,他用一個簡單的理想實驗來說明他的觀點。 圖816 愛因斯坦的示意圖圖818 愛因斯坦的光子箱圖819 玻爾“加工”過的愛因斯坦光子箱圖820 愛因斯坦和玻